精品解析：江西南昌市外国语学校2025-2026学年上学期高三数学期末测试卷

南昌市外国语学校2025—2026学年上学期 高三数学期末测试卷 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知全集，集合，则（ ）． A. B. C. D. 2. 平面向量，满足，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 3. 已知随机变量的分布列如下表所示，则（ ） 1 2 3 A. B. C. D. 4. 已知函数定义域为，且，若对任意的，都有成立，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知随机变量，且，则的值为（ ） A. 0.2 B. 0.4 C. 0.7 D. 0.35 6. 将函数（）的图像向左平移个单位，得到函数的图像，若函数）的一个极值点是，且在上单调递增，则ω的值为（ ） A. B. C. D. 7. 三棱锥中，，则三棱锥的外接球表面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知椭圆和双曲线具有相同的焦点，，A、B、C、D是它们的公共点，且都在圆上，直线AB与x轴交于点P，直线CP与双曲线交于点Q，记直线AC、AQ的斜率分别为、，若椭圆的离心率为，则的值为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 4 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）． 9. 如图是一块高尔顿板示意图，在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为，用表示小球落入格子的号码，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数与其导函数的定义域均为，且和都是奇函数，且，则下列说法正确的有（ ） A. 关于对称 B. 关于对称 C. 是周期函数 D. 11. 已知对任意角，均有公式.设△ABC的内角A，B，C满足.面积S满足.记a，b，c分别为A，B，C所对的边，则下列式子一定成立的是( ) A. B. C. D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 若复数z满足（i为虚数单位），则________． 13. 已知数列，令为，，…，中的最大值，则称数列为的“控制数列”，中不同数的个数称为“控制数列”的“阶数”.例如：为1，3，5，4，2，则“控制数列”为1，3，5，5，5，其“阶数”为3，若由1，2，3，4，5任意顺序构成，则使“控制数列”的“阶数”为2的所有的个数为______. 14. 已知双曲线的左，右焦点分别为，，过右焦点且倾斜角为直线l与该双曲线交于M，N两点（点M位于第一象限），的内切圆半径为，的内切圆半径为，则为___________. 四、解答题（第15题13分，第16题、17题15分，第18题、19题17分） 15. 如图，在四棱锥中，侧棱矩形，且，过棱的中点，作交于点，连接 （1）证明：； （2）若，平面与平面所成二面角的大小为，求的值． 16. 在数列中. , （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和． 17. 某市每年上半年都会举办“清明文化节”，下半年都会举办“菊花文化节”，吸引着众多海内外游客.为了更好地配置“文化节”旅游相关资源，2023年该市旅游管理部门对初次参加“菊花文化节”的游客进行了问卷调查，据统计，有的人计划只参加“菊花文化节”，其他人还想参加2024年的“清明文化节”，只参加“菊花文化节”的游客记1分，两个文化节都参加的游客记2分.假设每位初次参加“菊花文化节”的游客计划是否来年参加“清明文化节”相互独立，将频率视为概率. （1）从2023年初次参加“菊花文化节”的游客中随机抽取三人，求三人合计得分的数学期望； （2）2024年的“清明文化节”拟定于4月4日至4月19日举行，为了吸引游客再次到访，该市计划免费向到访的游客提供“单车自由行”和“观光电车行”两种出行服务.已知游客甲每天的出行将会在该市提供的这两种出行服务中选择，甲第一天选择“单车自由行”的概率为，若前一天选择“单车自由行”，后一天继续选择“单车自由行”的概率为，若前一天选择“观光电车行”，后一天继续选择“观光电车行”的概率为，如此往复. （i）求甲第二天选择“单车自由行”的概率； （ii）求甲第（，2，，16）天选择“单车自由行”的概率，并帮甲确定在2024年“清明文化节”的16天中选择“单车自由行”的概率大于“观光电车行”的概率的天数. 18. 在直角坐标系中，圆Γ的圆心P在y轴上（不与重合），且与双曲线的右支交于A，B两点．已知． （1）求Ω的离心率； （2）若Ω的右焦点为，且圆Γ过点F，求的取值范围． 19. 设全集为，定义域为的函数是关于x的函数“函数组”，当n取中不同的数值时可以得到不同的函数．例如：定义域为的函数，当时，有若存在非空集合满足当且仅当时，函数在上存在零点，则称是上的“跳跃函数”． （1）设，若函数是上的“跳跃函数”，求集合; （2）设，若不存在集合使为上的“跳跃函数”，求所有满足条件的集合的并集； （3）设，为上的“跳跃函数”，．已知，且对任意正整数n，均有． （i）证明：; （ii）求实数的最大值，使得对于任意，均有的零点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南昌市外国语学校2025—2026学年上学期 高三数学期末测试卷 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知全集，集合，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用交集运算即可求解． 【详解】∵，， 则， 故选：C． 2. 平面向量，满足，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用投影向量的公式即可求解. 【详解】由在上的投影向量为， 故选：B. 3. 已知随机变量的分布列如下表所示，则（ ） 1 2 3 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分布列的性质可得，进而可得，再根据期望的性质分析求解. 【详解】由分布列可得，解得， 则， 所以. 故选：C． 4. 已知函数定义域为，且，若对任意的，都有成立，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件可得在上单调递增，再分类讨论即可求解． 【详解】函数的定义域为R， 当时，， 令函数，依题意，对任意的，恒成立， 因此函数在上单调递增， 当时，则，解得，因此； 当时，函数在单调递增，因此； 当时，则恒成立，因此， 实数a的取值范围是． 故选：B 5. 已知随机变量，且，则的值为（ ） A. 0.2 B. 0.4 C. 0.7 D. 0.35 【答案】B 【解析】 【分析】利用正态分布曲线的对称性求概率即可. 【详解】由题设，且，则， 由正态分布曲线关于对称，则. 故选：B 6. 将函数（）的图像向左平移个单位，得到函数的图像，若函数）的一个极值点是，且在上单调递增，则ω的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由函数的图像平移变换得到函数，再根据正弦函数的图像性质得到是函数一条对称轴，从而得出（）， 结合正弦函数的周期与单调性的关系得到，即可得到答案. 【详解】由题意得：， 又函数）的一个极值点是，即是函数一条对称轴， 所以，则（）， 函数 在上单调递增，则函数的周期， 解得，则，， 故选：A. 7. 三棱锥中，，则三棱锥的外接球表面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先将三棱锥画在长方体方体中，并建立空间直角坐标系，由题目条件分析出点P的轨迹方程，再有三棱锥的外接球的球心满足，找到球心满足的条件，再求出其最值，从而找到半径的最小值，解决问题. 【详解】 如图，将三棱锥画在长方体方体中，并建立空间直角坐标系， 由，由面，可知P点在面上， 又，面，所以为直角三角形， 故，即P点轨迹为以D为圆心，半径为4，在上的圆， 设点，则 —①， 因为为等腰直角三角形，所以三棱锥的外接球的球心在直线上， 设点，由，得—②， 联立①②得：， 设过点和点的直线斜率为，则， 由直线与圆相切，可得， 则，所以，所以． 故选：C 8. 如图，已知椭圆和双曲线具有相同的焦点，，A、B、C、D是它们的公共点，且都在圆上，直线AB与x轴交于点P，直线CP与双曲线交于点Q，记直线AC、AQ的斜率分别为、，若椭圆的离心率为，则的值为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】设椭圆方程为，双曲线方程为，根据椭圆离心率得到，故椭圆方程为，联立求出点坐标，从而由对称性得到点坐标，表达出，将点代入双曲线方程，结合得到，，得到双曲线方程，联立，得到两根之和，两根之积，表达出，从而求出，得到乘积. 【详解】设椭圆方程为，双曲线方程为， 则， 由可得， 因为，所以， 故椭圆方程为， 联立可得：，， 则， 由对称性可知A、C两点关于原点对称，A、B两点关于轴对称， 则，， 所以，故， 直线， 代入中得，①， 又②， ②①结合得到或， 因为，显然，故，所以， 故双曲线方程为， 联立与得：， 设， 则，解得：， 故， 所以， 所以，其中， 故. 故选：D 【点睛】椭圆和双曲线共焦点时，焦距成为联系两个曲线的桥梁，要根据题目条件列出方程，寻找到椭圆中长半轴，短半轴，和双曲线中实半轴，虚半轴的关系，再求解离心率或其他相关问题， 共焦点的椭圆和双曲线的重要结论： ①具有公共焦点的椭圆和双曲线离心率分别为，为它们的一个交点，且，则； ②若点是椭圆与双曲线的一个公共点，且它们在处的切线互相垂直，则椭圆与双曲线有公共焦点. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）． 9. 如图是一块高尔顿板示意图，在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为，用表示小球落入格子的号码，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】分析得到，进而利用二项分布求概率公式求出相应的概率，利用二项分布求期望和方差. 【详解】设“向右下落”， “向左下落”，则， 因为小球最后落入格子的号码等于事件发生的次数，而小球下落的过程中共碰撞小木钉10次， 所以，于是，同理可得：，A正确，B错误； 由二项分布求期望及方差公式得：，，C错误，D正确. 故选：AD 10. 已知函数与其导函数的定义域均为，且和都是奇函数，且，则下列说法正确的有（ ） A. 关于对称 B. 关于对称 C. 是周期函数 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A,根据为奇函数，得到关系式，两边求导即可判断；对于B，利用的图象可以由向左平移1个单位即可判断；对于C,根据是奇函数及关于对称得到关系式，综合分析即可求得周期；对于D,结合已知条件可求得的值，进一步计算即可. 【详解】因为为奇函数，所以， 所以，即， 所以的图象关于直线对称.故A正确； 因为为奇函数，则其图象关于对称， 向左平移一个单位后得到的图象， 则的图象关于对称，故B错误； 因为为奇函数，则， 则有， 所以①, 又， 则②, 由①②， 则， 则，， 则， 所以8是函数的一个周期.， 是周期函数，故C正确； 因为，， 所以， ， 所以， 故D正确， 故选：ACD. 11. 已知对任意角，均有公式.设△ABC的内角A，B，C满足.面积S满足.记a，b，c分别为A，B，C所对的边，则下列式子一定成立的是( ) A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】结合已知对进行变形化简即可得的值，从而判断A；根据正弦定理和三角形面积，借助于△ABC外接圆半径R可求的范围，从而判断B；根据的值，结合△ABC外接圆半径R即可求abc的范围，从而判断C；利用三角形两边之和大于第三边可得，从而判断D﹒ 【详解】∵△ABC的内角A、B、C满足， ∴，即， ∴， 由题可知，， ∴， ∴ ∴， ∴有，故A错误； 设△ABC的外接圆半径为R， 由正弦定理可知，， ∴， ∴，∴，故B错误； ，故C正确； ，故D正确． 故选：CD． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 若复数z满足（i为虚数单位），则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据复数除法运算结合复数模的公式即可得到答案. 【详解】由题意得， 则， 故答案为：. 13. 已知数列，令为，，…，中的最大值，则称数列为的“控制数列”，中不同数的个数称为“控制数列”的“阶数”.例如：为1，3，5，4，2，则“控制数列”为1，3，5，5，5，其“阶数”为3，若由1，2，3，4，5任意顺序构成，则使“控制数列”的“阶数”为2的所有的个数为______. 【答案】50 【解析】 【分析】根据新定义，利用分类加法计数原理和排列求出满足条件的数列的个数． 【详解】当由1，5构成时，则，为的一个排列， 故满足条件的数列有个； 当由2，5构成时，则，为的一个排列， 或，为的一个排列， 故满足条件的数列有个； 当由3，5构成时，则，为的一个排列， 且数字4排在5的后面， 故满足条件的数列有个； 当由4，5构成时，则，为的一个排列， 故满足条件的数列有个. 由分类加法计数原理可得满足条件的数列共有50个. 故答案为：50. 14. 已知双曲线的左，右焦点分别为，，过右焦点且倾斜角为直线l与该双曲线交于M，N两点（点M位于第一象限），的内切圆半径为，的内切圆半径为，则为___________. 【答案】## 【解析】 【分析】设，，，利用双曲线的定义可得，作出图形，结合图形分析，可知与直线的倾斜角相等，利用直角三角形中的边角关系，即求. 【详解】设的内切圆为圆，与三边的切点分别为，如图所示， 设，，，设的内切圆为圆， 由双曲线的定义可得，得， 由此可知，在中，轴于点，同理可得轴于点， 所以轴， 过圆心作的垂线，垂足为， 因为， 所以， ∴，即 ∴，即 故答案为：. 【点睛】关键点点睛，得到是关键，说明轴，同时直线的倾斜角与大小相等，计算即得. 四、解答题（第15题13分，第16题、17题15分，第18题、19题17分） 15. 如图，在四棱锥中，侧棱矩形，且，过棱的中点，作交于点，连接 （1）证明：； （2）若，平面与平面所成二面角的大小为，求的值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证平面，得，再证平面，得，然后证明平面，得证； （2）以为原点，射线分别为轴的正半轴，建立空间直角坐标系，由空间向量法求二面角得的长，然后利用棱锥体积公式计算． 【小问1详解】 证明：因为平面，平面，所以， 由底面为矩形，有，而，平面， 所以平面，又平面，所以． 又因为，点是的中点，所以． 而，平面，所以平面，平面， 所以， 又，，平面， 所以平面，而平面， 所以得证． 【小问2详解】 如图，以为原点，射线分别为轴的正半轴，建立空间直角坐标系． 因为，设，（）， 则，，点是的中点，所以， 由，所以是平面的一个法向量； 由（1）知，，所以是平面的一个法向量． 因为平面与平面所成二面角的大小为， 则，解得（负值舍去）． 所以， ． 16. 在数列中. , （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由,可得数列是首项为4，公差为2的等差数列，从而可得的通项公式； （2）由（1）可得 ，利用裂项相消法可得数列的前项和. 【小问1详解】 的两边同时除以， 得, 所以数列是首项为4，公差为2的等差数列． 易得，所以． 【小问2详解】 由（1）知 ， 所以 ． 17. 某市每年上半年都会举办“清明文化节”，下半年都会举办“菊花文化节”，吸引着众多海内外游客.为了更好地配置“文化节”旅游相关资源，2023年该市旅游管理部门对初次参加“菊花文化节”的游客进行了问卷调查，据统计，有的人计划只参加“菊花文化节”，其他人还想参加2024年的“清明文化节”，只参加“菊花文化节”的游客记1分，两个文化节都参加的游客记2分.假设每位初次参加“菊花文化节”的游客计划是否来年参加“清明文化节”相互独立，将频率视为概率. （1）从2023年初次参加“菊花文化节”的游客中随机抽取三人，求三人合计得分的数学期望； （2）2024年的“清明文化节”拟定于4月4日至4月19日举行，为了吸引游客再次到访，该市计划免费向到访的游客提供“单车自由行”和“观光电车行”两种出行服务.已知游客甲每天的出行将会在该市提供的这两种出行服务中选择，甲第一天选择“单车自由行”的概率为，若前一天选择“单车自由行”，后一天继续选择“单车自由行”的概率为，若前一天选择“观光电车行”，后一天继续选择“观光电车行”的概率为，如此往复. （i）求甲第二天选择“单车自由行”的概率； （ii）求甲第（，2，，16）天选择“单车自由行”的概率，并帮甲确定在2024年“清明文化节”的16天中选择“单车自由行”的概率大于“观光电车行”的概率的天数. 【答案】（1）4 （2）（i）； （ii）；2天 【解析】 【分析】（1）由合计得分可能的取值，计算相应的概率，再由公式计算数学期望即可； （2）（i）利用互斥事件的加法公式和相互独立事件概率乘法公式求概率．； （ii）由题意，求与的关系，通过构造等比数列，求出，再由求出对应的n. 【小问1详解】 由题意，每位游客得1分的概率为，得2分的概率为， 随机抽取三人，用随机变量表示三人合计得分，则可能的取值为3，4，5，6， ，， ，， 则. 所以三人合计得分的数学期望为4. 【小问2详解】 第一天选择“单车自由行”的概率为，则第一天选择“观光电车行”的概率为， 若前一天选择“单车自由行”，后一天继续选择“单车自由行”的概率为， 若前一天选择“观光电车行”，后一天继续选择“观光电车行”的概率为，则后一天选择“单车自由行”的概率为， （i）甲第二天选择“单车自由行”的概率； （ii）甲第天选择“单车自由行”的概率，有， 则 ，， ∴， 又∵，∴， ∴数列是以为首项，以为公比的等比数列， ∴． 由题意知，需，即， ，即， 显然n必为奇数，偶数不成立， 当时，有即可， 时，成立； 时，成立； 时，，则时不成立， 又因为单调递减，所以时，不成立． 综上，16天中选择“单车自由行”的概率大于“观光电车行”的概率的天数只有2天． 【点睛】关键点睛：本题第2小问的解决关键是利用全概率公式得到，从而利用数列的相关知识求得，从而得解. 18. 在直角坐标系中，圆Γ的圆心P在y轴上（不与重合），且与双曲线的右支交于A，B两点．已知． （1）求Ω的离心率； （2）若Ω的右焦点为，且圆Γ过点F，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由点差法与直线与圆的性质分别得到与直线的斜率有关的等量关系，结合已知条件将坐标化，得，再结合两斜率关系，整体消元可得，从而求出斜率； （2）将化斜为直，转化为坐标表示，再由韦达定理代入得关于的函数解析式，求解值域即可. 【小问1详解】 设，，则线段中点 由题意不与重合，则，由在双曲线右支上，则， 所以斜率存在且不为. 由在双曲线上，则，且， 两式作差得， 所以有， 故①， 由圆Γ的圆心P在y轴上（P不与O重合），设， 由题意， 则， 化简得，由，得， 由圆Γ的圆心为，弦中点为，所以， 则，即②， 由①②得，，则， 故Ω的离心率为. 【小问2详解】 由Ω的右焦点为，得， 由（1）知，，所以有，故双曲线的方程为. 设圆的方程为，由圆Γ过点，则， 则圆的方程可化为， 联立，消化简得， ， 其中，，则有， 由， 同理， 所以， 其中， 令，则， 所以， 设，， 由函数在单调递增，则，即， 所以有， 故, . 【点睛】方法点睛：圆锥曲线最值范围问题，关键在把要求最值（范围）的几何量、代数式转化为某个（些）参数的函数，然后利用函数、不等式方法进行求解. 19. 设全集为，定义域为的函数是关于x的函数“函数组”，当n取中不同的数值时可以得到不同的函数．例如：定义域为的函数，当时，有若存在非空集合满足当且仅当时，函数在上存在零点，则称是上的“跳跃函数”． （1）设，若函数是上的“跳跃函数”，求集合; （2）设，若不存在集合使为上的“跳跃函数”，求所有满足条件的集合的并集； （3）设，为上的“跳跃函数”，．已知，且对任意正整数n，均有． （i）证明：; （ii）求实数的最大值，使得对于任意，均有的零点． 【答案】（1） （2） （3）（i）证明见解析； 首先用数学归纳法证明：对任意正整数，有. 当时，有，故结论成立； 假设结论对成立，即，则有： ，故结论对也成立. 综上，对任意正整数，有. 题目命题等价于，对，在上有零点当且仅当是偶数，下面证明该结论： 当为奇数时，对，有，所以在上没有零点； 当为偶数时，对，有，而，，从而在上一定存在零点，所以在上一定有零点. 综上，对，在上有零点当且仅当是偶数，结论得证. （ii）2 【解析】 【分析】（1）将命题等价转化为求使得在上有零点的全体，然后利用当时，的取值范围是，得到，即可得解； （2）将命题等价转化为求使得在上没有零点的全体，然后通过分类讨论即可解决问题； （3）先用数学归纳法证明，然后将（i）等价转化为证明对，在上有零点当且仅当是偶数，再分类讨论证明；之后，先证明在上的零点必定大于，再证明当时，必存在正整数使得在上有一个满足的零点，即可解决（ii）. 【小问1详解】 根据题意，所求的为使得在上有零点的全体. 由于在上有零点等价于关于的方程在上有解，注意到当时，的取值范围是，故关于的方程在上有解当且仅当，从而所求. 【小问2详解】 根据题意，不存在集合使为上的“跳跃函数”，当且仅当对任意的，在上都不存在零点. 这表明，全体满足条件的的并集，就是使得在上不存在零点的全体构成的集合. 从而我们要求出全部的，使得在上没有零点，即关于的方程在上没有解. 该方程在上可等价变形为，然后进一步变形为. 设，则我们要求出全部的，使得在上没有零点. 当时，由于，，故在上必有一个零点，从而在上有零点； 当时，由于，，故在上必有一个零点，从而在上有零点； 当时，对，我们有： ， 由于两个不等号的取等条件分别是和，而这无法同时成立（否则将推出），故此时对都有，从而在上一定没有零点. 综上，使得在上没有零点的构成的集合为，故所求的集合为. 【小问3详解】 （i）略 （ii）我们需要求实数的最大值，使得对于任意，均有的零点. 根据（i）的讨论，在上有零点当且仅当是偶数，所以我们需要求实数的最大值，使得对于任意，均有的零点. 我们现在有，由于当时，有，故在上的零点必定大于. 而对任意给定的，我们定义函数，则. 取，则当时，有，这表明在上单调递减，所以当时，有，从而. 取正整数，使得，且，则我们有，但我们又有，这表明在上必有一个零点，从而在上必有一个满足的零点. 综上所述，的最大值是. 【点睛】关键点点睛：在（3）的（ii）中，我们先证明在上的零点必定大于，再证明当时，必存在正整数使得在上有一个满足的零点，即可得到的最大值是，这是求解最值问题的一个较为有用的论证方法. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $