精品解析：山东聊城市东昌府区2025-2026学年第一学期期末考试八年级数学试题

2025--2026学年第一学期期末考试 八年级数学试题 时间：120分钟 分值：120分 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 窗花是我国民间传统剪纸艺术．新春到来之际，小雪设计了如下一组窗花，其中为轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法正确的是（ ） A. 代数式是分式 B. 分式中x，y都扩大3倍，分式的值不变 C. 分式是最简分式 D. 分式有意义 3. 如图，数轴上点表示的数是-1，点表示的数是1，，，以点为圆心，长为半径画弧，与数轴交于原点右侧的点，则点表示的数是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，化简的结果是（ ） A. B. 1 C. D. 5. 点M在第二象限，距离x轴6个单位长度，距离y轴3个单位长度，则M点的坐标为（　　） A. B. C. D. 6. 如图，分别以的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，若，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 24 B. 18 C. 12 D. 6 7. 如图，在中，按以下步骤作图：①分别以B、C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点M、N；②作直线交于点D，连接．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 关于的不等式组恰好只有四个整数解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 《四元玉鉴》是中国古代著名的数学专著，书里记载一道这样的题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文．只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文．问绫、罗尺价各几何？”题目译文是：现在有绫布和罗布，布长共3丈（一丈＝10尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入八百九十六文；绫布和罗布各出售一尺共收入一百二十文．问两种布每尺各多少钱？若设绫布有尺，根据题意可列方程为（　　） A. B. C. D. 10. 如图，已知的周长是，和的角平分线交于点O，于点D，若，则的面积是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共18分） 11. 若代数式的值为零，则x的值为_______． 12. 的平方根是____． 13. 关于x的不等式(3a-2)x<2的解为x＞ ，则a的取值范围是________ 14. 若直角三角形的两边长为a、b，且满足，则该直角三角形的第三边长为______． 15. 如图，在中，的面积为10，的垂直平分线交于点，交于点，点为线段上一动点，是的中点，连接，，则周长的最小值为_________． 16. 如图所示，已知四边形中，，，，，点为线段的中点，点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段上由点C向点D运动，当Q的运动速度为________时，能够使与全等． 三、解答题（共72分） 17. 解不等式（组），并把解集表示在数轴上． （1）； （2）解不等式组：，并写出它的所有整数解． 18. 解决下列问题： （1）解方程：； （2）计算：． 19. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一格点（即三角形的顶点都在格点上）． （1）画出关于轴对称的． （2）写出点的坐标，并求出的面积． （3）在轴上找一点，使最小，则点的坐标为______． 20. 如图，在中，，分别垂直平分和，并分别交于M，N两点，与相交于点F． （1）若，求的周长． （2）若，求的度数． 21. 如图，一根长的竹竿，斜靠在一竖直的墙上，这时为，杆子的顶端沿墙下滑．求梯子底端外移的距离（的长）？ 22. 年是中国农历马年，以生肖马为主题的玩偶凭借时尚可爱的形象“圈粉”无数．某商店销售甲、乙两种型号以马为主题的生肖玩偶，已知乙型玩偶的单价是甲型玩偶的单价的倍，用元购买甲型玩偶的数量比用元购买乙型玩偶的数量多个． （1）求甲、乙两种型号玩偶的单价各是多少元？ （2）某公司计划采购两种型号玩偶共60个作为员工新年礼物，总费用不超过3000元，最多可以采购多少个乙型玩偶？ 23. 已知实数x和y，若存在整数k使得，则称x与y是关于k的“对称数”． （1）若与是关于4的对称数，求实数m的值； （2）若，，判断与是否为关于某整数k的对称数，并说明理由． 24. 阅读理解，自主探究： “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直．所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． （1）问题解决：如图1，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，则与的数量关系是______； （2）问题探究：如图2，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，，，求的长； （3）拓展延伸：如图3．在平面直角坐标系中，，，为等腰直角三角形，，，求点坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025--2026学年第一学期期末考试 八年级数学试题 时间：120分钟 分值：120分 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 窗花是我国民间传统剪纸艺术．新春到来之际，小雪设计了如下一组窗花，其中为轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的知识，解答本题的关键是掌握轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 根据轴对称图形的概念结合选项解答即可． 【详解】、不是轴对称图形，故该选项错误； 、不是轴对称图形，故该选项错误； 、是轴对称图形，故该选项正确； 、不是轴对称图形，故该选项错误． 故选：． 2. 下列说法正确的是（ ） A. 代数式是分式 B. 分式中x，y都扩大3倍，分式的值不变 C. 分式是最简分式 D. 分式有意义 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查分式的定义、性质、最简分式以及分式有意义的条件．根据分式的定义及性质依次判断即可求解． 【详解】解：A、代数式是整式，不是分式，故本选项不符合题意； B、分式中，都扩大3倍后为，分式的值扩大3倍，故本选项不符合题意； C、分式是最简分式，故本选项符合题意； D、当时，分式有意义，故本选项不符合题意； 故选：C． 3. 如图，数轴上点表示的数是-1，点表示的数是1，，，以点为圆心，长为半径画弧，与数轴交于原点右侧的点，则点表示的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据勾股定理求出AC长，再根据圆的半径相等可知AP=AC，即可得出答案． 【详解】解：∵BC⊥AB， ∴∠ABC=90°， ∴AC=， ∵以A为圆心，AC为半径作弧交数轴于点P， ∴AP=AC=， ∴点P表示的数是， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了勾股定理，以及数轴与实数，关键是求出AC的长． 4. 已知，化简的结果是（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了绝对值和算术平方根， 首先根据题意得到，，然后化简求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴． 故选：B． 5. 点M在第二象限，距离x轴6个单位长度，距离y轴3个单位长度，则M点的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查点坐标的特征，根据点M在第二象限，横坐标为负，纵坐标为正，点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，点到y轴的距离等于横坐标的绝对值，结合已知条件即可求解． 【详解】设点M的坐标为， ∵点M距离x轴6个单位长度， ∴， ∵点M距离y轴3个单位长度， ∴， ∵点M在第二象限， ∴， ∴， ∴点M的坐标为． 故选：C． 6. 如图，分别以的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，若，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 24 B. 18 C. 12 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理、正方形的性质以及三角形面积，由勾股定理得再由正方形面积公式得，求出，即可得到阴影部分的面积． 【详解】解：是以为斜边的直角三角形， ， ， ， ， ∴阴影部分的面积为， 故选：D． 7. 如图，在中，按以下步骤作图：①分别以B、C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点M、N；②作直线交于点D，连接．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质及三角形内角和定理．先利用等腰三角形等边对等角的性质得出，再根据作图步骤得出直线是线段的垂直平分线，再利用垂直平分线的性质得到，进而求出的度数，最后根据三角形内角和定理求出的度数． 【详解】解：∵，， ∴， 根据作图痕迹，可知是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选：D． 8. 关于的不等式组恰好只有四个整数解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查的是一元一次不等式组的解法，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．此题可先根据一元一次不等式组解出的取值，再根据不等式组恰好只有四个整数解，求出实数的取值范围． 【详解】解：由不等式，可得， 由不等式，可得， 由以上可得不等式组的解集为：， 因为不等式组恰好只有四个整数解， 可得：， 解得， 故选：C 9. 《四元玉鉴》是中国古代著名的数学专著，书里记载一道这样的题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文．只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文．问绫、罗尺价各几何？”题目译文是：现在有绫布和罗布，布长共3丈（一丈＝10尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入八百九十六文；绫布和罗布各出售一尺共收入一百二十文．问两种布每尺各多少钱？若设绫布有尺，根据题意可列方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，找出等量关系式是解题的关键． 根据绫布和罗布各一尺共值120文，列出绫布每尺价格与罗布每尺价格之和等于120的方程，即可求解． 【详解】解：设绫布有尺，则罗布有尺. ∵绫布总价896文，∴绫布每尺价格为文； ∵罗布总价896文，∴罗布每尺价格为文； 又∵绫布和罗布各一尺共值120文， ∴． ∴． 故选：B． 10. 如图，已知的周长是，和的角平分线交于点O，于点D，若，则的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F，根据角平分线的性质定理可得OD=OE=OF=3cm，再由，即可求解． 【详解】解∶如图，过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F， ∵和的角平分线交于点O，， ∴OD=OE，OD=OF， ∴OD=OE=OF=3cm， ∵的周长是， ∴AB+BC+AC=36cm， ∵， ∴． 故选：B 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线上点到角两边的距离是解题的关键． 二、填空题（每题3分，共18分） 11. 若代数式的值为零，则x的值为_______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了分式的值为零的条件，需分子为零且分母不为零，由此计算即可得出结果，熟练掌握分式的值为零的条件是解此题的关键． 【详解】解：∵代数式的值为零， ∴且， 解可得或， 当时，，故舍去， ∴， 故答案为：． 12. 的平方根是____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求一个数的平方根与算术平方根，先计算49的算术平方根，再求其平方根即可． 【详解】解：，7的平方根是， ∴的平方根是． 故答案为：． 13. 关于x的不等式(3a-2)x<2的解为x＞ ，则a的取值范围是________ 【答案】x< 【解析】 【分析】根据已知不等式的解集确定出a的范围即可． 【详解】∵关于x的不等式（3a-2）x＜2的解为x＞， ∴3a-2＜0， 解得：a＜， 故答案为a＜ 【点睛】此题考查了解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 14. 若直角三角形的两边长为a、b，且满足，则该直角三角形的第三边长为______． 【答案】5或 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的非负性、绝对值与平方的非负性，以及勾股定理的应用，解题的关键是先利用非负性求出、的值，再分情况用勾股定理计算第三边． 先根据二次根式的非负性求出，再由非负数和为0的性质得、的值，最后分第三边是直角边或斜边，用勾股定理计算边长． 【详解】解：由和同时有意义，得： 解得． 此时 得：，， 即，． 情况1：当4为斜边长，3为一条直角边长时 第三边长 情况2：当3、4为直角边长时，第三边为斜边 第三边长． 故答案为：5或． 15. 如图，在中，的面积为10，的垂直平分线交于点，交于点，点为线段上一动点，是的中点，连接，，则周长的最小值为_________． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，线段垂直平分线的性质，三线合一等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先根据线段垂直平分线的性质得出，从而可得，于是可得出当位于与的交点时，最小，最小值为，再利用三角形面积求出，从而可求得周长的最小值． 【详解】解：连接交于点，连接，， ∵垂直平分， ∴， ∵， ∴当位于与的交点时，最小，最小值为， 在中，，为中点，， ∴，， ∵，， ∴， ∴． ∴周长的最小值为， 故答案为：． 16. 如图所示，已知四边形中，，，，，点为线段的中点，点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段上由点C向点D运动，当Q的运动速度为________时，能够使与全等． 【答案】3或 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，一元一次方程与动点几何问题，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 根据①当时，；②当时，两种情况进行讨论，从而可求点的运动速度； 【详解】解：设运动时间为； 当时，， ∵点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动． ∴的运动速度等于点运动速度； ②当时，， ∵点为线段的中点，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．，， ∴, ∴， ∴点的运动速度：； 故答案为：或． 三、解答题（共72分） 17. 解不等式（组），并把解集表示在数轴上． （1）； （2）解不等式组：，并写出它的所有整数解． 【答案】（1），数轴见解析 （2），见解析，整数解为 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式和不等式组的解集，求不等式组的整数解，熟知解一元一次不等式和解一元一次不等式组的方法是解题的关键． （1）按照去分母，去括号，移项，合并同类项的步骤求出不等式的解集，再在数轴上表示出不等式的解集即可； （2）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，再在数轴上表示出不等式组的解集，进而求出不等式组的整数解即可． 【小问1详解】 解： 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 数轴表示如下： 【小问2详解】 解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴原不等式组的解集为， 数轴表示如下： ∴原不等式组的整数解为． 18. 解决下列问题： （1）解方程：； （2）计算：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了分式的运算和分式方程，掌握解分式方程的一般步骤，分式的运算法则等知识点是解决本题的关键． （1）按解分式方程的一般步骤求解即可； （2）先因式分解各分式中的分子分母，再约分计算乘法，最后算加法． 【小问1详解】 解：， 去分母，得， 去括号并整理，得， 解得：， 检验：把代入得． 所以，原方程的解为； 【小问2详解】 解： ． 19. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一格点（即三角形的顶点都在格点上）． （1）画出关于轴对称的． （2）写出点的坐标，并求出的面积． （3）在轴上找一点，使最小，则点的坐标为______． 【答案】（1） 如图，即为所求， （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查在直角坐标系中画轴对称图形，写点的坐标，求三角形的面积，求一次函数的解析式，两点之间线段最短； （1）找到对应点连接即可； （2）观察图象写出坐标，并用分割法求三角形面积即可； （3）找出点关于x轴的对称点，连接于x轴的交点为点P，求出直线的解析式即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由图可知， 过作长方形， 则， ， ， ， 【小问3详解】 解：如图，找出关于x轴的对称点，连接于x轴的交点即为点P， 由图可知，， 设直线的解析式为， 则解得， ∴， 当时，即解得， ∴ 20. 如图，在中，，分别垂直平分和，并分别交于M，N两点，与相交于点F． （1）若，求的周长． （2）若，求的度数． 【答案】（1）的周长为 （2） 【解析】 【分析】（1）由线段垂直平分线的性质可得，，则的周长． （2）根据等边对等角可得，，根据，求出，根据求出结果即可． 【小问1详解】 解：∵，分别垂直平分和， ∴，， ∴的周长； 【小问2详解】 解：由（1）得，，由，分别垂直平分和，可得， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∴． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角的性质，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握相关基本性质和整体思想的利用． 21. 如图，一根长的竹竿，斜靠在一竖直的墙上，这时为，杆子的顶端沿墙下滑．求梯子底端外移的距离（的长）？ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理求出的长度，进而即可求解，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：在中，，， ∴， ， ， 在中，， ∴， ． 答：梯子底端外移的距离为． 22. 年是中国农历马年，以生肖马为主题的玩偶凭借时尚可爱的形象“圈粉”无数．某商店销售甲、乙两种型号以马为主题的生肖玩偶，已知乙型玩偶的单价是甲型玩偶的单价的倍，用元购买甲型玩偶的数量比用元购买乙型玩偶的数量多个． （1）求甲、乙两种型号玩偶的单价各是多少元？ （2）某公司计划采购两种型号玩偶共60个作为员工新年礼物，总费用不超过3000元，最多可以采购多少个乙型玩偶？ 【答案】（1）甲、乙两种型号玩偶的单价分别为元，元； （2）最多可以采购个乙种型号玩偶． 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解题关键是找准等量关系，正确列出分式方程和根据各数量之间的关系列出不等式的方程． （1）先设甲型玩偶单价为元，乙型玩偶的单价为元，再求出各自的个数，根据甲型玩偶的数量比乙型玩偶的数量多个列分式方程即可； （2）先设采购个乙型玩偶，得出采购个甲型玩偶，根据总价单价数量列不等式即可． 【小问1详解】 解：设甲种型号玩偶的单价为元，根据题意得 ， 两边同乘得，， ， 解得． 经检验是分式方程的解． ． 答：甲、乙两种型号玩偶的单价分别为元，元． 【小问2详解】 解：设可以采购个乙型玩偶， 根据题意得，， ， ， 解得． 答：最多可以采购个乙种型号玩偶． 23. 已知实数x和y，若存在整数k使得，则称x与y是关于k的“对称数”． （1）若与是关于4的对称数，求实数m的值； （2）若，，判断与是否为关于某整数k的对称数，并说明理由． 【答案】（1）2 （2）与是关于某整数k的对称数，见解析 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算的应用，熟知题意，正确计算是解题的关键． （1）根据题意列方程即可解答； （2）计算与，再计算与的和即可解答． 【小问1详解】 解：与是关于4的对称数， ， ； 【小问2详解】 解：与是关于某整数k的对称数，理由如下： ， ， ， 与是关于某整数的对称数． 24. 阅读理解，自主探究： “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直．所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． （1）问题解决：如图1，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，则与的数量关系是______； （2）问题探究：如图2，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，，，求的长； （3）拓展延伸：如图3．在平面直角坐标系中，，，为等腰直角三角形，，，求点坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）首先证明，，利用“”证明，由全等三角形即可证明结论； （2）利用“”证明，由全等三角形的性质可得，，再结合，即可获得答案； （3）过点作轴，过点作轴，过点作轴，、、分别交于点、，利用“”证明，由全等三角形的性质可得，，结合点，的坐标进一步求解即可． 【小问1详解】 解：与的数量关系是，证明如下： ∵，， ∴， ∵， ∴。 ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 故答案为：； 【小问2详解】 ，，， ， ，， ， 在与中， ， ， ，， 又， ； 【小问3详解】 解：过点作轴，过点作轴，过点作轴，、、分别交于点、， 轴，轴，轴， ，， 又， ，，， ， 在与中， ， ， ，， ，， ，， ，， 点坐标为． 【点睛】本题主要考查了直角三角形两锐角互余、全等三角形的判定与性质、坐标与图形等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $