精品解析：湖南省长沙市长郡中学2025-2026学年高三上学期2月期末数学试题

高三数学 本试卷共6页.时量120分钟.满分150分. 一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项目要求的.）. 1. 若复数z满足则的虚部为（ ） A. 1 B. C. -1 D. 2. 已知集合，则（ ） A. -2 B. C. D. 1 3. 直线和直线，则“”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知某放射性物质的质量N随时间t（单位：年）的衰变规律满足表示原有的某种物质的质量）.经过测定，学堂梁子遗址中某件石制品化石样本中的该种物质的质量是原来的倍，据此推测该石制品生产的时间距今约（ ）（参考数据：） A. 800年 B. 810年 C. 900年 D. 920年 5. 已知则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 设且则（ ） A. B. C D. 7. 定义在上的奇函数满足，且时，则=（ ） A. B. C. D. 8. 已知数列的前项和为，且满足，，若对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列说法正确有（ ） A. 数据2，3，5，7，11，13的第75百分位数为7，中位数为6 B. 一组数据的标准差为0，则这组数据中的数值均相等 C. 若随机变量满足则 D. 一个医疗队有男医生36人，女医生24人，分层抽样抽取了一个5人小分队，现将这5人分配去三个医院指导工作，每个医生去一个医院且每个医院至少有一名医生，女医生去同一个医院，共有36种分配方式 10. 如图，正方体的棱长为2，E是的中点，则（ ） A. 三棱锥的体积为 B. 平面 C. 三棱锥的外接球的表面积为 D. 由三点确定的平面与正方体相交形成的截面周长为 11. 双曲线的左､右焦点分别为F₁，F₂，具有公共焦点的椭圆与双曲线在第一象限的交点为P，双曲线和椭圆的离心率分别为，，的内切圆的圆心为I，过作直线PI的垂线，垂足为D，则（ ） A. 若PI延长线交x轴于点N，则 B. 点D的轨迹在圆上 C. 若则 D. 若，则 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，） 12. 已知向量满足，若向量在向量方向上的投影向量的坐标为，则__________. 13. 若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 . 14. 已知面积为分别是的中点，若，则BC长度的最小值为__________. 四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15. 某高校拟与某网络平台合作组织学生参加与AI知识有关的网络答题活动，为了解男女学生参与答题意愿的差异，男生､女生各取100人.设事件“学生愿意报名参加答题活动”，“学生为男生”，据统计 （1）根据已知条件，完成下列2×2列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否推断该校学生报名参加答题活动的意愿与性别有关？ 性别 男生 女生 合计 不愿报名参加答题活动 愿意报名参加答题活动 合计 200 （2）网络答题规则：假设甲每道题回答是否正确相互独立，且每次答对的概率均为若答题活动设置4道题，且答题规则如下：每次答一题，一旦答对，则结束答题；答错则继续答题，直到4道题答完.已知甲同学报名参加答题活动，用X表示在本次答题的题目数量，求X的分布列和期望. 参考公式与数据：其中. 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16. 如图，四棱锥中，底面是矩形，M是的中点，平面. （1）证明： （2）若点P是棱上的动点，直线AP与平面AMC所成角的正弦值为求的值. 17. 已知椭圆的左､右焦点为点P是椭圆上任意一点，的最小值是. （1）求椭圆M的方程. （2）直线与椭圆M交于D，E两点，O为坐标原点.试求当t为何值时，恒为定值？并求此时面积的最大值. 18. 设数列的前n项和为已知 （1）求的通项公式. （2）在与之间插入n个数，使这n+2个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项（其中m，k，p成公差不为零的等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由. （3）已知函数，其中[x]表示不超过x最大整数，设数列的前n项和为求除以16的余数. 19. 已知函数 （1）当时，若对任意不等式恒成立，求实数a的取值范围. （2）当在有解，求实数k的取值范围. （3）当函数有两个极值点且时，是否存在实数m，总有成立？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 本试卷共6页.时量120分钟.满分150分. 一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项目要求的.）. 1. 若复数z满足则虚部为（ ） A. 1 B. C. -1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的除法求出z，再求出即可得解. 【详解】由，故，所以的虚部为1. 故选：A. 2. 已知集合，则（ ） A. -2 B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据交集元素 (1,3) 同时属于集合 和 ，将其代入两个集合对应的方程，得到关于、的方程组，解方程组即可求出、 的值. 【详解】由题可得，解得，所以. 故选：B. 3. 直线和直线，则“”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】先由两直线互相垂直可得或，再结合充分必要条件定义即可得解. 【详解】，则，即，解得或， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：B. 4. 已知某放射性物质的质量N随时间t（单位：年）的衰变规律满足表示原有的某种物质的质量）.经过测定，学堂梁子遗址中某件石制品化石样本中的该种物质的质量是原来的倍，据此推测该石制品生产的时间距今约（ ）（参考数据：） A. 800年 B. 810年 C. 900年 D. 920年 【答案】C 【解析】 【分析】由题意得等量关系，由该等量关系结合对数运算性质即可计算求解. 【详解】由题要使得某放射性物质的质量是原来的倍，可得，即， 两边取自然对数可得，即， 所以年. 故选：C 5. 已知则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】因为，所以， 设，则， 则， 当且仅当，即时等号成立 故选：D. 6. 设且则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由题设切化弦、结合两角和正弦公式和诱导公式得到即可分析计算求解. 【详解】由题， 所以， 因，， 所以，，， 所以或， 解得或（舍去）. 故选：A 7. 定义在上的奇函数满足，且时，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出函数的周期，结合函数的奇偶性，转化求解函数值即可． 【详解】定义在上的奇函数满足，所以的周期为6， 又因为为奇函数，所以， 其中，所以， 因为，所以，所以， 所以， 故选：D 8. 已知数列的前项和为，且满足，，若对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据即可得到，从而得到是以为首项，为公差的等差数列，即可求出，再由作差法说明的单调性，即可求出，从而得解. 【详解】已知数列的前项和为，且满足，， 则当时，，整理得， 所以，又当时，， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 则，故， 所以， 当时，，则， 当时，，所以， 综上可得：， 若对任意恒成立，则，故实数的取值范围是. 故选：A 二､多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列说法正确的有（ ） A. 数据2，3，5，7，11，13的第75百分位数为7，中位数为6 B. 一组数据的标准差为0，则这组数据中的数值均相等 C. 若随机变量满足则 D. 一个医疗队有男医生36人，女医生24人，分层抽样抽取了一个5人小分队，现将这5人分配去三个医院指导工作，每个医生去一个医院且每个医院至少有一名医生，女医生去同一个医院，共有36种分配方式 【答案】BD 【解析】 【分析】由百分位数的定义即可得出A错误，由标准差定义判断B正确，利用数学期望与方差的性质计算可判断C；利用分组分配法求得总的方法数判断D. 【详解】由，得第75百分位数为第5个数，即11，中位数为，故A错误； 根据标准差定义，一组数据的标准差 时， 显然有，故B正确； 若随机变量满足，则，故C错误； 一个医疗队有男医生36人，女医生24人，分层抽样抽取了一个5人小分队， 男医生人，女医生人， 现将这5人分配去三个医院指导工作，每个医生去一个医院且每个医院至少有一名医生， 且女医生去同一个医院，三个医院人数可以为，共有种分配方式； 三个医院人数可以为，共有18种分配方式， 综上，共有36种分配方式，故D正确. 故选：BD. 10. 如图，正方体的棱长为2，E是的中点，则（ ） A. 三棱锥的体积为 B. 平面 C. 三棱锥的外接球的表面积为 D. 由三点确定的平面与正方体相交形成的截面周长为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，根据等积变换可求三棱锥的体积；对于选项B，可用反证法说明；对于选项C，可通过建立空间直角坐标系求出外接球的半径，从而得出表面积；对于选项D，作出过三点确定的平面与正方体相交形成的截面，进而求得截面的周长. 【详解】对于A，三棱锥的体积，故A正确； 对于B，因为，所以与不垂直， 所以与平面不可能垂直，故B错误； 对于C，坐标法：以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，设外接球的球心为，则 ， ， ， 求得，故C正确； 对于D，如图，过三点确定的平面与正方体相交形成的截面为等腰梯形为的中点（平行则四点共面）， 等腰梯形的周长为，D正确. 故选：ACD 11. 双曲线的左､右焦点分别为F₁，F₂，具有公共焦点的椭圆与双曲线在第一象限的交点为P，双曲线和椭圆的离心率分别为，，的内切圆的圆心为I，过作直线PI的垂线，垂足为D，则（ ） A. 若PI的延长线交x轴于点N，则 B. 点D的轨迹在圆上 C. 若则 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】设椭圆，利用椭圆的定义与双曲线的定义计算可判断A；过作直线的垂线，垂足为，延长交于点，利用中位线定理可得点的轨迹在以为圆心，半径为的圆上判断B；由内切圆性质易得，判断C项；由，可得为直角三角形，结合双曲线、椭圆的第一定义，勾股定理，可判断D项. 【详解】对于A，设椭圆. 根据定义， 由角平分线的性质，（无恒等关系），故A错误； 对于B，过作直线的垂线，垂足为，延长交于点，由内切圆及垂线性质可知，，则为中点且，连接， 由中位线定理可知， 故点的轨迹在以为圆心，半径为的圆上，故B正确； 对于C，若，则等价于，即， 又为双曲线的离心率，所以，故，而,故, 所以，故C错误； 对于D，若，设椭圆的长半轴长为，由， 可知为直角三角形，， 因，即，故D正确. 故选：BD. 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，） 12. 已知向量满足，若向量在向量方向上的投影向量的坐标为，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，进而求得，利用可求解. 【详解】由题意可得，又，， 所以， 所以，所以，又， 所以. 故答案为：. 13. 若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 . 【答案】 【解析】 【分析】先求出曲线在点的切线方程，再设曲线的切点，利用公切线斜率相等求出，得到切点代入即可求解. 【详解】对求导得：，当时， ， 在点处的切线方程为：, 设曲线的切点为， ，又切点在切线上， ，代入曲线方程得. 故答案为：. 14. 已知的面积为分别是的中点，若，则BC长度的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用余弦定理结合辅助角公式得到，再结合正弦函数的有界性求解即可. 【详解】连接相交于点，则为的重心，连接并延长交于点， 则由重心的性质得为的中点，则， 而，且，得到， 设，则， 由三角形面积公式得， 则，解得， 由余弦定理得， 解得，化简可得， 由辅助角公式得， 则，解得，即长度的最小值为. 故答案为： 四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15. 某高校拟与某网络平台合作组织学生参加与AI知识有关的网络答题活动，为了解男女学生参与答题意愿的差异，男生､女生各取100人.设事件“学生愿意报名参加答题活动”，“学生为男生”，据统计 （1）根据已知条件，完成下列2×2列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否推断该校学生报名参加答题活动的意愿与性别有关？ 性别 男生 女生 合计 不愿报名参加答题活动 愿意报名参加答题活动 合计 200 （2）网络答题规则：假设甲每道题回答是否正确相互独立，且每次答对的概率均为若答题活动设置4道题，且答题规则如下：每次答一题，一旦答对，则结束答题；答错则继续答题，直到4道题答完.已知甲同学报名参加答题活动，用X表示在本次答题的题目数量，求X的分布列和期望. 参考公式与数据：其中. 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）表格见解析，有关联 （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）根据已知条件求出列联表中的数据，再计算出的值判断即可； （2）写出的所有可能取值，结合独立事件的概率特征求出对应的概率，从而可写出的分布列及期望. 【小问1详解】 因为，所以愿意报名参加答题活动的人数为， 又因为，所以愿意报名参加答题活动的男生人数为， 则愿意报名参加答题活动的女生人数为， 则可得到列联表为： 性别 男生 女生 合计 不愿报名参加答题活动 40 80 120 愿意报名参加答题活动 60 20 80 合计 100 100 200 零假设：学生报名参加答题活动的意愿与性别无关， 则， 依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为学生报名参加答题活动与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001， 【小问2详解】 的所有可能取值为， ， ， 所以的分布列为： 1 2 3 4 故. 16. 如图，四棱锥中，底面是矩形，M是中点，平面. （1）证明： （2）若点P是棱上的动点，直线AP与平面AMC所成角的正弦值为求的值. 【答案】（1）证明见解析 （2）. 【解析】 【分析】（1）以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，利用向量法可证明； （2）求得平面的一个法向量，设，其中，利用空间向量结合线面夹角运算求解即可. 【小问1详解】 如图，以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则，则， ， ， ， 【小问2详解】 由（1）可得， 设平面的法向量为， 则取，则， 设，其中， 则， 因为直线与平面所成角的正弦值为， 则 解得，即. 17. 已知椭圆的左､右焦点为点P是椭圆上任意一点，的最小值是. （1）求椭圆M的方程. （2）直线与椭圆M交于D，E两点，O为坐标原点.试求当t为何值时，恒为定值？并求此时面积的最大值. 【答案】（1） （2）；1 【解析】 【分析】（1）先由椭圆方程确定基本量的关系，再由向量的线性运算可得的最小值为，再由最小值可得基本量的值及椭圆方程； （2）先将直线方程和椭圆方程联立消去y，再结合根据系数关系表示出，根据题中当t为何值时恒为定值，可得，进而可求三角形的面积并用基本不等式可得最大值. 【小问1详解】 由椭圆，且焦点在x轴上，知， . 因为的最小值是，所以，即， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 如图： 设，联立，得， 则，，即. 所以， 当为定值时，即与无关，所以，得， 此时 ， 又因为点到直线的距离， 所以 当且仅当，即时，等号成立， 经检验，此时成立，所以面积的最大值为1. 18. 设数列的前n项和为已知 （1）求的通项公式. （2）在与之间插入n个数，使这n+2个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项（其中m，k，p成公差不为零的等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由. （3）已知函数，其中[x]表示不超过x的最大整数，设数列的前n项和为求除以16的余数. 【答案】（1） （2）不存在，理由见解析 （3）10. 【解析】 【分析】（1）根据的关系即可作差求解； （2）根据等差数列的性质可得.，即可根据等差中项以及等比中项的性质得矛盾求解. （3）由（1）可知，利用，结合二项式定理展开，可得当为奇数时，，当为偶数时，，进而分组求和可得，进而可得除以16的余数. 【小问1详解】 当时，，得； 当时，，作差得， 即， 所以是以3为首项，6为公比的等比数列，所以. 【小问2详解】 因为，由题意知：， 所以. 假设在数列中存在3项（其中成公差不为零的等差数列）成等比数列， 则，即， 化简得：， 又因为成等差数列，所以， 所以，即， 又，所以， 即，所以，这与题设矛盾. 所以在数列中不存在3项（其中成公差不为零的等差数列）成等比数列. 【小问3详解】 由（1）可知. 因为 ， 所以当为奇数时，，当为偶数时，， 所以 ， 而， 考虑到当时，能被16整除，也能被16整除， 所以除以16的余数等于除以16的余数， 而， 所以除以16的余数等于10. 19. 已知函数 （1）当时，若对任意不等式恒成立，求实数a的取值范围. （2）当在有解，求实数k的取值范围. （3）当函数有两个极值点且时，是否存在实数m，总有成立？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）存在，. 【解析】 【分析】（1）利用导数求得在上的最小值，进而利用恒成立可得，可求实数a的取值范围. （2）分离变量得，构造函数，求导可求得的值域，可得实数k的取值范围. （3）利用函数有两个极值点，可得，不等式等价于，令，求导，分类讨论可求得实数m的取值范围. 【小问1详解】 当时，，令，解得， 当时，单调递减，当时，单调递增， 所以在上的最小值为. 又，所以由对任意不等式恒成立， 即. 所以的取值范围为. 【小问2详解】 令，因为，则，故， 令，则， 故当单调递减；当单调递增， 又，且， 故的值域为，则要满足题意，只需. 即的取值范围为. 【小问3详解】 因为， 因为有两个极值点，故可得， 所以，且. 因为，故， 则，即， 因为，故上式等价于，即， 又当时，，当时，， 令，则， 当时，，故在单调递增，又， 故当时，，当时，，故不满足题意； 当时，令， 若方程对应时，即时，单调递减， 又，故当时，，当时，，满足题意； 若，即时，又的对称轴，且开口向下， 又，不妨取， 故当单调递增，又， 故此时，不满足题意，舍去， 综上所述，的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $