精品解析：广东省韶关市2025-2026学年高二第一学期2月期末考试数学试题

广东省韶关市2025-2026学年高二第一学期2月期末考试数学试题 全卷满分150分，时间120分钟 2026.2 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上． 2.作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，请用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效． 3.非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效． 一、单项选择题；本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分. 1. 在正项等比数列中，若，则（ ） A. 9 B. 6 C. 3 D. 81 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列的性质，化简即可得出答案. 【详解】根据等比数列的性质结合已知可得. 由于，所以. 故选：C. 2. 已知向量，向量，若，则实数（ ） A. 10 B. 4 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据共线向量的坐标关系求解即可． 【详解】因为，，， 所以，解得. 故选：B. 3. 若直线与直线垂直，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线的一般式方程判断两直线垂直的条件列式，求解可得答案. 【详解】若直线与直线垂直， 则，解得． 故选：C． 4. 双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由离心率的定义得到，再利用关系求出，然后可得渐近线方程. 【详解】因为双曲线的离心率为，即， 由， 所以渐近线方程为. 故选：A 5. 已知向量，则向量在向量上的投影向量（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由向量在向量上的投影向量公式得出结论. 【详解】向量在向量上的投影向量， 故选：D. 6. 如图，二面角的大小为，点A，B分别在半平面内，于点，于点.若，则（ ） A. B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】方法一：在内过点作，且，构造矩形，根据勾股定理结合已知求解即可得出答案；方法二：由已知可知，然后根据数量积的运算律结合已知条件，求解即可得出答案. 【详解】解法一：在内过点作，且，连接，所以为二面角的平面角. 易知平面，而四边形为矩形， 所以，故平面， 因而， ，. 解法二：由， 得，，. 因为， 所以. 所以， ． 故选：C. 7. 若曲线与直线有两个交点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合题意对条件合理转化，并作出符合题意的图形，再利用直线和半圆的位置关系求解参数范围即可. 【详解】由题意得，直线可化为， 可得直线过定点，将曲线化为， 则曲线表示以原点为圆心，半径为2，且位于轴上方的半圆， 如图所示，当直线过点时， 直线与曲线有两个不同的交点，此时， 当直线过点且与半圆相切于点时， 若直线与曲线只有一个交点，由，解得，即， 若曲线与直线有两个交点，结合图形可得， 则实数的取值范围是. 故选：D 8. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.用他的名字命名的函数—高斯函数，其表达式为，其中表示不超过的最大整数，已知数列满足，若为数列的前项和，则（ ） A. 1014 B. 1012 C. 1011 D. 1013 【答案】B 【解析】 【分析】由可得是以4为首项，5为公比的等比数列，求出，利用累加法求出，进而求出，再利用裂项相消法求出，即可求出答案. 【详解】由，得，又， 所以数列是以4为首项，5为公比的等比数列，则， 所以，将上述个式子相加得： ，即. 因为，所以，即， 所以，故， 所以 . 所以. 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或选错的得0分 9. 若数列为等差数列，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 数列单调递增 C. -20是数列中的项 D. 数列前7项和最大 【答案】AD 【解析】 【分析】根据已知条件列出方程组，求出，进而即可判断各项. 【详解】因为数列为等差数列，且，则，解得， 对于A，，故A正确； 对于B，因为，所以数列单调递减，故B错误； 对于C，由，得，故C错误； 对于D，由可得，，解得. 又，所以. 所以数列的前7项均为正数，，所以前7项和最大，故D正确. 故选：AD. 10. 已知拋物线的焦点为为抛物线上不同的两点，则下列说法正确的是（ ） A. 抛物线的焦点到准线的距离为2 B. 若MN的中点横坐标为4，则直线MN的斜率为1 C. 若M、F、N三点共线，则以MN为直径的圆一定与拋物线的准线相切 D. 直线MN的方程为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由标准方程得到焦点坐标和准线方程判断选项A；为抛物线上不同的两点，的中点横坐标为，由斜率公式化简判断选项B；利用抛物线定义证明圆心到准线的距离等于即可判断选项C.由点斜式直接写出直线的方程，将纵坐标用横坐标 表示化简即可判断选项D； 【详解】对于A，抛物线的焦点坐标为，准线方程为， 故抛物线的焦点到准线的距离为2，故A正确； 对于B，直线MN的斜率， 当MN的中点横坐标为4，有，则直线MN的斜率为，故B错误； 对于C，分别过M，N两点作，垂足分别为， 设弦MN的中点为，作，垂足为，则， 故以MN为直径的圆一定与抛物线的准线相切，故C正确. 对于D，由得直线MN的方程为， 即，化简得，故D正确； 故选：ACD. 11. 如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为棱的中点，，分别为线段上的动点，则（ ） A. 点到直线EF的距离为 B. 三棱锥体积的最小值为2 C. 存在点G，H，使得 D. 当平面时，线段GH的最小值为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据给定的几何体建立空间直角坐标系，利用点到直线距离的向量求法求解判断A；利用锥体体积最小值判断B；利用空间位置关系的向量证明判断C；求出的坐标，利用函数求出模长最小值判断D. 【详解】在棱长为2的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 对于A，，则点到直线EF的距离 ，A正确； 对于B，的面积为定值，则当点到平面的距离最短时， 三棱锥的体积最小，显然当点与点重合时，点到平面的距离最短， 最短距离为，则三棱锥体积的最小值为，B错误； 对于C，，设， 则，， 若，则， 即，则，又，存在满足的解，C正确. 对于D，由平面，得平面的一个法向量为， 若平面，则，而，则，即， ，因此， 当时，，D错误. 故选：AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若表示焦点在x轴上的椭圆，则m取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由椭圆焦点的位置及其方程列不等式求参数范围. 【详解】由题设，则. 故答案为： 13. 北京大兴国际机场航站楼是目前全球最大的单体航站楼，其俯瞰轮廓由多条优美的曲线呈放射状构成．若选取其中部分轮廓进行数学建模，在适当坐标系下其曲线可近似为一条双曲线，方程可设为．已知该双曲线的左、右焦点分别为，若航站楼某一重要结构点位于以为直径的圆与该双曲线右支的一个交点上，且满足，则该双曲线的离心率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】结合双曲线定义以及勾股定理化简求解的关系即可. 【详解】如图，点双曲线右支上，则， 因为，所以， 因为点在以为直径的圆上，所以是直角三角形， ，即，化简得，所以离心率. 故答案为：. 14. 如图，在第一象限，圆均与直线和相切，且圆与圆外切，设第个圆的半径为，面积为，若，则__________.（用含有的式子表示） 【答案】 【解析】 【分析】先根据题意结合图形的几何性质推导得出，同理即可得出，进而得出各个圆的面积构成一个等比数列，根据等比数列的前项和公式求解，即可得出答案. 【详解】 设圆与轴的切点为，连接，过作于点， 记直线和的夹角为， 则，结合，可知. 在Rt中，， 故， 因为圆与圆外切，且它们都与轴相切，所以， ， 在Rt中，有，整理得，即. 同理可得，. 所以，可得构成公比为9的等比数列. 首项， 所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知棱长为4的正方体中，分别为AB，BD的中点. （1）求证：； （2）求直线和所成角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）解法一：以为原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系，求出和，根据证明；解法二：通过证明平面，从而得到； （2）求出和，利用向量法求解即可. 【小问1详解】 解法一：如图，以为原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系， 则， ， ， . 解法二：连接，在正方体中有： 平面， 平面， ， 又，平面， 平面， 又平面， . 【小问2详解】 由（1）可得，，， ， ， ，， ， 故直线和所成角的余弦值为. 16. 已知数列的前项和为，且点在函数的图象上. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，利用与关系结合等比数列的通项公式即可求解； （2）利用错位相减法求解即可. 【小问1详解】 因为点在函数图象上， 所以. 当时，，解得； 当时，， 即， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以数列的通项公式为 【小问2详解】 解：由，可得， 则， 则， 两式相减，可得 所以. 17. 已知圆过点，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）若过点的直线交圆于两点，且的面积为2，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）方法一，求出线段的垂直平分线，其与的交点即为圆心，求出的长即为半径，即可求出答案；方法二，设圆方程为，将坐标代入，结合圆心在直线上，求出，化为标准方程即可得答案； （2）设圆心到直线的距离为，根据三角形面积公式或求出，分为直线斜率不存在和存在两种情况，结合点到直线的距离公式即可得到答案. 【小问1详解】 解法一：由题意可得线段的中点坐标为， 直线的斜率， 因此线段的垂直平分线的斜率为1， 所以线段的垂直平分线方程为，即， 又因为圆心在直线上，联立方程：，解得， 即圆心， 半径， 所以圆的标准方程为. 解法二：设圆方程为， 把两点代入得， 又因为圆心在直线上，所以，即， 解得， 所以圆方程为， 即圆的标准方程为. 【小问2详解】 解法一：设圆心到直线的距离为， 所以弦长， 由的面积得：，即， 两边平方整理：， 解得，又因为，所以. ①当直线斜率不存在时， 则直线方程为，圆心到直线距离为，舍去. ②当直线斜率存在时， 设直线的方程为，即， 由点到直线距离公式：，即， 两边平方整理：， 即，解得或， 当时，直线方程为，即， 当时，直线方程为，即， 综上所述，直线的方程为或， 解法二：因为的面积， 所以， 因为，所以， 所以，所以圆心到直线的距离为. （注：后面解题步骤同上） 18. 如图，在四棱锥中，底面，四边形为平行四边形，为侧棱PD上的动点（不包含端点P，D），且， （1）若点为侧棱的中点，则： （i）证明：平面； （ii）求点到平面的距离； （2）若平面与平面夹角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）（i）证明见解析；（ii） （2） 【解析】 【分析】（1）（i）作出辅助线，得到，从而平面； （ii）得到两两垂直，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面的法向量，利用点到平面ACE的距离； （2）设，求出两平面的法向量，根据两平面的夹角余弦值得到方程，求出，设与平面所成角为，得到直线与平面所成角的正弦值. 【小问1详解】 （i）如图，连接交于点，连接， 因为四边形是平行四边形，且点、分别为和中点， 所以， 因为平面平面， 所以平面. （ii）在平行四边形中，因为， 所以在中，由余弦定理可得： ， 所以，所以 因为平面平面ABCD，所以. 所以两两垂直. 以点为坐标原点，所在的直线分别为x，y，z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则. 因为是PD中点，所以. 设平面ACE的法向量为，则. 因为，所以， 令，则，所以. 因为，所以点到平面ACE的距离. 【小问2详解】 设，则. 设平面的法向量为，则. 因为， 所以， 令，则，所以. 设平面PAC与平面ACE的夹角为.因为是平面的一个法向量， 所以. 由题意得，解得（舍去），所以. 设PB与平面ACE所成角为，因为， 所以， 故直线与平面所成角的正弦值为. 19. 已知平面直角坐标系中，动点分别与两定点连线的斜率之积为. （1）求动点的轨迹的方程； （2）已知点，且点为轨迹在第一象限的点，点关于原点的对称点为. （i）设点到直线的距离分别为，求的取值范围； （ii）设轨迹在处的切线为，射线QF交于点.求证：. 【答案】（1） （2）（i）；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到，即可得到动点的轨迹的方程； （2）（i）由椭圆的对称性，得到，求得，结合椭圆的方程，求得，进而得到的取值范围； （ii）设直线，联立方程组，由，结合椭圆的方程，化简得到， 再由直线PN的方程为，令，求得点的坐标，得到， 结合（i）得到，进而得到，结合和，即可证得. 【小问1详解】 解：因为动点分别与两定点连线的斜率之积为， 可得，整理得，其中 则动点的轨迹的方程为； 【小问2详解】 解：（i）由椭圆对称性知四边形为平行四边形， 可得，即， 根据椭圆的定义，可得， 因为为轨迹在第一象限的点，则且， 所以， 则，所以，即，所以的取值范围. （ii）由题知的斜率存在，可设斜率为，可得， 联立方程组，可得， 所以， 整理得，即， 又由，所以， 整理得，即，所以， 再设过点与垂直的直线交轴于点，则直线PN的方程为， 令，可得点的坐标为，则有， 由（i）知，，同理可得， 则有， 又由， 所以， 因为，可得，所以PN平分， 又因为，则， 因为，可得，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省韶关市2025-2026学年高二第一学期2月期末考试数学试题 全卷满分150分，时间120分钟 2026.2 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上． 2.作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，请用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效． 3.非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效． 一、单项选择题；本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分. 1. 在正项等比数列中，若，则（ ） A. 9 B. 6 C. 3 D. 81 2. 已知向量，向量，若，则实数（ ） A. 10 B. 4 C. D. 3. 若直线与直线垂直，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 4. 双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量，则向量在向量上的投影向量（ ） A. B. C. D. 6. 如图，二面角的大小为，点A，B分别在半平面内，于点，于点.若，则（ ） A. B. 7 C. 8 D. 9 7. 若曲线与直线有两个交点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.用他的名字命名的函数—高斯函数，其表达式为，其中表示不超过的最大整数，已知数列满足，若为数列的前项和，则（ ） A. 1014 B. 1012 C. 1011 D. 1013 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或选错的得0分 9. 若数列为等差数列，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 数列单调递增 C. -20是数列中的项 D. 数列前7项和最大 10. 已知拋物线的焦点为为抛物线上不同的两点，则下列说法正确的是（ ） A. 抛物线的焦点到准线的距离为2 B. 若MN的中点横坐标为4，则直线MN的斜率为1 C. 若M、F、N三点共线，则以MN为直径的圆一定与拋物线的准线相切 D. 直线MN的方程为 11. 如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为棱的中点，，分别为线段上的动点，则（ ） A. 点到直线EF的距离为 B. 三棱锥体积的最小值为2 C. 存在点G，H，使得 D. 当平面时，线段GH的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若表示焦点在x轴上的椭圆，则m取值范围是__________. 13. 北京大兴国际机场航站楼是目前全球最大的单体航站楼，其俯瞰轮廓由多条优美的曲线呈放射状构成．若选取其中部分轮廓进行数学建模，在适当坐标系下其曲线可近似为一条双曲线，方程可设为．已知该双曲线的左、右焦点分别为，若航站楼某一重要结构点位于以为直径的圆与该双曲线右支的一个交点上，且满足，则该双曲线的离心率为__________. 14. 如图，在第一象限，圆均与直线和相切，且圆与圆外切，设第个圆的半径为，面积为，若，则__________.（用含有的式子表示） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知棱长为4的正方体中，分别为AB，BD的中点. （1）求证：； （2）求直线和所成角的余弦值. 16. 已知数列的前项和为，且点在函数的图象上. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 17. 已知圆过点，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）若过点的直线交圆于两点，且的面积为2，求直线的方程. 18. 如图，在四棱锥中，底面，四边形为平行四边形，为侧棱PD上的动点（不包含端点P，D），且， （1）若点为侧棱的中点，则： （i）证明：平面； （ii）求点到平面的距离； （2）若平面与平面夹角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值. 19. 已知平面直角坐标系中，动点分别与两定点连线的斜率之积为. （1）求动点的轨迹的方程； （2）已知点，且点为轨迹在第一象限的点，点关于原点的对称点为. （i）设点到直线的距离分别为，求的取值范围； （ii）设轨迹在处的切线为，射线QF交于点.求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $