湖南长郡中学2025-2026学年高三上学期2月期末数学试题

高三数学参考答案 题号1 2 34 5 67 8 9 10 11 答案ABBCDAD A BD ACD BCD 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1.A【解标】由x=。-1-故-1+，所以的虚等为1 i·(一i) 2B【解析】由集合A=x02a2B=z,y=a一b,AnB=(1,3,得{3-2A1,解得a=号6 是，所以b=-是 3.B【解析】lLl2,则a(a十2)-2X2a=0,解得a=2或a=0,题中应是充分不必要条件. 4.C【解析】由题意知，苯放射性物质的质量N随时间1的表变规律满足N=八（侵），要使得某放射性物质的质量 是原来的号，可得N(侵)产-号M中（侵》产-号，两边取自发时数，可得h(侵》=n子可得一后·h2= 、病 n2-1h5,所以1=700x血5=h2≈700×L6-97=900年. In 2 0.7 5.D【解析】因为-1<x<号，所以5-2>0,3+3>0，设5-2x=>0,3+3x=6>0,则3a+26=21, 则号+费1+=+号=(2+号)（号+》）=号+骆+器+≥+2会·需-器 当且仅当a=6,即5-2红=3+3→x=号时等号成立， 6A【解]由题设8+昌血血B一-热a2所以如6十回=os,因为u长(o,受》， cos a'cosβ cos acosβ 则cosa>0,又因为Be(0,受)，则a十Be(0,x),又sin(a+=cosa=sin(毫-a), 所以a+B=受-a或a+p=x—(受-a),解得2a十日=受或P=受舍去)。 7.D【解析】定义在R上的奇函数f(x)满足f(x十3)=一f(),所以fx十6)=一f(x十3)=f(x), 所以f(x)的周期为6，又因为f(x)为奇函数，所以f(x)=一f(一x),其中log30∈(3,4)， 所以f21+1og30)=f-3+1log30)=f1og9》=-(-log9）),国为0<1g9<1, 所以-1K-6e9<0,所以(-8)-8w*号=最是=安 &.A〖解析]已知数列a,)的前m项和为5，且满足a=一10，a,-各十3(m一1D, 则当n≥2时，S。-S=+3(n-1),整理得(n-1)S.-hS1=3m(n-1), 所以各-3，又当-1时，8-a=-10, 故数列停}是以=一10为首项，3为公差的等差数列， 所以三=-10+m-1DX3=3m-13,故3，=n3n-13), 所以S+1-S。=(n+1)(3n-10)-n(3n-13)=6m-10, 当n=1时，Sn+1一Sn<0,则S2<S,当n≥2时，S+1一Sn>0,所以S2<SS, 综上可得：(S.)m=S2=2×(-7)=-14, 若对任意n∈N“,≤Sn恒成立，则≤(S)m=一14，故实数λ的取值范围是（一∞，一14]. 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分， 部分选对的得部分分，有选错的得0分.) 9.BD【解析1由6X75%=4.5,得第75百分位数为第5个数，即1，中位数为5生=6，故A错误； 根扬标准差定义，一组数据西函…，的标准差=√只[一)十(。一十叶（红，一刃门=0时，显然有西 数学参考答聚(N6)一1 =2=…=xn=元，故B正确； 若随机变量5,7满足7=2E-3,则E(=E(2-3)=2E()-3,D()=D(2E-3)=4D(),故C错误； 一个医疗队有男医生36人，女医生24人，分层抽样抽取了一个5人小分队，男医生5×362=3人，女医生5× 36 24十36=2人，现将这5人分配去三个医院指导工作，每个医生去一个医院且每个医院至少有一名医生，且女医生去 24 同一个医院，三个医院人数可以为3,1,1，共有CCA好=18种分配方式，三个医院人数可以为2,2,1，共有CC好A3= 18种分配方式，综上，共有36种分配方式，故D正确. G 10.ACD【解折】时于A,三棱维C-BCE的体积em=VmGc=号×合×2X2X2 =寺故A正病： 对于B,假设成立，则CE⊥CE,显然不成立，故B错误； 对于C,坐标法：以A为坐标原点，AB,AD,AA1所在直线分别为x,y,之轴建立空间 直角坐标系， D 则C2,2,2),B(2,0,2),C(2,2,0),E(0,2,1),设外接球的球心为(x,y,2),则 B (x-2)2+(y-2)2+(x-2)2=(x-2)2+(y-0)2+(x-2)2, (x-2)2+(y-2)2+(x-2)2=(x-2)2+(y-2)2+(x-0)2, (x-2)2+(y-2)2+(x-2)2=(x-0)2+(y-2)2+(x-1)2, 求得x=景g=1,2=1-(-2)+(1-2+(1-2=器S=4R-4,故C正确： 4 对于D,如图，过B,C,E三点确定的平面与正方体相交形成的截面为等腰梯形B1CEF,F为A:D的中点（平行则 四点共面)，∴.等腰梯形B,CEF的周长为3√2十2W5,D正确. 11.BCD【解析】如图： 2 32 对于A,设捕国系十芳=1，-心本d: 根据定义PF1一PF2=2a,PF,十PF2=2m,PF1=a十m,PF2=m-a, 由角平分线的性质，然--中贸≠学（无恒等关系），A错误！ 对于B,过F?作直线PI的垂线，垂足为D,延长F2I交PF,于点E,由内切圆及垂线性质 可知，△PED2△PF,D,则D为EF,中点且IPF,=|PE1,连接OD,由中位线定理可知OD=|EE到- 合PR-PE)=壹(PR-PF,)=a,故点D的轨选在以0为圈心，半径为a的圆上，故B正喷： 对子C,若5%m,-Sa所，≥号Sa5,则等价于引PR1-1PF,≥}国，R,即2a≥等<3，又6为双南线的离心 率，所以e>1,故1<e1≤3，故C正确； 对于D,若|OP|=|OF,设椭圆的长半轴长为a4,由|OP|=|OF,「=IOF|可知：△PFF2为直角三角形， ∠FPF2=90°， (PF-PF2|=2a, 因为P+PE,-2,→+G=2,即宁十号-2，故D正角 PF+PF=4 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12.4W2【解析】依题意，向量a在向量b方向上的投影向量为bb=8b=4(1,1)=(11D,因此a·b=4,又a =4,所以la+bl=√a2++2a·b=√16+8+8=42. 13.1十ln3【解析】对y=e+2x求导得：y=e+2,当x=0时，y=e°+2=3， “在点(0,1D处的切线方程为y一1=3→y=3x十1，设曲线=nx十1+m的切，点为（红%），==3， ∴=号，又切点在切线上，心%=2，代入曲线方程得，2=ln号+1+m一m=1+n3. 14,√0【解析】连接CD,BE相交于点G,则G为△ABC的重心，连接AG并延长交BC于 3 点F, 则由重心的性质得F为BC的中点，Sam=子Sam=号X6=2, 数学参考答案(N6)一2 而GC=号CD,GB=号BE,且2CD=3BE,得到2GC=3GB, 设GB=2z,∠BG0-0,则G0=3x,S=合·2x·3z·im0=37sin0=2, 所以2=3sin0 2 根据余弦定理得BC=4x2+(3x)2-2·2x·3r·cos0=13r2-12xc0s0=(13-12cos9》.2=2624cos9, 3sin 0 可得BCs如0叶8cos0-29, 由辅助角公式得BCsin0+8cos0=√BC+64sin(0叶a)=29, 3 则VBC+M=m。≥9，解得5C画 3 26 3 ,即BC长度的最小值为@ 3 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.【解斩K1)国为P(A)=号，所以愿高报名参加答题活动的人数为200×号=80， 又因为P(B到A)=是，所以愿意报名参加答题活动的男生人数为 3 义80=60，愿意报名参加答题活动的女生人数为 8060=20，… ………3分 则可得到2X2列联表为 性别 男生 女生 合计 不愿报名参加答题活动 40 80 120 愿意报名参加答题活动 60 20 80 合计 100 100 200 ………………4s分 零假设为H:学生报名参加答题活动的意愿与性别无关， 则X=2020X0m2X602=190≈33.333>10.828=am, 120×80×100×100 3 ………5分 依据小概率值a=0.001的独立性检验，我们推断H。不成立， 即认为学生报名参加答题活动与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001.… …6分 (2)X的所有可能取值为：1,2,3,4， PXD=,P(X=2)=×是-品PX=3)-()°×（学）-，PX=4)=()°= ,…10分 所以X的分布列为： X P ò 3 16 64 64 故E(0=1X号+2×号+3×磊+4X高-器 小13分 16.【解析】如图，以A为坐标原点，分别以AD,AB,AS所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系， 则A00,0,B0E,0,D1,00,C1E,0,S00,1,则M0,号，2）， …2分 16-1,号，-2）】，8劢=(1，-厄，0)，3分 ∴M心.d=1X1+gX(-2)+(-号)×0=0，… 2 …5分 MCLBD.… …6分 (2A0-1wE,0,i=(o,,2）5=(1w,-1D,A$=(0,01,…7分 设平面AMC的法向量为m=(x,y,z), m·AC=x十2y=0, 成-号+安= 则 。取x=√2，则m=(W2,一1，W2),…9分 数学参考答案(N6)一3 设SP=λSC=(a,2λ，-λ)，其中0≤≤1， 则AP=A$+S2=(0,0,1)+(a,N2λ，-A)=(W2λ，1-)， …11分 因为直线AP与平面AMC所成角的正孩值为沿， a成：品石数行0 …13分 10 解得A专子，即C-名吧 …15分 17.【解析(1)由椭圈M:径+y=1知，b=1,c2=a2-1, PF,.PF,=(P6+D元)·(PO+O)=P0-O币=P0-c≥-&， 所以2=1-2=-2，所以c2=3,a2=4, 所以搬圆M的方程为十=1.……5分 「y=tx十n, 囫设D以)，E(联三+y=1得4r+1)2+8ar+-40 则△=64-16(4+1)(m2-1)>0,即4-n2+1>0. -8tn 刚有西十十‘五二4行，m ……7分 10DP+10E=+1-++1-草=2+2(G+)-2+2444+s=2+04P+坦 (42+1D2 (4+1)2 …9分 当OD?+|OE?为定值时，即与无关，故4-1=0，得=士受， …10分 此时DEl=V+×a十-4西=X√'-4x号 4+1 =4.+百.牙Z-5.V2-7, 4a0…12分 4+1 又因为点0到直线（的距离d=川=2， √1+ 所以5a版=号XdX1DE=nl·V公-f<+号=1， 2 当且仅当n=√2-7，即n=1时，等号成立， 经检验，此时△>0成立，所以△ODE面积的最大值为1.… 0…15分 18.【解析】(1)当n=1时，6a=5S十3，得a=3;…… …1分 当n≥2时，6a-1=5S.-1十3，作差得6an-6a-1=5Sm-5Sn1=5a, 即公，=60-1(n>2),…3分 所以(an）是以3为首项，6为公比的等比数列，所以a,=36一1.…4分 (2)因为an=3·6-1,a+1=3·6°，由题意知：a+1一a,=(n十2-1)d, 所以d.=15·6 n+1Γ· 假设在数列(d)中存在3项dn,d,d,(其中m,k,p成公差不为零的等差数列)成等比数列， 则a=d4,p5空-()(5). 624-名 6m+p-2 …6分 化简得+1一(m十1)(p十)' 又因为m,k,p成等差数列，所以m十p=2k, 所以（质+1）2=(m十1)(p十1)，即m功=，…7分 又m+=2,所以(m生)°=m, 即(m一p)=0,所以m=p=k,这与题设矛盾. 所以在数列(dn)中不存在3项dn,d,山，（其中m,k,力成公差不为零的等差数列）成等比数列.…9分 (3)1可知6=[等]： 因为3m=(4-1)”=C%4"+C4-1(-1)1+…+C”4'(-1)-1+C(-1)° 数学参考答案(N6)一4 =4X[C4"-1+C4"-2(-1)1+…十C-1(-1)-1]十(-1)”， …11分 所以当n为寺复时，受-[]十是，音n为%数时，程-[客]十子…18分 所以To26=G十c十…十co2s十c2十c+…+c20a6 =3十33十…十32025 4 -1013×3+32+3+…+3 47 4 -1018×7-.30=2-1018=36g--1013, 8 63m51-9"1=8+1)a0-1=Chn8w+C480u+十cH8+C, 8 8 8 考虑到当≥2时，8能被16整除，C88=1013×506×8也能被16整除， 所以T026除以16的余数等于3XC8船-1013除以16的余数， 而3×C8器-1013=2026=16×126+10， 所以T02s除以16的余数等于10.…17分 19.【解析】(1)当=1时，f(x)=e-x,f(x)=e一1，令f(x)=0,解得x=0, 当x∈（一1,0）时，f(x)单调递减；当x∈(0,1)时，f(x)单调递增， 所以f(x)在[-1，门上的最小值为f(0)=1. 义g(1)=2-a,所以由对任意x∈[-1,1]不等式f(x)≥g(1)恒成立， 即1≥2-a,a≥1. 所以a的取值范围为[1，十o∞).… (2令f)=e-红=0，因为x[完，2]，则x0,故&=号， 令(x)=g,x[7,2],则W(x)-1卫， 故当x∈（合，1），n(x)单调递减：当x∈(1,2)，h()单调递增， 又hD=e,A(合)=2E,h(2②)=含e,且2)>h(合)， 故h()的值藏为[0，宣e],则要满足题意，只需∈[e,e] 即女的取值诡国为[e,2] …8分 C3)因为g6如)学2x-2-8hx8✉)=2+是-是-2丝二8t, x 2 因为g(x)有两个极值，点五，，故可得64-8a>0,西十=4，西=受>0， 也即0<a<8,且西十z%=4,1=号.…10分 因为x1≠1，<，故∈(0,1)U(1,2), 则会>5一，两2a4=五>n4-)-4-门， 1一x1 因为4一>0，上式学价于会>m1+.脚己[+少]>0， …12分 又当x(0,1D时云>0，当z1,2)时产<0， 令()=2nz+m(-卫，0<<2，则t(）=mt+2+m …014分 当m≥0时，t(x)>0,故t(x)在(0,2)单调递增，又t(1)=0, 故当x∈(0,1)时，t(x)<0,当x∈(1,2)时(x)>0,故不满足题意； 当m<0时，令n(x)=mx2+2x十m, 若方程n(x)=0对应△=4-4m≤0时，即m≤-1时，t(x)≤0，t(x)单调递减， 又t(1)=0,故当x∈(0,1)时，(x)>0,当x∈(1,2)时，t(x)<0,满足题意； 若△=4-4m2>0,即-1<m<0时，又y=n(x)的对称轴=->1，且开口向下， m 又K1)=2m+2>0,不越取6=mim-六2， 故当x∈(1，b),t(x)>0,t(x)单调递增，又t(1)=0, 故此时(x)>0,不满足题意，舍去， 综上所述，m的取值范围为（一∞，一1们.… …17分 数学参考答案(N6)一5 高 三 数 学 本试卷共6页。时量120分钟。满分150分。 一、选择题(本犬题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项；目要求的.). 1.若复数z满足 则的虚部为 A.1 B. i C.-1 D.-i 2.已知集合A={(x,y)|y=2ax},B={(x,y)|y= ax-b},A∩B={(1,3)},则b= A.-2 B. C. D.1 3.直线l₁:(a+2)x+2ay-1=0和直线l₂: ax-2y+3=0,则“a=2”是“l₁⊥l₂”的 A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知某放射性物质的质量N随时间t(单位：年)的衰变规律满足 表示原有的某种物质的质量).经过测定，学堂梁子遗址中某件石制品化石样本中的该种物质的质量是原来的 倍，据此推测该石制品生产的时间距今约(参考数据：ln 2≈0.7，ln 5≈1.6) A.800年 B.810年 C.900年 D.920年 5.已知 则 的最小值为 A. B. C. D. 6.设a∈(0,),β∈(0,),且 则 7.定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+3)=-f(x),且x∈(-3,0)时, 则= A. B. C. D. 8.已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足 若对任意 n∈恒成立，则实数λ的取值范围是 A.(-∞,-14] B.(-∞,-12] C.(-∞,-10] D.(-∞,-8] 二、选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.) 9.下列说法正确的有 A.数据2,3,5,7,11,13的第75 百分位数为7,中位数为6 B.一组数据的标准差为0，则这组数据中的数值均相等 C.若随机变量ξ,η满足η=2ξ-3,则E(η)=2E(ξ)-3,D(η)=4D(ξ)-3 D.一个医疗队有男医生36人，女医生24人，分层抽样抽取了一个5人小分队，现将这5人分配去三个医院指导工作，每个医生去一个医院且每个医院至少有一名医生，女医生去同一个医院，共有36种分配方式 10.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E是 的中点，则 A.三棱锥 的体积为 B. C1E⊥平面 BCE C.三棱锥 的外接球的表面积为 D.由B1，C，E三点确定的平面与正方体相交形成的截面周长为 11.双曲线 的左、右焦点分别为F₁，F₂，具有公共焦点的椭圆与双曲线在第一象限的交点为 P，双曲线和椭圆的离心率分别为e₁，e₂，△PF1F₂的内切圆的圆心为I，过 作直线 PI的垂线，垂足为 D，则 A.若 PI的延长线交x轴于点N，则 B.点D 的轨迹在圆上 C.若 则 D.若|OP|=|OF1|,则 选择题答题卡 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 得分 答案 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，) 12.已知向量,满足||=4,=(2,2),若向量在向量方向上的投影向量的坐标为(1,1),则||= . 13.若曲线. 在点(0，1)处的切线也是曲线 的切线，则 14.已知△ABC的面积为6,D,E分别是AB,AC的中点,若2CD=3BE,则 BC长度的最小值为 四、解答题(本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 15.(13分)某高校拟与某网络平台合作组织学生参加与AI知识有关的网络答题活动，为了解男女学生参与答题意愿的差异，男生、女生各取100人.设事件A=“学生愿意报名参加答题活动”，B=“学生为男生”，据统计 (1)根据已知条件，完成下列2×2列联表，并依据小概率值α=0.001的独立性检验，能否推断该校学生报名参加答题活动的意愿与性别有关? 性别 男生 女生 合计 不愿报名参加答题活动 愿意报名参加答题活动 合计 200 (2)网络答题规则：假设甲每道题回答是否正确相互独立，且每次答对的概率均为 若答题活动设置4道题，且答题规则如下：每次答一题，一旦答对，则结束答题；答错则继续答题，直到4道题答完.已知甲同学报名参加答题活动，用X 表示在本次答题的题目数量，求X的分布列和期望. 参考公式与数据： 其中n=a+b+c+d. α 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 xa 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16.(15分)如图,四棱锥(S-ABCD中，底面ABCD是矩形，SA=AD=1,AB= M是SB的中点， (1)证明: (2)若点 P 是棱SC 上的动点，直线 AP 与平面AMC 所成角的正弦值为 求 的值. 17.(15分)已知椭圆M; 的左、右焦点为 点P 是椭圆上任意一点， 的最小值是-2. (1)求椭圆M的方程. (2)直线l:y=tx+n(n>0)与椭圆M交于D，E两点，O为坐标原点.试求当t为何值时， 恒为定值?并求此时 面积的最大值. 18.(17 分)设数列 的前n项和为 已知 (1 (2 (3 (1)求 的通项公式. (2)在 与 之间插入n个数，使这n+2个数组成一个公差为 的等差数列，在数列 中是否存在3项 (其中m，k，p成公差不为零的等差数列)成等比数列?若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由. (3)已知函数f(x)=[x],，其中[x]表示不超过x 的最大整数，设 数列 的前n项和为 求 除以16的余数. 19.(17分)已知函数 (1)当k=1时，若对任意 不等式f(x)≥g(1)恒成立，求实数a的取值范围. (2)当f(x)=0在 有解，求实数k的取值范围. (3)当函数g(x)有两个极值点 且 时，是否存在实数m， 总有 成立?若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $