利用导数研究切线问题、极值与最值问题、含参单调性问题专项训练-2025-2026学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

利用导数研究切线问题、极值与最值问题、含参单调性问题专项训练 利用导数研究切线问题、极值与最值问题、含参单调性问题专项训练 考点目录 利用导数研究切线问题 利用导数研究极值与最值问题 利用导数研究含参单调性问题 考点一 利用导数研究切线问题 例1．（25-26高二上·湖南郴州·期末）曲线在点处的切线倾斜角为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【详解】由于，所以, 则曲线在点处的切线斜率为1，则倾斜角为, 故选：A 例2．（25-26高二上·浙江衢州·期末）函数在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，所以， 则切线方程为，整理得． 故选：D． 例3．（25-26高二上·河南郑州·期末）若直线与曲线相切，则n的值为（    ） A．ln2 B．ln2－3 C．－ln2 D．3－ln2 【答案】D 【详解】因为，所以， 令，解得或（舍）， 令，则， 将点代入中得. 故选：D 例4．（25-26高二上·安徽芜湖·期末）已知，则在处的切线方程为 . 【答案】 【详解】由，得，令，则，解得，所以， 所以在处的切线方程的斜率为， 又， 所以切线方程为：，即. 故答案为：. 例5．（25-26高二上·陕西榆林·期末）设函数，则曲线在，处的切线方程为 . 【答案】 【详解】， ， ， ， 曲线在点处的切线方程为， 即. 故答案为： 例6．（25-26高三上·江西南昌·期末）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 ． 【答案】 【详解】由函数，可得，所以， 所以曲线在点处的切线方程为， 又由函数，可得， 设曲线的切点为， 则，解得. 故答案为：. 变式1．（25-26高二上·山西晋城·期末）已知函数，则曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以，则， 所以函数在处的切线方程为，即. 故选：B. 变式2．（25-26高二上·福建厦门·期末）若过可作曲线的三条切线，切点的横坐标分别为，，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设切点坐标为，曲线的切线方程为， 代入，得  ，该方程有三个不同的解，，． 令，， 令，则或， 当和时，，当时，，知的增区间为，，减区间为， 所以函数在和处分别取得极大值和极小值，要想函数有三个不同零点， 则满足题意． 此时， 对比可得， 故选:． 变式3．（24-25高二下·山东济南·月考）已知函数，若过点可作曲线的三条切线，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设切点为，因为，则， 切线斜率为， 所以，曲线在点处的切线方程为， 将点的坐标代入切线方程得， 整理可得， 令，则， 由可得或，列表如下： 增 极大值 减 极小值 增 所以，函数的增区间为、，减区间为， 所以，函数的极大值为，极小值为，如下图所示： 由题意可知，直线与函数的图象有三个交点，则， 因此，实数的取值范围是. 故选：C. 变式4．（25-26高二上·安徽芜湖·期末）曲线在原点处的切线方程为 ． 【答案】 【详解】由题意得，所以， 由，得，即所求的切线方程为. 故答案为：. 变式5．（25-26高二上·安徽合肥·期末）若曲线在处的切线与直线垂直，则的值为 . 【答案】 【详解】函数，. 求导得,， 故曲线在处的切线斜率为. 由，得，所以其斜率为. 所以，解得 . 故答案为：. 变式6．（25-26高三上·河南商丘·期末）已知直线是曲线与曲线的公切线，则实数的最大值是 . 【答案】e 【详解】设直线与曲线相切于点，与曲线相切于点. 令，则，所以，所以， 令，则，所以，解得， 所以，消去后得. 令，则， 令，则在上恒成立，所以单调递减， 又，所以当时，，即单调递增，当时，，即单调递减， 所以，即实数的最大值是e． 故答案为：e. 考点二 利用导数研究极值与最值问题 例1．（25-26高二上·江苏泰州·期末·多选）已知函数，则（   ） A．当时，在区间上的最大值为2 B．当时，2是的极大值点 C．若在区间上单调递减，则 D．若的图象关于点中心对称，则 【答案】ACD 【详解】对于选项AB：当时，则，， 且，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 可知2是的极小值点，故B错误； 且，，所以在区间上的最大值为2，故A正确； 对于选项C：由题意可知：， 若在区间上单调递减，则在区间上恒成立， 因为为开口向上的二次函数，且， 则，解得，故C正确； 对于选项D：因为， 若的图象关于点中心对称，则， 即， 整理可得， 因为不恒成立，则，所以，故D正确； 故选：ACD. 例2．（2026·贵州·模拟预测·多选）已知函数在处取得极小值，则的取值可能是（   ） A．-1 B．1 C．2 D．3 【答案】ABC 【详解】. 当时，，则得；得； 则在上单调递减，在上单调递增， 所以是的极小值点，符合题意； 当时，令，得或， 当时，，则得或；得； 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以是的极小值点，符合题意； 当时，在上单调递增，没有极值； 当时，，则得或；得； 则在上单调递增，在上单调递减， 所以是的极大值点，不符合题意， 综上，，则符合题意的有ABC选项. 故选：ABC 例3．（25-26高二上·河北石家庄·期末）已知函数． (1)求的单调区间； (2)求的极值； (3)求在区间上的最值． 【答案】(1)单调递增区间是，单调递减区间是； (2)极大值为，无极小值 (3)最大值；最小值． 【详解】（1）由题意知函数的定义域为， 令，得， 列表如下： 2 + 0 - 由上表知，在上，单调递增； 在上，单调递减； 的单调递增区间是，单调递减区间是； （2）极大值为，无极小值 （3）， ， 由（1）知，在上递增，在上递减， ∴当时，取最大值； ∴当时，取最小值． 例4．（25-26高二上·山西吕梁·期末）已知函数． (1)求的最小值； (2)求的极值及在上的值域． 【答案】(1)． (2)极大值为，极小值为； 【详解】（1）由题意得的定义域为，求导得，由基本不等式，可知，当且仅当时等号成立； 所以的最小值为. （2）由（1）知． 令，得，或，令，得， 所以的单调递增区间为和，单调递减区间为， 所以在处取得极大值，在处取得极小值， 所以的极大值为，极小值为， 又，， 显然，，所以在上的值域为． 例5．（25-26高二上·山西长治·期末）给定函数. (1)判断函数的单调性，并求出的极值. (2)求函数在区间上的最大值与最小值. 【答案】(1)答案见解析 (2)最小值为，最大值为 【详解】（1）函数的定义域为， 又， 由，解得或，由，解得， 所以函数的单调递增区间为，；单调递减区间为． 则在处取得极大值，且， 在处取得极小值，且， 综上可得的单调递增区间为，；单调递减区间为； ，. （2）由（1）知，函数在上单调递减，在上单调递增， ∴函数在上的最小值为， 又，函数在上的最大值为． ∴函数在上的最小值为，最大值为． 变式1．（25-26高二上·云南昆明·期末·多选）设函数的导函数为，则（   ） A． B．是函数的极大值点 C．有且仅有两个零点 D．在上的最小值为 【答案】AD 【详解】由， 求导得，令，得， 即， 则. A：因为，所以A正确； B：因为当时，单调递增， 当时，单调递减，且， 所以是函数的极小值点，因此B错误； C：，或， 由，因此有且仅有三个零点，所以C不正确； D：当时，单调递增， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 因为，所以在上的最小值为，因此D正确， 故选：AD 变式2．（2026·四川遂宁·一模·多选）已知函数，则（    ） A．的图象关于点成中心对称 B．当时，有两个极值点 C．对于任意有三个零点 D．当时，在上存在最大值 【答案】AC 【详解】对于A： ， 所以的图象关于点成中心对称，故A正确； 对于B：，令，即， 所以， 所以当时，方程有两个根，即有两个极值点，故B错误； 对于C：由，解得， 显然当时，， 由有：或，由有：， 所以在单调递减，在单调递增， 又， 当，所以对于任意有三个零点，故C正确； 对于D：当时，在单调递减，又， 所以在单调递减，故不存在最大值，存在最小值，故D错误； 故选：AC. 变式3．（25-26高二上·山西晋城·期末）已知函数. (1)求函数的单调区间和极值； (2)求函数在上的最值. 【答案】(1)单调递增区间为，，单调递减区间为；极大值为32，极小值为0 (2)最大值为32，最小值为0 【详解】（1）函数的定义域为， ， 令，解得或. 当或时，；当时，， 所以函数的单调递增区间为：，； 单调递减区间为：； 当时，函数取极大值，且极大值为； 当时，函数取极小值，且极小值为； （2）由（1）知，在区间上， 当时，函数有极大值，且极大值为； 当时，函数取极小值，且极小值为； 又因为，. 所以函数在区间上的最大值为32，最小值为0. 变式4．（25-26高二上·广东惠州·期末）已知函数，（）. (1)求函数和的导数； (2)求函数的极值. 【答案】(1)； (2)极小值；极大值. 【详解】（1）因为，所以. 因为，所以. （2）由（1）得， 令解得或， 当变化时，，的变化如下表： 1 － 0 ＋ 0 － 单调递减 单调递增 单调递减 所以当时，取到极小值， 当时，取到极大值. 变式5．（25-26高二上·浙江宁波·期末）已知函数． (1)若，求函数在点处的切线方程； (2)讨论函数的极值． 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）当时，，因为，所以切点为， 又，所以切线斜率， 故切线方程为，即； （2）函数的定义域为，且， 当时，恒成立，所以在上单调递减，无极值． 当时，令，解得；令，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增，， 所以的极小值为，无极大值． 考点三 利用导数研究含参单调性问题 例1．（24-25高二下·重庆·期中）若函数在上不单调，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵，∴. ∵，∴. 设，则. 当时，，在上单调递增， ∴，此时在上单调递增，不合题意. 当时，由得，由得， ∴在上单调递减，在上单调递增， ∴， 当时，，当时，， ∵函数在上不单调， ∴，即， ∴，解得，即实数的取值范围为. 故选：D. 例2．（24-25高二下·河北张家口·月考）若函数恰好有三个单调区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，则， ， 当，即时，，则在上单调递增，不满足题意，舍； 当，即或时，的两根为，且， 则得或；得， 则 在和上单调递增，在上单调递减， 则恰好有三个单调区间，满足题意，故实数的取值范围是. 故选：C. 例3．（25-26高二上·福建厦门·期末）若函数单调递增，则实数的取值范围为 【答案】 【详解】依题意知， 因为函数在单调递增， 所以，即对任意恒成立， 所以对任意恒成立， 又因为（当且仅当时取“”）， 所以. 故答案为： 例4．（25-26高二上·河南郑州·期末）若函数在上单调，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】函数的定义域为， 又， 所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又函数在上单调，所以，即实数的取值范围是. 故答案为： 例5．（25-26高二上·浙江舟山·期末）已知函数． (1)若，求在处的切线方程； (2)讨论的单调性： (3)若在区间上存在极值，且此极值小于，求的取值范围． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【详解】（1）当时，，， 所以，. 所以在处的切线方程为：，即. （2）因为，. 所以. 若，则在上恒成立，所以在上为减函数； 若，由，由. 所以在上为减函数，在上为增函数. 综上，时，在上为减函数； 时，在上为减函数，在上为增函数. （3）由（2）知：，即，此时函数在处取得极小值. 由， 由， 结合，得. 故的取值范围为. 例6．（24-25高二下·河北保定·月考）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）当时，则，， 所以，则切点为，切线的斜率，所以切线方程为； （2）函数的定义域为，又， 当时，则当时，当或时， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为，； 当时（当且仅当时取等号）， 所以的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，则当时，当或时， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为，； 综上可得： 当时的单调递减区间为，单调递增区间为，； 当时的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时的单调递减区间为，单调递增区间为，. 例7．（24-25高二下·福建三明·期中） (1)，求曲线在点处的切线方程 (2)讨论的单调性 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【详解】（1）当时，，求导得，则，而， 所以所求切线方程为：，即． （2）函数的定义域为R，求导得， 当时，恒成立，函数在R上单调递减； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数在R上单调递减； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. 变式1．（25-26高二上·江苏镇江·期末）若函数在上单调递减，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以， 因为在上单调递减，所以在上恒成立， 所以，即在上恒成立， 令，则只需即可， 当时，由反比例函数的性质得单调递减， 所以， 所以，即的取值范围是， 故选：B 变式2．（25-26高二上·福建厦门·期末）已知函数在区间上是单调函数，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】（解法1）因为在区间上是单调函数， 所以，对，有， 或者恒成立， 所以，对有或者恒成立， 利用二次函数性质求解可得：或者， 设，定义域为，， 当时，，所以， 即在上单调递减，则， 又因为时，， 且时，， 所以，则或者， 所以. （解法2）若在区间上不单调， 则在内存在极值点， 所以，在内存在变号实根， 即在内存在变号实根， 化简得：在内存在变号实根， 所以，直线与函数在上的图像有交叉点， 又由解法一可知，，所以，化简得：， 若在区间上是单调函数，则. 故选：D. 变式3．（25-26高三上·江西南昌·月考）若函数在上不单调，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】因为，，所以，， 因为，所以. 设，，则. 当时，，在上单调递增，在上单调递增， 所以，此时在上单调递增，不合题意. 当时，由得，由得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 即在上单调递减，在上单调递增， 所以， 因为函数在上不单调，且，所以，即， 所以，解得，即实数的取值范围为. 故答案为：. 变式4．（25-26高二上·重庆沙坪坝·期末）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】函数, 则， 因为在上单调递减，则在上恒成立， 即在上恒成立， 设， 则，令，得， 当时，，在单调递增， 当时，，在单调递减， 所以有最大值为， 所以，即， 实数的取值范围是. 故答案为： 变式5．（24-25高二下·河北唐山·期中）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【详解】（1）由题意可知，则， 当时，恒成立，在上单调递增， 当时，由解得，由解得， 所以在上单调递增，在上单调递减. 综上所述，当时，在上单调递增，当时，在上单调递增，在上单调递减. （2）由（1）可知不等式，即在上恒成立， 即在上恒成立，只需即可， 令，则， 当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减， 所以，所以. 变式6．（24-25高二下·浙江杭州·月考）已知函数 (1)当时，求函数的极值. (2)求函数的单调区间. 【答案】(1)极大值为，极小值为； (2)答案见解析 【详解】（1）当时，的定义域为， 故， 令得或， 令得或，令得， 所以在，上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，在处取得极小值， 故极大值为，极小值为； （2）的定义域为， ， 当时，令得，令得， 故单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，，令得或，令得， 故单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，，此时恒成立，故单调递增区间为； 当时，，令得或，令得， 故单调递增区间为，单调递减区间为； 综上，当时，单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，单调递增区间为； 当时，单调递增区间为，单调递减区间为. 变式7．（24-25高二上·河南许昌·期末）已知函数． (1)当时，求在点处的切线方程； (2)若，试讨论的单调性． 【答案】(1) (2)当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；当时，函数的单调递增区间为；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为． 【详解】（1）当时，， ， ，，所以切点为， 切线方程即． （2）的定义域为，， 当时，由可得或；由可得， 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，恒成立，函数的单调递增区间为； 当时，由可得或；由可得 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $利用导数研究切线问题、极值与最值问题、含参单调性问题专项训练 利用导数研究切线问题、极值与最值问题、含参单调性问题专项训练 考点目录 利用导数研究切线问题 利用导数研究极值与最值问题 利用导数研究含参单调性问题 考点一 利用导数研究切线问题 例1．（25-26高二上·湖南郴州·期末）曲线在点处的切线倾斜角为（   ） A． B． C．或 D． 例2．（25-26高二上·浙江衢州·期末）函数在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26高二上·河南郑州·期末）若直线与曲线相切，则n的值为（    ） A．ln2 B．ln2－3 C．－ln2 D．3－ln2 例4．（25-26高二上·安徽芜湖·期末）已知，则在处的切线方程为 . 例5．（25-26高二上·陕西榆林·期末）设函数，则曲线在，处的切线方程为 . 例6．（25-26高三上·江西南昌·期末）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 ． 变式1．（25-26高二上·山西晋城·期末）已知函数，则曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高二上·福建厦门·期末）若过可作曲线的三条切线，切点的横坐标分别为，，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式3．（24-25高二下·山东济南·月考）已知函数，若过点可作曲线的三条切线，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 变式4．（25-26高二上·安徽芜湖·期末）曲线在原点处的切线方程为 ． 变式5．（25-26高二上·安徽合肥·期末）若曲线在处的切线与直线垂直，则的值为 . 变式6．（25-26高三上·河南商丘·期末）已知直线是曲线与曲线的公切线，则实数的最大值是 . 考点二 利用导数研究极值与最值问题 例1．（25-26高二上·江苏泰州·期末·多选）已知函数，则（   ） A．当时，在区间上的最大值为2 B．当时，2是的极大值点 C．若在区间上单调递减，则 D．若的图象关于点中心对称，则 例2．（2026·贵州·模拟预测·多选）已知函数在处取得极小值，则的取值可能是（   ） A．-1 B．1 C．2 D．3 例3．（25-26高二上·河北石家庄·期末）已知函数． (1)求的单调区间； (2)求的极值； (3)求在区间上的最值． 例4．（25-26高二上·山西吕梁·期末）已知函数． (1)求的最小值； (2)求的极值及在上的值域． 例5．（25-26高二上·山西长治·期末）给定函数. (1)判断函数的单调性，并求出的极值. (2)求函数在区间上的最大值与最小值. 变式1．（25-26高二上·云南昆明·期末·多选）设函数的导函数为，则（   ） A． B．是函数的极大值点 C．有且仅有两个零点 D．在上的最小值为 变式2．（2026·四川遂宁·一模·多选）已知函数，则（    ） A．的图象关于点成中心对称 B．当时，有两个极值点 C．对于任意有三个零点 D．当时，在上存在最大值 变式3．（25-26高二上·山西晋城·期末）已知函数. (1)求函数的单调区间和极值； (2)求函数在上的最值. 变式4．（25-26高二上·广东惠州·期末）已知函数，（）. (1)求函数和的导数； (2)求函数的极值. 变式5．（25-26高二上·浙江宁波·期末）已知函数． (1)若，求函数在点处的切线方程； (2)讨论函数的极值． 考点三 利用导数研究含参单调性问题 例1．（24-25高二下·重庆·期中）若函数在上不单调，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 例2．（24-25高二下·河北张家口·月考）若函数恰好有三个单调区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26高二上·福建厦门·期末）若函数单调递增，则实数的取值范围为 例4．（25-26高二上·河南郑州·期末）若函数在上单调，则实数的取值范围是 . 例5．（25-26高二上·浙江舟山·期末）已知函数． (1)若，求在处的切线方程； (2)讨论的单调性： (3)若在区间上存在极值，且此极值小于，求的取值范围． 例6．（24-25高二下·河北保定·月考）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间 例7．（24-25高二下·福建三明·期中） (1)，求曲线在点处的切线方程 (2)讨论的单调性 变式1．（25-26高二上·江苏镇江·期末）若函数在上单调递减，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高二上·福建厦门·期末）已知函数在区间上是单调函数，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高三上·江西南昌·月考）若函数在上不单调，则实数的取值范围为 . 变式4．（25-26高二上·重庆沙坪坝·期末）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是 . 变式5．（24-25高二下·河北唐山·期中）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 变式6．（24-25高二下·浙江杭州·月考）已知函数 (1)当时，求函数的极值. (2)求函数的单调区间. 变式7．（24-25高二上·河南许昌·期末）已知函数． (1)当时，求在点处的切线方程； (2)若，试讨论的单调性． 2 学科网（北京）股份有限公司 $