寒假作业12 导数与函数的最值与极值（3知识点+8大考点+分层巩固培优）高二数学人教A版

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业12 导数与函数的最值与极值 一、函数的极值 （1）函数的极小值 如果对附近的所有点都有，而且在点附近的左侧，右侧，则称是函数的一个极小值，记作． （2）函数的极大值 函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有，而且在点附近的左侧，右侧，则称是函数的一个极大值，记作． （3）极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值． 二、求函数极值的步骤 ①先确定函数的定义域； ②求导数； ③求方程的解； ④检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值． 【注意】 （1）可导函数的极值点．必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点． 即“点x0是可导函数f(x)的极值点”是“f′(x0)＝0”的充分不必要条件． 不可导的点可能是极值点也可能不是极值点． 例如：①导数为0的点是极值点：y＝x2，y′|x＝0＝0，x＝0是极值点． ②导数为0的点不是极值点：y＝x3，y′|x＝0＝0，x＝0不是极值点． ③不可导的点是极值点：y＝|sinx|，x＝0不可导，但x＝0是极值点． （2）函数的极值只是一个局部性的概念，是仅对某一点及左、右两侧区域而言的．在函数的整个定义区间内可能有多个极大值或极小值，且极大值不一定比极小值大，如图， 点x1、x3是极大值点，x2、x4是极小值点，且在点x1处的极大值小于在点上x4处的极小值． （3）极值点是自变量的值，极值指的是函数值． （4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点． （5）若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝对不会是单调函数，即在区间上的单调函数没有极值． 三、函数的最值 1、函数在区间上有最值的条件： 如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值. 2、求函数在区间上的最大（小）值的步骤： ①求在内的极值（极大值或极小值）； ②将的各极值与和比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 函数图像与极值（点）的联系 1．（24-25高二下·天津河北·月考）设是函数的导函数，若函数的图象如图所示，则下列说法错误的是（    ）    A．当时， B．当或时， C．当或时， D．函数在处取得极小值 2．（24-25高二下·湖北武汉·期末）函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（   ）    A．是的极小值 B．的极值点有3个 C．在区间上单调递减 D．曲线在处的切线斜率小于零 3．（24-25高二下·上海黄浦·月考）如图所示是的导数的图象，下列结论中不正确的是（   ） A．在区间上是增函数 B．在区间上是减函数，在区间上是增函数 C．是的极大值点 D．是的极小值点 4．（24-25高二下·福建三明·月考）设函数在上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（    ） A．有极大值 B．有极小值 C．有极大值 D．有极小值 题型二 不含参数的函数求极值（点） 1．（24-25高二下·河北·期中）函数的极大值点是（   ） A．1 B．2 C． D． 2．（24-25高二下·广东·期末）函数的极小值点是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·湖北恩施·期末）已知函数，则（   ） A．极大值为，无极小值 B．极小值为，无极大值 C．极大值为，无极小值 D．极小值为，无极大值 4．（23-24高二下·山西·期中）已知函数，则函数的极值点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．（24-25高二下·江西上饶·月考）函数的极小值为（   ） A． B． C． D． 题型三 含参数的函数求极值（点） 1．已知函数. (1)若的图象在点处的切线与直线垂直，求的值; (2)讨论的单调性与极值. 2．（23-24高二下·甘肃天水·月考）已知函数． (1)当，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调区间与极值． 3．（24-25高二下·福建福州·期末）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的极值． 题型四 已知函数的极值（点）求参数 1．（24-25高二下·山东潍坊·期中）已知函数在处取得极值，则（   ） A． B． C．5 D．9 2．（25-26高二上·全国·单元测试）已知函数在处有极小值，则的值为（    ） A．1或3 B．2 C．3 D．1 3．（24-25高二下·江西上饶·期末）已知函数没有极值，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·贵州安顺·期末）若函数有两个极值，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·山东临沂·期中）已知函数恰有一个极值点，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·江苏徐州·期中）函数存在大于1的极值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二下·浙江宁波·期中）若函数既有极大值也有极小值，则（    ） A． B． C． D． 题型五 求不含参数的函数最值 1．（24-25高二下·河南南阳·期末）函数在上的最小值为（   ） A．1 B． C． D． 2．（24-25高二下·河北·期末）函数在上的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·广东东莞·月考）已知函数，则在定义域上（    ） A．有极小值 B．有极大值 C．有最大值 D．无最小值 4．（24-25高二下·北京丰台·期中）函数在区间上的最小值与最大值分别为（    ） A．，1 B．0，1 C．1， D．， 5．函数的最小值为（   ） A． B． C．0 D． 题型六 求含参数的函数最值 1．已知函数. (1)当时，求在处的切线方程； (2)讨论的单调性，并求最值. 2．（25-26高二下·全国·课堂例题）已知函数，讨论在区间上的最小值. 3．（24-25高二下·全国·课后作业）已知函数． (1)求函数的极值； (2)求函数在区间上的最小值． 4．（24-25高二下·广西贵港·月考）已知函数； (1)若，求函数的单调区间； (2)当时，求函数在上的最大值． 5．已知函数，求函数在区间上的最大值． 6．（23-24高二下·河北·开学考试）已知函数． (1)讨论的极值； (2)求在上的最小值． 题型七 已知函数的最值求参数 1．已知函数在处取得最小值，则（    ） A． B．1 C． D． 2．（24-25高二下·江西·月考）已知是函数的导函数，若，且在上的最大值为5，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 3．（24-25高二下·云南昆明·期中）已知函数在内有最小值，则实数的取值可以是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·湖南益阳·期中）已知（a为常数）在上有最大值3，则此函数在上的最小值是（ ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数在区间内有最小值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型八 函数极值、最值的综合应用 1．（23-24高二下·广东·期末）已知函数在处取得极值． (1)求实数的值； (2)求函数在区间上的最小值． 2．（24-25高二下·江西南昌·期末）已知曲线在点处的切线的斜率为0，且当时，函数取得极值． (1)求函数的极值； (2)若存在，使得不等式成立，求m的取值范围． 3．已知函数． (1)求曲线在处的切线方程； (2)若函数在处取到极小值，求实数m的取值范围． 4．已知函数． (1)设是的极值点．求的值，并讨论的零点个数； (2)证明：当时，． 5．函数. (1)当时，求函数的极值； (2)若恒成立，求的取值范围. 6．（24-25高二下·浙江·期末）已知函数． (1)求在点处的切线方程； (2)求函数的极值； (3)判断方程的解的个数． 1．（24-25高二上·山西晋中·期末）已知函数的定义域为，且的图象是一条连续不断的曲线，的导函数为，若函数的图象如图所示，则（    ） A．的单调递减区间是 B．的单调递增区间是 C．当时，有极值 D．当时， 2．（24-25高二下·北京·期中）函数的极值点的个数为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·全国·课后作业）函数，则（    ） A．的极小值点为 B．的极大值点为0 C．的极小值点为0 D．的极大值点为 4．函数在区间的极大值点的数目为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．（24-25高二下·天津西青·月考）函数在时有极值10，则的值为（    ） A． B． C．或 D．或 6．（24-25高二上·江苏泰州·期末）已知函数既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二下·江西·期末）已知函数在上恰有一个极值点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．已知函数，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高二下·浙江·期中）已知函数在内有最小值，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高二下·广西河池·期末）已知函数，有两个极值点，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高二下·宁夏·月考）已知函数在区间上的最小值为，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 12．已知函数恰有两个极值点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 13．（24-25高二下·贵州黔西·月考）已知函数在上有最大值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 14．（24-25高二下·上海·期末）函数在上的最小值为 . 15．（24-25高二下·北京顺义·期中）已知函数，下列结论中正确的是 ． ①函数仅有1个零点； ②函数有极大值，也有极小值； ③函数有最小值，无最大值； ④函数的图象与直线有2个交点． 16．已知函数，. (1)求的极小值； (2)若，，讨论的单调性. 17．（24-25高二下·内蒙古赤峰·月考）已知函数. (1)当时，求的最大值； (2)若对任意的恒成立，求的取值范围． 18．（24-25高二上·浙江丽水·期末）已知函数． (1)当时，求函数的单调递减区间； (2)求函数在上的最小值． 19．（23-24高二下·广西河池·月考）已知函数. (1)讨论函数的单调性; (2)当时，讨论函数的极值; 20．（24-25高二下·江苏南京·月考）已知函数 (1)当时，求曲线在处的切线方程; (2)若函数，求函数极值点的个数; 21．（24-25高二下·江苏连云港·期末）已知，函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)当时，求函数在区间上的最小值． 22．（24-25高二下·河北衡水·期末）已知函数． (1)若，求在处的切线方程； (2)若，求的单调区间； (3)求的极大值． 23．（24-25高二下·云南昭通·期中）已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若有两个零点，求a的取值范围． 24．（24-25高二下·广东中山·期中）已知. (1)若，求的极值； (2)当时，，求的取值范围. 25．已知函数. (1)当时，讨论的单调性； (2)当时，在恒成立，求的取值范围. 1．若不等式对恒成立，则的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 2．（24-25高二下·河北承德·期末）若函数在处有极值4，且的所有极值点的符号相同，则实数（    ） A．2 B．3 C． D． 3．（24-25高二下·广东深圳·期末）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·安徽阜阳·期末）函数在区间上存在极值，则的最大值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．（24-25高二下·河南南阳·月考）已知，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 6．已知函数，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二下·江苏盐城·期中）设函数，若恒成立，则的最大值为（    ） A． B． C． D．1 8．若在上的极大值大于1，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高二下·辽宁大连·期中）已知函数.若，对恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 10．若函数，且，则正实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高二下·陕西西安·月考）已知对恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业12 导数与函数的最值与极值 一、函数的极值 （1）函数的极小值 如果对附近的所有点都有，而且在点附近的左侧，右侧，则称是函数的一个极小值，记作． （2）函数的极大值 函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有，而且在点附近的左侧，右侧，则称是函数的一个极大值，记作． （3）极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值． 二、求函数极值的步骤 ①先确定函数的定义域； ②求导数； ③求方程的解； ④检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值． 【注意】 （1）可导函数的极值点．必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点． 即“点x0是可导函数f(x)的极值点”是“f′(x0)＝0”的充分不必要条件． 不可导的点可能是极值点也可能不是极值点． 例如：①导数为0的点是极值点：y＝x2，y′|x＝0＝0，x＝0是极值点． ②导数为0的点不是极值点：y＝x3，y′|x＝0＝0，x＝0不是极值点． ③不可导的点是极值点：y＝|sinx|，x＝0不可导，但x＝0是极值点． （2）函数的极值只是一个局部性的概念，是仅对某一点及左、右两侧区域而言的．在函数的整个定义区间内可能有多个极大值或极小值，且极大值不一定比极小值大，如图， 点x1、x3是极大值点，x2、x4是极小值点，且在点x1处的极大值小于在点上x4处的极小值． （3）极值点是自变量的值，极值指的是函数值． （4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点． （5）若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝对不会是单调函数，即在区间上的单调函数没有极值． 三、函数的最值 1、函数在区间上有最值的条件： 如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值. 2、求函数在区间上的最大（小）值的步骤： ①求在内的极值（极大值或极小值）； ②将的各极值与和比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 函数图像与极值（点）的联系 1．（24-25高二下·天津河北·月考）设是函数的导函数，若函数的图象如图所示，则下列说法错误的是（    ）    A．当时， B．当或时， C．当或时， D．函数在处取得极小值 【答案】D 【分析】结合函数的图象，根据导数的正负与函数的单调性的关系及极值点的定义判断即可. 【详解】通过观察的图象可知， 当时，函数单调递增，所以，故A正确； 当或时，函数单调递减，所以，故B正确； 所以或是函数的两个极值点，此时，故C正确； 且在处取到极小值，在处取到极大值，故D错误. 故选：D. 2．（24-25高二下·湖北武汉·期末）函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（   ）    A．是的极小值 B．的极值点有3个 C．在区间上单调递减 D．曲线在处的切线斜率小于零 【答案】D 【分析】根据导数的几何意义与极值、极值点的定义分别判断各选项. 【详解】A选项：由导函数图象可知是函数的极小值点， 的极小值为，A选项错误； B选项： 的极值点有两个，极大值点-3，极小值点3，B选项错误； C选项：由导函数图象可知，当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减，C选项错误； D选项：由图象可知，即函数在处切线斜率小于零，D选项正确. 故选：D. 3．（24-25高二下·上海黄浦·月考）如图所示是的导数的图象，下列结论中不正确的是（   ） A．在区间上是增函数 B．在区间上是减函数，在区间上是增函数 C．是的极大值点 D．是的极小值点 【答案】A 【分析】根据导函数图象得出各区间导函数的符号，进而得出函数的单调性，再结合函数的极值的定义即可求解. 【详解】根据图象知，当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减，故A错误，故B正确； 当时，取得极大值，是的极大值点，故C正确； 当时，取得极小值，是的极小值点，故D正确. 故选：A. 4．（24-25高二下·福建三明·月考）设函数在上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（    ） A．有极大值 B．有极小值 C．有极大值 D．有极小值 【答案】A 【分析】由函数的图象，可得函数的单调性，则答案可求. 【详解】函数的图象如图所示， 当时，；当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减， 有极大值，无极小值， 故选：. 题型二 不含参数的函数求极值（点） 1．（24-25高二下·河北·期中）函数的极大值点是（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的极值点即可. 【详解】， 令，解得：或， 令，解得：， 故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 故的极大值点是. 故选：A. 2．（24-25高二下·广东·期末）函数的极小值点是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对函数求导，令导数为零求出解，然后根据函数的单调性确定函数的极小值点. 【详解】对函数求导得，. 令，则或. 若，则或；若，则. 所以函数在，上单调递增，在上单调递减. 所以函数的极小值点是. 故选：C. 3．（24-25高二下·湖北恩施·期末）已知函数，则（   ） A．极大值为，无极小值 B．极小值为，无极大值 C．极大值为，无极小值 D．极小值为，无极大值 【答案】A 【分析】对求导，令，，求出的单调性，即可求出的极值. 【详解】，令，解得， ，，单调递增；，，单调递减， 因此，在处取得极大值，极大值为，无极小值. 故选：A. 4．（23-24高二下·山西·期中）已知函数，则函数的极值点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】利用导数研究函数单调性，判断极值点个数. 【详解】函数，定义域为， ，在上恒成立， 则函数在上单调递增，无极值点，极值点个数为0. 故选：A. 5．（24-25高二下·江西上饶·月考）函数的极小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用导数求函数的极小值即可. 【详解】由题设，令，得， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增， 于是有极小值. 故选：D 题型三 含参数的函数求极值（点） 1．已知函数. (1)若的图象在点处的切线与直线垂直，求的值; (2)讨论的单调性与极值. 【答案】(1) (2)答案见解析. 【分析】（1）求导，根据直线垂直可得，即可求解， （2）求导，对进行讨论，判断导函数的正负，即可得函数的单调性和极值. 【详解】（1）由题得，的定义域为. .         的图象在点处的切线与直线l:垂直， ，         解得. （2）由（1）知. ①当时，恒成立. 在上为减函数，此时无极值;             ②当时，由，得，由，得，         在上单调递减，在上单调递增， 故的极小值为，无极大值.         综上可得，当时，在上为减函数，无极值; 当时，在上单调递减，在上单调递增. 的极小值为，无极大值. 2．（23-24高二下·甘肃天水·月考）已知函数． (1)当，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调区间与极值． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据题意，求导可得，再由导数的几何意义即可得到结果； （2）根据题意，求导可得，分与讨论，即可得到结果. 【详解】（1）当时，，则， 则切点为，且， 曲线在处的切线方程为， 即． （2）因为，则， ①当时，恒成立， 函数的递增区间为，无递减区间，无极值； ②当时，令，解得或得 ，，的变化情况如下表： 0 递增 极大值 递减 极小值 递增 函数的递增区间，，递减区间为， ∴极小值， 极大值， 综上，①当时, 函数的递增区间为，无递减区间，无极值， ②当时，函数的递增区间，，递减区间为， 极大值，极小值. 3．（24-25高二下·福建福州·期末）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的极值． 【答案】(1)； (2)当时，函数无极值；当时，函数的极小值，无极大值. 【分析】（1）求出，，写出切线方程； （2）由求极值步骤求解. 【详解】（1）当时，则，， 可得，，即切点坐标为，切线斜率， 所以切线方程为 ，即. （2）因为的定义域为，且， 若，则对任意恒成立， 可知在上单调递增，无极值； 若，令，解得； 令，解得. 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值. 综上可知：当时，函数无极值； 当时，函数的极小值，无极大值. 题型四 已知函数的极值（点）求参数 1．（24-25高二下·山东潍坊·期中）已知函数在处取得极值，则（   ） A． B． C．5 D．9 【答案】D 【分析】求出函数的导数，得到关于,的方程组，解出即可． 【详解】函数， 则， 因为在处取极值， 所以，解得：， 经检验满足题意. 故. 故选：D. 2．（25-26高二上·全国·单元测试）已知函数在处有极小值，则的值为（    ） A．1或3 B．2 C．3 D．1 【答案】D 【分析】由在处有极小值可知，解出的值，并根据单调性验证可求得的值. 【详解】因为，所以． 因为函数在处有极小值， 所以，解得或． 当时，， 当时，或，当时，， 所以在处取到极小值，符合题意； 当时，， 当时，或，当时，， 所以在处取到极大值，不符合题意． 综上，的值为1． 故选：D 3．（24-25高二下·江西上饶·期末）已知函数没有极值，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，求得，由函数没有极值，得到，即可求解. 【详解】由函数，可得， 因为函数没有极值，可得， 即，可得，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：A. 4．（24-25高二下·贵州安顺·期末）若函数有两个极值，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】问题转化为有两个变号零点，即有两个不同正根，利用判别式求解即可. 【详解】由题可知：， 因为函数有两个极值， 所以有两个变号零点， 即有两个不同正根， 因为,所以方程化为有两个不同正根， 所以且, 可得，即实数的取值范围为. 故选：B 5．（24-25高二下·山东临沂·期中）已知函数恰有一个极值点，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出导函数，对进行分类讨论发现当时，不存在极值点，当时，恰好存在一个极值点，由此可得答案. 【详解】由题意可得，当时，在上恒成立，不存在极值点，不符合题意，舍去； 所以必有，令，得， 当时，；当时，，即恰好有一个极小值点， 符合题意，故a的取值范围是. 故选：C. 6．（24-25高二下·江苏徐州·期中）函数存在大于1的极值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出函数导数，将问题转化为存在大于1的根，即存在大于1的解，即存在大于1的解，结合二次函数性质即可求得答案. 【详解】由题意知的定义域为， 则， 由存在大于1的极值点，可知存在大于1的根， 即存在大于1的解，即存在大于1的解， 而时，随x增大而增大，故， 故， 故选：B 7．（24-25高二下·浙江宁波·期中）若函数既有极大值也有极小值，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求导可得，再根据在区间上有两个根，结合韦达定理与判别式列式求解即可. 【详解】由题意， 又函数既有极大值也有极小值，故方程有两个不相等的正根， 故，则，排除ACD. 因为，故异号，故. 故选：B 题型五 求不含参数的函数最值 1．（24-25高二下·河南南阳·期末）函数在上的最小值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】求出，根据导数求出单调性即可求解. 【详解】，令， 则，因为在，在， 所以在单调递减，在单调递增， 因为， 所以最小值为. 故选：A. 2．（24-25高二下·河北·期末）函数在上的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求导，得到函数单调性，故. 【详解】，令，得；令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则. 故选：A. 3．（24-25高二下·广东东莞·月考）已知函数，则在定义域上（    ） A．有极小值 B．有极大值 C．有最大值 D．无最小值 【答案】A 【分析】根据题意，求得，得出函数的单调性，结合极值与最值的概念与求法，逐项判定，即可求解. 【详解】由函数，可得， 令，即，解得， 当时，，函数在单调递减； 当时，，函数在单调递增， 所以当时，函数取得极小值，极小值为， 也是函数的最小值，所以A正确，D错误； 同时，函数无极大值，也无最大值，所以B、C错误. 故选：A. 4．（24-25高二下·北京丰台·期中）函数在区间上的最小值与最大值分别为（    ） A．，1 B．0，1 C．1， D．， 【答案】D 【分析】利用导数判断函数的单调性，即可求解. 【详解】，， 得或， 当，，单调递增，当，，单调递减， 所以函数的最大值是，，，所以函数的最小值是. 故选：D 5．函数的最小值为（   ） A． B． C．0 D． 【答案】B 【分析】先利用导数求出函数的单调性，进而求解即可. 【详解】由，得， 令，得；令，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为． 故选：B. 题型六 求含参数的函数最值 1．已知函数. (1)当时，求在处的切线方程； (2)讨论的单调性，并求最值. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）通过求导得到切线斜率，利用点斜式即可求得切线方程； （2）将函数求导后，根据参数分类讨论函数的单调性，即可判断求解函数的最值. 【详解】（1）当时，，求导得：， 则，， 则在处的切线方程：，即； （2）由求导得：， ①当时，在上恒成立，故在上单调递增，无最值； ②当时，由，解得， 当时，，则在上单调递减； 当时，，在单调递增， 所以在有最小值，为,无最大值. 2．（25-26高二下·全国·课堂例题）已知函数，讨论在区间上的最小值. 【答案】 【分析】求出函数的导函数，再分、、三种情况讨论得到函数的单调性，分别求出函数的最小值. 【详解】函数，则， 当时，，此时单调递增； 当时，，此时单调递减； 当时，函数在上单调递减，故函数的最小值； 当时，函数在上单调递增，故函数的最小值； 当时，函数的最小值． 综上可得. 3．（24-25高二下·全国·课后作业）已知函数． (1)求函数的极值； (2)求函数在区间上的最小值． 【答案】(1)极小值为，无极大值 (2) 【分析】（1）直接根据导数与函数单调性、极值的关系即可求解； （2）结合函数单调性对分类讨论即可求解. 【详解】（1）， 由，得；由，得． 在上单调递增，在上单调递减． 的极小值为，无极大值． （2）由（1）知在上单调递增，在上单调递减． ，． ①当时，在上单调递减，在上单调递增， ②当时，在上单调递增，． . 4．（24-25高二下·广西贵港·月考）已知函数； (1)若，求函数的单调区间； (2)当时，求函数在上的最大值． 【答案】(1)单调增区间为，单调减区间为. (2)答案见解析. 【分析】（1）代入得，求导得，分析其单调性即可； （2）求导得，分和讨论即可. 【详解】（1）函数定义域为， 当时，， 则， 令， 令， 所以的单调增区间为，单调减区间为. （2）， 令解得 ①当时， 当时，在区间上单调递增， 当时，在区间上单调递减． . ②当时， 当时，，在区间单调递增． . 综上所述，当时，， 当时，. 5．已知函数，求函数在区间上的最大值． 【答案】答案见详解 【分析】求导，分类讨论判断原函数的单调性，进而确定最值. 【详解】由题意可得：，则， ∵，则有： 当时，则当时恒成立， 则函数在区间上单调递增，则； 当时，则当时恒成立， 则函数在区间上单调递减，则； 当时，则， 令，解得，令，解得， 故函数在区间上单调递减，在上单调递增，且， ①当，即时，则在区间上的最大值为； ②当，即时，则在区间上的最大值为； ③当，即时，则在区间上的最大值为； 综上所述：当时，则在区间上的最大值为； 当时，则在区间上的最大值为； 当时，则在区间上的最大值为. 6．（23-24高二下·河北·开学考试）已知函数． (1)讨论的极值； (2)求在上的最小值． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）求导后，分别在和的情况下，根据的正负可得单调性，由极值定义可求得结果； （2）分别在、和的情况下，根据的正负可得单调性，由此可得最值点，代入可求得最值. 【详解】（1）由题意知：的定义域为，； 当时，，恒成立，在上单调递增， 无极值； 当时，若，；若，； 在上单调递减，在上单调递增； 的极小值为，无极大值； 综上所述：当时，无极值；当时，的极小值为，无极大值. （2）当时，在上恒成立，在上单调递增， ； 当时，若，；若，； 在上单调递减，在上单调递增， ； 当时，在上单调递减，； 综上所述：在上的最小值. 题型七 已知函数的最值求参数 1．已知函数在处取得最小值，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】求出函数的导数，再利用给定的极值点求出值，即可得解. 【详解】函数，求导得， 依题意，，解得， 当时，， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 因此函数在处取得最小值， 所以，则. 故选：A 2．（24-25高二下·江西·月考）已知是函数的导函数，若，且在上的最大值为5，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】求出函数的导函数，由求出的值，即可得到函数在上的单调性，从而求出的值. 【详解】因为，所以， 所以，解得，所以，则， 所以当时，所以在上单调递增， 所以，解得. 故选：D 3．（24-25高二下·云南昆明·期中）已知函数在内有最小值，则实数的取值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间，求出函数的极小值点，进而求出的范围即可. 【详解】函数定义域为，求导得， 当时，，当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，函数在处取得极小值，即最小值， 又函数在内有最小值，则，解得， 所以实数的取值可以是. 故选：D 4．（23-24高二下·湖南益阳·期中）已知（a为常数）在上有最大值3，则此函数在上的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求函数的导数，利用导数结合函数的最大值求出a，即可求出函数的最小值． 【详解】由题意可知：， 令，解得；令，解得； 可知在上单调递增，则上单调递减， 则函数的最大值为， 此时，且，， 可知当时，函数取得最小值为. 故选：A. 5．（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数在区间内有最小值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将原问题转化为在区间内有零点即可求得答案. 【详解】由已知，显然单调递增， 要使在区间内有最小值，则在区间内有变号零点， 则解得． 故选：C. 题型八 函数极值、最值的综合应用 1．（23-24高二下·广东·期末）已知函数在处取得极值． (1)求实数的值； (2)求函数在区间上的最小值． 【答案】(1)3 (2)⋅ 【分析】（1）求出函数的导数，根据函数在处取得极值，求出的值；再根据函数导数验证函数的极值； （2）利用导数判断函数的在上的单调性，求出最值. 【详解】（1）由题意得的定义域，且 因为函数在处取值得极值，所以 解得 此时，， 令得或，令得， 故函数在，上单调递增，在上单调递减， 所以函数在处取极大值，在处取极小值，符合题意 所以． （2）由（1）得，， 令，得，所以函数在单调递增， 令，得，所以函数在单调递减， 所以函数在处取极小值， 所以当时，的最小值为 2．（24-25高二下·江西南昌·期末）已知曲线在点处的切线的斜率为0，且当时，函数取得极值． (1)求函数的极值； (2)若存在，使得不等式成立，求m的取值范围． 【答案】(1)极大值为，极小值为； (2) 【分析】（1）利用导数的几何意义，函数极值与导数值为0的关系，可求解参数，再利用单调性可求出极值; （2）利用存在性问题满足的条件是，则只需要利用单调性结合端点值可求最小值，即可得参数范围. 【详解】（1）由题得：，结合题意可得: ，解得， 可得：，． 当，，所以在上单调递增， 当，，所以在上单调递减， 当，，所以在上单调递增， 所以当时，函数取得极大值， 当时，函数取得极小值， 故函数取得极大值为，极小值为 （2）由（1）可知在上单调递增，在上单调递减， 又因为，所以在时有最小值， 所以要使不等式能成立，则．所以 故取值范围是． 3．已知函数． (1)求曲线在处的切线方程； (2)若函数在处取到极小值，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求导，即可根据点斜式求解直线方程， （2）求导，分类讨论的取值，即可结合函数的单调性求解极值. 【详解】（1）由题意，，则， 又，故所求的切线方程为． （2）由题意，，故． 若，则，故当时，，当时，， 故当时，函数取到极小值； 若，则令，解得或， 要使函数在处取到极小值，则需，即， 此时当时，，当时，，当时，，满足条件． 综上，实数m的取值范围为． 4．已知函数． (1)设是的极值点．求的值，并讨论的零点个数； (2)证明：当时，． 【答案】(1)，有两个零点 (2)证明见解析 【分析】（1）根据极值点定义代入计算可得，得出相应单调性以及零点存在定理可得结论； （2）对函数求导得出其单调性求出的最小值，可证明得出结论. 【详解】（1）的定义域为， ， 由题设知，，所以， 从而， 当时，；当时，， 可得在上单调递减，在上单调递增， ， 由易知，由零点存在定理可得函数有两个零点 （2）证明：当时，； 设，则， 当时，；当时，， ∴是的极小值点，也是最小值， 故当时，， 因此，当时， 5．函数. (1)当时，求函数的极值； (2)若恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)极小值为，无极大值 (2) 【分析】（1）先求出函数的导函数，根据导函数正负得出函数单调性，进而得出函数极值； （2）先根据不等式应用参数分离得出，再构造函数，根据导函数得出函数最大值即可得出参数范围. 【详解】（1）依题意，，定义域为， ， 令得， 当时，，所以函数在上单调递减，； 当时，，所以函数在上单调递增. 故函数有极小值，极小值为，无极大值. （2）因为，即恒成立， 令， 则. 令， 则，即在上单调递减. 又，故当时，，所以函数在上单调递增； 当时，所以函数在上单调递减， 所以， 又恒成立，即， 所以的取值范围是. 6．（24-25高二下·浙江·期末）已知函数． (1)求在点处的切线方程； (2)求函数的极值； (3)判断方程的解的个数． 【答案】(1) (2)极小值，无极大值 (3)答案见解析 【分析】（1）根据题意，求得，得到，结合导数的几何意义，即可求解； （2）由（1）知，进而求得函数的单调区间和极值； （3）由（2）中函数的单调性与极值，结合时，；时，，得到函数的图象，把方程的解的个数转化为与的图象的交点个数，结合图象，即可求解. 【详解】（1）解：由函数，可得， 则，即切线的斜率，切点坐标为， 所以曲线在点处的切线方程. （2）解：由（1）知， 当时，；当时，， 所以在单调递减，在单调递增， 当时，有极小值. （3）解：由（2）知，函数在递减，在递增，且有极小值， 又由时，；时，， 函数的图象如图所示， 又由方程的解的个数，即为与的图象的交点个数， 由图象可得：当时，没有公共点，此时方程无解； 当或时，两函数的图象只有一个公共点，此时方程有一解； 当时，两函数的图象有两个公共点，此时方程有两解．    1．（24-25高二上·山西晋中·期末）已知函数的定义域为，且的图象是一条连续不断的曲线，的导函数为，若函数的图象如图所示，则（    ） A．的单调递减区间是 B．的单调递增区间是 C．当时，有极值 D．当时， 【答案】A 【分析】利用函数图象解不等式可得的单调性，即可判断A正确，B错误，再根据极值定义可得C错误，根据不等式结果可得D错误. 【详解】根据图象可知当时，，可得； 当时，，可得； 结合的图象是一条连续不断的曲线，可知时，单调递减； 当时，，仅当时取等号，可得， 对于AB，时，单调递减，当时，，此时单调递增， 因此的单调递减区间是的单调递增区间是，即A正确，B错误； 对于C，易知当时，，当时，， 即在处左右函数的单调性不改变，因此C错误； 对于D，因为时，，由，可得， 因此，即D错误. 故选：A. 2．（24-25高二下·北京·期中）函数的极值点的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用导数分析函数的单调性，结合极值点的概念判断即可. 【详解】函数的定义域为，， 由可得或， 当时，；当或时，. 所以，函数的减区间为，增区间为， 故函数只有一个极值点. 故选：B. 3．（24-25高二上·全国·课后作业）函数，则（    ） A．的极小值点为 B．的极大值点为0 C．的极小值点为0 D．的极大值点为 【答案】D 【分析】首先利用导数求出函数的单调区间，再结合极值的概念即可得答案. 【详解】， 由得，， 令，则， 当时，单调递增； 当时，单调递减， 所以是的极大值点，无极小值点． 故选：D. 4．函数在区间的极大值点的数目为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】求出函数的导数，利用正弦函数的性质可分析出函数极大值点的个数. 【详解】， 因为，故由正弦函数性质知，时，，，函数递增， 当时，，，函数递减，为函数的一个极大值点 ， 所以时，函数有1个极大值点； 由正弦函数的周期性，可知在上，函数有5个极大值点， 故选：C 5．（24-25高二下·天津西青·月考）函数在时有极值10，则的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】由取得极值的必要条件得或，再由取极值的充分条件检验即可. 【详解】由题意， 因为函数在时有极值10， 所以，消去可得，解得或， 当时，，，此时在上单调递增，不存在极值，不符合题意； 当时，，， 或，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在处取得极小值， 故满足题意. 故选：B. 6．（24-25高二上·江苏泰州·期末）已知函数既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对函数求导，问题化为至少有两个变号零点，导数求的极值列出不等式求参数范围. 【详解】对函数求导得，，令， 则， 当或时，，则在和上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 且时时， 要使函数既有极大值又有极小值， 即至少有两个变号零点，所以至少有两个变号零点， 所以. 故选：A. 7．（24-25高二下·江西·期末）已知函数在上恰有一个极值点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求导，利用导数分析的单调性和极值点，结合题意列式求解即可. 【详解】由题意可知：的定义域为，则， 又因为，令，解得；令，解得； 可知函数在内单调递减，在内单调递增， 则有且仅有一个极值点， 若函数在上恰有一个极值点， 则，解得， 所以的取值范围是. 故选：B. 8．已知函数，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由解析式可分析得到的一个周期为，则只需考虑在上的值域即可，利用导函数求得其最值即可. 【详解】由题的一个周期为，故只需考虑在上的值域， ， 当或时，，当时，， 所以函数在，上单调递增，在上单调递减， 因此的极小值为，极大值为， 又易知，所以函数在上的值域为， 结合函数的最小正周期为，所以函数的值域为 所以的最小值为， 故选：B 9．（23-24高二下·浙江·期中）已知函数在内有最小值，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间，从而求出函数的极小值点，从而得到关于的不等式组，解得即可. 【详解】函数的定义域为， ， 令可得或（舍）， 当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以在处取得极小值，即最小值， 又因为函数在内有最小值，故，解得， 所以的取值范围是. 故选：B 10．（24-25高二下·广西河池·期末）已知函数，有两个极值点，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对函数求导得，根据题意可知在上有两个变号零点，即方程在上有两个解，根据韦达定理和一元二次方程根的判别式即可求解. 【详解】∵函数，有两个极值点， ∴在上有两个变号零点， ∴方程在上有两个解，设为，， ∴，解得，即实数m的取值范围是. 故选：A. 11．（23-24高二下·宁夏·月考）已知函数在区间上的最小值为，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用导数与函数性质的关系，分类讨论的取值范围，分析得的最值，从而得到关于的方程，解之即可得解. 【详解】因为，所以， 当时，则，所以在单调递增， 此时函数最小值为，解得，不符合题意，舍去； 当时，令，得；令，得； 所以在上单调递减，在单调递减增， ①当时，在区间上单调递增， 所以最小值为，不符合题意舍去； ②当时，在上先减后增， 所以最小值为，解得； ③当时，在上单调递减， 所以最小值为，解得，不符合题意，舍去， 综上所述. 故选：D. 12．已知函数恰有两个极值点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】函数有两个极值点，只需导函数有两个不同的根，求导反解参数，得到只需有两个不同的根，引入函数，求导研究其单调性，数形结合得到答案. 【详解】根据题意 ，若函数恰有两个极值点， 则只需有两个不同的根， 显然不是方程的根，所以只需有两个不同的根， 令，则， 当时，，是减函数； 当时，，是减函数； 当时，，是增函数， 极大值， 又当，当， 当，当，， 的图像如图所示， 结合图象可得若原函数有两个极值点，需满足. 故选：B． 13．（24-25高二下·贵州黔西·月考）已知函数在上有最大值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用导函数分析函数的单调性，结合二次函数性质分类讨论导函数单调性情况即可求解. 【详解】由函数求导可得，. 设，其开口向上，对称轴为， 因为函数在上有最大值， 所以方程一定有两个不相等的实数根，设为且， 则，即两根同号， 则有，解得或. 当时，对称轴，则要使函数在上有最大值， 则，所以，解得， 此时在上单调递增，在上单调递减，有最大值，故符合； 当时，对称轴，此时方程的两根均为负根， 则在上恒成立，即函数单调递增，没有最大值. 综上，. 故选：D. 14．（24-25高二下·上海·期末）函数在上的最小值为 . 【答案】 【分析】利用导数与函数的单调性间的关系，求出的单调区间，即可求解. 【详解】因为，则， 又恒成立， 所以当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，则， 故答案为：. 15．（24-25高二下·北京顺义·期中）已知函数，下列结论中正确的是 ． ①函数仅有1个零点； ②函数有极大值，也有极小值； ③函数有最小值，无最大值； ④函数的图象与直线有2个交点． 【答案】①②③ 【分析】根据函数的性质，借助导数工具和函数图像，分别对函数的零点、极值、最值以及与直线的交点情况进行分析判断. 【详解】令，因为恒成立，所以，解得，即函数仅有个零点，故①正确. 对求导，则. 令，即，因为恒成立，所以，解得或. 当时，单调递增； 当时，单调递减； 当时，单调递增. 所以是极大值点，是极小值点，函数有极大值，也有极小值，故②正确. 由上述单调性分析可知，在处取得极小值，也是最小值，. 当时，，所以函数无最大值，故③正确. ，，且当时，，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以函数的图象与直线有3个交点，故④错误. 故答案为：①②③.    16．已知函数，. (1)求的极小值； (2)若，，讨论的单调性. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）求导，令得，结合极小值的定义即可求出函数的极小值； （2）求定义域，求导，分，，和四种情况，得到函数单调性. 【详解】（1）的定义域为，， 令得， 令得，令得， 故的极小值为. （2），定义域为， ， 若，则，令得，令得， 故在上单调递增，在上单调递减， 若，令得或， 当时，，此时恒成立，故在上单调递增， 当时，，令得或，令得， 故在上单调递减，在，上单调递增， 当时，，令得或，令得， 故在上单调递减，在，上单调递增. 综上，当时，在上单调递增，在上单调递减， 当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减，在，上单调递增； 当时，在上单调递减，在，上单调递增. 17．（24-25高二下·内蒙古赤峰·月考）已知函数. (1)当时，求的最大值； (2)若对任意的恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）当时，利用导数分析函数的单调性，可求得函数的最大值； （2）由参变分离法可得对任意的恒成立，利用导数求出的最大值，即可求出实数的取值范围. 【详解】（1）当时，，该函数的定义域为， 则， 由，得；由，得， 则在上单调递增，在上单调递减， 故的最大值为. （2）对任意的恒成立，等价于对任意的恒成立. 设，其中，则， 由，得，由，得， 则在上单调递增，上单调递减， 从而，故， 即的取值范围是. 18．（24-25高二上·浙江丽水·期末）已知函数． (1)当时，求函数的单调递减区间； (2)求函数在上的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当时，利用函数的单调性与导数的关系可求出函数的单调递减区间； （2）对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数在上的单调性，即可求得函数在上的最小值. 【详解】（1）当时，，该函数的定义域为， 则，由得， 所以，函数的单调递减区间为. （2），其中， 当时，对任意的，，在上单调递增， 此时，； 当时，对任意的，，在上单调递减， 此时，； 当时，令，可得，列表如下： 减 极小值 增 所以，函数在上单调递减，在上单调递增， 此时，. 综上所述，. 19．（23-24高二下·广西河池·月考）已知函数. (1)讨论函数的单调性; (2)当时，讨论函数的极值; 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）求导后令得到，通过讨论的大小关系来确定函数单调性； （2）根据（1）确定的函数单调性来求极值. 【详解】（1）, 令，得，注意， 当，即时， 令得，函数单调递增， 令得，函数单调递减； 当，即时， 令得，函数单调递增， 令得或，函数单调递减； 当，即时， 令得，函数单调递增， 令得或，函数单调递减； 当，即时，恒成立，函数单调递减； 综上所述： 当时，函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增，在和上单调递减； 当时，函数在上单调递增，在和上单调递减； 当时，函数在上单调递减； （2）若，由（1）得 当时，函数在上单调递增，在和上单调递减， 的极小值为， 极大值为， 当时，函数在上单调递增，在和上单调递减； 的极小值为， 极大值为， 当时，函数在上单调递减，无极值. 20．（24-25高二下·江苏南京·月考）已知函数 (1)当时，求曲线在处的切线方程; (2)若函数，求函数极值点的个数; 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）求出导函数，利用导数的几何意义求出切线斜率，即可求出切线方程； （2）求导，分类讨论求解函数的单调区间，根据极值点的概念即可判断极值点个数； 【详解】（1）解：的定义域为，，， 所以，，所以曲线在处的切线方程为 （2）解：， 对于方程， ①当时， ，此时没有极值点; ②当时，方程的两根为，，不妨设， 则，，， 当或时，， 当时，，此时，是函数的两个极值点; ③当时，方程的两根为，，且，， 故，，当时，，故没有极值点; 综上，当时，函数有两个极值点; 当时，函数没有极值点. 21．（24-25高二下·江苏连云港·期末）已知，函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)当时，求函数在区间上的最小值． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）求导，可得，，结合导数的几何意义，点斜式求切线方程； （2）求导可得，分和两种情况，利用导数分析的单调性； （3）分类讨论与区间的关系，根据单调性求函数最小值即可. 【详解】（1）当时，则，， 可得，， 即切点坐标为，切线斜率， 所以在处的切线方程为：． 即切线方程为. （2）由题意可得：， 注意到， ①若，，则在上单调递减， ②若，令时，解得， 当，；当，； 所以在上单调递增，在上单调递减． 综上，时，在上单调递减； 时，在上单调递增，在上单调递减． （3）由（2）知时，在上单调递增，在上单调递减， ①当时，即时，函数在区间上单调递增， 所以； ②当时，即时，函数在区间上单调递减， 在上单调递增，所以； ③当，即时，函数在区间上单调递减， 所以. 综上，时，，时，， 时，. 22．（24-25高二下·河北衡水·期末）已知函数． (1)若，求在处的切线方程； (2)若，求的单调区间； (3)求的极大值． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）由函数求导，利用导数的几何意义，求得斜率与切点坐标，根据点斜式方程，可得答案； （2）由函数求导，利用导数与函数单调性的关系，根据分类讨论，结合二次函数性质，可得答案； （3）由函数求导，利用极大值的判定条件，根据分类讨论，结合二次函数性质，可得答案 【详解】（1）由，则，求导可得， 所以函数在处的切线斜率，， 故切线方程为，化简可得. （2）由，求导可得， 化简可得， 当时，，令得， 由得，由得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，令得，由得，由得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 综上可得 当时，函数的单调增区间为，单调递减区间为. （3）由（2）可知当时，无极大值； 当时，由导数，则令得或， 当时，即， 由得或，由得， 所以函数的极大值为； 当时，即，则，函数在上单调递减，无极大值； 当时，即， 由得或，由得， 所以函数的极大值为； 综上所述，当或时，函数无极大值； 当时，函数的极大值为； 当时，函数的极大值为. 23．（24-25高二下·云南昭通·期中）已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若有两个零点，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出导函数，得出切线斜率再点斜式得出直线即可； （2）根据导函数分，讨论函数单调性结合极值点求出参数. 【详解】（1）若，，， 则；， 故所求的切线方程为，即． （2）由题意函数的定义域为， ， ①当时，恒成立，在上单调递增， 函数在定义域内最多一个零点，不符合题意； ②当时，令，则； 令，则；令，则， 函数在上单调递减，在上单调递增， ， 若，则，此时最多一个零点，不符合题意； 若，则， 又时，；时，， 由零点存在性定理和函数的单调性可知，在上存在唯一的零点， 在上也存在唯一的零点，符合题意， 综上． 24．（24-25高二下·广东中山·期中）已知. (1)若，求的极值； (2)当时，，求的取值范围. 【答案】(1)极小值0，无极大值； (2). 【分析】（1）将代入函数解析式，利用导函数求得的单调性，再求极值即可； （2）求导，设新函数，分类讨论函数的正负，从而得出函数的单调性，找出符合题意的的取值范围. 【详解】（1）当时，，则， 时，，即单调递减；时，，即单调递增； 故在处有极小值，无极大值， 所以有极小值0，无极大值. （2）由题意得，，令， 易得在为增函数， ①若，即时， 则时，所以单调递增， 故，符合题意； ②若，即时， ， 故存在，使得， 时，即，单调递减；时，即，单调递增， 故时，，不符合题意. 综上，的取值范围是. 25．已知函数. (1)当时，讨论的单调性； (2)当时，在恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）利用导数讨论含参函数的单调性，令、即可求解； （2）由（1）可得，利用二阶导数讨论可知在上单调递减，且，解不等式即可求解. 【详解】（1）由，，， 求导得. 当，由，解得或；由，解得. 当时，恒成立. 当时，由，解得或；由，解得. 综上，当时，在，上单调递增，在上单调递减； 当时，的在单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递减. （2）由（1）知，当时，函数在单调递减，在单调递增， 所以. 令，，得. 令，，得， 所以在单调递减，得， 所以.所以在上单调递减. 因为且，所以， 则，所以a的取值范围为. 1．若不等式对恒成立，则的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】设，利用导数求得，根据题意可得，设，利用导数求得的最大值，分析即可得. 【详解】设，则，， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以， 由题意，，则， 令，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以， 所以的最大值为. 故选：B 2．（24-25高二下·河北承德·期末）若函数在处有极值4，且的所有极值点的符号相同，则实数（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】已知函数在处有极值4，得出且，建立方程组求解a和b的关系；根据的所有极值点的符号相同，即分析导数的极值点符号相同，通过二次方程根与系数的关系判断a的取值范围，联立筛选出符合条件的a值. 【详解】求导得：， 函数在处有极值4， 且，即 ， 解得：或. 因为的所有极值点的符号相同，代入得： ，根据韦达定理，根的积： 或，此时需满足根的和. 当时：满足，根的积为，根的和为，满足两根均为正，符合条件， 当时：根的积为，两根符号相反，不符合条件， 所以，唯一符合条件的解为. 故选：A. 3．（24-25高二下·广东深圳·期末）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先对函数求导，根据题意得在时有两个不同的解，令，也即是在上有两个不同的解，再对求导，分析其单调性，即可求解. 【详解】，因为函数有两个极值点， 所以在时有两个不同的解， 令，则在上有两个不同的解，， 当时，，则在上单调递增，则不存在两个不同的解； 当时，令，则，所以在上单调递增，在上单调递减，则， 当时，，当时，， 因为在上有两个不同的解，所以，所以. 故选：A 4．（24-25高二上·安徽阜阳·期末）函数在区间上存在极值，则的最大值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】求得，令，求得，得到在上单调递减，由且，得到存在唯一的，使得，得出的单调性，结合极值点的定义，即可求解. 【解答过程】函数，求导可得， 令，可得， 当时，. 当时，可得，在上单调递减， 又因为， 所以存在唯一的，使得，则， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以是函数的极值点， 因为函数在区间且上存在极值， 所以的最大值为. 故选：B. 5．（24-25高二下·河南南阳·月考）已知，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同构函数得出，进而设函数根据函数单调性及最值求解. 【详解】因为，则， 设函数在上单调递增， 且，所以， 所以， 设函数， 当单调递增；当单调递减； 所以当函数取最大值, 故选：C. 6．已知函数，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，由题设易得，则，令，利用导数分析其单调性，进而求解即可. 【详解】由，可得，即， 同理由，可得， 设，易知， 代入上述式子可得，则， 令，则， 易知在上单调递增，且， 则当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 则，即的最小值为. 故选：D 7．（24-25高二下·江苏盐城·期中）设函数，若恒成立，则的最大值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】通过分析与的符号情况，结合临界值，进行、、三类讨论，即可得出恒成立，等价于，然后构造函数，利用导数即可求解. 【详解】要使得在上恒成立，则，且无变号零点， 分析与的符号情况如下： 当时，，当时，，令，即， ①当时，，所以且，又，所以 所以，满足题意； ②当时，，所以且，又，所以 所以，满足题意； ③当时，，所以且，又，所以 所以，满足题意； 综上，当时，在上恒成立. 所以，令，， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以，即 故选：C 8．若在上的极大值大于1，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求导后分的取值范围讨论函数的单调性，当，求出函数的隐零点，即可求出极大值点从而得到，再次构造函数，利用导数分析单调性可得. 【详解】， 当时，，在定义域上单调递减，无极值点， 当时，，在定义域上单调递增，无极值点， 当时，因为，， 而在单调递减，所以存在，使， 在上，，单调递增， 在上，，单调递减， 于是是在上的极大值点， 此时，即， 由题意，，即， 设，则， 于是在上单调递增，又， 所以，. 故选：C． 9．（24-25高二下·辽宁大连·期中）已知函数.若，对恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出函数的导函数，分、、、四种情况说明函数的单调性，结合函数的单调性，求出在上的最小值，即可求出参数的取值范围. 【详解】由函数，其中， 可得， 当时，令，解得，令，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 当时，令，解得或，令，解得， 所以的单调递增区间为，，单调递减区间为； 当时，恒成立，所以的单调递增区间为； 当时，令，解得或，令，解得 所以的单调递增区间为，，单调递减区间为； 当，在单调递增，所以， 令，可得，所以； 当时，函数在上单调递减，在单调递增， 所以， 令，可得， 令，可得，所以为单调递减， 所以，所以，所以在上单调递减， 因为且，所以， 综上可得：实数的取值范围为. 故选：A 10．若函数，且，则正实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式可利用同构思想构造函数判断函数单调性，即求即可，再利用导数求得可求出. 【详解】易知的定义域为， 由可得，即； 因为，所以，即， 构造函数，则， 可知函数在上单调递增，因此， 即，所以， 令，则， 当时，，此时在上单调递减， 当时，，此时在上单调递增， 因此在处取得极小值，也是最小值，； 即可得，解得. 所以正实数的取值范围是. 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题关键在于将不等式恒成立利用指对同构等，通过构造函数转化为求函数极值、最值问题. 11．（24-25高二下·陕西西安·月考）已知对恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将不等式进行变形，构造函数，根据其单调性得到，转化为恒成立问题，通过求函数在上的最大值来确定的取值范围. 【详解】设，则. ∵时，，，∴，故在上单调递增. ∵对恒成立，∴当时，，则有， 当时，可等价变形为. ∵在上单调递增，且，（）， ∴由可得，即对恒成立. 设，则. 当时，， ，，故. ∴在上单调递减， ∴当时， . ∵对恒成立， ∴，即实数的取值范围是. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是把不等式等价变形为，通过构造函数，最终问题转化为转化为恒成立问题. 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $