5.2.1 基本初等函数的导数(Word练习)（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（人教A版）

5.2.1　基本初等函数的导数 1.下列求导运算正确的是（　　） A.（cos）'＝sin B.（）'＝－ C.（lg x）'＝ D.（）'＝ 2.函数y＝x4在点（1，1）处的切线方程为（　　） A.y＝4x－3 B.y＝4x＋3 C.y＝－4x－3 D.y＝－4x＋3 3.若f（x）＝，g（x）＝ln x，则使f'（1）＋g'（x）＝1的x的值为（　　） A. B. C. D.2 4.函数f（x）＝x3的斜率等于1的切线有（　　） A.1条 B.2条 C.3条 D.不确定 5.曲线y＝在点处的切线与x轴、直线x＝2所围成的三角形的面积为（　　） A. B. C. D. 6.〔多选〕若曲线f（x）＝－上某点处的切线的倾斜角为，则该点的坐标为（　　） A.（1，1） B.（－1，－1） C.（－1，1） D.（1，－1） 7.〔多选〕直线y＝x＋b能作为下列函数图象的切线的有（　　） A.f（x）＝ B.f（x）＝x4 C.f（x）＝sin x D.f（x）＝ex 8.一物体沿一光滑斜面下滑，测得物体下滑速度满足v（t）＝log2t，则该物体下滑的加速度a＝　　　　. 9.设b为实数，若直线y＝－x＋b为函数y＝图象的切线，则b＝　　　　. 10.求下列函数的导数： （1）y＝；（2）y＝； （3）y＝－2sin（1－2cos2）. 11.设f0（x）＝sin x，f1（x）＝f'0（x），f2（x）＝f'1（x），…，fn＋1（x）＝f'n（x），n∈N，则f2 026（x）＝（　　） A.sin x B.－sin x C.cos x D.－cos x 12.已知函数y＝x2（x＞0）的图象在点（ak，）处的切线与x轴交点的横坐标为ak＋1，其中k∈N*，若a1＝16，则a1＋a3＋a5＝　　　　. 13.已知A，B，C三点在曲线y＝上，其横坐标依次为1，m，4（1＜m＜4），则当△ABC的面积最大时，m的值为　　　　. 14.已知点P在曲线f（x）＝cos x上，直线l是以点P为切点的切线. （1）求a的值； （2）求过点P且与直线l垂直的直线方程. 15.已知两条曲线y＝f（x）＝sin x，y＝g（x）＝cos x，这两条曲线是否存在一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.2　导数的运算 5.2.1　基本初等函数的导数 1.C　2.A　3.C　4.B　 5.C　由题意可得y'＝，即y'｜x＝1＝，切线方程为2x－3y＋1＝0，与x轴的交点坐标为，与x＝2的交点坐标为，所以围成三角形的面积为××＝.故选C. 6.CD　切线的斜率k＝tan ＝1，f'（x）＝，设切点为（x0，y0），则f'（x0）＝1，所以＝1，所以x0＝1或x0＝－1，所以切点坐标为（1，－1）或（－1，1）. 7.BCD　函数f（x）＝，可得f'（x）＝－＝不成立，所以A不正确；f（x）＝x4，f'（x）＝4x3＝可以成立，所以B正确；f（x）＝sin x，f'（x）＝cos x＝可以成立，所以C正确；f（x）＝ex，f'（x）＝ex＝可以成立，所以D正确.故选B、C、D. 8.　解析：a＝v'（t）＝（log2t）'＝. 9.2或－2　解析：设切点坐标为（x0，y0），函数y＝的导函数为y'＝－，由直线y＝－x＋b得到斜率为－1，所以－＝－1，解得x0＝±1，把x0＝－1代入y＝中解得y0＝－1，把x0＝1代入y＝中解得y0＝1，所以切点坐标是（－1，－1）或（1，1）.当切点坐标是（－1，－1）时，代入直线方程y＝－x＋b，得b＝－2；当切点坐标是（1，1）时，代入直线方程y＝－x＋b，得b＝2.综上所述，b＝2或－2. 10.解：（1）y'＝（）'＝（）'＝＝＝. （2）y'＝（）'＝（x－4）'＝－4x－4－1＝－4x－5＝－. （3）∵y＝－2sin（1－2cos2） ＝2sin（2cos2－1） ＝2sincos＝sin x， ∴y'＝（sin x）'＝cos x. 11.B　f0（x）＝sin x，f1（x）＝f'0（x）＝（sin x）'＝cos x，f2（x）＝f'1（x）＝（cos x）'＝－sin x，f3（x）＝f'2（x）＝（－sin x）'＝－cos x，f4（x）＝f'3（x）＝（－cos x）'＝sin x，所以4为最小正周期，故f2 026（x）＝f2（x）＝－sin x. 12.21　解析：∵y'＝2x，∴y＝x2（x＞0）的图象在点（ak，）处的切线方程为y－＝2ak（x－ak）.又该切线与x轴的交点为（ak＋1，0），∴ak＋1＝ak，即数列{ak}是首项a1＝16，公比q＝的等比数列，∴a3＝4，a5＝1，∴a1＋a3＋a5＝21. 13.　解析：如图，在△ABC中，边AC是确定的，要使△ABC的面积最大，则点B到直线AC的距离应最大，可以将直线AC作平行移动，显然当直线AC与曲线相切时，距离达到最大，即当过点B的切线平行于直线AC时，△ABC的面积最大.∵y'｜x＝m＝，点A坐标为（1，1），点C坐标为（4，2），∴kAC＝＝，∴＝，∴m＝. 14.解：（1）因为点P在曲线f（x）＝cos x上， 所以a＝cos ＝. （2）因为f'（x）＝－sin x， 所以kl＝f'＝－sin ＝－. 又因为所求直线与直线l垂直， 所以所求直线的斜率为－＝， 所以所求直线方程为 y－＝， 即y＝x－＋. 15.解：假设存在这样的公共点，并设这两条曲线的一个公共点为P（x0，y0）， ∴两条曲线在点P（x0，y0）处的切线斜率分别为 k1＝f'（x0）＝cos x0，k2＝g'（x0）＝－sin x0. 若使两条切线互相垂直，则有cos x0·（－sin x0）＝－1，即sin x0·cos x0＝1，也就是sin 2x0＝2，这是不可能的，∴两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直. 学科网（北京）股份有限公司 $