专题突破练 正弦定理和余弦定理的综合应用 分层同步练习-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

专题突破练　正弦定理和余弦定理的综合应用 一、必备知识基础练 1.在△ABC中,sin A∶sin B∶sin C=3∶2∶3,则cos C的值为(　　) A. B.- C. D.- 2.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.若(a+c-b)(b+c-a)=4,C=60°,则△ABC的面积是(　　) A. B. C. D.2 3.已知△ABC的三边长分别为AB=7,BC=5,CA=6,则的值为(　　) A.19 B.14 C.-18 D.-19 4.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,2acos A=bcos C+ccos B,且a=4sin A,则△ABC周长的最大值为(　　) A.4 B.6 C.4 D.6 5.(2025贵州黔西高一期末)在△ABC中,已知(a+b+c)(b+c-a)=3bc,则角A等于　　　　. 6.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若sin A=2sin B·cos C,且A=,b=1,则=　　　　　;△ABC面积为　　　　　.  7.在△ABC中,A,B,C的对边分别为a,b,c,且bcos C=3acos B-ccos B. (1)求cos B的值; (2)若=2,且b=2,求a和c的值. 8.在①(b+a)(b-a)=c(b-c);②=4;③sin+2cos2=1这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并解答. 问题:已知△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且sin C=2sin B,b=2,　　　　,求△ABC的面积.  二、关键能力提升练 9.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且(a+b)∶(a+c)∶(b+c)=9∶10∶11,则下列结论正确的是(　　) A.sin A∶sin B∶sin C=3∶4∶5 B.△ABC的最大内角是最小内角的2倍 C.△ABC是钝角三角形 D.若c=6,则S△ABC= 10.如图,若圆内接四边形的边长依次为25,39,52和60,则cos A=　　　　,该圆的直径长度为　　　　.  11.在△ABC中,角A,B,C对边分别为a,b,c,若a2=b2+bc,且A∈,求的取值范围. 12.如图,AM是△ABC的边BC上的中线,求证:AM=. 13.在△ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c,满足cos C+cos Acos B=2sin Acos B. (1)求cos B的值; (2)若a+c=2,求b的取值范围. 14.已知△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a+c=3,. (1)求B的大小; (2)若a<b,b=2,求cos的值. 答案 1.A　解析 ∵sin A∶sin B∶sin C=3∶2∶3,由正弦定理的推论,得a∶b∶c=3∶2∶3, 设a=3k,b=2k,c=3k(k>0),则由余弦定理的推论得,cos C=. 2.C　解析 因为(a+c-b)(b+c-a)=4,C=60°, 所以c2-(a-b)2=4,cos C=, 所以c2-b2-a2+2ab=4,b2+a2-c2=ab, 所以ab=4,所以S△ABC=absin C=×4×.故选C. 3.D　解析 由余弦定理的推论,得cos B=, 所以=||||cos(π-B)=7×5×=-19. 4.D　解析 因为2acos A=bcos C+ccos B, 由正弦定理得2sin Acos A=sin Bcos C+sin Ccos B=sin(B+C)=sin A. 因为sin A≠0,所以cos A=,由于A∈(0,π),故A=,则a=4sin=2. 由正弦定理得=4, 故b+c=4sin B+4sin C=4sin B+4sin(B+)=4sin B+2sin B+2cos B=4sin(B+), 又B∈(0,),则B+∈(),所以sin(B+)∈(,1],则b+c∈(2,4], 故△ABC周长的最大值为6.故选D. 5.60°　因为(a+b+c)(b+c-a)=3bc,整理得b2+c2-a2=bc, 由余弦定理可得cos A=. 又0°<A<180°,所以A=60°. 6.　因为sin A=2sin B·cos C,所以a=2b·,解得b=c, 所以B=C=. 又b=1,所以c=b=1,△ABC面积为S△ABC=bcsin A=×1×1×. 7.解 (1)由正弦定理,得sin Bcos C=3sin Acos B-sin Ccos B, 可得sin Bcos C+sin Ccos B=3sin Acos B, 即sin(B+C)=3sin Acos B,可得sin A=3sin Acos B. 又sin A≠0,因此cos B=. (2)由=2,得accos B=2. 由(1)知cos B=,故ac=6, 由余弦定理b2=a2+c2-2accos B,得a2+c2=12, 所以(a-c)2=0,即a=c,所以a=c=. 8.解 因为sin C=2sin B,b=2,所以c=2b=4. 选①:因为(b+a)(b-a)=c(b-c), 整理得b2+c2-a2=bc, 所以cos A=. 又因为A∈(0,π),所以A=. 所以△ABC的面积S=bcsin A=×2×4×=2. 选②:若=4,则||·||cos A=4, 故cos A=. 因为A∈(0,π),所以A=. 所以△ABC的面积S=bcsin A=×2×4×=2. 选③:若sin+2cos2=1, 则cos 2A+cos A=0, 故2cos2A+cos A-1=0,解得cos A=(cos A=-1舍去). 因为A∈(0,π),所以A=. 所以△ABC的面积S=bcsin A=×2×4×=2. 9.B　解析 对于A,由(a+b)∶(a+c)∶(b+c)=9∶10∶11, 可设a+b=9k,a+c=10k,b+c=11k,其中k>0, 相加化简可得a+b+c=15k,解得a=4k,b=5k,c=6k, 根据正弦定理可得sin A∶sin B∶sin C=a∶b∶c=4∶5∶6,故A错误; 对于B,由A可知a=4k,b=5k,c=6k,则a<b<c,即△ABC的最大内角为C,最小内角为A, 由余弦定理可得cos A=>0, 则A∈(0,),则sin A=,cos C=>0,则C∈(0,), cos2A-sin2A=,则cos 2A=cos C. 由2A,C∈(0,π),则C=2A,故B正确; 对于C,由选项B可知△ABC的最大内角C∈(0,),则△ABC为锐角三角形,故C错误; 对于D,由选项A可知a∶b∶c=4∶5∶6,因为c=6,则a=4,b=5, 由选项B可知sin A=,则S△ABC=bcsin A=×5×6×,故D错误.故选B. 10.0　65　解析 由余弦定理得 BD2=392+522-2×39×52cos C, BD2=252+602-2×25×60cos A, ∵A+C=180°, ∴cos C=-cos A. ∵(392-252)-(602-522)+2×39×52cos A+2×25×60cos A=0, ∴cos A=0. ∵0°<A<180°, ∴A=90°, ∴BD2=392+522=652,易知BD为该圆直径, ∴BD=65. 11.解 ∵在△ABC中,a2=b2+bc, 由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos A, ∴b2+bc=b2+c2-2bccos A,整理,得c=b(1+2cos A), ∴a2=b2+b2(1+2cos A)=b2(2+2cos A), ∴. ∵A∈(), ∴cos A∈,可得2+2cos A∈(2,3), ∴∈(),即∈(). 12.证明 设∠AMB=α,则∠AMC=180°-α. 在△ABM中,由余弦定理,得AB2=AM2+BM2-2AM·BMcos α. 在△ACM中,由余弦定理,得AC2=AM2+MC2-2AM·MCcos(180°-α). 因为cos(180°-α)=-cos α,BM=MC=BC, 所以AB2+AC2=2AM2+BC2, 从而AM=. 13.解 (1)因为cos C+cos Acos B=2sin Acos B, 所以-cos(A+B)+cos Acos B=2sin Acos B, 即sin Asin B=2sin Acos B, 因为sin A≠0,所以sin B=2cos B>0, 又因为sin 2B+cos 2B=1,解得cos B=. (2)因为a+c=2,可得c=2-a, 由余弦定理,得b2=a2+c2-2accos B=a2+c2-ac=a2+(2-a)2-a(2-a)=(a-1)2+. 因为0<a<2,所以≤b<2, 所以b的取值范围为. 14.解 (1)由,可得bcos C=2acos B-ccos B, 由正弦定理可得,sin Bcos C+sin Ccos B=2sin Acos B, 所以sin(B+C)=2sin Acos B, 即sin A=2sin Acos B. 因为sin A≠0,所以cos B=,可得B=. (2)由正弦定理可得,a=sin A,c=sin C, 所以3=a+c=sin A+sin C = = ==4sin, 整理可得,sin=, 由a<b可得A<, 故<A+, 所以cos=. 7 学科网（北京）股份有限公司 $