专题10平行四边形寒假预习讲义(知识梳理+题型精析+强化巩固专练)2025-2026学年华东师大版八年级数学下册

专题10平行四边形寒假预习讲义 · 懂定义：记住平行四边形 = 两组对边分别平行的四边形 · 记性质：对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分 · 会判定：5 种判定方法快速认平行四边形 · 用定理：会用性质 + 判定做简单计算与证明 · 知拓展：了解三角形中位线定理 预习必备 知识点梳理 1.平行四边形的定义 2.平行四边形的性质 3.平行四边形的判定 4.平行线间的距离 常考题型 精讲精炼 1.利用平行四边形性质求解 2.利用平行四边形性质证明 3.平行四边形性质的应用 4.求平行线间距离 5.利用平行线间距离解题 6.判断能否构成平行四边形 7.添条件成为平行四边形 8.数图形中平行四边形个数 9.求平行四边形顶点个数 10.证明四边形是平行四边形 11.利用平行四边形判定性质求解 12.由平行四边形判定性质证明 13.平行四边形判定性质应用 14.三角形中位线求解问题 15.三角形中位线相关证明 16.三角形中位线实际应用 强化题型 (解答题7题) 【知识点01.平行四边形的定义】 定义 几何语言：在四边形ABCD中，若AB∥CD，AD∥BC，则四边形ABCD是平行四边形。 【知识点02.平行四边形的性质】 1. 边的性质 对边平行：AB∥CD，AD∥BC。 对边相等：AB=CD，AD=BC。 几何语言：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，AB=CD，AD=BC。 2. 角的性质 对角相等：∠A=∠C，∠B=∠D。 邻角互补：∠A+∠B=180∘，∠B+∠C=180∘，∠C+∠D=180∘，∠D+∠A=180∘。几何语言：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C，∠B=∠D，∠A+∠B=180∘。 3. 对角线的性质 对角线互相平分：若对角线AC与BD交于点O，则OA=OC，OB=OD。 几何语言：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD。 4. 对称性 平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点O。 5. 面积 公式：S=底×高（S=ah，a为底边长，h为这条底边上的高）。 推论：平行四边形的对角线将其分成4 个面积相等的三角形。 【知识点03.平行四边形的判定】 1. 边的判定 定义判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 几何语言：∵AB∥CD，AD∥BC，∴ 四边形ABCD是平行四边形。 两组对边分别相等：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 几何语言：∵AB=CD，AD=BC，∴ 四边形ABCD是平行四边形。 一组对边平行且相等：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 几何语言：∵AB∥CD，AB=CD（或AD∥BC，AD=BC），∴ 四边形ABCD是平行四边形。 2. 角的判定 两组对角分别相等：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 几何语言：∵∠A=∠C，∠B=∠D，∴ 四边形ABCD是平行四边形。 3. 对角线的判定 对角线互相平分：对角线互相平分的四边形是平行四边形。 几何语言：∵OA=OC，OB=OD，∴ 四边形ABCD是平行四边形。 【知识点04.平行线间的距离】 1. 定义 两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离。 2. 性质 平行线之间的距离处处相等。 推论：夹在两条平行线间的平行线段相等。 【题型1.利用平行四边形性质求解】 【典例】如图，在中，，，则的周长为 ． 【跟踪专练1】如图，在平行四边形中，的角平分线交于点，则的值为（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【跟踪专练2】已知在平行四边形中，，E是上一点，的周长是平行四边形周长的一半，且，连接，则的长为 ． 【题型2.利用平行四边形性质证明】 【典例】在平行四边形中，对角线与相交于点，则下列式子不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，在平行四边形中（），直线经过其对角线的交点，且分别交，于点，，交，的延长线于点，．下列结论：①；②；③．其中一定正确的是 （填序号）．    【跟踪专练2】如图，直线，，，，E，G为垂足．下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【题型3.平行四边形性质的应用】 【典例】在平行四边形ABCD中，下列结论一定正确的是（　　） A．∠A＝∠B B．AB＝AD C．AC＞BD D．∠B+∠C＝180° 【跟踪专练1】平行四边形两邻边分别是4和6，其中一边上的高是3，则平行四边形的面积是 ． 【跟踪专练2】如图，在△ABC中，∠BAC=45°，AB=AC=8，P为AB边上一动点，以PA、PC为边作平行四边形PAQC，则对角线PQ的长度的最小值为（　　） A．8 B．4 C． D． 【题型4.求平行线间的距离】 【典例】已知直线a，b，c在同一平面内，且，a与b之间的距离为5cm，b与c之间的距离为3cm，则a与c之间的距离是 ． 【跟踪专练1】如图，已知，下列线段的长中，是，之间的距离的是（   ） A．的长 B．的长 C．的长 D．的长 【跟踪专练2】.如图，直线，和的夹角，且，则两平行线和之间的距离是 ．    【题型5.利用平行线间距离解题】 【典例】如图，已知直线，点P在直线 a上，且到直线b的距离为3，则将a平移到b的位置，平移的距离不可以是(    ) A． B． C． D． 【跟踪专练1】在梯形中，， 连接、， 已知梯形的面积为16，的面积为12，那么的面积 ． 【跟踪专练2】如图，已知正方形和正方形，点E在边上，连接交于点H，连接，，．若要求出图中阴影部分的面积，只需知道（    ） A．正方形的面积 B．三角形的面积 C．正方形的面积 D．三角形的面积 【题型6.判断能否构成平行四边形】 【典例】“平行四边形的两组对边分别平行”的逆定理是 ． 【跟踪专练1】根据下列条件，不能判定四边形是平行四边形的是（    ） A．一组对边平行且相等的四边形 B．一组对边相等一组对角是直角的四边形 C．对角线相等的四边形 D．对角线互相平分的四边形 【跟踪专练2】如图所示的是某小区门口汽车出入道闸示意图．四边形ABCD在长方形道闸（）打开的过程中，边AB固定，连杆AD，BC分别绕点A，B转动，且边DC始终与边AB平行，则在转动的过程中，AD与BC的关系为 ． 【题型7.添条件成为平行四边形】 【典例】在四边形中，对角线相交于点O，且．如果要使四边形是平行四边形，那么可以添加的条件是（   ）． A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，四边形中，，，点在边上以的速度从点出发向点移动，同时点在边上以的速度从点出发向点移动．若，，则 s时，四边形是平行四边形． 【跟踪专练2】如图，已知，增加下列条件仍不可以使四边形成为平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【题型8.数图形中平行四边形个数】 【典例】如图，线段，相交于点，且点，，与点，，分别四等分线段与，则依次连接这些点可以构成 个平行四边形． 【跟踪专练1】如图，在的正方形网格中，以线段为对角线作平行四边形，使另两个顶点也在格点上，则这样的平行四边形最多可以画（    ）． A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【跟踪专练2】如图，在四边形中，，，则图中共有 个平行四边形，它们分别是 （有符号表示）． 【题型9.求平行四边形顶点个数】 【典例】以不在同一直线上的三点为顶点作平行四边形，最多能作 个不同的平行四边形． 【跟踪专练1】以不共线的三点A、B、C为顶点的平行四边形共有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．无数 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，函数的图象分别交轴，轴于，两点，过点的直线交轴正半轴于点，且．在平面直角坐标系内存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标为 ． 【题型10.证明四边形是平行四边形】 【典例】四边形的四个相邻内角度数的比值依次如下，那么是平行四边形的为（　　） A．1：2：2：1 B．1：3：1：3 C．1：1：4：4 D．1：2：3：4 【跟踪专练1】如图，四边形的对角线，交于点，，．当 时，四边形是平行四边形． 【跟踪专练2】现有一四边形，借助此四边形作平行四边形，两位同学提供了如下方案，对于方案I、II，下列说法正确的是（    ） 方案I：   作边的垂直平分线，，分别交于点，顺次连接这四点围成的四边形即为所求． 方案II：   连接，过四边形各顶点分别作的平行线，这四条平行线围成的四边形即为所求． A．I可行、II不可行 B．I不可行、II可行 C．I、II都可行 D．I、II都不可行 【题型11.利用平行四边形判定性质求解】 【典例】如图，在一束平行光线中插入一张对边平行的纸板，如果光线与纸板右下方所成的角，则光线与纸板左上方所成的角∠2的度数是 ． 【跟踪专练1】如图，，，分别是的边，，的中点，连接，，，若的面积为2，则的面积为（    ） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 【跟踪专练2】如图，在平行四边形中，是的中点，是的中点，交于点，若，则 ． 【题型12.由平行四边形判定性质证明】 【典例】如图所示，四边形是平行四边形，点在线段的延长线上，若，则（ ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，在中，．若，则的度数是 ． 【跟踪专练2】在中，，为锐角，要在对角线上找点M、N，使四边形为平行四边形，现有图中甲、乙、丙三种方案，其中正确的是（　　） A．只有甲、乙 B．只有甲、丙 C．只有乙、丙 D．甲、乙、丙 【题型13.平行四边形判定性质应用】 【典例】为了保证铁路的两条直铺的铁轨互相平行，只要使互相平行的加在铁轨之间的枕木长相等就可以了，请你说出这样判断的依据是 ． 【跟踪专练1】如图，点、分别是的边、的中点，连接，过点作，交的延长线于点，若，则的长为（    ）    A．3 B．2 C． D． 【跟踪专练2】如图，在中，点为的中点，连接，，为的三等分点，连接交于点．若，则的长为 ． 【题型14.三角形中位线求解问题】 【典例】如图，在中，是的中位线，，则的长是（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 【跟踪专练1】如图，、、分别是的、、边的中点，，则的度数为 ． 【跟踪专练2】如图，在中，为的中点，为上一点，连接，，，分别为，的中点，连接．若，则的长为（   ） A．5 B．8 C．16 D．2 【题型15.三角形中位线相关证明】 【典例】顺次连接一个四边形各边中点得到的四边形是 ． 【跟踪专练1】如图，点分别是的边的中点．①图中有三个平行四边形；②图中的四个小三角形的形状和大小完全一样；③四边形的周长；④．下列选项中，正确的是（    ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【跟踪专练2】若点、、、分别为四边形 各边的中点，分别连接，，、，则四边形的形状是 ． 【题型16.三角形中位线实际应用】 【典例】如图，两点被池塘隔开，三点不共线．设的中点分别为．若米，则（    ） A．30米 B．40米 C．50米 D．60米 【跟踪专练1】游乐园中的跷跷板深受小朋友们的喜爱．如图，横板绕其中点上下摆动，立柱与地面垂直．若，则小朋友离地的最大距离为 ． 【跟踪专练2】已知△ABC的周长为1，连接其三边中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形的三边中点构成第三个三角形，以此类推，则第2022个三角形的周长为（  ） A． B． C． D． 1．如图，直线，A、B为直线n上两点，C、P为直线m上两点． (1)如果A、B、C为三个定点，点P在直线m上移动，那么无论点P移动到何位置，总有________与的面积相等．理由是____________________； (2)如果点P在如图所示的位置，请写出另外两对面积相等的三角形：____________________． 2．如图，在中，，，将此三角形沿方向平移得到，点A、B、C的对应点分别为点、、，此时边与边AC相交于点D，连接． (1)若，试求和的度数； (2)若点落在BC的中点处，且，求四边形的面积． 3．如图，的对角线和相交于点，，分别为，的中点，过点任意作直线，分别交，于点，，连接，．求证：． 4．如图，在中，对角线AC，BD相交于点O，过点A作于点N，过点C作于点M，连接AM，CN．求证：四边形ANCM为平行四边形． 5．中，中，，．若拼成图①，则与重合．若拼成图②，则与重合．求图②中的长． 6．定义：至少有一组对边相等的凸四边形为“等对边四边形”．如下图，已知四边形ABCD，E，F分别是对角线AC，BD的中点，G为BC的中点，连接EF，FG，EG，为等边三角形．求证：四边形ABCD是“等对边四边形”． 7．如图，张雨同学想了一个测量池塘宽度AB的方法：过点A、B引直线、相交于点C，在上取点E、G，使，再在上分别取点F、H，使，测得．于是，她就得出了结论：池塘的宽为．你认为她说得对吗？请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10平行四边形寒假预习讲义 · 懂定义：记住平行四边形 = 两组对边分别平行的四边形 · 记性质：对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分 · 会判定：5 种判定方法快速认平行四边形 · 用定理：会用性质 + 判定做简单计算与证明 · 知拓展：了解三角形中位线定理 预习必备 知识点梳理 1.平行四边形的定义 2.平行四边形的性质 3.平行四边形的判定 4.平行线间的距离 常考题型 精讲精炼 1.利用平行四边形性质求解 2.利用平行四边形性质证明 3.平行四边形性质的应用 4.求平行线间距离 5.利用平行线间距离解题 6.判断能否构成平行四边形 7.添条件成为平行四边形 8.数图形中平行四边形个数 9.求平行四边形顶点个数 10.证明四边形是平行四边形 11.利用平行四边形判定性质求解 12.由平行四边形判定性质证明 13.平行四边形判定性质应用 14.三角形中位线求解问题 15.三角形中位线相关证明 16.三角形中位线实际应用 强化题型 (解答题7题) 【知识点01.平行四边形的定义】 定义 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 几何语言：在四边形ABCD中，若AB∥CD，AD∥BC，则四边形ABCD是平行四边形。 【知识点02.平行四边形的性质】 1. 边的性质 对边平行：AB∥CD，AD∥BC。 对边相等：AB=CD，AD=BC。 几何语言：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，AB=CD，AD=BC。 2. 角的性质 对角相等：∠A=∠C，∠B=∠D。 邻角互补：∠A+∠B=180∘，∠B+∠C=180∘，∠C+∠D=180∘，∠D+∠A=180∘。几何语言：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C，∠B=∠D，∠A+∠B=180∘。 3. 对角线的性质 对角线互相平分：若对角线AC与BD交于点O，则OA=OC，OB=OD。 几何语言：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD。 4. 对称性 平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点O。 5. 面积 公式：S=底×高（S=ah，a为底边长，h为这条底边上的高）。 推论：平行四边形的对角线将其分成4 个面积相等的三角形。 【知识点03.平行四边形的判定】 1. 边的判定 定义判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 几何语言：∵AB∥CD，AD∥BC，∴ 四边形ABCD是平行四边形。 两组对边分别相等：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 几何语言：∵AB=CD，AD=BC，∴ 四边形ABCD是平行四边形。 一组对边平行且相等：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 几何语言：∵AB∥CD，AB=CD（或AD∥BC，AD=BC），∴ 四边形ABCD是平行四边形。 2. 角的判定 两组对角分别相等：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 几何语言：∵∠A=∠C，∠B=∠D，∴ 四边形ABCD是平行四边形。 3. 对角线的判定 对角线互相平分：对角线互相平分的四边形是平行四边形。 几何语言：∵OA=OC，OB=OD，∴ 四边形ABCD是平行四边形。 【知识点04.平行线间的距离】 1. 定义 两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离。 2. 性质 平行线之间的距离处处相等。 推论：夹在两条平行线间的平行线段相等。 【题型1.利用平行四边形性质求解】 【典例】如图，在中，，，则的周长为 ． 【答案】24 【分析】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键．根据平行四边形的性质可得，由此即可得． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴的周长为， 故答案为：24． 【跟踪专练1】如图，在平行四边形中，的角平分线交于点，则的值为（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定；首先根据平行四边形的性质可得，，，然后证明，进而可得长，即可得出答案． 【详解】解：四边形是平行四边形，，， ，，， ， 平分， ， ， ， ． 故选：D． 【跟踪专练2】已知在平行四边形中，，E是上一点，的周长是平行四边形周长的一半，且，连接，则的长为 ． 【答案】6 【分析】根据的周长是平行四边形周长的一半，可得，结合可得是线段的中垂线，推出，最后利用勾股定理即可求解． 本题考查平行四边形的性质，线段的垂直平分线的判定，勾股定理等，解题的关键是证明是线段的中垂线． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴、互相平分， ∴O是的中点． ∴， ∵的周长是平行四边形周长的一半， ∴的周长， ∴， ∵， ∴， ∴是线段的中垂线， ∴， ∴， ∴． 故答案为：6． 【题型2.利用平行四边形性质证明】 【典例】在平行四边形中，对角线与相交于点，则下列式子不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质分析即可． 【详解】解：如图： ∵四边形是平行四边形， ， ， ， 故A、B、D都不符合题意，C符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键． 【跟踪专练1】如图，在平行四边形中（），直线经过其对角线的交点，且分别交，于点，，交，的延长线于点，．下列结论：①；②；③．其中一定正确的是 （填序号）．    【答案】② 【分析】根据平行四边形的性质可得， 则不一定等于；再证明，可得，即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵不一定等于， 故①不一定正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； 根据题意得：和不全等， ∴与不全等，故③不正确， ∴ 综上所述，②正确． 故答案为：② 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【跟踪专练2】如图，直线，，，，E，G为垂足．下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质、平行四边形的判定与性质，结合平行四边形性质推导线段关系是解题的关键． 结合平行与垂直的已知条件，通过判定平行四边形、利用平行线间距离相等的性质，逐一分析每个选项的推导逻辑，判断结论是否一定成立，从而找出不一定成立的选项． 【详解】解：A、由题意可证得四边形是平行四边形，所以，故A选项成立，不符合题意． B、由两条平行线间的平行线段相等可知，故B选项成立，不符合题意． C、，， ； ， ∴四边形是平行四边形， ，故C选项成立，不符合题意． D、与的大小关系不确定，故D选项不一定成立，符合题意． 故选：D． 【题型3.平行四边形性质的应用】 【典例】在平行四边形ABCD中，下列结论一定正确的是（　　） A．∠A＝∠B B．AB＝AD C．AC＞BD D．∠B+∠C＝180° 【答案】D 【分析】根据平行四边形的性质即可完成． 【详解】A、平行四边形的对角相等，但邻角不一定相等，故错误； B、平行四边形的对边相等，但邻边不一定相等，故错误； C、平行四边形的对角线AC不一定大于对角线BD，故错误； D、平行四边形的邻角互补，故正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟悉平行四边形的性质是解题的关键． 【跟踪专练1】平行四边形两邻边分别是4和6，其中一边上的高是3，则平行四边形的面积是 ． 【答案】12或18/18或12 【分析】分两种情况讨论：①3是长为4的边上的高，②3是长为6的边上的高，再根据平行四边形的面积公式求解即可． 【详解】解：当3是长为4的边上的高时，平行四边形的面积为：3×4=12； 当3是长为6的边上的高时，平行四边形的面积为：3×6=18； 故答案为：12或18． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的面积计算，解题的关键是掌握平行四边形的面积公式，当高不知道是哪条边上的高时，要进行讨论． 【跟踪专练2】如图，在△ABC中，∠BAC=45°，AB=AC=8，P为AB边上一动点，以PA、PC为边作平行四边形PAQC，则对角线PQ的长度的最小值为（　　） A．8 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】由平行四边形的性质可知O是PQ中点，PQ最短也就是PO最短，所以应该过O作AB的垂线P′O，然后根据等腰直角三角形的性质即可求出PQ的最小值． 【详解】解：设AC、PQ交于点O，如图所示： ∵四边形PAQC是平行四边形， ∴AO=CO，OP=OQ， ∵PQ最短也就是PO最短， ∴过O作OP′⊥AB于点P′， ∵∠BAC=45°， ∴△AP′O是等腰直角三角形， ∵AO=AC=×8=4， ∴OP′= AO=2， ∴PQ的最小值=2OP′=4， 故选D． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形性质以及垂线段最短的性质等知识；解题的关键是作高线构建等腰直角三角形． 【题型4.求平行线间的距离】 【典例】已知直线a，b，c在同一平面内，且，a与b之间的距离为5cm，b与c之间的距离为3cm，则a与c之间的距离是 ． 【答案】或/或 【分析】本题考查平行线之间的距离，关键是要分两种情况讨论．分两种情况，由平行线之间的距离的定义，即可求解． 【详解】解： 如图①，a与c之间的距离为； 如图②，a与c之间的距离为． ∴a与c之间的距离为或， 故答案为：或． 【跟踪专练1】如图，已知，下列线段的长中，是，之间的距离的是（   ） A．的长 B．的长 C．的长 D．的长 【答案】C 【分析】根据平行线间距离的定义，即两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的垂线段的长度，来判断哪个选项符合． 【详解】解：平行线间的距离是指两条平行线的垂线段的长度． 线段垂直于直线和，因此的长度就是，之间的距离． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线间距离的定义，解题关键是理解平行线间距离的定义，准确识别出两条平行线的垂线段． 【跟踪专练2】.如图，直线，和的夹角，且，则两平行线和之间的距离是 ．    【答案】 【分析】本题考查两平行线之间距离，勾股定理，如图，作，根据平行线性质可推出，构造等腰直角三角形，再用勾股定理即可求得两平行线和之间的距离． 【详解】解：如图，作， 直线，， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 在中， 负值舍去. ∴两平行线和之间的距离为. 【题型5.利用平行线间距离解题】 【典例】如图，已知直线，点P在直线 a上，且到直线b的距离为3，则将a平移到b的位置，平移的距离不可以是(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了平行线间的距离，根据平行线间的距离是两平行线上两点之间连线长度的最小值即可得到答案 【详解】解：∵直线，点P在直线 a上，且到直线b的距离为3， ∴将a平移到b的位置，平移的距离不可以小于3， 故选：A 【跟踪专练1】在梯形中，， 连接、， 已知梯形的面积为16，的面积为12，那么的面积 ． 【答案】4 【分析】本题考查了平行线间的距离处处相等，先根据题意得出的面积，即可求解． 【详解】解：∵梯形的面积为16，的面积为12， ∴的面积， ∵， ∴点B到的距离等于点C到的距离， ∴的面积的面积， 故答案为：4． 【跟踪专练2】如图，已知正方形和正方形，点E在边上，连接交于点H，连接，，．若要求出图中阴影部分的面积，只需知道（    ） A．正方形的面积 B．三角形的面积 C．正方形的面积 D．三角形的面积 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的性质，单项式乘以多项式在几何图形中的应用，连接，由平行线的性质可得，则，设正方形和正方形的边长分别为，则，根据可得，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∴， 设正方形和正方形的边长分别为，则， ∴ ， ∴只需要知道正方形的面积就可以知道阴影部分的面积， 故选：A． 【题型6.判断能否构成平行四边形】 【典例】“平行四边形的两组对边分别平行”的逆定理是 ． 【答案】两组对边分别平行的四边形是平行四边形 【分析】本题考查的是命题与定理、逆命题的概念．两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题，根据逆命题的概念解答即可． 【详解】平行四边形的两组对边分别平行，逆定理是两组对边分别平行的四边形是平行四边形 故答案为：两组对边分别平行的四边形是平行四边形． 【跟踪专练1】根据下列条件，不能判定四边形是平行四边形的是（    ） A．一组对边平行且相等的四边形 B．一组对边相等一组对角是直角的四边形 C．对角线相等的四边形 D．对角线互相平分的四边形 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的判定条件；根据初中数学教材，平行四边形的判定包括：一组对边平行且相等、两组对边分别相等、对角线互相平分等；选项A和D是标准判定条件，能判定平行四边形；选项B通过推导可知能判定；选项C对角线相等不能判定平行四边形，如等腰梯形. 【详解】解：A. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； B. 一组对边相等且一组对角是直角的四边形：连接对角线，利用勾股定理可证另一组对边相等，从而判定平行四边形； C. 对角线相等的四边形不能判定平行四边形，如等腰梯形对角线相等但不是平行四边形； D. 对角线互相平分的四边形是平行四边形； 故选：C. 【跟踪专练2】如图所示的是某小区门口汽车出入道闸示意图．四边形ABCD在长方形道闸（）打开的过程中，边AB固定，连杆AD，BC分别绕点A，B转动，且边DC始终与边AB平行，则在转动的过程中，AD与BC的关系为 ． 【答案】平行且相等/ 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，平行四边形的对边平行且相等是解题的关键． 根据已知条件且，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定四边形为平行四边形，再结合平行四边形的性质，得出与的关系． 【详解】解：∵，且， ∴四边形是平行四边形， ∴且，即与的关系为平行且相等． 故答案为：平行且相等（或）． 【题型7.添条件成为平行四边形】 【典例】在四边形中，对角线相交于点O，且．如果要使四边形是平行四边形，那么可以添加的条件是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定定理，根据选项，结合对角线互相平分的四边形是平行四边形即可得到答案． 【详解】解：根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可知添加的条件为， 故选：C． 【跟踪专练1】如图，四边形中，，，点在边上以的速度从点出发向点移动，同时点在边上以的速度从点出发向点移动．若，，则 s时，四边形是平行四边形． 【答案】3 【分析】本题考查了平行四边形的判定，动点问题的方程思想，掌握利用平行四边形一组对边平行且相等的判定定理，结合动点速度列方程求解是解题的关键． 设运动时间为秒，利用平行四边形一组对边平行且相等” 的判定定理，结合动点速度表示线段长度，列方程求解． 【详解】解：设时，四边形是平行四边形． 根据题意，得，． ， ． ， 当时，四边形是平行四边形， ， 解得． 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，已知，增加下列条件仍不可以使四边形成为平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知平行四边形的判定定理．根据平行四边形的判定定理即可求解． 【详解】解：A．∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形，故不符合题意；     B．∵，， ∴四边形是平行四边形，故不符合题意； C．∵， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故不符合题意；     D．由，不能判定四边形是平行四边形，故符合题意； 故选D． 【题型8.数图形中平行四边形个数】 【典例】如图，线段，相交于点，且点，，与点，，分别四等分线段与，则依次连接这些点可以构成 个平行四边形． 【答案】4 【分析】本题考查了平行四边形的定义，熟练掌握相关内容是解题的关键； 根据平行四边形的定义数出具体有几个平行四边形． 【详解】解：根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”可得： 在四边形中，， ∴四边形是平行四边形 同理可得，四边形，四边形，四边形，均为平行四边形；一共4个； 故答案为：4． 【跟踪专练1】如图，在的正方形网格中，以线段为对角线作平行四边形，使另两个顶点也在格点上，则这样的平行四边形最多可以画（    ）． A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形的判定，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．根据平行四边形的判定方法即可解决问题． 【详解】解：在直线的左下方有5个格点，都可以成为平行四边形的顶点，所以这样的平行四边形最多可以画5个， 故选B． 【跟踪专练2】如图，在四边形中，，，则图中共有 个平行四边形，它们分别是 （有符号表示）． 【答案】 3 ，， 【分析】本题考查了平行四边形的判定，解题的关键是掌握有两组对边分别平行的四边形是平行四边形． 根据平行四边形的判定数出平行四边形的个数即可． 【详解】解：，， ∴四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，四边形是平行四边形， 则图中共有个平行四边形，它们分别是，，， 故答案为：；，，． 【题型9.求平行四边形顶点个数】 【典例】以不在同一直线上的三点为顶点作平行四边形，最多能作 个不同的平行四边形． 【答案】3 【分析】连接三点，分别以三边作为平行四边形的对角线，作图即可得3个平行四边形． 【详解】解：如图， 以点，，能做三个平行四边形：，，． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，在应用判定定理判定平行四边形时，应仔细观察题目所给的条件，仔细选择适合于题目的判定方法进行解答，避免混用判定方法． 【跟踪专练1】以不共线的三点A、B、C为顶点的平行四边形共有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．无数 【答案】C 【分析】分别以△ABC的三边为对角线作出平行四边形即可得解. 【详解】如图，分别以AB、BC、AC为对角线作平行四边形，共可以作出3个平行四边形. 故选C． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，解题的关键在于以三角形的三边作为所作平行四边形的对角线. 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，函数的图象分别交轴，轴于，两点，过点的直线交轴正半轴于点，且．在平面直角坐标系内存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标为 ． 【答案】或或 【分析】先分别求出，和点坐标，以，，，为顶点的四边形是平行四边形，分三种情况：①，为边，②，为边，③，为边，根据平行四边形的判定方法求出点坐标即可 【详解】解：∵函数的图象分别交轴，轴于，两点， 当时，， ∴， ∵，且点位于轴正半轴， ∴， ∴ 当时，，解得， ∴， 以，，，为顶点的四边形是平行四边形，分三种情况： 如图所示： ①，为边， ∴，， ∵，，， ∴线段向右平移3个单位，再向下平移2个单位得到线段， 则点的对应点为点，点的对应点为点， ∴； ②，为边， ∴，， ∵，，， ∴线段向右平移3个单位，再向下平移6个单位得到线段， 则点的对应点为点，点的对应点为点， ∴； ③，为边， ∴，， ∵，，， ∴线段向左平移3个单位，再向上平移2个单位得到线段， 则点的对应点为点，点的对应点为点， ∴． 综上所述，满足条件的点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了一次函数与平行四边形的综合，涉及到图形的平移及平移特征，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移规律相同，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征与平行四边形的判定是解题的关键． 【题型10.证明四边形是平行四边形】 【典例】四边形的四个相邻内角度数的比值依次如下，那么是平行四边形的为（　　） A．1：2：2：1 B．1：3：1：3 C．1：1：4：4 D．1：2：3：4 【答案】B 【分析】由两组对角相等的四边形是平行四边形，结合比值可得答案． 【详解】解：∵两组对角分别相等的四边形是平行四边形， ∴比值中能反映对角相等的只有1：3：1：3， ∴A，C，D不符合题意，B符合题意； 故选B 【点睛】本题考查的是平行四边形的判定，熟记两组对角分别相等的四边形是平行四边形并灵活应用是解本题的关键． 【跟踪专练1】如图，四边形的对角线，交于点，，．当 时，四边形是平行四边形． 【答案】8 【分析】本题考查了平行四边形的判定，掌握对角线互相平分的四边形是平行四边形是解题的关键． 已知对角线互相平分，根据平行四边形判定定理，需对角线也互相平分，从而计算的长度． 【详解】解：∵已知 ，即对角线被点平分． ∴要使四边形是平行四边形，对角线也必须被点平分，即 ∵，且 ∴ 当时，四边形是平行四边形． 故答案为：． 【跟踪专练2】现有一四边形，借助此四边形作平行四边形，两位同学提供了如下方案，对于方案I、II，下列说法正确的是（    ） 方案I：   作边的垂直平分线，，分别交于点，顺次连接这四点围成的四边形即为所求． 方案II：   连接，过四边形各顶点分别作的平行线，这四条平行线围成的四边形即为所求． A．I可行、II不可行 B．I不可行、II可行 C．I、II都可行 D．I、II都不可行 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的判定，三角形的中位线定理．熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 方案Ⅰ，利用三角形的中位线定理，即可得出结论； 方案Ⅱ，利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形，即可得出结论． 【详解】解：方案Ⅰ：连接，， 作边，，，的垂直平分线，，，，分别交，，，于点，，，， ，，，分别为，，，的中点， ， ， 四边形是平行四边形； 方案Ⅱ：由题意，得：， 四边形是平行四边形； 方案I、Ⅱ都可行， 故选C． 【题型11.利用平行四边形判定性质求解】 【典例】如图，在一束平行光线中插入一张对边平行的纸板，如果光线与纸板右下方所成的角，则光线与纸板左上方所成的角∠2的度数是 ． 【答案】/72度 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，掌握平行四边形的判定方法是解题关键．根据两组对边平行的四边形是平行四边形可证得四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质即可解答． 【详解】解：如图所示， 根据题意得，，， ∴四边形为平行四边形， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，，，分别是的边，，的中点，连接，，，若的面积为2，则的面积为（    ） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 【答案】C 【分析】此题考查了三角形中位线的性质和判定，平行四边形的性质和判定， 首先证明出，是的中位线，得到，，然后证明出四边形是平行四边形，进而求解即可． 【详解】解：∵，，分别是的边，，的中点， ∴，是的中位线， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴． 故选：C． 【跟踪专练2】如图，在平行四边形中，是的中点，是的中点，交于点，若，则 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了平行四边形的判定和性质，三角形中位线的性质定理等． 取中点H，连接与，根据线段中点得出，利用三角形中位线的性质及平行线的判定得出四边形为平行四边形，再由平行四边形的性质求解即可． 【详解】解： 取中点H，连接与，如图所示： ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵F是的中点，H为中点， ∴为的中位线， ∴，， ∵E是中点， ∴， ∴， ∵ ∴四边形为平行四边形， ∴， 故答案为：． 【题型12.由平行四边形判定性质证明】 【典例】如图所示，四边形是平行四边形，点在线段的延长线上，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据补角的定义求，再利用平行四边形对角相等的性质求解即可． 【详解】∵ ∴ ∵四边形是平行四边形 ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了补角的定义和平行四边形的性质．平行四边形的性质，对边相等，对角相等，对角相互相平分． 【跟踪专练1】如图，在中，．若，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形是解题的关键． 利用平行四边形性质，结合推出且，判定四边形为平行四边形，再由平行四边形对角相等得． 【详解】解：∵四边形是平行四边形 ∴ ， ∵ ∴ 即 ∵ ∴ ∵且 ∴ 四边形是平行四边形 ∴ ∵ ∴ ． 故答案为：． 【跟踪专练2】在中，，为锐角，要在对角线上找点M、N，使四边形为平行四边形，现有图中甲、乙、丙三种方案，其中正确的是（　　） A．只有甲、乙 B．只有甲、丙 C．只有乙、丙 D．甲、乙、丙 【答案】D 【分析】此题重点考查平行四边形的性质、平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质． 由平行四边形的性质得，，则，由甲方案可知，可根据“”证明，得，，所以，则四边形为平行四边形，所以甲方案正确；由乙方案可知于点N，于点M，则，，可根据“”证明，得，则四边形为平行四边形，所以乙方案正确；由丙方案可知，，则，可根据“”证明，得，，则，所以，则四边形是平行四边形，所以丙方案正确，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，M、N为上两点， ∴，， ∴， 由甲方案可知，，且， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形为平行四边形， 故甲方案正确； 由乙方案可知于点N，于点M， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， 故乙方案正确； 由丙方案可知，分别平分，交于点N，M， ∴∠，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 故丙方案正确， 故选：D． 【题型13.平行四边形判定性质应用】 【典例】为了保证铁路的两条直铺的铁轨互相平行，只要使互相平行的加在铁轨之间的枕木长相等就可以了，请你说出这样判断的依据是 ． 【答案】一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 【分析】根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形进行判定，然后结合平行四边形的性质证明即可． 【详解】解：如图所示，设与为两条铁轨，，，等均为枕木， 由题意，，， ∴四边形为平行四边形， ∴， 同理可证，四边形等均为平行四边形， ∴ ∴保证铁路的两条直铺的铁轨互相平行，只要使互相平行的放在铁轨之间的枕木长相等就可以了， ∴这样判断的依据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 故答案为：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，理解并掌握平行四边形的判定方法是解题关键． 【跟踪专练1】如图，点、分别是的边、的中点，连接，过点作，交的延长线于点，若，则的长为（    ）    A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形中位线定理和平行四边形的性质计算即可； 【详解】解：∵点、分别是的边、的中点， ∴是的中位线， ∴，， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理和平行四边形的判定与性质，熟知三角形中位线定理并能正确识图是解题关键． 【跟踪专练2】如图，在中，点为的中点，连接，，为的三等分点，连接交于点．若，则的长为 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查了中位线的定义和性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识点，正确作出辅助线、构造平行四边形是解题的关键． 根据三等分点可得E、F分别是线段的中点可得且， 如图：过D作，则四边形是平行四边形可得、，再证明可得，再根据三角形中位线的性质可得，最后根据线段的和差即可解答． 【详解】解：∵ E、F是的三等分点， ∴，即点F是的中点，点E是的中点， ∵D是的中点， ∴是的中位线， ∴且， 如图：过D作，则四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：9． 【题型14.三角形中位线求解问题】 【典例】如图，在中，是的中位线，，则的长是（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题考查三角形中位线的性质，由三角形中位线的性质求解即可． 【详解】解：∵在中，是的中位线，， ∴． 故选：D． 【跟踪专练1】如图，、、分别是的、、边的中点，，则的度数为 ． 【答案】/52度 【分析】本题主要考查三角形的中位线及平行四边形的性质与判定，熟练掌握三角形的中位线及平行四边形的性质与判定是解题的关键；由三角形中位线可知，则有四边形是平行四边形，然后问题可求解． 【详解】解：∵、、分别是的、、边中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴； 故答案为． 【跟踪专练2】如图，在中，为的中点，为上一点，连接，，，分别为，的中点，连接．若，则的长为（   ） A．5 B．8 C．16 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了三角形中位线定理，掌握三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半是解题的关键． 先根据为中点判定是的中位线，得到与的数量关系，再结合是中点，推导的长度． 【详解】解：∵分别为的中点， ∴是的中位线。 ∴ ∵ ∴ ∵为的中点， ∴ 故选：C． 【题型15.三角形中位线相关证明】 【典例】顺次连接一个四边形各边中点得到的四边形是 ． 【答案】平行四边形 【分析】根据中点四边形的性质判断即可； 【详解】解：如图所示， 四边形ABCD，E，F，G，H是四边形的中点， ∴，，，， ∴，， ∴四边形EFGH是平行四边形； 故答案为：平行四边形． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与三角形中位线定理，准确判断是解题的关键． 【跟踪专练1】如图，点分别是的边的中点．①图中有三个平行四边形；②图中的四个小三角形的形状和大小完全一样；③四边形的周长；④．下列选项中，正确的是（    ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的中位线定理、平行四边形的性质与判定，熟练掌握三角形的中位线定理是解题的关键．根据三角形的中位线定理，可得，，，，，，得出四边形、四边形、四边形都为平行四边形，可判断①；由平行四边形的性质可得，图中的四个小三角形为全等三角形，可判断②；利用平行四边形的周长公式可判断③；利用中点的定义可判断④，即可得出结论． 【详解】解：点分别是的边的中点， ，，，，，， 四边形、四边形、四边形都为平行四边形，故①正确； 图中的四个小三角形为全等三角形，即形状和大小完全一样，故②正确； 四边形为平行四边形， 四边形的周长，故③正确； 点分别是边的中点， ，， ，故④正确； 综上所述，正确的是①②③④． 故选：D． 【跟踪专练2】若点、、、分别为四边形 各边的中点，分别连接，，、，则四边形的形状是 ． 【答案】平行四边形 【分析】本题考查平行四边形的判定，连接，根据三角形中位线定理得，，，，继而得到，，可得结论．解题的关键是熟练应用三角形中位线定理． 【详解】解：四边形是平行四边形． 理由：连接，如图， ∵点、分别是、的中点， ∴，， ∵点、分别是、的中点， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形． 故答案为：平行四边形． 【题型16.三角形中位线实际应用】 【典例】如图，两点被池塘隔开，三点不共线．设的中点分别为．若米，则（    ） A．30米 B．40米 C．50米 D．60米 【答案】B 【分析】本题考查了三角形中位线定理的应用；根据三角形中位线定理知，，即可求解． 【详解】解：∵的中点分别为， ∴是的中位线， ∴（米）； 故选：B． 【跟踪专练1】游乐园中的跷跷板深受小朋友们的喜爱．如图，横板绕其中点上下摆动，立柱与地面垂直．若，则小朋友离地的最大距离为 ． 【答案】100 【分析】由题意可知，是的中点，且、都与地面垂直，因此．根据三角形中位线定理，在中，是中位线，利用中位线性质即可求出的长度． 【详解】解：∵ 是的中点，且，， ∴． ∴是的中位线． ∴． ∵， ∴． ∴小朋友离地的最大距离为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理，解题关键是识别出是的中位线，从而利用中位线性质求出的长度． 【跟踪专练2】已知△ABC的周长为1，连接其三边中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形的三边中点构成第三个三角形，以此类推，则第2022个三角形的周长为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形的中位线定理，找规律求解，每一条中位线均为其对边的长度的，因此新三角形周长是前一个三角形周长的． 【详解】解：△ABC周长为1， ∵每条中位线均为其对边的长度的， ∴第2个三角形对应周长为； 第3个三角形对应的周长为（）2； 第4个三角形对应的周长为（）3； … 以此类推，第n个三角形对应的周长为（）n﹣1； ∴第2022个三角形对应的周长为（）2021，即， 故选：C． 【点睛】此题考查了中位线定理；熟练掌握三角形中位线定理，找出每一个新的三角形周长是上一个三角形周长的是解决问题的关键． 1．如图，直线，A、B为直线n上两点，C、P为直线m上两点． (1)如果A、B、C为三个定点，点P在直线m上移动，那么无论点P移动到何位置，总有________与的面积相等．理由是____________________； (2)如果点P在如图所示的位置，请写出另外两对面积相等的三角形：____________________． 【答案】(1)，同底等高的两个三角形的面积相等 (2)与，与 【分析】本题主要考查了三角形的面积、平行线之间的距离等知识点，掌握“平行线间的距离相等”和“同底等高的三角形的面积相等”是解题的关键． （1）利用“平行线间的距离相等”和“同底等高的三角形的面积相等”即可解答； （2）利用“平行线间的距离相等”和“同底等高的三角形的面积相等”即可解答． 【详解】（1）解：∵直线，, ∴点P和点C到直线n的距离相等． 又∵在和中，， ∴（同底等高的两个三角形的面积相等）． 故答案为：，同底等高的两个三角形的面积相等． （2）解：设直线m和n之间的距离为h ∵, ∴． ∴,即． 故答案为：与，与． 2．如图，在中，，，将此三角形沿方向平移得到，点A、B、C的对应点分别为点、、，此时边与边AC相交于点D，连接． (1)若，试求和的度数； (2)若点落在BC的中点处，且，求四边形的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了平移的性质，平行四边形的判定及性质等；掌握平移的性质，平行四边形的判定及性质是解题的关键． （1）由平移的性质得，，结合平行线的性质，即可求解； （2）由平移的性质得，，，结合平行四边形的判定及性质，即可求解． 【详解】（1）解：由平移得： ，， ， ， ； （2）解：由平移得： ， ，， 四边形是平行四边形， 点落在的中点处， ， 四边形的面积为： ． 3．如图，的对角线和相交于点，，分别为，的中点，过点任意作直线，分别交，于点，，连接，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，掌握平行四边形的性质与判定方法是解题的关键． 可证四边形为平行四边形，需证其对角线互相平分，即证且，先证得，再由中点及得． 【详解】证明：如图，连接，． 四边形是平行四边形， ，，， ． 在和中， ， ． ，分别为和的中点， ，． ， ， 四边形为平行四边形， ． 4．如图，在中，对角线AC，BD相交于点O，过点A作于点N，过点C作于点M，连接AM，CN．求证：四边形ANCM为平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 方法：通过平行四边形的性质得到，由垂直的定义得到，即可通过证明，通过全等三角形的性质得到，最后根据对角线互相平分的四边形为平行四边形进行证明即可；方法：通过平行四边形的性质得到，，，，两直线平行内错角相等可得到，由垂直的定义得到，即可通过证明，通过全等三角形的性质得到，再通过线段的和差关系得到，最后根据对角线互相平分的四边形为平行四边形进行证明即可． 【详解】方法：证明：∵四边形为平行四边形， ． ，， ． 在和中， ， ， ∴四边形为平行四边形． 方法：∵四边形为平行四边形， ，，，， ． ，， ． 在和中， ， ， ，即， ∴四边形为平行四边形． 5．中，中，，．若拼成图①，则与重合．若拼成图②，则与重合．求图②中的长． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用，掌握平行四边形的角的性质和等腰直角三角形的边长关系是解题的关键． 先利用平行四边形的角的关系求出的度数，从而得到的度数，再判断为等腰直角三角形，求出的长度，结合图①中与重合的条件得到的长度，最后计算的长． 【详解】解：在中， ， ． ， ， ． 由图②知，． ， 为等腰直角三角形， ， ． 由图①知，， ． 6．定义：至少有一组对边相等的凸四边形为“等对边四边形”．如下图，已知四边形ABCD，E，F分别是对角线AC，BD的中点，G为BC的中点，连接EF，FG，EG，为等边三角形．求证：四边形ABCD是“等对边四边形”． 【答案】见解析 【分析】本题考查了三角形中位线定理与等边三角形的性质，掌握三角形中位线平行且等于第三边的一半，结合等边三角形的边相等推导线段关系是解题的关键． 通过中点条件确定中位线，得到中位线与四边形对边的长度关系，再由等边三角形的边相等，转化为四边形对边相等． 【详解】证明：∵为等边三角形， ∴． ∵，分别是对角线，的中点，为的中点， ∴是的中位线，是的中位线， ∴，， ∴， ∴四边形是“等对边四边形”． 7．如图，张雨同学想了一个测量池塘宽度AB的方法：过点A、B引直线、相交于点C，在上取点E、G，使，再在上分别取点F、H，使，测得．于是，她就得出了结论：池塘的宽为．你认为她说得对吗？请说明理由． 【答案】说法正确，理由见解析 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，过点作，交于点．只要证明四边形是平行四边形且即可． 【详解】解：正确． 理由：过点作，交于点，则， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $