第1单元 圆柱与圆锥讲义-数学六年级下册单元预习北师大版

圆柱与圆锥 知识深度解析 圆柱的特征 （1）圆柱的两个底面是半径相等的两个圆，侧面是曲面。 （2）两个底面间的距离叫做圆柱的高。 （3）圆柱有无数条高，且高的长度都相等。 （4）圆柱是由长方形绕长或宽旋转360度得到的立方体，所以沿高线切割后的切面是长方形。 圆锥的特征 （1）圆锥的底面是一个圆，和底面相对的位置有一个顶点。 （2）圆锥的侧面是一个曲面。 （3）圆锥只有一条高。 （4）圆锥是由直角三角形绕一条直角边旋转360度得到的立方体，所以沿高线切割后的切面是等腰三角形。 圆柱的侧面展开图 沿圆柱的高剪开，圆柱的侧面展开图是一个长方形（或正方形）（如果不是沿高剪开，有可能还会是平行四边形）。 圆柱的侧面积 圆柱的侧面积＝底面周长×高，用字母表示为：S侧＝Ch。 圆柱的侧面积公式的应用： （1）已知底面周长和高，求侧面积，可运用公式：S侧＝ch； （2）已知底面直径和高，求侧面积，可运用公式：S侧＝πdh； （3）已知底面半径和高，求侧面积，可运用公式：S侧＝2πrh 圆柱的表面积 圆柱表面积的计算方法：如果用S侧表示一个圆柱的侧面积，S底表示底面积，d表示底面直径，r表示底面半径，h表示高，那么这个圆柱的表面积为：S表=S侧+2S底  或S表=2πrh+2 圆柱表面积的计算方法的特殊应用： （1）圆柱的表面积只包括侧面积和一个底面积的，例如无盖水桶等圆柱形物体。 （2）圆柱的表面积只包括侧面积的，例如烟囱、油管等圆柱形物体。 圆柱的体积 一个圆柱所占空间的大小。 圆柱的体积＝底面积×高如果用V表示圆柱的体积，S表示底面积，h表示高，那么V＝Sh 。 圆柱体积公式的应用： （1）计算圆柱体积时，如果题中给出了底面积和高，可用公式：V＝Sh。 （2）已知圆柱的底面半径和高，求体积，可用公式：V＝h； 圆柱形容器的容积＝底面积×高，用字母表示是V＝Sh。 圆柱形容器公式的应用与圆柱体积公式的应用计算方法相同。 圆锥的体积 一个圆锥所占空间的大小。 圆锥的体积＝1/3×底面积×高 如果用V表示圆锥的体积，S表示底面积，h表示高，则字母公式为：1/3Sh 圆锥体积公式的应用： （1）求圆锥体积时，如果题中给出底面积和高这两个条件，可以直接运用“v= 1/3Sh”这一公式。 （2）求圆锥体积时，如果题中给出底面半径和高这两个条件，可以运用1/3πr²h （3）求圆锥体积时，如果题中给出底面直径和高这两个条件，可以运用1/3π（d/2）²h （4）求圆锥体积时，如果题中给出底面周长和高这两个条件，可以运用1/3π（c/2r）²h 典例一讲即透 典例1：圆柱表面积的实际应用 1．公园的凉亭有6根圆柱形柱子，每根柱子的底面半径是4分米，高20分米，工人打算油漆这些柱子，每平方米用油漆0.3千克，一共需要油漆大约多少千克？（得数保留两位小数） 2．劳动课上，笑笑从一张长方形卡纸上剪下一个长方形和一个圆（如图中阴影部分），做成一个无盖的笔筒（接口处忽略不计）。这个笔筒的表面积是多少平方厘米？ 典例2：圆柱切割问题 1．一个圆柱的底面直径是10cm，高是24cm，现在把这个圆柱截成5段完全相同的小圆柱。这5段小圆柱的表面积之和比原来圆柱的表面积多多少平方厘米？ 2．一根长2米的圆柱木料，横着截去2分米，剩下的圆柱体的木料表面积比原来减少了12.56平方分米，原来圆柱体的表面积是多少平方分米？ 典例3：圆柱的表面积与体积综合 1．纯鲜果汁厂新开发一款果汁，设计师设计了两款包装盒，一款为圆柱形桶装，桶的底面半径为0.5分米，高为2分米；另一款为长方体盒装，盒子长1分米、宽0.5分米、高2分米。 （1）如果采用同样的材料制作，（不考虑接口处损耗）两种包装各需要多大面积的材料？ （2）只考虑容积和包装材料，哪种包装方式更省材料？请说明理由。 2．天新纸盒厂生产一种圆柱形茶叶罐，规格是底面直径10厘米，高20厘米。 （1）茶叶罐侧面需要贴上商标，贴商标的面积是多少平方厘米？ （2）这种茶叶罐可装茶叶多少立方厘米？（厚度忽略不算） （3）为了运输方便，厂家计划生产一种纸箱（如图），把茶叶罐用纸箱装起来。算一算每箱最多可以装几个茶叶罐？ 典例4：圆锥的体积 1．如下图是一个上部为圆柱，下部为圆锥的密封容器，圆锥的高是18厘米，圆柱的高是20厘米，此时水面高度为24厘米。若将容器倒立放置，水面的高度是多少厘米？ 2．莉莉将一个圆锥形甜筒里装了0.12升水，此时水面高度正好是圆锥高度的一半，（注：π取3.14） （1）莉莉还能往甜筒里装多少水；（单位化为立方厘米） （2）莉莉将装满水的甜筒倒入玻璃杯中，若这个玻璃杯的底面半径是4厘米，高是15厘米，请问水是否会溢出来。 核心考点特训 一、选择题 1．下面（    ）图形是圆柱的展开图。（单位：cm） A． B． C． D． 2．沿着直角三角形的一条直角边旋转一周，就得到一个（    ）。 A．圆柱 B．圆锥 C．长方体 D．正方体 3．如图，将一个圆柱切开，拼起来得到一个近似的长方体，量得这个长方体的长是15.7cm，高是10cm，长方体的表面积比圆柱的表面积多（    ）cm2。 A．50 B．100 C．200 D．157 4．将下图中石块依次放入四个容器中，石块均能完全浸没在水中，且水未溢出容器。容器底面数据如图所示，水位上升最多的是（    ）（单位：厘米）。 A． B． C． D． 5．一根圆柱形输油管，内直径是2dm，油在管内的流速是4分米/秒。每秒流过（    ）的油。 A．12.56 B．628 C．2512 D．12560 6．如图，瓶子瓶口的面积和高脚杯杯口的面积相等，如果将瓶子装满水倒入高脚杯中，能倒满（    ）杯。 A．6 B．5 C．4 D．7 二、填空题 7．下图是一个圆柱的展开图。 （1）把“底面”“底面的周长”“高”分别填入圆柱侧面展开图中的合适位置。 （2）如果圆柱的底面半径是2cm，高是5cm，那么图中长方形的长是（    ）cm，宽是（    ）cm，面积是（    ）cm2。 8．一根圆柱形木料长1m2dm，平行于底面把它截成两段，表面积增加。这根木料原来的体积是( )。 9．一个圆柱与一个圆锥等底等高，它们的体积之和是，圆锥的体积是( )。 10．小宇有一个圆锥形的玩具，体积是，高是6.5cm。这个玩具的底面积是( )。 11．将一个长15dm、宽8dm、高10dm的长方体木块的正面中间挖一个直径为3dm、高为8dm的圆柱形空洞，这时木块的表面积是( )。 12．某小学教学楼门前的圆柱形大柱子高是4m，底面周长是3.14m。柱子的侧面积是( )，体积是( )。 三、判断题 13．正方体和圆柱体的底面周长相等，高相等，体积也相等。( ) 14．把一个圆柱熔铸成三个完全一样的圆锥，这三个圆锥和圆柱一定等底等高。( ) 15．一个圆柱的侧面展开后不可能是梯形。( ) 16．如果两个圆柱的体积相等，那么它们的表面积也相等。( ) 17．将等底等高的圆柱和圆锥形铁块同时放入盛有水的玻璃杯中，水的变化情况如图所示，那么圆柱的体积是90cm3。( ) 四、计算题 18．计算下面图形的体积。（单位：cm）   19．计算（1）的体积和（2）的表面积。 五、解答题 20．手工课上，小明用橡皮泥做了一个底面直径是20cm、高是12cm的圆柱，这个圆柱的体积是多少立方厘米？ 21．在一个半径为10厘米（从里面量），高50厘米的圆柱形容器里装些水，当放入一块底面半径为2厘米的圆锥形铁块后（铁块完全浸没水中），水面上升了0.4厘米，但未溢出，这个圆锥形铁块的高是多少厘米？ 22．一个圆柱的底面直径是3厘米，沿着底面直径竖直切开，表面积增加了60平方厘米，原来圆柱的表面积是多少平方厘米？ 23．（1）已知圆柱底面周长是25.12厘米，高是20厘米，求圆柱的表面积。 （2）已知圆锥底面直径是8厘米，高是12厘米。求圆锥的体积。 （3）下图是圆柱中挖去一个圆锥后的剩余部分，请计算它的体积。（单位：厘米） 24．一个封闭的瓶子里装着一些水，已知：瓶子的底面积是25平方厘米，根据图中数据，请求出瓶子的容积。（瓶子厚度忽略不计）（单位：厘米） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 典例一讲即透解析 典例1：圆柱表面积的实际应用 1．公园的凉亭有6根圆柱形柱子，每根柱子的底面半径是4分米，高20分米，工人打算油漆这些柱子，每平方米用油漆0.3千克，一共需要油漆大约多少千克？（得数保留两位小数） 【答案】9.04千克 【分析】油漆仅需涂侧面，无需涂上下底面，所以需要计算圆柱的侧面积。圆柱侧面积公式为：S＝2πrh（r是底面半径，h是圆柱的高，π取3.14），共有6根柱子，所以需要涂的总面积为：2πrh×6，底面半径是4分米，高20分米，每平方米用油漆0.3千克；把数据代入计算后，把单位换算成平方米，再与0.3相乘即可解答。 【详解】2×3.14×4×20×6＝3014.4（平方分米） 1平方米＝100平方分米 3014.4÷100＝30.144（平方米） 0.3×30.144≈9.04（千克） 答：一共需要油漆大约9.04千克。 2．劳动课上，笑笑从一张长方形卡纸上剪下一个长方形和一个圆（如图中阴影部分），做成一个无盖的笔筒（接口处忽略不计）。这个笔筒的表面积是多少平方厘米？ 【答案】455.3平方厘米 【分析】从图中可知，长方形卡纸的长31.4厘米等于圆的周长，根据圆的周长公式C＝πd，可知d＝C÷π，由此求出圆柱形笔筒的底面直径； 长方形的宽22厘米等于圆柱的高与底面直径之和，用宽减去圆柱的底面直径，求出圆柱的高； 根据无盖圆柱的表面积＝圆柱的一个底面积＋圆柱的侧面积，其中圆柱的底面积公式S底＝πr2，圆柱的侧面积＝长方形的面积＝长×宽，代入数据计算，求出这个笔筒的表面积。 【详解】圆柱的底面直径：31.4÷3.14＝10（厘米） 圆柱的底面半径：10÷2＝5（厘米） 圆柱的高：22－10＝12（厘米） 圆柱的表面积： 3.14×5²＋31.4×12 ＝3.14×25＋31.4×12 ＝78.5＋376.8 ＝455.3（平方厘米） 答：这个笔筒的表面积是455.3平方厘米。 典例2：圆柱切割问题 1．一个圆柱的底面直径是10cm，高是24cm，现在把这个圆柱截成5段完全相同的小圆柱。这5段小圆柱的表面积之和比原来圆柱的表面积多多少平方厘米？ 【答案】 平方厘米 【分析】根据题意观察图片可知：每截一次，表面积会增加两个圆的面积，圆柱截成5段完全相同的小圆柱，即截了次，增加了个圆的面积，根据圆的面积计算公式，代入数据求出8个圆的面积之和即为表面积增加的面积。 【详解】 （个） （平方厘米） 答：这5段小圆柱的表面积之和比原来圆柱的表面积多628平方厘米。 【点睛】解决此类问题的关键在于找到表面积增加的哪部分，即每截一次，增加2个圆的面积，截成5段，就是截了4次，以此为突破口，展开计算求解即可。 2．一根长2米的圆柱木料，横着截去2分米，剩下的圆柱体的木料表面积比原来减少了12.56平方分米，原来圆柱体的表面积是多少平方分米？ 【答案】131.88平方分米 【分析】由题意知，截去的部分是一个高为2分米的圆柱体，并且表面积减少了12.56平方分米，其实减少的面积就是截去部分的侧面积，由此可求出圆柱体的底面周长，进一步可求出底面积是多少，利用表面积＝底面积×2＋底面周长×高，即可求出这个圆柱的表面积。 【详解】底面周长：12.56÷2＝6.28（分米） 底面半径：6.28÷3.14÷2 ＝2÷2 ＝1（分米） 底面积：3.14×12 ＝3.14×1 ＝3.14（平方分米） 2米＝20分米 表面积：6.28×20＋3.14×2 ＝125.6＋6.28 ＝131.88（平方分米） 答：原来圆柱体的表面积是131.88平方分米。 【点睛】解答此题要注意两点：一是沿长截去一段后，表面积减少的部分就是截去部分的侧面积；二是要统一单位。 典例3：圆柱的表面积与体积综合 1．纯鲜果汁厂新开发一款果汁，设计师设计了两款包装盒，一款为圆柱形桶装，桶的底面半径为0.5分米，高为2分米；另一款为长方体盒装，盒子长1分米、宽0.5分米、高2分米。 （1）如果采用同样的材料制作，（不考虑接口处损耗）两种包装各需要多大面积的材料？ （2）只考虑容积和包装材料，哪种包装方式更省材料？请说明理由。 【答案】（1）7.85平方分米；7平方分米； （2）圆柱形；理由见解析 【分析】（1）根据圆柱的表面积公式：表面积＝底面积×2＋侧面积，长方体的表面积公式：表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据，分别求出圆柱形桶包装的面积和长方体盒装的面积，再进行比较，即可解答。 （2）根据圆柱的体积底面积高，长方体的体积长宽高，分别求出两种包装的体积；然后用表面积体积，分别求出两种包装每立方分米需要的材料，进而确定更省材料的一种包装。 【详解】（1）3.14×0.52×2＋3.14×0.5×2×2 ＝3.14×0.25×2＋1.57×2×2 ＝0.785×2＋3.14×2 ＝1.57＋6.28 ＝7.85（平方分米） （1×0.5＋1×2＋0.5×2）×2 ＝（0.5＋2＋1）×2 ＝（2.5＋1）×2 ＝3.5×2 ＝7（平方分米） 答：圆柱形桶装包装需要7.85平方分米，长方体盒装包装需要7平方分米。 （2）3.14×0.52×2 ＝3.14×0.25×2 ＝0.785×2 ＝1.57（立方分米） 1×0.5×2 ＝0.5×2 ＝1（立方分米） （平方分米） （平方分米） 7平方分米平方分米，圆柱形桶装包装更省材料。 答：圆柱形桶装包装的更省材料。 2．天新纸盒厂生产一种圆柱形茶叶罐，规格是底面直径10厘米，高20厘米。 （1）茶叶罐侧面需要贴上商标，贴商标的面积是多少平方厘米？ （2）这种茶叶罐可装茶叶多少立方厘米？（厚度忽略不算） （3）为了运输方便，厂家计划生产一种纸箱（如图），把茶叶罐用纸箱装起来。算一算每箱最多可以装几个茶叶罐？ 【答案】（1）628平方厘米；（2）1570立方厘米；（3）40个 【分析】（1）由图可知，贴商标的面积相当于圆柱的侧面积，根据圆柱的侧面积公式：，把数据代入公式解答。 （2）求这种茶叶罐可装茶叶的体积就是求这个圆柱的体积，根据圆柱的体积公式：，把数据代入公式解答。 （3）首先根据“包含”除法的意义，用除法求出长方体纸箱的长里面包含多少个圆柱的底面直径，长方体的宽里面包含多少个圆柱的底面直径，长方体的高里面包含多少个圆柱的高，然后根据乘法的意义解答。 【详解】（1） （平方厘米） 答：贴商标的面积是628平方厘米。 （2） （立方厘米） 答：这种茶叶罐可装茶叶1570立方厘米。 （3） （个） 答：每箱最多可以装40个茶叶罐。 典例4：圆锥的体积 1．如下图是一个上部为圆柱，下部为圆锥的密封容器，圆锥的高是18厘米，圆柱的高是20厘米，此时水面高度为24厘米。若将容器倒立放置，水面的高度是多少厘米？ 【答案】12厘米 【分析】体积和底面积相等时，圆锥的高是圆柱高的3倍，所以把圆锥部分的水倒入圆柱中，水面高度为18÷3＝6厘米；原来圆柱中水面高度为24－18＝6厘米，所以将容器倒立放置，水面高度是6＋6＝12厘米。 【详解】18÷3＝6（厘米） 24－18＝6（厘米） 6＋6＝12（厘米） 答：水面的高度是12厘米。 【点睛】圆柱和圆锥的底面积相等，将圆锥部分的水倒入圆柱中，高度会变为原来的。 2．莉莉将一个圆锥形甜筒里装了0.12升水，此时水面高度正好是圆锥高度的一半，（注：π取3.14） （1）莉莉还能往甜筒里装多少水；（单位化为立方厘米） （2）莉莉将装满水的甜筒倒入玻璃杯中，若这个玻璃杯的底面半径是4厘米，高是15厘米，请问水是否会溢出来。 【答案】（1）840立方厘米 （2）会 【分析】（1）由题可知，水面高度是圆锥高度的一半（），水底面半径是圆锥底面半径的一半（），根据圆锥体积公式可得水的体积是圆锥容积的＝，把圆锥容积看作单位“1”，已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算，求出圆锥的容积为0.12÷＝0.96升；最后用圆锥的容积减去水的体积，根据“1升＝1立方分米＝1000立方厘米”将单位换算为立方厘米。 （2）玻璃杯是底面半径4厘米、高15厘米的圆柱，根据圆柱体积公式求出玻璃杯的容积，然后比较甜筒中水的体积（装满水）和玻璃杯的容积即可解答。 【详解】（1）＝ 0.12÷＝0.12×8＝0.96（升） 0.96－0.12＝0.84（升） 0.84升＝840立方厘米 答：莉莉还能往甜筒里装840立方厘米水。 （2）0.96升＝960立方厘米 3.14×42×15 ＝3.14×16×15 ＝50.24×15 ＝753.6（立方厘米） 753.6＜960 答：水会溢出来。 【点睛】已知水面高度是圆锥高度的一半，同时需识别到水的底面半径是圆锥底面半径的一半（），然后根据圆锥体积公式推出水的体积是圆锥体积的。 核心考点特训解析 1．A 【分析】根据圆柱侧面展开图的特征，圆柱的侧面沿高展开是一个长方形（特殊情况下是正方形），长方形的长等于圆柱的底面周长，宽等于圆柱的高；已知圆柱的底面直径或半径，根据圆柱的底面周长公式C＝πd，代入数据计算求出底面周长，再与长方形的长相比较，如果相等，就是圆柱的展开图；反之，如果不相等，就不是圆柱的展开图。 【详解】A．3×3.14＝9.42（cm），是圆柱的展开图； B．4×3.14＝12.56（cm），不是圆柱的展开图； C．2×3.14＝6.28（cm），不是圆柱的展开图； D．3×2×3.14 ＝6×3.14 ＝18.84（cm），不是圆柱的展开图。 故答案为：A 2．B 【分析】根据圆锥的认识，为轴的那条直角边是旋转后的圆锥的高，另一条直角边是旋转后的圆锥的底面半径，据此解答。 【详解】沿着直角三角形的一条直角边旋转一周，就得到一个圆锥。 故答案为：B 3．B 【分析】圆柱切拼成长方体后，长方体的长是圆柱底面圆周长的一半，已知长方体的长是15.7cm，即为圆周长的一半，乘2求出底面圆的周长，然后根据圆的周长公式C＝2πr得r＝C÷π÷2可求出圆柱的底面半径； 从图中可以看出，把圆柱切拼成近似的长方体，会增加2个长方形面，长方形的长是圆柱的高，宽是圆柱的底面半径，根据“长方形面积＝长×宽”求出1个面的面积，再乘2即可求出增加的表面积。 【详解】15.7×2＝31.4（cm） 31.4÷3.14÷2 ＝10÷2 ＝5（cm） 10×5×2 ＝50×2 ＝100（cm2） 所以长方体的表面积比圆柱的表面积多100cm2。 故答案为：B 【点睛】圆柱切拼成长方体后，长方体的长是圆柱底面圆周长的一半，根据圆的周长公式可求出圆柱底面半径；长方体表面积比圆柱多的部分，是2个“半径×高”的长方形面积。 4．A 【分析】石块的体积等于水面上升部分的体积，即底面积乘水面上升高度，所以底面积越小，水面上升越多，比较四个容器的底面积大小即可。 【详解】A．底面积为6×8＝48（平方厘米） B.  底面积为3.14×（8÷2）² ＝3.14×4² ＝3.14×16 ＝50.24（平方厘米） C.  底面积为8×8＝64（平方厘米） D.  底面积为10×8＝80（平方厘米） 48＜50.24＜64＜80，A的底面积最小，水面上升最多。 故答案为：A 5．D 【分析】圆柱形输油管的内直径是2dm，油在管内的流速是4分米/秒，先用直径÷2，求出半径；再用速度×时间＝路程，求出圆柱的高；每秒流过的油的体积相当于一个圆柱的体积，根据圆柱的体积公式，据此解答即可。 【详解】2dm＝20cm 半径：（cm） 每秒路程：（dm） 4dm＝40cm 圆柱体积：（cm3） 故答案为：D 6．A 【分析】观察图形，瓶子（圆柱）的总高是7＋7＝14cm，高脚杯（圆锥）的高是7cm，瓶子相当于2个等底、高为7cm的圆柱，此时2个圆柱和圆锥等底等高；圆柱体积是与其等底等高圆锥体积的3倍，所以每一段圆柱的体积是高脚杯体积的3倍 ，即一段圆柱的水可以倒满3杯圆锥（高脚杯），则2段圆柱总共能倒3×2＝6杯。据此解答。 【详解】3×2＝6（杯） 所以能倒满6杯。 故答案为：A 7．（1）见详解 （2）12.56；5；62.8 【分析】（1）圆柱有两个完全一样的圆形底面和侧面组成，因此两个圆是底面，侧面沿高展开是个长方形，长方形的长＝圆柱底面周长，长方形的宽＝圆柱的高，据此填空。 （2）根据圆柱底面周长＝2×圆周率×底面半径，计算出圆柱底面周长，即长方形的长，圆柱的高是长方形的宽，根据长方形面积＝长×宽，列式计算即可。 【详解】 （1） （2）2×3.14×2＝12.56（cm） 长方形的宽就是圆柱的高，即5 cm。 12.56×5＝62.8（cm2） 如果圆柱的底面半径是2cm，高是5cm，那么图中长方形的长是12.56cm，宽是5cm，面积是62.8cm2。 8．1.2 【分析】一根圆柱形木料长1m2dm，统一单位，1m＝10dm，那么1m2dm＝12dm。平行于底面把它截成两段，增加2个底面，又知表面积增加，由此求出这根木料的底面积，根据圆柱的体积公式即可计算，注意单位换算。 【详解】1m2dm＝12dm （） （） 这根木料原来的体积是。 9．9 【分析】因为等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，所以等底等高的圆柱与圆锥的体积和相当于圆锥体积的倍，根据已知一个数的几倍是多少，求这个数，用除法解答。 【详解】 （） 圆锥的体积是。 10．30 【分析】根据圆锥的体积公式：,那么，把数据代入公式解答。 【详解】 （） 小宇有一个圆锥形的玩具，体积是，高是6.5cm。这个玩具的底面积是30。 11．761.23 【分析】从一个长方体木块的正面中间挖一个直径为3dm、高为8dm的圆柱形空洞，挖去圆柱后，长方体正面减少了 2 个圆柱的底面积；同时增加了圆柱的侧面积（空洞的内壁面积），根据原长方体表面积 + 圆柱的侧面积－ 2 个圆柱底面积即可求出这时木块的表面积。 【详解】 （） （） （） （） 将一个长15dm、宽8dm、高10dm的长方体木块的正面中间挖一个直径为3dm、高为8dm的圆柱形空洞，这时木块的表面积是761.23。 12． 12.56 3.14 【分析】已知圆柱的高和圆柱的底面周长，先用，求出圆柱的底面半径；再根据圆柱的侧面积公式、圆柱的体积公式，求出圆柱的侧面积和体积，据此解答。 【详解】圆柱的底面半径：（m） 圆柱侧面积：（m2） 圆柱的体积：（m3） 因此，柱子的侧面积是12.56m2，体积是3.14m3。 13． × 【分析】正方体和圆柱体的体积公式均为底面积乘高。高相等时，体积大小由底面积决定。底面周长相等时，圆的面积大于正方形的面积，因此圆柱的底面积大于正方体的底面积，导致圆柱体积大于正方体体积。由此解答。 【详解】正方体的体积为底面积乘高，圆柱体的体积也为底面积乘高。 已知高相等，因此体积大小取决于底面积。 底面周长相等时，圆的面积大于正方形的面积，故圆柱的底面积大于正方体的底面积。 所以圆柱体积大于正方体体积，体积不相等。因此，题中说法错误。 故答案为：× 14．× 【分析】圆柱的体积公式为V柱＝S底h，圆锥的体积公式为V锥＝S1底h1。把圆柱熔铸成三个完全一样的圆锥，熔铸前后体积不变，所以圆柱的体积等于三个圆锥的体积之和，即V柱＝3V锥，代入公式可得： S底h＝3×S1底h1，化简后为 S底h＝S1底h1，因此只需要底面积与高的乘积相等，体积就相等。 【详解】熔铸前后体积不变，所以圆柱的体积等于三个圆锥的体积之和。由分析可知：V柱＝3V锥，代入公式可得： S底h＝3×S1底h1，化简后为 S底h＝S1底h1。 这只需要圆锥的底面积和高的乘积与圆柱的底面积和高的乘积相等即可，不一定需要等底等高。比如圆柱底面积为3、高为2，圆锥底面积为2、高为3，也满足体积关系，但并非一定等底等高。 故答案为：× 15．√ 【分析】根据圆柱的特征，其侧面展开图可能是长方形、正方形或平行四边形，但绝不可能是梯形。因为梯形要求一组对边平行而另一组对边不平行，而圆柱侧面展开后，对边要么平行（如长方形、平行四边形），要么不平行（如不规则展开），无法满足梯形的定义。 【详解】一个圆柱的侧面展开后，可能的图形包括长方形（当沿高剪开且底面周长不等于高时）、正方形（当沿高剪开且底面周长等于高时）或平行四边形（当沿斜线剪开）。梯形是一组对边平行而另一组对边不平行的四边形，但圆柱侧面展开图无法同时满足这两组对边的平行关系，因此不可能是梯形。原题说法正确。 故答案为：√ 16．× 【分析】圆柱体积＝底面积×高，圆柱表面积＝侧面积＋底面积×2。圆柱的体积由底面半径和高共同决定，而表面积同样取决于这两个因素。体积相等时，半径和高的不同组合可能导致表面积不同。 【详解】假设第一个圆柱的底面半径是2厘米，高是5厘米，体积为： 3.14×22×5 ＝3.14×4×5 ＝62.8（立方厘米） 第二个圆柱的底面半径是1厘米，高是20厘米，体积为： 3.14×12×20 ＝3.14×1×20 ＝62.8（立方厘米） 计算两者的表面积： 第一个圆柱的表面积： 2×3.14×2×5＋2×3.14×22 ＝62.8＋2×3.14×4 ＝62.8＋25.12 ＝87.92（平方厘米） 第二个圆柱的表面积： 2×3.14×1×20＋2×3.14×12 ＝125.6＋2×3.14×1 ＝125.6＋6.28 ＝131.88（平方厘米） 根据计算可知，这两个圆柱的体积相等，但是表面积不相等。这说明体积相等的两个圆柱表面积不一定相等。 故答案为：× 17．√ 【分析】根据图示可知，将920mL减去800mL，即可求出圆柱和圆锥的体积和。等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，那么将体积和除以（1＋3）即可求出圆锥的体积。将圆锥的体积乘3，即可求出这个圆柱的体积。 【详解】920－800＝120（mL） 120mL＝120cm3 120÷（1＋3）×3 ＝120÷4×3 ＝30×3 ＝90（cm3） 所以，这个圆柱的体积是90cm3。 故答案为：√ 18．615.44 【分析】根据圆锥的体积公式，代入数据即可。 【详解】 （） 答：图形的体积是615.44。 19．（1）502.4cm3； （2）94.8dm2 【分析】（1）由图可知，该圆柱的底面半径是4cm，高是10cm，根据圆柱的体积公式计算出该圆柱的体积。 （2）该立体图形是一个半圆柱，其表面积等于圆柱侧面积的一半加一个圆的面积（上面半圆与下面半圆合成一个完整的圆），再加上长方形的面积。 已知该半圆柱的底面直径是4dm，高是8dm，根据圆柱的侧面积公式S侧＝πdh计算出圆柱的侧面积，再除以2计算出侧面积的一半； 计算出底面半径是4÷2＝2dm，根据圆的面积公式计算出圆的面积； 长方形的长相当于半圆柱的高8dm，宽相当于半圆柱的底面直径4dm，根据“长方形面积＝长×宽”计算出长方形的面积； 最后将三部分相加即可。 【详解】（1）3.14×42×10 ＝3.14×16×10 ＝50.24×10 ＝502.4（cm3） 该圆柱的体积是502.4cm3； （2）4÷2＝2（dm） 3.14×4×8÷2＋3.14×22＋8×4 ＝12.56×8÷2＋3.14×4＋8×4 ＝100.48÷2＋12.56＋32 ＝50.24＋12.56＋32 ＝62.8＋32 ＝94.8（dm2） 该半圆柱的表面积是94.8dm2。 20．3768立方厘米 【分析】根据圆柱的体积公式，圆柱体积＝πh进行带入计算。 【详解】r＝d÷2＝20÷2＝10（厘米） ＝πh＝3.14××12＝3.14×100×12＝3768（立方厘米） 答：这个圆柱的体积是3768立方厘米。 21． 30厘米 【分析】本题可先根据圆柱体积公式求出水面上升部分的体积，该体积就是圆锥形铁块的体积，再根据圆锥体积公式求出圆锥的高。 水面上升部分的形状为圆柱体，根据圆柱体积公式V＝S×h＝（其中V为体积，S为底面积，h为高，r为底面半径，取3.14），已知圆柱形容器半径是10厘米，水面上升的高度是0.4厘米，则可以求出水面上升部分的体积；因为圆锥形铁块完全浸没在水中，所以水面上升部分的体积就是圆锥形铁块的体积，已知圆锥形铁块底面半径为2厘米，根据圆的面积公式S ＝（其中S为面积，r为半径，取3.14），可求出圆锥的底面积；根据圆锥体积公式V＝Sh（其中V为体积，S为底面积，h为高），可得圆锥的高。 【详解】水面上升部分的体积： 3.14××0.4 ＝3.14×100×0.4 ＝314×0.4 ＝125.6（立方厘米） 圆锥的底面积： 3.14× ＝3.14×4 ＝12.56（平方厘米） 圆锥的高： 3×125.6÷12.56 ＝376.8÷12.56 ＝30（厘米） 答：这个圆锥形铁块的高是30厘米。 【点睛】本道题的关键在于理解水面上升部分的体积就是圆锥形铁块的体积，掌握圆柱与圆锥的计算公式，方便计算。 22．108.33平方厘米 【分析】将圆柱沿着底面直径竖直切开，增加的表面积是两个长为圆柱的高、宽为底面圆直径的长方形；用增加的表面积除以2得到一个长方形的面积，再用一个长方形的面积除以圆柱底面直径，求出圆柱的高。圆柱的表面积由2个底面积和侧面积组成，最后分别求出圆柱的底面积（）和侧面积（侧面积＝底面周长×高），再将三者相加得到圆柱的表面积。 【详解】高：60÷2÷3 ＝30÷3 ＝10（厘米） 侧面积：3.14×3×10 ＝9.42×10 ＝94.2（平方厘米） 底面积：3.14×（3÷2）2×2 ＝3.14×1.52×2 ＝3.14×2.25×2 ＝7.065×2 ＝14.13（平方厘米） 94.2＋14.13＝108.33（平方厘米） 答：原来圆柱的表面积是108.33平方厘米。 23．（1）602.88平方厘米 （2）200.96立方厘米 （3）1884立方厘米 【分析】（1）圆柱的表面积＝底面积×2＋侧面积，侧面积＝底面周长×高，通过底面周长求出底面半径后代入圆的面积公式（）求出底面积，两部分相加即可； （2）圆锥的体积＝底面积×高×，据此，代入数据计算即可； （3）剩余部分的体积等于圆柱的体积减去圆锥的体积，分别计算两部分面积，再相减即可。 【详解】（1）侧面积：25.12×20＝502.4（平方厘米） 底面半径：25.12÷3.14÷2 ＝8÷2 ＝4（厘米） 底面积：3.14×42×2 ＝3.14×16×2 ＝50.24×2 ＝100.48（平方厘米） 502.4＋100.48＝602.88（平方厘米） 答：圆柱的表面积为602.88平方厘米。 （2）×3.14×（8÷2）2×12 ＝×3.14×42×12 ＝×3.14×16×12 ＝3.14×64 ＝200.96（立方厘米） 答：圆锥的体积是200.96立方厘米。 （3）圆柱的体积： 3.14×（12÷2）2×20 ＝3.14×62×20 ＝3.14×36×20 ＝113.04×20 ＝2260.8（立方厘米） 圆锥的体积： ×3.14×（12÷2）2×10 ＝×3.14×62×10 ＝×3.14×36×10 ＝3.14×12×10 ＝376.8（立方厘米） 剩余体积： 2260.8－376.8＝1884（立方厘米） 答：剩余部分的体积是1884立方厘米。 24．425立方厘米 【分析】观察第一个瓶子，首先根据“圆柱的体积＝底面积×高”计算得出水的体积为25×13＝325（立方厘米），同样求出第二个瓶子未装水的体积为：25×（20－16），又已知水的体积加上瓶子未装水的体积即瓶子的体积，据此即可得出瓶子的容积。 【详解】25×13＝325（立方厘米） 25×（20－16） ＝25×4 ＝100（立方厘米） 325＋100＝425（立方厘米） 答：瓶子的容积是425立方厘米。 【点睛】瓶子的容积等于水的体积加上空白部分的体积，且水在瓶子里变换位置，水的体积是不变的。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $