常见空间距离的求解策略 讲义-2026届高三二轮专题复习

常见空间距离的求解策略讲义 空间距离的概念及其计算是立体几何的重要内容，在高考试题中要求对这一块是考查的重点与热点.空间距离主要涉及点与点、点与直线、点与平面、直线与直线、直线与平面和平面与平面六个方面,其中以点到点、点到线、点到面的距离为基础，且最终都可转化为“两点间的距离”来求.另外,在实际问题中,直线到直线的距离、直线到平面的距离、平面到平面的距离往往可转化为点到平面的距离来求解.下面结合典型试题谈一谈空间距离的求解策略，以供同学们参考和借鉴. 类型一、点到点距离的计算 例1.如图，在正三棱柱中,已知所有棱长均为,是棱上一点,且.求两点之间的距离. 【解析】策略1:在棱上取一点,使得，如图所示,连接,,.依题意知,则平面,且.在中，由余弦定理得.又在中,由勾股定理得，故两点之间的距离为. 策略2:取的中点分别为,以分别为轴建立空间直角坐标系,如图所示.由题意易得,，则,，得.故为所求距离(或用空间两点之间的距离公式). 策略3:以向量作为空间向量的基底.依题意有,而.因, ,故. 【点评】两点间的距离计算较为常见,主要有上述三种方法.策略1是用定义法,作出两点的距离线段放到一个三角形中去,通过解三角形得到；策略2是建立空间直角坐标系,找出该两点的坐标,利用两点间的距离公式或求向量的模得到；策略3是运用向量法,选取空间向量的基底，将两点所在向量用基底表示并求模即得,以体现空间向量方法作为工具解决问题的重要性. 类型二、点到直线距离的计算 例2.如图,已知正方体的棱长为,是棱的中点.求顶点到直线的距离. 【解析】策略1：连接(如图所示),依题意求得,,则.在中，过点作于,由余弦定理求出,则,得.故到直线的距离为. 策略2:前同策略1,由等面积法知,得. 策略3:由于平面,过点作于，连接(三垂线定理).因,得,故. 策略4:以分别为轴建立空间直角坐标系,得,, ,则,.又,则.设点到直线的距离为,则. 策略5:前同策略4,过作于,则 .故点到直线的距离. 策略6:前同策略4和5,设,且,于是得,即垂足,则.由于,知得.故. 【点评】上述这些解题策略,都是空间点到直线距离的常用求法.策略1是用定义法,作出表示距离的线段放置于三角形中去求解；策略2是利用一种间接思路等面积法来求解；策略3是采用三垂线定理或其逆定理作出距离线段,放在直角三角形中解决；策略4,5,6都是通过建立坐标系,并运用向量的知识来解决,但处理问题的方式各有不同. 类型三、点到平面距离的计算 例3.如图,已知正方形的边长为,分别是边的中点，平面,且.求点到平面的距离. 【解析】策略1:连接与相交于点,与交于点,连接(如图所示).依题意知是的中位线,则,且平面,平面，所以平面,则点到平面的距离等于点到平面的距离.因为平面,则,又,得平面,且,从而得平面.又平面,则平面平面,且是两平面的交线,过作于,则有平面,即的长就是所求的距离.易求得,.在中,,.于是在中,.故点到平面的距离为. 策略2:前同策略1,因则有得为所求距离. 策略3:设所求距离为,由等体积法,解出即可. 策略4:设所求距离为,以分别为轴建立空间直角坐标系.依题意得,,则中点.设平面的法向量,而,,由且,可解出,即.而,由点到面距离公式得. 策略5:前同策略1和4,易得,设,且,得为点坐标,则.由,知,得,即,求出. 策略6:以为空间向量的基底,有,三个基底向量两两互相垂直,且.前同策略1,设,则 ,.因为,且,有,得.于是,故为所求. 【点评】求点到面的距离是空间距离最常见的问题,也是高考中的热点.求点面距离的方法很多,常用方法有:定义法是一种直接方法,如策略1和2,其关键是需要正确作出图形,确定垂足位置,将点面距离的线段置于某三角形中计算；等体积法是一种间接方法,如策略3,将三棱锥的顶点和对应底面变换,且变换后的三棱锥的体积可求；策略4是建坐标系,求出平面法向量并利用点到面的距离公式求解；策略5是运用向量的坐标运算求解,找出垂足的坐标是关键；策略6是建立空间基底向量求解,对向量运算能力和技巧有一定的要求. 类型四、其它三种距离的计算 线线距离有两种:一种是两条平行直线间的距离,可转化为点到直线的距离去求；另一种是两条异面直线间的距离,传统求法是直接找出或作出公垂线并计算公垂线段的长度,有时可间接转化为线面间或平行平面间的距离去求.线面距离和面面距离均可转化为点面距离去求.由此可见，两异面直线间的距离、线面距离和面面距离这三种距离都可化为点面距离,这四种距离若借用向量为工具求解,就可以有统一解法,其同一计算公式为.公式中各个量的具体含义为:(1)在求点到平面的距离时,是平面的一个法向量,是平面内的任意点；(2)在求直线到平行平面的距离时,是平面的一个法向量,、分别是直线上和平面内的任意点；(3)在求两平行平面间的距离时,是两平面的一个公共法向量,、分别是两平面内的任意点；(4)在求异面直线间的距离时,是与直线都垂直的一个公共法向量,、分别是异面直线上的任意点. 例4.如图,在长方体中,已知.(1)求异面直线与间的距离；(2)求平面与平面间的距离. 【解析】(1)以分别为轴建立直角坐标系,如图所示.由题意得,,则, .设异面直线与的公共法向量为,则 ,且,解得,即,而. 由公式得,故异面直线与间的距离. (2)易证平面平面.由(1)知,,则.设平面的法向量为,则不妨令得即.又. 故平面与平面间的距离为. 【点评】利用坐标法借助法向量的统一公式求距离,可以降低思维难度及淡化作图和解题的技巧性,但对运算能力的要求较高.当然,有时候在坐标系不好建立的情况仍需要考虑用一些传统方法和技巧来求解,特别不要忽视建立向量的基底并借用向量法来求解,往往能取得意想不到的收获.因此,在面对具体问题时，根据其条件选择恰当的方法是关键要素. 【跟踪练习】 1.如图，四棱锥的底面为直角梯形，且，，，平面，点在上并满足.(1)求、两点之间的距离；(2)求点到平面的距离；(3)求与平面间的距离. 解:(1)连结；因平面，而平面,则，又，且为平面内两相交直线，得平面,于是，即.又,，得，且,从而知为等腰，则有，从而；在中,得，即、两点之间的距离为. (2)由(1)知平面,而平面,得平面平面,且平面平面；过点作于，则平面，在中，，由等面积法得,即点到平面的距离为. (3)因,而平面，平面,得平面；易证平面，则得平面平面,且平面平面,又,取的中点为，则有,于是得平面；在等腰中，可得,即与平面间的距离为.(本题也可建立空间坐标去求解.) 2.如图，在正四棱柱中，底面正方形的边长为，且,为侧棱上的一个动点.(1)求点到面对角线的距离；(2)求异面直线与间的距离；(3)当点在棱上何处时，可使点到平面的距离为？并说明你的理由. 解(1)法1：连结AC与交于点，在中，过作于，易求得，；连结，得，则，故点到面对角线的距离为.法2：在中，由等面积法得. (2)连结交于点，易知四边形为矩形；取的中点为点，则，又因与平面和平面均垂直，则与平面和平面也均垂直，因此，且与直线和都相交，于是知就是异面直线与的公垂线，而，故异面直线与间的距离为. (3)当点满足时，可使点到平面的距离为.理由如下：法1，设，则，由等体积法得，即，得，且，解得；故当点满足时，可使点到平面的距离为.法2，在中，过点作于；因平面,可得,于是得平面，即；由等面积法知，得；据法1得,解得，即当时满足条件.(另外,本题也可建立空间直角坐标系去求解.) 3.如图,已知正方体的棱长为,是棱的中点,是正方体的中心.(1)求点到平面的距离；(2)判断直线与平面是否平行？若平行求出直线到平面的距离，若不平行请说明理由. 解:(1)以分别为轴建立直角坐标系,如图所示.由题意得 ,则.设平面的法向量,则令,得.又,故点到平面的距离. (2)由(1)知,平面的法向量.从而,则,且平面,所以平面.又,故直线到平面的距离. 学科网（北京）股份有限公司 $