精品解析：河南巩义市2025-2026学年上学期期末考试高二数学试题

2025—2026学年上学期期末考试 高二年级数学试题卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写，字体工整､笔迹清楚. 3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效. 4.考试结束后，将答题卡交回. 第I卷（选择题共58分） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.请把正确的选项涂在答题卡相应的位置上. 1. 若直线的一个方向向量为，则它的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出直线的斜率，利用直线斜率与倾斜角的关系可得出结果. 【详解】因为直线一个方向向量为，则该直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，则，， 所以， 故该直线的倾斜角为. 故选：C. 2. 已知等差数列的前项和为，若，则（　　） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式与前项和公式求解即可. 【详解】设等差数列首项为，公差为， 则，解得， 所以. 故选：D. 3. 若两平行直线与之间的距离是，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用两直线平行的充要条件及平行直线间的距离公式计算即可. 【详解】因为直线与平行， 所以有，所以有， 又因为这两条平行线间距离为， 所以有，或舍去， 所以. 故选：D. 4. 如图，空间四边形，点在上，且，点为中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间向量的线性运算可得出关于的表达式. 【详解】连接，如下图所示： 因为点为中点，则， 又， 所以， 故选：B. 5. 已知数列满足：，则数列的前4项和（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，利用数列的递推公式，分别求得的值，即可求解. 【详解】由数列满足：，可得， 因为，可得，，， 所以. 故选：D. 6. 如图，在空间四面体中，已知，，则异面直线与所成角是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由空间向量的加法运算可得，两边平方并化简可得，从而可得异面直线与所成角的大小. 【详解】由空间向量得，两边平方得， 整理得，所以，则，故异面直线与所成角为． 故选：C. 7. 圆，圆，则圆与（ ） A. 相离 B. 有3条公切线 C. 关于直线对称 D. 公共弦所在直线方程为 【答案】C 【解析】 【分析】求出两圆的圆心及半径、两圆的圆心距离判断ABD；求出线段的中垂线方程判断C. 【详解】由题意有：圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径，， 圆与圆相交，有2条公切线，故AB错误； 对于D，两圆方程相减得公共弦所在直线方程，故D错误； 对于C，线段的中垂线的斜率为，过线段的中点，该中垂线方程为， 又圆与圆是等圆，它们关于线段的中垂线对称，故C正确. 故选：C. 8. 已知分别是双曲线的左､右焦点，为双曲线右支上一点，的角平分线交轴于点，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用角平分线性质及双曲线定义，结合余弦定理建立方程求出离心率. 【详解】由的角平分线交轴于点，得， 而，则，， 在中，，由余弦定理得， 整理得，即，则， 所以双曲线的离心率为. 故选：B 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知等比数列的公比为，前项和为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 数列是公差为1的等差数列 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】先结合已知条件求得，，再依次讨论各选项即可得答案. 【详解】因为， 所以，解得，故A选项错误； 所以，解得， 所以，，故B选项正确； 因为，， 所以，即数列是公差为1的等差数列，故C选项正确； 所以，故D选项错误. 故选：BC 10. 如图，在棱长为1的正方体中，为边的中点，点在底面内运动（包括边界），则下列说法正确的有（ ） A. 当点与重合时，有 B. 点到平面的距离为 C. 点到直线的距离为1 D. 点在棱上，且，存在点，使得 【答案】ABD 【解析】 【分析】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得，得到，可判定A正确；求得平面的法向量，结合距离公式，可判断B正确；利用向量的公式，求得点到直线的距离，可判定C错误；由，得到，根据，求得点的轨迹，可判定D正确. 【详解】以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 由正方体的棱长为1，设， 可得， 对于A，当点与重合时，可得向量， 可得，即，所以，所以A正确； 对于B，由向量， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 则点到平面的距离为，所以B正确； 对于C，由向量， 所以点到直线的距离为，所以C错误； 对于D，因为，可得，所以， 若，又量， 则， 整理得，该方程表示以为圆心，半径为的圆， 因为，且， 所以点的轨迹是圆被正方形所截得的四段圆弧， 所以存在点，使得，所以D正确. 故选：ABD. 11. 已知曲线，点在曲线上，则下列结论中，正确的是（ ） A. 曲线既是中心对称又是轴对称图形 B. 曲线围成的图形的面积为 C. 的最小值为 D. 点到直线的距离的最大值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据曲线方程对称性的判定方法，可判定A正确；分类讨论化简方程，得到曲线围成的图形的面积为四个半圆的面积与边长为的正方形面积之和，求得其面积，可判定B正确；由表示点与点的连线的斜率，设切线方程为，列出方程，求得斜率的值，可判定C正确；求得点到直线的距离，得到点到直线的距离的最大值，可判定D错误. 【详解】对于A，由曲线， 用代替，可得，即，所以曲线关于轴对称； 用代替，可得，即，所以曲线关于轴对称； 用代替，代替，方程仍为，所以曲线关于原点轴对称， 所以曲线既是中心对称又是轴对称图形，所以A正确； 对于B，当时曲线方程可化为； 当时曲线的方程可化为； 当时曲线的方程可化为； 当时曲线的方程可化为， 曲线的图像如图所示， 由图像可知，曲线围成的图形的面积为四个半圆的面积与边长为的正方形面积之和， 所以曲线围成图形的面积为，所以B正确. 对于C，由表示点与点的连线的斜率， 由曲线围成图形知，当（其中）与直线相切时， 取得最小值， 设切线方程为，其中，则， 解得或（舍去），所以的最小值为，所以C正确； 对于D，由点到直线的距离为， 结合曲线围成图形知，点到直线的距离的最大值为，所以D错误. 故选：ABC. 第II卷（非选择题共92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知方程表示椭圆，则的取值范围为_____ 【答案】 【解析】 【分析】根据椭圆方程的特征得到不等式，求出答案. 【详解】由题意得且，解得. 故答案为： 13. 在空间直角坐标系中，平面的一个法向量的坐标为，直线的一个方向向量的坐标为，则直线与平面所成角的余弦值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用向量的夹角公式求，再利用平方关系求即可. 【详解】设平面的一个法向量为，直线的一个方向向量， 设直线与平面所成角为，所以， 所以， 故答案为：. 14. 若正整数、的公约数只有，则称、互质.对于正整数，是小于或等于的正整数中与互质的数的个数.函数以其首名研究者欧拉的名字命名，称为欧拉函数，例如：，，，.若数列的前项和为，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据的定义求得和，进而是以为首项，为公比的等比数列，结合等比数列前n项和公式计算即可求解. 【详解】小于等于的正整数有、、、， 与不互质的数是的倍数，即、、、，共个， 所以与互质的数有个，即； 小于等于的正整数有、、、， 与不互质的数是的倍数，即、、、，共个， 所以与互质的数有个，即； 所以， 令，所以，且， 故数列是以为首项，为公比的等比数列，则. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知动点到直线的距离与到点距离相等，设动点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）直线与曲线交于两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的定义，得到动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，进而求得抛物线的标准方程； （2）根据题意，利用“点差法”求得所求直线的斜率，进而得到所求直线方程. 【小问1详解】 由题意知，动点到直线的距离与到点距离相等， 根据抛物线的定义，可得动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， 可得，解得，所以曲线的方程为. 【小问2详解】 设，可得， 两式相减得， 线段的中点坐标为，可得在抛物线内部， 所以，可得， 又由，可得， 所以直线的斜率， 故直线的方程为，即. 16. 已知圆过两点，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）求过点的圆的切线方程. 【答案】（1） （2）或； 【解析】 【分析】（1）根据题意，设圆心为，再由，列出方程，求得，即可求得圆的标准方程； （2）当过点的直线斜率不存在，则直线方程为，符合题意；②当过点的直线斜率存在，设直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，列出方程，求得 的值，即可求解. 【小问1详解】 解：因为圆心在直线上，设圆心为， 因为点在圆上，可得， 所以，即， 解得，所以圆心，且半径， 所以圆的标准方程为：. 【小问2详解】 解：由（1）知：圆，且圆心，半径， 因为，则点在圆外， ①当过点的直线斜率不存在，则直线方程为， 圆心到直线的距离为2，故直线为圆的切线； ②当过点的直线斜率存在，可设直线方程，即，圆心到该直线的距离， 由直线与圆相切，则，即， 整理得，解得， 此时，直线方程为，即； 综上可得，切线的方程为或. 17. 在正四棱柱中，已知，点满足，. （1）证明：四点共面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）. 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，证即可.（2）分别求出两个平面的法向量，利用向量法求解即可. 【小问1详解】 以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 设，则，所以. 因为， 所以. 所以， 所以， 所以四点共面. 【小问2详解】 因为平面， 所以平面的一个法向量为. 因为所以. 设平面的法向量为， 则，即， 取，则，所以. 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 18. 已知等比数列的前项和为，且. （1）求数列通项公式； （2）求数列满足,求数列的前项和； （3）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为等差数列，在数列中是否存在3项（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）不存在，理由见解析 【解析】 【分析】（1）先利用作差法，消去前项和，再通过时的式子确定首项，代入公式进而得到通项； （2）先将分段数列按“奇数项、偶数项”拆分为两个基本数列（等差数列+等比数列），再利用等差数列、等比数列的求和公式计算两组的和，最后合并结果即可； （3）先假设存在满足条件的项，结合等比、等差数列的性质建立等式，再运用基本不等式的性质判断即可. 【小问1详解】 解：由数列满足， 当时，， 当时，， 两式相减，可得， 整理得，即， 又，且是等比数列，则其公比为4， 所以，即， 所以的通项公式为：； 故答案为：. 【小问2详解】 由题意，，则前项中： 奇数项：，共项， 是首项为3，公差为4的等差数列（因为，相邻两项差为4）， 则： 偶数项：，共项，对应， 是首项为4，公比为16等比数列（）， 则： 因此前项和为： . 故. 【小问3详解】 由（1）知，，因为， 所以，整理得： 所以，即， 因为成等差数列，即（）， 假设成等比数列，则，代入的表达式： ，化简得：， 由，得，故：， 结合，， 等号仅当时成立，这与题设(互不相等）矛盾. 故数列中不存在3项（其中成等差数列）成等比数列. 19. 已知椭圆，焦距为4，椭圆上的点到两焦点的距离之和为. （1）求椭圆的标准方程； （2）设斜率为的直线过椭圆的右焦点，交椭圆于两点.记线段的中点为，直线交直线于点（为坐标原点），直线交椭圆于两点. ①求证：； ②求四边形面积的最小值. 【答案】（1） （2）①证明见解析；②3 【解析】 【分析】（1）根据题意，列出关于的方程组，求得的值，即可得到椭圆的标准方程； （2）①设直线的方程为，联立方程组，求得， ，得到点，得出，进而求得，结合，即可求解； ②利用弦长公式，求得和，得到四边形的面积，结合基本不等式，即可求解. 【小问1详解】 解：因为椭圆，焦距为4，椭圆上的点到两焦点的距离之和为， 可得，解得 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 解：①由（1）知点，则直线的方程为， 联立方程组，整理得， 设，则， 且，则， 所以线段的中点为，所以直线的斜率， 则直线交直线于点. 因此直线的斜率， 所以，则直线与直线垂直，所以. ②由①和弦长公式，可得 ， 直线的方程为， 同理可得：， 因此四边形的面积 ， 因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以， 所以四边形面积的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年上学期期末考试 高二年级数学试题卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写，字体工整､笔迹清楚. 3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效. 4.考试结束后，将答题卡交回. 第I卷（选择题共58分） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.请把正确的选项涂在答题卡相应的位置上. 1. 若直线的一个方向向量为，则它的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知等差数列的前项和为，若，则（　　） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 3. 若两平行直线与之间的距离是，则（ ） A B. C. D. 4. 如图，空间四边形，点在上，且，点为中点，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知数列满足：，则数列的前4项和（ ） A 7 B. 8 C. 9 D. 10 6. 如图，在空间四面体中，已知，，则异面直线与所成角是（ ） A. B. C. D. 7. 圆，圆，则圆与（ ） A. 相离 B. 有3条公切线 C. 关于直线对称 D. 公共弦所在直线方程为 8. 已知分别是双曲线的左､右焦点，为双曲线右支上一点，的角平分线交轴于点，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 3 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知等比数列的公比为，前项和为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 数列是公差为1的等差数列 D. 10. 如图，在棱长为1的正方体中，为边的中点，点在底面内运动（包括边界），则下列说法正确的有（ ） A. 当点与重合时，有 B. 点到平面的距离为 C. 点到直线的距离为1 D. 点棱上，且，存在点，使得 11. 已知曲线，点在曲线上，则下列结论中，正确是（ ） A. 曲线既是中心对称又是轴对称图形 B. 曲线围成的图形的面积为 C. 的最小值为 D. 点到直线的距离的最大值为 第II卷（非选择题共92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知方程表示椭圆，则的取值范围为_____ 13. 在空间直角坐标系中，平面的一个法向量的坐标为，直线的一个方向向量的坐标为，则直线与平面所成角的余弦值为__________. 14. 若正整数、的公约数只有，则称、互质.对于正整数，是小于或等于的正整数中与互质的数的个数.函数以其首名研究者欧拉的名字命名，称为欧拉函数，例如：，，，.若数列的前项和为，则__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知动点到直线距离与到点距离相等，设动点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）直线与曲线交于两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程. 16. 已知圆过两点，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）求过点的圆的切线方程. 17. 在正四棱柱中，已知，点满足，. （1）证明：四点共面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 18. 已知等比数列的前项和为，且. （1）求数列通项公式； （2）求数列满足,求数列的前项和； （3）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由. 19. 已知椭圆，焦距为4，椭圆上的点到两焦点的距离之和为. （1）求椭圆的标准方程； （2）设斜率为的直线过椭圆的右焦点，交椭圆于两点.记线段的中点为，直线交直线于点（为坐标原点），直线交椭圆于两点. ①求证：； ②求四边形面积的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $