第三十二章 投影与视图（知识清单）数学冀教版九年级下册

该初中数学“投影与视图”单元知识清单系统梳理了投影与视图核心内容，涵盖投影的概念、分类（中心投影、平行投影、正投影）及特征，视图的概念、三视图（主视图、俯视图、左视图）的定义、画法规则及几何体还原，搭建从基础概念到分类特征再到应用还原的递进式学习支架。 清单通过“易错点分类解析+典型例题”呈现知识体系，如投影类易错点细分中心投影与平行投影混淆等，标注“影子顶点连线汇聚为中心投影”判断技巧，培养空间观念与几何直观。设计“三视图画法口诀”和还原步骤，不同学生可快速掌握，教师能利用易错点分析精准教学，提升学习效率。

第三十二章 投影与视图 一、投影 （一）基本概念 投影：物体在光线照射下，在某个平面（地面、墙面等）上留下影子的现象。 投影线：照射物体的光线。 投影面：影子所在的平面。 （二）投影的分类 1. 中心投影 定义：由 “ 同一点（点光源）” 发出的光线形成的投影。 实例：手电筒、路灯、台灯、蜡烛的光线形成的影子。 特征： 等高物体垂直地面放置时，离点光源越近，影子 ；离点光源越远，影子 。 等长物体平行地面放置时，离点光源越近，影子 ；离点光源越远，影子 。 投影线会汇聚于点光源，影子的形状、大小会随物体与光源、投影面的位置变化而明显改变。 2. 平行投影 定义：由 照射形成的投影。 实例：太阳光、探照灯平行光线形成的影子（日晷利用日影计时）。 特征： 同一时刻，等高物体垂直地面放置，影子长度 。 同一时刻，不同物体的高度与影长成 （构成相似三角形，可用于测量高度）。 投影线互相 ，影子的 相对稳定。 3. 正投影（特殊的平行投影） 定义：投影线 于投影面的平行投影。 性质： 物体的面 于投影面时，正投影与该面形状、大小完全相同。 物体的面 于投影面时，正投影为线段。 物体的面倾斜于投影面时，正投影为原图形的 （ 不变， 缩小）。 二、视图 （一）基本概念 视图：物体在某一方向的 ，是从特定角度观察物体得到的平面图形。 三视图：从正面、左面、上面三个互相垂直的方向观察物体，得到的三个正投影，分别是 、 、 。 （二）三视图的定义与位置 主视图：从 观察物体得到的视图，反映物体的长和高。 俯视图：从 观察物体得到的视图，反映物体的长和宽。 左视图：从 观察物体得到的视图，反映物体的高和宽。 位置规定：主视图在左上方，俯视图在主视图正下方，左视图在主视图正右方。 （三）三视图的画法规则（核心：长对正、高平齐、宽相等） 长对正： 与 的长度相等，且左右对齐。 高平齐： 与 的高度相等，且上下对齐。 宽相等： 与 的宽度相等。 线条要求：看得见的轮廓线画 ，看不见的轮廓线画 。 （四）常见几何体的三视图 （五）由三视图还原几何体 1.先看 ，确定几何体在水平面的形状与小正方体的分布。 2.结合 和 ，确定几何体各部分的高度。 3.综合三个视图，想象并还原出立体图形的形状。 三、直棱柱与圆锥的展开图 （一）直棱柱的展开图 1. 基本定义 直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱（底面为n边形，称为n直棱柱，如三棱柱、四棱柱）；其展开图由2个全等的底面和n个长方形侧面组成，侧面展开后为一个大长方形（长方形的长等于底面多边形的周长，宽等于直棱柱的侧棱长）。 2. 常见直棱柱展开图特征 直三棱柱：2个 （底面） + 3个 （侧面），3个长方形的 相等（均为侧棱长）， 分别对应三角形的三条边长。 直四棱柱（长方体/正方体）：2个全等的 （长方体底面为长方形，正方体底面为正方形） + 4个 （正方体的4个侧面均为正方形），侧面展开图的长= ，宽= 。 关键要点：展开图中，2个底面分别位于侧面长方形组成的大长方形的两侧，且底面的每条边都与一个侧面长方形的一条边完全重合（对应直棱柱的底面边与侧棱垂直）。 （二）圆锥的展开图 1. 基本定义 圆锥的展开图由1个 （侧面）和1个 （底面）组成，其中： 扇形的半径 = 圆锥的 （圆锥顶点到底面圆周上任意一点的线段长度）； 扇形的弧长 = 圆锥 （展开后扇形的弧与底面圆的圆周完全重合）； 补充公式（辅助理解）：设圆锥底面圆半径为，母线长为，则底面圆周长，扇形弧长，扇形圆心角满足：。 2. 展开图特征 侧面扇形的圆心角大小由圆锥的母线长和底面半径决定，底面圆的直径小于扇形的直径（母线长）；展开图中，底面圆的圆心与扇形的圆心在同一条垂直线上（对应圆锥的高、底面半径、母线长构成直角三角形，母线长为斜边）。 一、投影类易错点 1. 中心投影与平行投影混淆 中心投影：点光源（路灯、手电筒、蜡烛），光线相交于一点。 平行投影：平行光线（太阳光），光线互相平行。 易错判断 影子顶点连线能汇聚到一点 → 中心投影 影子互相平行 → 平行投影 2. 中心投影：物体离光源远近与影子长短搞反 物体竖直放： 离点光源越近 → 影子越短 离点光源越远 → 影子越长 易错点：题目常给图让判断光源位置 / 人移动方向，一搞反就错。 3. 平行投影（太阳光）：同一时刻规律乱用 同一时刻： 物体高度之比 = 影长之比 易错点： 不同时刻也用这个比例； 不看是否 “同一时刻、平行光” 直接用相似。 4. 正投影性质理解错误 物体某个面的正投影： 面平行投影面 → 形状大小完全一样 面垂直投影面 → 投影是线段 面倾斜 → 形状相似、大小缩小 易错点： 认为 “只要是正投影，就一定和原图一样大”。 二、三视图核心易错点 1. 三视图 “三句话” 记混、用错 长对正：主视图与俯视图（长对正） 高平齐：主视图与左视图（高对齐） 宽相等：俯视图与左视图（宽相等） 易错点： 俯视图和左视图宽不相等 画歪、不对齐 2. 看得见画实线，看不见画虚线 看得见的轮廓线：实线 看不见的轮廓线：虚线 易错点： 内部有空腔、凹槽、被挡住的棱，忘画虚线 虚线画成实线，实线画成虚线 3. 圆锥俯视图忘记画圆心 圆锥俯视图：圆 + 圆心（点） 易错点： 只画圆，不画圆心。 4. 圆柱、圆锥、棱锥左视图 / 主视图画错形状 圆柱 → 矩形 圆锥 → 等腰三角形 正方体 / 长方体 → 矩形 易错点： 把圆锥画成三角形带曲线； 把圆柱画成梯形。 5. 画组合体三视图：只看外表，不看内部结构 空心、挖孔、台阶、缺口，内部都有虚线。 易错点： 只画外框，不画内部虚线。 三、由三视图还原几何体 / 数小正方体 1. 顺序错误 正确顺序： 先看俯视图 → 再看主视图 → 最后看左视图 易错点： 一上来就看主视图，直接数错。 2. 只看一个视图就确定个数 主视图 → 看列数和层数 左视图 → 看行数和层数 俯视图 → 看底层分布 易错点： 只凭主视图就说 “最少几个、最多几个”。 3. 求最少、最多个数时漏算 / 多算 最少：每列 / 行只留必要层数，其余为 1 最多：每列 / 行全拉满到最高层 易错点： 最少算多，最多算少。 四、实际应用题易错点 1. 投影与相似三角形列式时对应边写反 高度a: 高度b = 影长a: 影长b 易错点： 高度比写成影长反比，算出来答案完全相反。 2. 判断光源位置作图不规范 中心投影：延长影子交于一点就是光源。 易错点： 作图不交于一点，随便点一个点。 五、直棱柱与圆锥展开图 1.直棱柱展开图 易错点：混淆“直棱柱”与“斜棱柱”展开图：斜棱柱侧面展开图为平行四边形，而非长方形，中考重点考查直棱柱，切勿画成斜棱柱展开图。 直n棱柱侧面长方形个数错误：误将n直棱柱的侧面个数画成n+1个或n-1个，牢记“底面n边形，侧面n个长方形”。 侧面展开图的长计算错误：误将侧面大长方形的长当成底面多边形的一条边长，实际应为底面多边形的周长。 2.圆锥展开图 易错点：混淆圆锥“母线长”与“底面半径”：误将扇形的半径当成圆锥底面圆的半径，导致弧长、圆心角计算错误（核心区分：母线长是扇形半径，底面半径是圆的半径，二者不相等，且母线长>底面半径）。 圆锥展开图漏画底面圆：只画扇形，忘记补充底面圆，或底面圆的大小与扇形弧长不匹配（弧长≠底面圆周长）。 误将圆锥侧面展开图画成三角形：圆锥侧面是曲面，展开后为扇形，而非三角形（三角形是圆锥的轴截面，不是展开图）。 1．下列哪种影子是平行投影（   ） A．皮影戏中的影子 B．太阳光下房屋的影子 C．路灯下行人的影子 D．在手电筒照射下纸片的影子 2.下列不是中心投影的是（   ） A．阳光下房屋的影子 B．晚上在房间内墙上的手影 C．人在路灯下形成的影子 D．皮影戏中的影子 3．如图，晚上小明在路灯下沿路从处径直走到处，这一过程中他在地上的影子（ ） A．一直都在变短 B．先变短后变长 C．一直都在变长 D．先变长后变短 4．兴趣小组测量学校的旗杆，在阳光下，甲同学测得长1米的竹竿影长为米，同一时刻乙同学测量时发现旗杆的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上，墙壁垂直地面，如图所示，落在墙上的影长为2米，，落在地面上的影长AB为9米，则旗杆的高度是（    ）米． A．8 B．12 C． D． 5．若线段CD是线段AB的正投影，则AB与CD的大小关系为（　　） A．AB＞CD B．AB＜CD C．AB＝CD D．AB≥CD 6．如图所示几何体的俯视图是（   ） A． B． C． D． 7．如图，小明网购了一个精美的正方体礼物盒，需要动手将平面展开图折叠成立体纸盒，则完成后的正方体纸盒是（   ） A． B． C． D． 8．如图，在灯光的正下方，它在地面上形成的影子是，平行于地面，且到的距离和与地面的距离相等，已知在中，，下面关于的说法，其中正确的是（   ） A．的面积为 B．的周长为 C． D． 9．如图，一块周长为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源O的照射下形成的投影是（点A、B、C的对应点分别是点、、），若，则的周长是（   ） A． B． C． D． 10．如图，将一块面积为的三角形硬纸板平行于投影面放置，在光源的照射下形成的投影是．若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 11．如图，圆锥的母线长为6，底面直径长为6，M为的中点．将圆锥侧面沿母线剪开并展平，在展开图中M，C之间的距离为（　　） A．3 B． C． D． 12．用小立方体搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如图所示，俯视图中小正方形中的字母表示在该位置小立方体的个数，则 ． 13．如图，画出该几何体的三视图． 14．一透明的敞口正方体容器中装有一些液体，棱始终在水平桌面上，容器底部的倾斜角为（，如图所示）． 探究：如图①，液面刚好过棱，并与棱'交于点，此时液体的形状为直三棱柱，其三视图及尺寸如图②． 解决问题： (1)与的位置关系是 ，的长是 ； (2)求液体的体积．[参考算法：直棱柱体积 底面积 高] 15．如图，南阳白河国家湿地公园有一灯柱，M为光源．某兴趣小组为了测量灯柱的高度，在灯柱同侧竖立两根长度均为的标杆和，点N，B，C在同一条直线上．测得长度为，的影长为． (1)求灯柱的高度； (2)请画出标杆的影子，并直接写出的长度． 16．在公园有两座垂直于水平地面且高度不一的圆柱，两座圆柱后面有一堵与地面互相垂直的墙，且圆柱与墙的距离皆为公分．敏敏观察到高度公分矮圆柱的影子落在地面上，其影长为公分；而高圆柱的部分影子落在墙上，如图所示． 已知落在地面上的影子皆与墙面互相垂直，并视太阳光为平行光，在不计圆柱厚度与影子宽度的情况下，请回答下列问题： (1)若敏敏的身高为公分，且此刻她的影子完全落在地面上，则影长为多少公分？ (2)若同一时间量得高圆柱落在墙上的影长为公分，则高圆柱的高度为多少公分？ 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三十二章 投影与视图 一、投影 （一）基本概念 投影：物体在光线照射下，在某个平面（地面、墙面等）上留下影子的现象。 投影线：照射物体的光线。 投影面：影子所在的平面。 （二）投影的分类 1. 中心投影 定义：由 “ 同一点（点光源）” 发出的光线形成的投影。 实例：手电筒、路灯、台灯、蜡烛的光线形成的影子。 特征： 等高物体垂直地面放置时，离点光源越近，影子越短；离点光源越远，影子越长。 等长物体平行地面放置时，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短。 投影线会汇聚于点光源，影子的形状、大小会随物体与光源、投影面的位置变化而明显改变。 2. 平行投影 定义：由平行光线照射形成的投影。 实例：太阳光、探照灯平行光线形成的影子（日晷利用日影计时）。 特征： 同一时刻，等高物体垂直地面放置，影子长度相等。 同一时刻，不同物体的高度与影长成正比（构成相似三角形，可用于测量高度）。 投影线互相平行，影子的形状、大小相对稳定。 3. 正投影（特殊的平行投影） 定义：投影线垂直于投影面的平行投影。 性质： 物体的面平行于投影面时，正投影与该面形状、大小完全相同。 物体的面垂直于投影面时，正投影为线段。 物体的面倾斜于投影面时，正投影为原图形的类似形（形状不变，大小缩小）。 二、视图 （一）基本概念 视图：物体在某一方向的正投影，是从特定角度观察物体得到的平面图形。 三视图：从正面、左面、上面三个互相垂直的方向观察物体，得到的三个正投影，分别是主视图、左视图、俯视图。 （二）三视图的定义与位置 主视图：从正面由前向后观察物体得到的视图，反映物体的长和高。 俯视图：从上面由上向下观察物体得到的视图，反映物体的长和宽。 左视图：从左面由左向右观察物体得到的视图，反映物体的高和宽。 位置规定：主视图在左上方，俯视图在主视图正下方，左视图在主视图正右方。 （三）三视图的画法规则（核心：长对正、高平齐、宽相等） 长对正：主视图与俯视图的长度相等，且左右对齐。 高平齐：主视图与左视图的高度相等，且上下对齐。 宽相等：俯视图与左视图的宽度相等。 线条要求：看得见的轮廓线画实线，看不见的轮廓线画虚线。 （四）常见几何体的三视图 （五）由三视图还原几何体 1.先看俯视图，确定几何体在水平面的形状与小正方体的分布。 2.结合主视图和左视图，确定几何体各部分的高度。 3.综合三个视图，想象并还原出立体图形的形状。 三、直棱柱与圆锥的展开图 （一）直棱柱的展开图 1. 基本定义 直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱（底面为n边形，称为n直棱柱，如三棱柱、四棱柱）；其展开图由2个全等的底面和n个长方形侧面组成，侧面展开后为一个大长方形（长方形的长等于底面多边形的周长，宽等于直棱柱的侧棱长）。 2. 常见直棱柱展开图特征 直三棱柱：2个全等的三角形（底面） + 3个长方形（侧面），3个长方形的宽相等（均为侧棱长），长分别对应三角形的三条边长。 直四棱柱（长方体/正方体）：2个全等的四边形（长方体底面为长方形，正方体底面为正方形） + 4个长方形（正方体的4个侧面均为正方形），侧面展开图的长=底面四边形的周长，宽=侧棱长。 关键要点：展开图中，2个底面分别位于侧面长方形组成的大长方形的两侧，且底面的每条边都与一个侧面长方形的一条边完全重合（对应直棱柱的底面边与侧棱垂直）。 （二）圆锥的展开图 1. 基本定义 圆锥的展开图由1个扇形（侧面）和1个圆（底面）组成，其中： 扇形的半径 = 圆锥的母线长（圆锥顶点到底面圆周上任意一点的线段长度）； 扇形的弧长 = 圆锥底面圆的周长（展开后扇形的弧与底面圆的圆周完全重合）； 补充公式（辅助理解）：设圆锥底面圆半径为，母线长为，则底面圆周长，扇形弧长，扇形圆心角满足：。 2. 展开图特征 侧面扇形的圆心角大小由圆锥的母线长和底面半径决定，底面圆的直径小于扇形的直径（母线长）；展开图中，底面圆的圆心与扇形的圆心在同一条垂直线上（对应圆锥的高、底面半径、母线长构成直角三角形，母线长为斜边）。 一、投影类易错点 1. 中心投影与平行投影混淆 中心投影：点光源（路灯、手电筒、蜡烛），光线相交于一点。 平行投影：平行光线（太阳光），光线互相平行。 易错判断 影子顶点连线能汇聚到一点 → 中心投影 影子互相平行 → 平行投影 2. 中心投影：物体离光源远近与影子长短搞反 物体竖直放： 离点光源越近 → 影子越短 离点光源越远 → 影子越长 易错点：题目常给图让判断光源位置 / 人移动方向，一搞反就错。 3. 平行投影（太阳光）：同一时刻规律乱用 同一时刻： 物体高度之比 = 影长之比 易错点： 不同时刻也用这个比例； 不看是否 “同一时刻、平行光” 直接用相似。 4. 正投影性质理解错误 物体某个面的正投影： 面平行投影面 → 形状大小完全一样 面垂直投影面 → 投影是线段 面倾斜 → 形状相似、大小缩小 易错点： 认为 “只要是正投影，就一定和原图一样大”。 二、三视图核心易错点 1. 三视图 “三句话” 记混、用错 长对正：主视图与俯视图（长对正） 高平齐：主视图与左视图（高对齐） 宽相等：俯视图与左视图（宽相等） 易错点： 俯视图和左视图宽不相等 画歪、不对齐 2. 看得见画实线，看不见画虚线 看得见的轮廓线：实线 看不见的轮廓线：虚线 易错点： 内部有空腔、凹槽、被挡住的棱，忘画虚线 虚线画成实线，实线画成虚线 3. 圆锥俯视图忘记画圆心 圆锥俯视图：圆 + 圆心（点） 易错点： 只画圆，不画圆心。 4. 圆柱、圆锥、棱锥左视图 / 主视图画错形状 圆柱 → 矩形 圆锥 → 等腰三角形 正方体 / 长方体 → 矩形 易错点： 把圆锥画成三角形带曲线； 把圆柱画成梯形。 5. 画组合体三视图：只看外表，不看内部结构 空心、挖孔、台阶、缺口，内部都有虚线。 易错点： 只画外框，不画内部虚线。 三、由三视图还原几何体 / 数小正方体 1. 顺序错误 正确顺序： 先看俯视图 → 再看主视图 → 最后看左视图 易错点： 一上来就看主视图，直接数错。 2. 只看一个视图就确定个数 主视图 → 看列数和层数 左视图 → 看行数和层数 俯视图 → 看底层分布 易错点： 只凭主视图就说 “最少几个、最多几个”。 3. 求最少、最多个数时漏算 / 多算 最少：每列 / 行只留必要层数，其余为 1 最多：每列 / 行全拉满到最高层 易错点： 最少算多，最多算少。 四、实际应用题易错点 1. 投影与相似三角形列式时对应边写反 高度a: 高度b = 影长a: 影长b 易错点： 高度比写成影长反比，算出来答案完全相反。 2. 判断光源位置作图不规范 中心投影：延长影子交于一点就是光源。 易错点： 作图不交于一点，随便点一个点。 五、直棱柱与圆锥展开图 1.直棱柱展开图 易错点：混淆“直棱柱”与“斜棱柱”展开图：斜棱柱侧面展开图为平行四边形，而非长方形，中考重点考查直棱柱，切勿画成斜棱柱展开图。 直n棱柱侧面长方形个数错误：误将n直棱柱的侧面个数画成n+1个或n-1个，牢记“底面n边形，侧面n个长方形”。 侧面展开图的长计算错误：误将侧面大长方形的长当成底面多边形的一条边长，实际应为底面多边形的周长。 2.圆锥展开图 易错点：混淆圆锥“母线长”与“底面半径”：误将扇形的半径当成圆锥底面圆的半径，导致弧长、圆心角计算错误（核心区分：母线长是扇形半径，底面半径是圆的半径，二者不相等，且母线长>底面半径）。 圆锥展开图漏画底面圆：只画扇形，忘记补充底面圆，或底面圆的大小与扇形弧长不匹配（弧长≠底面圆周长）。 误将圆锥侧面展开图画成三角形：圆锥侧面是曲面，展开后为扇形，而非三角形（三角形是圆锥的轴截面，不是展开图）。 1．下列哪种影子是平行投影（   ） A．皮影戏中的影子 B．太阳光下房屋的影子 C．路灯下行人的影子 D．在手电筒照射下纸片的影子 【答案】B 【易错点】混淆平行投影和中心投影 【解析】解：A．皮影戏中的影子是中心投影； B．太阳光下房屋的影子是是平行投影； C．路灯下行人的影子是中心投影； D．在手电筒照射下纸片的影子是中心投影； 故选B． 2.下列不是中心投影的是（   ） A．阳光下房屋的影子 B．晚上在房间内墙上的手影 C．人在路灯下形成的影子 D．皮影戏中的影子 【答案】A 【易错】混淆中心投影和平行投影 【解析】解：∵ 中心投影的光线需从一点发散， 而A中阳光为平行光，光线不从一个点发散， ∴ A不是中心投影， B、C、D中光源均为点光源，光线从一点发散，是中心投影， 故选：A． 3．如图，晚上小明在路灯下沿路从处径直走到处，这一过程中他在地上的影子（ ） A．一直都在变短 B．先变短后变长 C．一直都在变长 D．先变长后变短 【答案】B 【易错点】中心投影：物体离光源远近与影子长短搞反 【解析】解：在小亮从处径直走到路灯下时，他在地上的影子逐渐变短；当他走到路灯下，再走到处时，他在地上的影子逐渐变长， ∴小亮在地上的影子先变短后边长， 故选：B． 4．兴趣小组测量学校的旗杆，在阳光下，甲同学测得长1米的竹竿影长为米，同一时刻乙同学测量时发现旗杆的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上，墙壁垂直地面，如图所示，落在墙上的影长为2米，，落在地面上的影长AB为9米，则旗杆的高度是（    ）米． A．8 B．12 C． D． 【答案】A 【易错点】误认为AB+BC等于旗杆全部投影在地面影子的长度 【解析】解：设从墙上的影子的顶端到旗杆的顶端的垂直高度是x米． 则有， 解得． 旗杆高是（米）． 故选：A． 5．若线段CD是线段AB的正投影，则AB与CD的大小关系为（　　） A．AB＞CD B．AB＜CD C．AB＝CD D．AB≥CD 【答案】D 【易错点】认为 “只要是正投影，就一定和原图一样大” 【解析】若线段AB平行于投影面，则AB=CD， 若线段AB不平行于投影面，则AB>CD， 则AB≥CD， 故答案选：D. 6．如图所示几何体的俯视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【易错点】忽略被遮挡的虚线 【解析】解：根据题意，该图的俯视图为： 故选：C． 7．如图，小明网购了一个精美的正方体礼物盒，需要动手将平面展开图折叠成立体纸盒，则完成后的正方体纸盒是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【易错】正方体展开图对面邻面混淆 【解析】解：A选项：如下图所示，当在前面时，上面是，左面是，故A选项符合题意； B选项：当在上面时，前面应是，故B选项不符合题意； C选项：当在前面时，上面应是，故C选项不符合题意； D选项：两个应是相对面，不能相邻，故D选项不符合题意． 故选：A． 8．如图，在灯光的正下方，它在地面上形成的影子是，平行于地面，且到的距离和与地面的距离相等，已知在中，，下面关于的说法，其中正确的是（   ） A．的面积为 B．的周长为 C． D． 【答案】B 【易错】相似比、周长比、面积比混淆 【解析】解：由题意，得， ，， 由题意，得，，， 由中心投影的性质，可知，相似比为， ∴，故A选项错误； ，故B选项正确； ，，故C、D选项错误， 故选：B． 9．如图，一块周长为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源O的照射下形成的投影是（点A、B、C的对应点分别是点、、），若，则的周长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【易错】周长比等于相似比 【解析】解：投影可知：，， ， ， 与的相似比是， ， ， 与的相似比是， 与的周长比是， 的周长为， ， ； 故选． 10．如图，将一块面积为的三角形硬纸板平行于投影面放置，在光源的照射下形成的投影是．若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【易错】错将相似比当做面积比 【解析】解：， ． 由题意得：， ． ． ． 故选：D． 11．如图，圆锥的母线长为6，底面直径长为6，M为的中点．将圆锥侧面沿母线剪开并展平，在展开图中M，C之间的距离为（　　） A．3 B． C． D． 【答案】D 【易错】错把CM的长当错展开图扇形的边长 【解析】解：如下图， 设侧面展开图圆心角的度数为， 圆锥的母线长为6，底面直径长为6， ， ，即， ，即三角形是直角三角形， M为的中点， ， ． 故选：D． 12．用小立方体搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如图所示，俯视图中小正方形中的字母表示在该位置小立方体的个数，则 ． 【答案】5 【易错点】数的顺序错误，易只看一个视图判断 【解析】解：∵由主视图可得，俯视图中最右边一个正方形处有3个小立方体，中间一列两个正方形处各有1个小立方体， ∴， ∴． 故答案为：5． 13．如图，画出该几何体的三视图． 【答案】见解析 【易错点】画歪线段，忽略俯视图中的虚线． 【解析】解：该几何体的三视图如图所示： 14．一透明的敞口正方体容器中装有一些液体，棱始终在水平桌面上，容器底部的倾斜角为（，如图所示）． 探究：如图①，液面刚好过棱，并与棱'交于点，此时液体的形状为直三棱柱，其三视图及尺寸如图②． 解决问题： (1)与的位置关系是 ，的长是 ； (2)求液体的体积．[参考算法：直棱柱体积 底面积 高] 【答案】(1)平行； (2) 【易错点】正确判断液体的形状，混淆长对正，高平齐，宽相等 【解析】（1）解：∵液体的形状为直三棱柱， ∴， 由三视图可得，， ∵正方体容器， ∴， 根据勾股定理得：． 故答案为：平行；； （2）解： 15．如图，南阳白河国家湿地公园有一灯柱，M为光源．某兴趣小组为了测量灯柱的高度，在灯柱同侧竖立两根长度均为的标杆和，点N，B，C在同一条直线上．测得长度为，的影长为． (1)求灯柱的高度； (2)请画出标杆的影子，并直接写出的长度． 【答案】(1)灯柱的高度为 (2)图见解析，的长度为 【易错】高度比写成影长反比，算出来答案完全相反。 【解析】（1）解：由题意得，， ∴， ∴， ∴， ∴ 解得， ∴灯柱的高度为； （2）解：标杆的影子如图所示： 同理可证明， ∴ ∴， 解得， ∴的长度为． 16．在公园有两座垂直于水平地面且高度不一的圆柱，两座圆柱后面有一堵与地面互相垂直的墙，且圆柱与墙的距离皆为公分．敏敏观察到高度公分矮圆柱的影子落在地面上，其影长为公分；而高圆柱的部分影子落在墙上，如图所示． 已知落在地面上的影子皆与墙面互相垂直，并视太阳光为平行光，在不计圆柱厚度与影子宽度的情况下，请回答下列问题： (1)若敏敏的身高为公分，且此刻她的影子完全落在地面上，则影长为多少公分？ (2)若同一时间量得高圆柱落在墙上的影长为公分，则高圆柱的高度为多少公分？ 【答案】(1)敏敏的影长为公分； (2)高圆柱的高度为公分． 【易错】误认为地面加墙上的影长等于旗杆全部投影在地面影子的长度 【解析】（1）解：设敏敏的影长为公分， 由题意得：， 解得， 经检验：是分式方程的解， 答：敏敏的影长为公分； （2）解：如图，连接，作， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴公分， 设公分，由题意落在地面上的影长为公分， ∴， ∴， ∴（公分）， 答：高圆柱的高度为公分． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $