第三十二章 投影与视图（复习讲义）数学冀教版九年级下册

该初中数学复习讲义以“基础-进阶-拓展”三级目标构建投影与视图知识体系，通过表格系统梳理投影分类、三视图原则等核心知识点，清晰呈现重点归纳与常见易错点，直观展现知识内在逻辑与重难点分布。 讲义亮点在于分层练习设计，从基础的三视图识别到综合应用的投影计算（如根据平行投影求大树高度），结合生活实例培养空间观念与几何直观。例题与变式题覆盖不同难度，助力学生逐步提升，为教师实施分层教学提供精准支持。

第三十二章 投影与视图（复习讲义） 一、基础目标 1.能复述投影、平行投影、中心投影的定义，能准确区分平行投影（如太阳光照射形成的影子）与中心投影（如灯光、路灯照射形成的影子），能列举2-3个生活中常见的两种投影实例。 2.能复述视图、主视图、左视图、俯视图的定义，牢记三视图“长对正、高平齐、宽相等”的绘制原则，能准确识别正方体、长方体、圆柱、圆锥、直三棱柱5种常见几何体的三视图，能规范画出单一简单几何体（正方体、长方体、圆柱）的三视图。 3.能复述直棱柱（三棱柱、四棱柱）、圆锥的基本几何特征，能准确识别这两种几何体的展开图，能区分直棱柱与圆柱、圆锥展开图的不同。 4.能根据平行投影的特征，判断同一时刻不同物体的影子方向，能解决最简单的平行投影计算（已知物体高度与影长，求同一时刻另一物体影长，且两物体在同一平行光线下）。 5.能复述投影与视图的简单联系，知道几何体的视图可反映几何体的形状与大小，能结合简单几何体，说明其视图与投影的对应关系。 二、进阶目标 1.理解并应用平行投影与中心投影的区别与联系，能根据影子的形状、方向和长度，判断投影类型（平行投影或中心投影），能根据中心投影的特征，确定光源的具体位置。 2.会根据三视图的绘制原则，规范画出由2-3个简单几何体组合而成的几何体（如长方体与圆柱组合、正方体与圆锥组合、三棱柱与正方体组合）的三视图，能根据三视图还原简单的组合几何体，明确还原的步骤与方法。 3.会推导直棱柱侧面展开图的面积计算公式（侧面展开图为矩形，矩形的长为底面多边形的周长，宽为直棱柱的侧棱长，侧面积=底面周长×侧棱长），能准确计算直三棱柱、四棱柱的侧面积与表面积（含底面），能结合展开图解决简单的面积计算问题。 4.理解并应用三视图与几何体的对应关系，能根据三视图判断几何体的形状、大小（如棱长、底面边长、高），能根据三视图计算几何体的棱长总和、体积（仅限简单组合几何体，如正方体组合、长方体组合）。 5.能解决与投影相关的简单实际应用题（如根据平行投影计算大树、电线杆的高度，根据中心投影判断路灯的位置与高度雏形），能规范书写解题步骤。 三、拓展目标 1.能结合投影与视图的知识，推导复杂组合几何体（如3个以上简单几何体组合）的三视图绘制技巧，能根据复杂三视图还原几何体，并准确分析几何体的构成。 2.理解并应用投影的变化规律（如平行光线下，物体高度与影长的比例关系随光线角度的变化规律；中心光线下，物体影子长度随物体与光源距离的变化规律），能解决较复杂的投影实际应用题（如结合相似三角形，计算不在同一平面内的物体高度、光源距离）。 3.会结合三视图与展开图的知识，解决几何体的切割、拼接问题（如判断切割后几何体的三视图，计算切割后几何体的表面积、体积变化），能推导切割后几何体的投影特征。 4.能区分中考与阶段考的考查差异，掌握本单元中考高频考点的解题技巧，能总结常见易错点（如三视图绘制中“宽相等”的易错应用、投影类型判断中光源位置的易错分析），能规避常见解题错误。 知识点 重点归纳 常见易错点 投影的定义及分类 1. 能复述投影定义：用光线照射物体，在某个平面上得到的影子叫做投影 2. 能准确区分平行投影（太阳光，光线平行）和中心投影（灯光、路灯，光线交于一点） 3. 会识别生活中两种投影的实例，能根据影子特征判断投影类型（阶段考、中考基础题高频） 1. 混淆平行投影与中心投影的特征，误将路灯照射的影子归为平行投影 2. 忽略“同一时刻”这一前提，判断平行投影中影子方向或长度时出错 3. 不能准确描述两种投影的本质区别（光线是否平行） 平行投影的特征及应用 1. 理解并应用平行投影的核心特征：同一时刻，平行光线照射下，不同物体的高度与影长成正比 2. 会解决简单平行投影计算题（已知物体高度与影长，求同一时刻另一物体影长） 3. 能根据平行投影的影子方向，判断太阳光的照射方向（阶段考基础计算、中考偶尔考查） 1. 应用“高度与影长成正比”时，忽略“同一时刻、同一平行光线”前提 2. 计算时，混淆物体高度与影长的对应关系，比例式列写错误 3. 无法根据影子方向反向判断光线方向。 中心投影的特征及应用 1. 理解并应用中心投影的核心特征：光线交于一点（光源），同一物体离光源越近，影子越短；离光源越远，影子越长 2. 会根据中心投影的影子，确定光源的具体位置 3. 能区分中心投影与平行投影的应用场景（阶段考中档题、中考中档题高频） 1. 记错中心投影中“物体与光源距离”和“影子长度”的关系（误记为“距离越近，影子越长”） 2. 确定光源位置时，不会利用“物体顶端与影子顶端的连线交于光源”这一方法 3. 解决实际应用题时，无法区分题目是平行投影还是中心投影。 视图的定义及三视图原则 1. 能复述视图、主视图、左视图、俯视图的定义，明确三个视图的观察角度 2. 牢记并应用三视图“长对正、高平齐、宽相等”的核心绘制与识别原则 3. 能准确识别正方体、长方体、圆柱、圆锥、直三棱柱的三视图（阶段考、中考基础题必考） 1. 混淆左视图与俯视图的观察角度，误将左视图画成俯视图的镜像 2. 忽略“宽相等”原则，绘制三视图时，俯视图与左视图的宽度不对应 3. 识别圆锥三视图时，误将左视图（三角形）画成圆形或其他形状 简单几何体及组合几何体的三视图绘制与还原 1. 会规范画出单一简单几何体（正方体、长方体、圆柱）的三视图 2. 会画出由2-3个简单几何体组合而成的几何体的三视图，标注关键尺寸 3. 能根据三视图还原简单几何体及组合几何体，明确几何体的构成（阶段考、中考核心考点） 1. 绘制组合几何体三视图时，遗漏被遮挡部分的轮廓线（或误将遮挡线画成实线） 2. 还原三视图时，忽略“长对正、高平齐、宽相等”，导致还原的几何体与三视图不匹配 3. 绘制圆柱三视图时，误将主视图（矩形）的长画成与底面直径不对应 几何体的展开图 1. 能识别直棱柱（三棱柱、四棱柱）、圆锥的展开图，区分直棱柱与圆柱、圆锥展开图的差异 2. 会推导直棱柱侧面展开图的形状（矩形），明确矩形的长（底面周长）和宽（侧棱长） 3. 能根据展开图，判断对应的几何体类型（阶段考基础题、中考偶尔考查）。 1. 混淆直三棱柱与三棱锥的展开图（误将三棱锥展开图当作直三棱柱展开图） 2. 记错圆锥展开图的构成（误将展开图当作圆形，忽略扇形） 3. 计算直棱柱侧面积时，混淆“底面周长”与“底面边长”，导致公式应用错误 投影与视图的综合应用 1. 理解投影与视图的联系，能结合几何体的视图，分析其投影特征 2. 会解决与投影、视图相关的简单实际应用题（如计算物体高度、判断光源位置）；3. 能结合相似三角形，解决较复杂的投影计算问题（拓展目标，阶段考难题、中考压轴题雏形）。 1. 综合应用时，无法建立投影与视图的联系，不会利用视图特征分析投影情况 2. 解决实际应用题时，不会将实际问题转化为几何问题，找不到对应的投影关系 3. 结合相似三角形解决投影问题时，比例式列写错误，忽略对应边成比例 直棱柱的侧面积与表面积计算 1. 会推导直棱柱侧面积计算公式：侧面积=底面周长×侧棱长 2. 能准确计算直三棱柱、四棱柱的侧面积与表面积（含两个底面） 3. 能结合三视图，计算简单组合几何体的表面积（阶段考计算题、中考偶尔考查） 1. 计算表面积时，遗漏底面（只计算侧面积） 2. 计算底面周长时，误将直三棱柱的底面周长算成两条边长之和 3. 结合三视图计算表面积时，重复计算组合部分的面积（或遗漏未被遮挡的面积） 题型一 平行投影 【例1】（25-26河北）下图所示物体的影子中，不正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图是我国北方一天中四个不同时刻两座建筑物的影子，按时间先后顺序排列正确的是（　　）. A．③④①② B．②①④③ C．③①④② D．②④①③ 【变式1-2】如图，在大树的右侧有三个台阶，每个台阶的高、宽分别是和．某一时刻，测得台阶在地面上的影子，此时树梢顶点的影子落在台阶上（包含两个端点）．已知大树的底部到台阶的距离，则大树的高度可能是（   ） A． B． C． D． 题型二 中心投影 【例2】（2026·河北沧州）如图，在一间黑屋子里，用一盏白炽灯照射直角三角板形成影子，三角板始终保持与地面平行，它向白炽灯靠近的过程中（不与光源接触），下列说法正确的是（    ） A．越来越大 B．越来越小 C．不是直角三角形 D． 【变式2-1】一块三角形板，，，测得边的中心投影长为，则边的中心投影的长为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25河北衡水）如图．在直角坐标系中，点是一个光源．木杆两端的坐标分别为．则木杆在x轴上的投影长为（  ）    A．1.8 B．6 C．5 D．4 题型三 正投影 【例3】正六棱柱如图放置，一束水平方向的平行光线照射此正六棱柱时的正投影是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】下列投影中，正投影有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式3-2】如图1所示，是中国研制的新型激光武器，图2是其射出的激光束中截取的线段，线段在投影面上的正投影为，已知，则投影的长为（   ） A． B． C． D． 题型四 判断三视图 【例4】下列几何体均由4个相同的小正方体搭建而成，其中主视图与左视图相同的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】如图，是由5个大小相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】由几个大小相同的小正方体积木搭成的立体图形的左视图如图所示，则所搭成的立体图形不可能是（   ） A． B． C． D． 题型五 已知三视图求表面积 【例5】如图是一个几何体的三视图（图中尺寸单位：cm），根据图中所示数据可计算出该几何体的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】北京冬奥会的吉祥物“冰墩墩”收获无数“迷弟”“迷妹”而出现“一墩难求”的现象，为了满足需求，其中一间正规授权生产厂通过技术改造来提高产能，两次技术改造后，由日产量1000个扩大到日产量1440个． (1)求这两次技术改造日产量的平均增长率； (2)这个生产厂家还设计了三视图如图所示的“冰墩墩”盲盒，（单位：），请计算此类盲盒的表面积． 【变式5-2】如图是一个几何体的三视图（单位：）． (1)这个几何体的名称是_________；（填“圆锥”或“棱锥”） (2)根据图上的数据计算这个几何体的表面积（结果保留π）． 题型六 已知三视图求体积 【例6】（2023·河北唐山）如图，是一个长方体的三视图，则该长方体的体积是（    ）    A． B． C． D． 【变式6-1】（22-23河北邢台）如图，是由若干个棱长为1的小正方体搭成的一个几何体三视图，则这个几何体的体积是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式6-2】（2021·山东菏泽·中考）如图是一个几何体的三视图，根据图中所标数据计算这个几何体的体积为（    ） A． B． C． D． 题型七 正方体几种展开图 【例7】（25-26河北沧州）下列图形中不是正方体的展开图的是（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26河北唐山）下列四个图形中，能折叠成正方体的是（ ）． A． B． C． D． 【变式7-2】如图，裁掉一个正方形后能折叠成正方体，但不能裁掉的是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 题型八 正方体相对两面的字 【例8】（25-26河北邯郸）如图所示是一个正方体的展开图，则与“数”字相对的面上的字是（   ） A．核 B．心 C．素 D．养 【变式8-1】（25-26河北唐山）如图是一个正方体的表面展开图，六个面上各有一字，把它折成正方体后，与“静”相对的字是（    ） A．沉 B．着 C．应 D．考 【变式8-2】（25-26河北邢台）一个正方体的平面展开图如图所示，已知正方体相对两个面上的数互为倒数，则（   ） A． B． C． D． 题型九 直棱柱与圆锥展开图 【例9】一座长方体建筑，其底面为正方形，现已知，，欲从点A开始沿着该建筑的表面环绕长方体建筑1圈，最后到达点处，则最短距离为（   ）m． A．80 B．100 C．120 D．130 【变式9-1】如图，圆锥底面圆的半径的长为，母线的长为，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是（   ） A． B． C． D． 【变式9-2】如图所示，某同学用透明的硅胶泥做成一个正方体．并用薄塑料刀竖直切割这个正方体，分成了左右两个长方体和，若这两个长方体的体积之比为，则长方体和的表面展开图的面积之比为（   ） A． B． C． D． 基础巩固通关测 1．（25-26河北石家庄）如图所示的几何体的俯视图是（   ） A． B． C． D． 2．如图是由6个完全相同的小正方体组成的几何体，其俯视图为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26河北保定）榫卯是我国古代建筑、家具的一种结构方式，它通过两个构件上凹凸部位相结合来将不同构件组合在一起．如图，这是其中一种榫，其左视图是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25河北邢台）如图，这是由7个大小相同的小正方体搭建的几何体，该几何体的三视图相同的是（    ） A．主视图和左视图 B．主视图和俯视图 C．俯视图和左视图 D．以上答案都对 5．（25-26河北唐山）如图，将其折叠成一个正方体，与“思”字相对的面上的字是（　　） A．是 B．量 C．维 D．力 6．（25-2河北邯郸）如图是一正方体的表面展开图，这个正方体相对面上的数字之和为0，则、、代表的数不包括（　　） A．2 B． C．4 D． 7．（2024河北石家庄）如图，将由6个棱长为1的小正方体组成的几何体在桌面上逆时针旋转后，主视图的面积为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 8．图2是图1中长方体的三视图，用S表示面积，则（　　） A． B． C． D． 9．如图，一个几何体的三视图分别是两个矩形，一个扇形，则这个几何体表面积的大小为（　　） A．12π B．15π C．12π+6 D．15π+12 10．（22-23河北邢台）如图是一个几何体的三视图（俯视图是等边三角形），则这个几何体体积是（    ） A． B． C． D． 11．（25-26河北邯郸）用小正方体搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如图所示，俯视图中小正方体中的字母表示在该位置小正方体的个数，则这个几何体至少由 个小正方体组成． 12．一个正方体的六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6，从三个不同的方向看到的情形如图1所示，图2为这个正方体的侧面展开图，则图中的表示的数字是 ． 13．有一个正方体骰子，放在桌面上，将骰子沿如图所示的顺时针方向滚动，每滚动算一次，则滚动第2038次后，骰子朝下一面的点数是 ． 14．（24-25河北秦皇岛）如图1是由9个大小相同的小正方体组成的几何体． (1)在图2和图3中分别画出图1所示几何体的主视图和俯视图； (2)若从图1所示几何体中拿走n块小正方体后，左视图没有发生变化，则n的最大值是_______． 17．综合与实践 【问题情境】 某综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动，他们准备用废弃的宣传单制作长方体纸盒． 【操作探究】 (1)若准备制作一个无盖的正方体纸盒，图1中的 图形经过折叠能围成无盖正方体纸盒． (2)图2是嘉嘉的设计图，把它折成无盖正方体纸盒后与“保”字相对的是 字． (3)如图3，有一张边长为的正方形废弃宣传单，嘉嘉准备将其四个角各剪去一个小正方形，折成无盖长方体纸盒，折成的纸盒高为． ①四角应各剪去边长为 的小正方形； ②计算此长方体纸盒的容积． (4)根据如图4方式制作一个有盖的长方体纸盒．方法：先在边长为的正方形纸板四角剪去两个边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折叠起来．该长方体纸盒的体积为多少？ 能力提升进阶练 1．如图所示的几何体从左面看到的平面图形是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25河北保定）如图所示，一个几何体的三视图均相同，则搭成此几何体的小正方体可能有（    ）个． A．6 B．8 C．10 D．12 3．如图是一个正方体的平面展开图，把展开图折叠成正方体后，对面上的两个数（或式子）的值相等，则x的值为（    ） A．1.5 B．3 C．6 D．12 4．（2023·河北邢台·二模）如图1是有五个相同的小正方体粘在一起的几何体，图2是佳佳、音音对几何体分别设计了不同的操作方案，其中能使左视图保持不变的是（    ） A．佳佳的方案 B．音音的方案 C．两个方案均可 D．两个方案均不可以 5．（2023·河北衡水·模拟预测）用一些完全相同的小正方体摆成一个几何体，如图是该几何体的左视图和俯视图，针对该几何体所需小正方体的个数m，三人的说法如下， 甲：若，则该几何体有两种摆法； 乙：若，则该几何体有三种摆法； 丙：若，则该几何体只有一种摆法．下列判断正确的是（    ） A．甲对，乙错 B．乙和丙都错 C．甲错，乙对 D．乙对，丙错 6．将如图所示的立方体展开得到的图形是( ) A． B． C． D． 7．（2016·河北·中考）图1和图2中所有的正方形都全等，将图1的正方形放在图2中的①②③④某一位置，所组成的图形不能围成正方体的位置是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 8．如图是某几何体的三视图，根据图中数据，求得该几何体的体积为（　　） A．60π B．70π C．90π D．160π 9．如图所示的是一个直三棱柱的展开图，其中，则的长度可能是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 10．（25-26河北）下图中，图2是图1长方体的三视图，若用S表示面积，则，，已知，a的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 11．如图是一个正方体的表面展开图，若正方体中相对的面上的数互为相反数，则的值为 ． 12．（2024·河北廊坊·二模）如图是一个边长为2的正方体的一种平面展开图，它的每个面上都有一个汉字，那么在原正方体的表面上，与汉字“真”相对的面上的汉字是 ．把正方体展开图放在平面直角坐标系xOy中，其中“考”字左上角的顶点A坐标为．若双曲线在第一象限的部分过该图形的对称中心，则双曲线的函数解析式为 ． 13．如图为一机器零件的三视图，它的俯视图为正三角形，根据图中所标的尺寸，计算这个几何体的表面积是 ．（结果保留根号） 14．（25-26河北张家口）综合与实践： 课题 制作一个尽可能大的无盖长方体形收纳盒 知识准备 （1）下列图形中，不是无盖正方体的表面展开图的是 ；（填字母）    实践探索 嘉嘉在边长为的正方形纸板四个角各剪去一个边长为的小正方形并沿虚线折叠成一个无盖的长方体形收纳盒（图1）    b/ 1 2 3 4 5 6 V/ 324 512 588 576 500 384 图2 （2）任务1：当，时，求这个盒子的容积． （3）任务2：当，将相应长方体形盒子的容积V与高度b之间的关系建立如图2表格，若b取整数，观察表格特点，当 时V最大？当 时？ （4）任务3：经证明：当时，V取得最大值，求当时V的最大值（结果保留整数） 15．（25-26河北张家口）如图是一个长方体的表面展开图，一共标有A、B、C、D、E、F六个面，请解答下列问题： (1)如果A面在长方体的底部，那么_____面会在上面； (2)设，若该长方体相对两个面的代数式之和为0，求代数式的值． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三十二章 投影与视图（复习讲义） 一、基础目标 1.能复述投影、平行投影、中心投影的定义，能准确区分平行投影（如太阳光照射形成的影子）与中心投影（如灯光、路灯照射形成的影子），能列举2-3个生活中常见的两种投影实例（考情：阶段考常考投影类型辨析选择题/填空题，中考基础题必考投影类型判断）。 2.能复述视图、主视图、左视图、俯视图的定义，牢记三视图“长对正、高平齐、宽相等”的绘制原则，能准确识别正方体、长方体、圆柱、圆锥、直三棱柱5种常见几何体的三视图，能规范画出单一简单几何体（正方体、长方体、圆柱）的三视图（考情：阶段考必考三视图识别与简单绘制，中考基础题常考常见几何体三视图辨析）。 3.能复述直棱柱（三棱柱、四棱柱）、圆锥的基本几何特征，能准确识别这两种几何体的展开图，能区分直棱柱与圆柱、圆锥展开图的不同（考情：阶段考常考展开图匹配题，中考偶尔以选择题形式考查简单展开图识别）。 4.能根据平行投影的特征，判断同一时刻不同物体的影子方向，能解决最简单的平行投影计算（已知物体高度与影长，求同一时刻另一物体影长，且两物体在同一平行光线下）（考情：阶段考基础计算题常考，中考极少单独考查此类基础计算）。 5.能复述投影与视图的简单联系，知道几何体的视图可反映几何体的形状与大小，能结合简单几何体，说明其视图与投影的对应关系（考情：阶段考填空题、简答题常考基础表述）。 二、进阶目标 1.理解并应用平行投影与中心投影的区别与联系，能根据影子的形状、方向和长度，判断投影类型（平行投影或中心投影），能根据中心投影的特征，确定光源的具体位置（考情：阶段考中档题高频考查，中考选择题、填空题中档题常考）。 2.会根据三视图的绘制原则，规范画出由2-3个简单几何体组合而成的几何体（如长方体与圆柱组合、正方体与圆锥组合、三棱柱与正方体组合）的三视图，能根据三视图还原简单的组合几何体，明确还原的步骤与方法（考情：阶段考、中考核心考查点，以选择题、填空题为主，偶尔结合解答题考查三视图绘制与还原）。 3.会推导直棱柱侧面展开图的面积计算公式（侧面展开图为矩形，矩形的长为底面多边形的周长，宽为直棱柱的侧棱长，侧面积=底面周长×侧棱长），能准确计算直三棱柱、四棱柱的侧面积与表面积（含底面），能结合展开图解决简单的面积计算问题（考情：阶段考计算题核心考点，中考偶尔考查表面积计算，多结合几何体三视图考查）。 4.理解并应用三视图与几何体的对应关系，能根据三视图判断几何体的形状、大小（如棱长、底面边长、高），能根据三视图计算几何体的棱长总和、体积（仅限简单组合几何体，如正方体组合、长方体组合）（考情：阶段考中档计算题常考，中考填空题高频考查此类计算）。 5.能解决与投影相关的简单实际应用题（如根据平行投影计算大树、电线杆的高度，根据中心投影判断路灯的位置与高度雏形），能规范书写解题步骤（考情：阶段考解答题常考，中考偶尔以解答题基础问考查）。 三、拓展目标 1.能结合投影与视图的知识，推导复杂组合几何体（如3个以上简单几何体组合）的三视图绘制技巧，能根据复杂三视图还原几何体，并准确分析几何体的构成（考情：阶段考压轴题常考，中考极少考查，仅出现在部分地区压轴题雏形中）。 2.理解并应用投影的变化规律（如平行光线下，物体高度与影长的比例关系随光线角度的变化规律；中心光线下，物体影子长度随物体与光源距离的变化规律），能解决较复杂的投影实际应用题（如结合相似三角形，计算不在同一平面内的物体高度、光源距离）（考情：阶段考难题常考，中考偶尔以解答题压轴问考查，需结合相似三角形知识）。 3.会结合三视图与展开图的知识，解决几何体的切割、拼接问题（如判断切割后几何体的三视图，计算切割后几何体的表面积、体积变化），能推导切割后几何体的投影特征（考情：阶段考拓展题、中考压轴题雏形，适配学有余力学生，侧重综合应用能力考查）。 4.能区分中考与阶段考的考查差异，掌握本单元中考高频考点的解题技巧，能总结常见易错点（如三视图绘制中“宽相等”的易错应用、投影类型判断中光源位置的易错分析），能规避常见解题错误（考情：适配中考备考，提升综合解题能力）。 知识点 重点归纳 常见易错点 投影的定义及分类 1. 能复述投影定义：用光线照射物体，在某个平面上得到的影子叫做投影 2. 能准确区分平行投影（太阳光，光线平行）和中心投影（灯光、路灯，光线交于一点） 3. 会识别生活中两种投影的实例，能根据影子特征判断投影类型（阶段考、中考基础题高频） 1. 混淆平行投影与中心投影的特征，误将路灯照射的影子归为平行投影 2. 忽略“同一时刻”这一前提，判断平行投影中影子方向或长度时出错 3. 不能准确描述两种投影的本质区别（光线是否平行） 平行投影的特征及应用 1. 理解并应用平行投影的核心特征：同一时刻，平行光线照射下，不同物体的高度与影长成正比 2. 会解决简单平行投影计算题（已知物体高度与影长，求同一时刻另一物体影长） 3. 能根据平行投影的影子方向，判断太阳光的照射方向（阶段考基础计算、中考偶尔考查） 1. 应用“高度与影长成正比”时，忽略“同一时刻、同一平行光线”前提 2. 计算时，混淆物体高度与影长的对应关系，比例式列写错误 3. 无法根据影子方向反向判断光线方向。 中心投影的特征及应用 1. 理解并应用中心投影的核心特征：光线交于一点（光源），同一物体离光源越近，影子越短；离光源越远，影子越长 2. 会根据中心投影的影子，确定光源的具体位置 3. 能区分中心投影与平行投影的应用场景（阶段考中档题、中考中档题高频） 1. 记错中心投影中“物体与光源距离”和“影子长度”的关系（误记为“距离越近，影子越长”） 2. 确定光源位置时，不会利用“物体顶端与影子顶端的连线交于光源”这一方法 3. 解决实际应用题时，无法区分题目是平行投影还是中心投影。 视图的定义及三视图原则 1. 能复述视图、主视图、左视图、俯视图的定义，明确三个视图的观察角度 2. 牢记并应用三视图“长对正、高平齐、宽相等”的核心绘制与识别原则 3. 能准确识别正方体、长方体、圆柱、圆锥、直三棱柱的三视图（阶段考、中考基础题必考） 1. 混淆左视图与俯视图的观察角度，误将左视图画成俯视图的镜像 2. 忽略“宽相等”原则，绘制三视图时，俯视图与左视图的宽度不对应 3. 识别圆锥三视图时，误将左视图（三角形）画成圆形或其他形状 简单几何体及组合几何体的三视图绘制与还原 1. 会规范画出单一简单几何体（正方体、长方体、圆柱）的三视图 2. 会画出由2-3个简单几何体组合而成的几何体的三视图，标注关键尺寸 3. 能根据三视图还原简单几何体及组合几何体，明确几何体的构成（阶段考、中考核心考点） 1. 绘制组合几何体三视图时，遗漏被遮挡部分的轮廓线（或误将遮挡线画成实线） 2. 还原三视图时，忽略“长对正、高平齐、宽相等”，导致还原的几何体与三视图不匹配 3. 绘制圆柱三视图时，误将主视图（矩形）的长画成与底面直径不对应 几何体的展开图 1. 能识别直棱柱（三棱柱、四棱柱）、圆锥的展开图，区分直棱柱与圆柱、圆锥展开图的差异 2. 会推导直棱柱侧面展开图的形状（矩形），明确矩形的长（底面周长）和宽（侧棱长） 3. 能根据展开图，判断对应的几何体类型（阶段考基础题、中考偶尔考查）。 1. 混淆直三棱柱与三棱锥的展开图（误将三棱锥展开图当作直三棱柱展开图） 2. 记错圆锥展开图的构成（误将展开图当作圆形，忽略扇形） 3. 计算直棱柱侧面积时，混淆“底面周长”与“底面边长”，导致公式应用错误 投影与视图的综合应用 1. 理解投影与视图的联系，能结合几何体的视图，分析其投影特征 2. 会解决与投影、视图相关的简单实际应用题（如计算物体高度、判断光源位置）；3. 能结合相似三角形，解决较复杂的投影计算问题（拓展目标，阶段考难题、中考压轴题雏形）。 1. 综合应用时，无法建立投影与视图的联系，不会利用视图特征分析投影情况 2. 解决实际应用题时，不会将实际问题转化为几何问题，找不到对应的投影关系 3. 结合相似三角形解决投影问题时，比例式列写错误，忽略对应边成比例 直棱柱的侧面积与表面积计算 1. 会推导直棱柱侧面积计算公式：侧面积=底面周长×侧棱长 2. 能准确计算直三棱柱、四棱柱的侧面积与表面积（含两个底面） 3. 能结合三视图，计算简单组合几何体的表面积（阶段考计算题、中考偶尔考查） 1. 计算表面积时，遗漏底面（只计算侧面积） 2. 计算底面周长时，误将直三棱柱的底面周长算成两条边长之和 3. 结合三视图计算表面积时，重复计算组合部分的面积（或遗漏未被遮挡的面积） 题型一 平行投影 【例1】（25-26河北）下图所示物体的影子中，不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了投影的意义，熟练掌握定义是解题的关键．根据平行投影，中心投影，解答即可． 【解析】解：根据题意，得太阳光线是平行的，中心投影的光线是相交的，且交点在光源处， 故A错误，B、C、D是正确的； 故选：A． 【变式1-1】如图是我国北方一天中四个不同时刻两座建筑物的影子，按时间先后顺序排列正确的是（　　）. A．③④①② B．②①④③ C．③①④② D．②④①③ 【答案】A 【解析】解：按时间先后顺序排列为③④①②． 故选：A． 【变式1-2】如图，在大树的右侧有三个台阶，每个台阶的高、宽分别是和．某一时刻，测得台阶在地面上的影子，此时树梢顶点的影子落在台阶上（包含两个端点）．已知大树的底部到台阶的距离，则大树的高度可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解： 如图，令延长光线可与交于点，过台阶交点与垂直于点，由平行光可知， ， 当的影子落在左边端点时， ， ， ， 当的影子落在右边端点时， ， ， 满足条件的为． 故选：C． 题型二 中心投影 【例2】（2026·河北沧州）如图，在一间黑屋子里，用一盏白炽灯照射直角三角板形成影子，三角板始终保持与地面平行，它向白炽灯靠近的过程中（不与光源接触），下列说法正确的是（    ） A．越来越大 B．越来越小 C．不是直角三角形 D． 【答案】D 【解析】解：根据题意得：， ∴，和的形状相同，均为直角三角形，故A、C选项错误，D选项正确； ∵当点光源在物体上方，向下照射物体时，点光源离物体越近，影子越大， ∴它向白炽灯靠近的过程中（不与光源接触），越来越大，故B选项错误； 故选D． 【变式2-1】一块三角形板，，，测得边的中心投影长为，则边的中心投影的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：由中心投影的性质，对应线段的比相等，即． 已知，，则相似比为； 又，故． 故选：C． 【变式2-2】（24-25河北衡水）如图．在直角坐标系中，点是一个光源．木杆两端的坐标分别为．则木杆在x轴上的投影长为（  ）    A．1.8 B．6 C．5 D．4 【答案】B 【解析】解：延长分别交x轴于点．    设直线的解析式为， 则有， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得， ∴， 同法可得， ∴， ∴木杆在x轴上的投影长． 故选：B． 题型三 正投影 【例3】正六棱柱如图放置，一束水平方向的平行光线照射此正六棱柱时的正投影是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：把一个正六棱柱如图摆放，一束水平方向的平行光线照射此正六棱柱时的正投影是 图形， 故选：B． 【变式3-1】下列投影中，正投影有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【解析】解：正投影是平行光线且与投影面垂直的投影． 第一个投影是中心投影，不是正投影； 第二个投影是平行投影但光线不垂直于投影面，不是正投影； 第三个投影是平行光线且垂直于投影面，是正投影； 所以正投影有1个． 故选：B． 【变式3-2】如图1所示，是中国研制的新型激光武器，图2是其射出的激光束中截取的线段，线段在投影面上的正投影为，已知，则投影的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：过A作于C， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， 故选：B． 题型四 判断三视图 【例4】下列几何体均由4个相同的小正方体搭建而成，其中主视图与左视图相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：A．主视图底层是三个小正方形，上层中间是一个小正方形；左视图是一列两个小正方形，故本选项不合题意； B．主视图底层是两个小正方形，第二层和第三层正中间各一个小正方形；左视图是一列三个小正方形，故本选项不合题意； C．主视图和左视图均为底层是两个小正方形，上层左边是一个小正方形，故本选项符合题意； D．主视图的底层是两个小正方形，上层右边是一个小正方形；左视图底层是两个小正方形，上层左边是一个小正方形，故本选项不合题意； 故选：C． 【变式4-1】如图，是由5个大小相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：从正面看有三列，从左到右依次有2、1、1个正方形，图形如下： 故选A． 【变式4-2】由几个大小相同的小正方体积木搭成的立体图形的左视图如图所示，则所搭成的立体图形不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：A．左视图为2列，从左往右正方形的个数为2，1，不符合题意； B．左视图为2列，从左往右正方形的个数为2，1，不符合题意； C．左视图为2列，从左往右正方形的个数为1，2，符合题意； D．左视图为2列，从左往右正方形的个数为2，1，不符合题意； 故选：C． 题型五 已知三视图求表面积 【例5】如图是一个几何体的三视图（图中尺寸单位：cm），根据图中所示数据可计算出该几何体的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：由三视图可知该几何体是圆柱体，它的底面直径是，高是． 所以该几何体的侧面积为． 故选：A． 【变式5-1】北京冬奥会的吉祥物“冰墩墩”收获无数“迷弟”“迷妹”而出现“一墩难求”的现象，为了满足需求，其中一间正规授权生产厂通过技术改造来提高产能，两次技术改造后，由日产量1000个扩大到日产量1440个． (1)求这两次技术改造日产量的平均增长率； (2)这个生产厂家还设计了三视图如图所示的“冰墩墩”盲盒，（单位：），请计算此类盲盒的表面积． 【答案】(1)这两次技术改造日产量的平均增长率为 (2) 【解析】（1）解：设这两次技术改造日产量的平均增长率为x， 由题意得：， 解得：，（舍去）， 答：这两次技术改造日产量的平均增长率为． （2）解：由三视图可知，这个盲盒为圆柱纵切的一半，其中底面圆半径为，高为， ∴盲盒的表面积， 答：此类盲盒的表面积为． 【变式5-2】如图是一个几何体的三视图（单位：）． (1)这个几何体的名称是_________；（填“圆锥”或“棱锥”） (2)根据图上的数据计算这个几何体的表面积（结果保留π）． 【答案】(1)圆锥 (2) 【解析】（1）解：这个几何体的名称是圆锥， 故答案为：圆锥； （2）圆锥的侧面积， 圆锥的表面积． 题型六 已知三视图求体积 【例6】（2023·河北唐山）如图，是一个长方体的三视图，则该长方体的体积是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解析】观察三视图发现该长方体的长、宽、高分别为、、 依题意可求出该几何体的体积为 故选：C． 【变式6-1】（22-23河北邢台）如图，是由若干个棱长为1的小正方体搭成的一个几何体三视图，则这个几何体的体积是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【解析】解：由三视图可知，这个几何模型的底层有（个）小正方体，第二层有2个小正方体， ∴搭成这个几何体模型所用的小正方体的个数是（个）． ∴这个几何体的体积是． 故选：C． 【变式6-2】（2021·山东菏泽·中考）如图是一个几何体的三视图，根据图中所标数据计算这个几何体的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：先由三视图确定该几何体是空心圆柱体，底面外圆直径是4，内圆直径是2，高是6． 空心圆柱体的体积为π×2×6-π×2×6=18π． 故选：B． 题型七 正方体几种展开图 【例7】（25-26河北沧州）下列图形中不是正方体的展开图的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：A．不是正方体的展开图，符合题意； B．是正方体的展开图，不合题意； C．是正方体的展开图，不合题意； D．是正方体的展开图，不合题意； 故选：A． 【变式7-1】（25-26河北唐山）下列四个图形中，能折叠成正方体的是（ ）． A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：对于选项A，是“231”模型，可以拼成正方体，符合题意； 对于选项B，不是正方体展开图的模型，不符合题意； 对于选项C，不是正方体展开图的模型，不符合题意； 对于选项D，不是正方体展开图的模型，不符合题意． 故选：A． 【变式7-2】如图，裁掉一个正方形后能折叠成正方体，但不能裁掉的是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【解析】解：如图， ④的对面是⑤，故不能裁掉④． 故选：D． 题型八 正方体相对两面的字 【例8】（25-26河北邯郸）如图所示是一个正方体的展开图，则与“数”字相对的面上的字是（   ） A．核 B．心 C．素 D．养 【答案】D 【解析】解：由正方体的展开图的特点可知“数”与“养”相对，“素”与“心”相对，“核”与“学”相对， 故选：D． 【变式8-1】（25-26河北唐山）如图是一个正方体的表面展开图，六个面上各有一字，把它折成正方体后，与“静”相对的字是（    ） A．沉 B．着 C．应 D．考 【答案】B 【解析】解：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中面“着”与面“静”相对，面“冷”与面“应”相对，面“沉”与面“考”相对． 故选：B． 【变式8-2】（25-26河北邢台）一个正方体的平面展开图如图所示，已知正方体相对两个面上的数互为倒数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：由正方体的平面展开图可知，a相对面上的数是3，b相对面上的数是， ∵正方体相对两个面上的数互为倒数， ∴，， ∴． 故选：A． 题型九 直棱柱与圆锥展开图 【例9】一座长方体建筑，其底面为正方形，现已知，，欲从点A开始沿着该建筑的表面环绕长方体建筑1圈，最后到达点处，则最短距离为（   ）m． A．80 B．100 C．120 D．130 【答案】D 【解析】解：如图，将长方体展开： ∵底面是正方形，，， ∴，， ∴， ∴从点A开始沿着该建筑的表面环绕长方体建筑1圈，最后到达点处，行走的最短距离相当于直角三角形的斜边的长， ∵， ∴最短距离为， 故选：D． 【变式9-1】如图，圆锥底面圆的半径的长为，母线的长为，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：设圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是，母线的长为， 圆锥侧面展开图的扇形的弧长是， 圆锥底面圆的半径的长为， 圆锥底面圆的周长是， 由题意可得：， 解得：． 故选：D． 【变式9-2】如图所示，某同学用透明的硅胶泥做成一个正方体．并用薄塑料刀竖直切割这个正方体，分成了左右两个长方体和，若这两个长方体的体积之比为，则长方体和的表面展开图的面积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：如图所示，设分成的两个长方体的底面宽分别为a，b，原正方体的边长为x， ∴， ∵这两个长方体的体积之比为， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴长方体和的表面展开图的面积之比为． 故选：A． 基础巩固通关测 1．（25-26河北石家庄）如图所示的几何体的俯视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：俯视图是由上往下看物体所得到的图形，且看得见的部分轮廓线为实线，看不见的部分轮廓线为虚线， 故图中几何体的俯视图如选项D所示． 故选：D． 2．如图是由6个完全相同的小正方体组成的几何体，其俯视图为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 解：由图可知，俯视图为： 故选：B． 3．（25-26河北保定）榫卯是我国古代建筑、家具的一种结构方式，它通过两个构件上凹凸部位相结合来将不同构件组合在一起．如图，这是其中一种榫，其左视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：A、该图形与从左面观察该榫所得图形的形状、线条特征不匹配； B、该图形为矩形且内部有虚线，符合从左面观察该榫结构的轮廓与线条特征； C、该图形与从左面观察该榫所得图形的形状、线条特征不匹配； D、该图形与从左面观察该榫所得图形的形状、线条特征不匹配， 故选：B． 4．（24-25河北邢台）如图，这是由7个大小相同的小正方体搭建的几何体，该几何体的三视图相同的是（    ） A．主视图和左视图 B．主视图和俯视图 C．俯视图和左视图 D．以上答案都对 【答案】A 【解析】解：由题意得可画三视图： 主视图为： 俯视图为： 左视图为： ， ∴主视图和左视图相同， 故选：A． 5．（25-26河北唐山）如图，将其折叠成一个正方体，与“思”字相对的面上的字是（　　） A．是 B．量 C．维 D．力 【答案】B 【解析】观察正方体展开图，图中有六个面，分别标有汉字“思”“维”“就”“是”“力”“量”； 在展开图中，“思”字面与“维”“就”“是”“力”四个面相邻，但与“量”字面不相邻； 根据正方体展开图中相对面不相邻的特点，可推断“思”与“量”是相对面； 因此，与“思”字相对的面上的字是“量”； 故选B． 6．（25-2河北邯郸）如图是一正方体的表面展开图，这个正方体相对面上的数字之和为0，则、、代表的数不包括（　　） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【解析】解：根据正方体的表面展开图可知：与c相对，与a相对，与b相对， ∵正方体相对面上的数字之和为0， ∴、、， 即、、， ∴、、代表的数不包括． 故选：D． 7．（2024河北石家庄）如图，将由6个棱长为1的小正方体组成的几何体在桌面上逆时针旋转后，主视图的面积为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【解析】解：根据逆时针旋转后的主视图，即是旋转前的左视图， 由图可知，左视图的小正方体数量为3，面积为3， 故选：． 8．图2是图1中长方体的三视图，用S表示面积，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：∵，， ∴俯视图的长为 ，宽为， ∴． 故选：C 9．如图，一个几何体的三视图分别是两个矩形，一个扇形，则这个几何体表面积的大小为（　　） A．12π B．15π C．12π+6 D．15π+12 【答案】D 【解析】解：由几何体的三视图可得： 该几何体的表面是由3个长方形与两个扇形围成， 其侧面积为： 上下底面面积为： ∴这个几何体表面积为9π+12+6π=15π+12， 故选：D． 10．（22-23河北邢台）如图是一个几何体的三视图（俯视图是等边三角形），则这个几何体体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：根据题意得：正三角形的高为：； ∴这个几何体体积是， 故选：D． 11．（25-26河北邯郸）用小正方体搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如图所示，俯视图中小正方体中的字母表示在该位置小正方体的个数，则这个几何体至少由 个小正方体组成． 【答案】9 【解析】解：观察俯视图，俯视图中a位置对应主视图中最右列，只能是3个正方体；b、c位置对应主视图中间列，只能是1个正方体； d、e、f位置不确定，三个位置中至少有一个是2个小正方体，其他位置为1到2个， 则这个几何体至少由个小正方体组成， 故答案为：9 12．一个正方体的六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6，从三个不同的方向看到的情形如图1所示，图2为这个正方体的侧面展开图，则图中的表示的数字是 ． 【答案】3 【解析】解：由图1可知，与标有数字1的面相邻的面上的数字有， ∴数字1所在面的相对面上的数字是5， 同理可得：数字4所在面的相对面上的数字是2， ∴数字6所在面的相对面上的数字是3， 由图2可知，标有的面与标有数字6的面是相对面， ∴． 故答案为：3． 13．有一个正方体骰子，放在桌面上，将骰子沿如图所示的顺时针方向滚动，每滚动算一次，则滚动第2038次后，骰子朝下一面的点数是 ． 【答案】3 【解析】解：观察图可知，点数4和点数3相对，点数2和点数5相对， 根据题意，朝下一面的点数每4次一循环，每个循环的点数依次为2，3，5，4， ， 滚动第2038次后，骰子朝下一面的点数是3， 故答案为：3． 14．（24-25河北秦皇岛）如图1是由9个大小相同的小正方体组成的几何体． (1)在图2和图3中分别画出图1所示几何体的主视图和俯视图； (2)若从图1所示几何体中拿走n块小正方体后，左视图没有发生变化，则n的最大值是_______． 【答案】(1)见解析 (2)5 【解析】（1）解：如图所示： （2）解：如图所示， ， 故答案为：． 17．综合与实践 【问题情境】 某综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动，他们准备用废弃的宣传单制作长方体纸盒． 【操作探究】 (1)若准备制作一个无盖的正方体纸盒，图1中的 图形经过折叠能围成无盖正方体纸盒． (2)图2是嘉嘉的设计图，把它折成无盖正方体纸盒后与“保”字相对的是 字． (3)如图3，有一张边长为的正方形废弃宣传单，嘉嘉准备将其四个角各剪去一个小正方形，折成无盖长方体纸盒，折成的纸盒高为． ①四角应各剪去边长为 的小正方形； ②计算此长方体纸盒的容积． (4)根据如图4方式制作一个有盖的长方体纸盒．方法：先在边长为的正方形纸板四角剪去两个边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折叠起来．该长方体纸盒的体积为多少？ 【答案】(1)C (2)卫 (3)①；② (4)这个长方体的体积为． 【解析】（1）解：由正方体表面展开图的“一线不过四，田凹应弃之”可知，选项A、选项D不符合题意，而选项B只有4个面，不符合题意；而选项C可以折叠成无盖的正方体的盒子， 故答案为：C； （2）由正方体表面展开图的“相间、端是对面”可知，“保”的对面是“卫”， 故答案为：卫； （3）①若折成的纸盒高为，四角应各减去边长为的小正方形， 故答案为：； ②当小正方形的边长为时，所折叠成长方体纸盒的底面是边长为（）的正方形，高是， 所以体积为（）； （4）由裁剪、折叠可知，所折叠的长方体的长为，宽为，高为（）， 所以长方体的体积为（）， 答：这个长方体的体积为． 能力提升进阶练 1．如图所示的几何体从左面看到的平面图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：从左边看第一层两个小正方形，第二层一个小正方形， 故选：B． 2．（24-25河北保定）如图所示，一个几何体的三视图均相同，则搭成此几何体的小正方体可能有（    ）个． A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【解析】解：如图，    该堆砌图形的小正方体的个数最小为个， 如图，    该堆砌图形的小正方体的个数最多为个， ∴C符合题意， 故选C 3．如图是一个正方体的平面展开图，把展开图折叠成正方体后，对面上的两个数（或式子）的值相等，则x的值为（    ） A．1.5 B．3 C．6 D．12 【答案】C 【解析】解：由正方体的平面展开图可知， “”与“”是相对面， “”与“”是相对面， “6”与“”是相对面． 因为对面上的两个数（或式子）的值相等， 所以， 解得：． 故选：C． 4．（2023·河北邢台·二模）如图1是有五个相同的小正方体粘在一起的几何体，图2是佳佳、音音对几何体分别设计了不同的操作方案，其中能使左视图保持不变的是（    ） A．佳佳的方案 B．音音的方案 C．两个方案均可 D．两个方案均不可以 【答案】C 【解析】原题中五个相同的小正方体粘在一起的几何体的左视图是：    佳佳将整个几何体向右翻滚后的几何体是：    佳佳操作后得到的几何体的左视图是：    音音操作后得到的几何体是：    音音操作后得到的几何体的左视图是：    ∴佳佳和音音的方案都能使左视图保持不变 故选：C 5．（2023·河北衡水·模拟预测）用一些完全相同的小正方体摆成一个几何体，如图是该几何体的左视图和俯视图，针对该几何体所需小正方体的个数m，三人的说法如下， 甲：若，则该几何体有两种摆法； 乙：若，则该几何体有三种摆法； 丙：若，则该几何体只有一种摆法．下列判断正确的是（    ） A．甲对，乙错 B．乙和丙都错 C．甲错，乙对 D．乙对，丙错 【答案】C 【解析】解：如图， 甲：若，则第一层已经摆放5个，第二层只放1个，由左视图的俯视图可得主视图如图①②③所示三种，故甲错； 乙：若，则第二层可放2个，可得主视图如④⑤⑥所示三种，故乙对； 丙：若，则第一层放5个，第二层放3个小正方体，这样只能摆放在后面三个小正方体上，主视图如图⑦所示，只有一种摆法，故丙对， 故选：C 6．将如图所示的立方体展开得到的图形是( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】选项A、B折叠后不符合原正方体的特征，选项C带图案的三个面没有一个公共顶点，所以也不符合原正方体的特征，只有D折叠后与原正方体的特征符合．     故选D． 7．（2016·河北·中考）图1和图2中所有的正方形都全等，将图1的正方形放在图2中的①②③④某一位置，所组成的图形不能围成正方体的位置是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】A 【解析】解：将图1的正方形放在图2中的①的位置出现重叠的面，所以不能围成正方体， 故选：A． 8．如图是某几何体的三视图，根据图中数据，求得该几何体的体积为（　　） A．60π B．70π C．90π D．160π 【答案】B 【解析】由几何体的三视图得，几何体是高为10，外径为8．内径为6的圆筒， ∴该几何体的体积为． 故选：B． 9．如图所示的是一个直三棱柱的展开图，其中，则的长度可能是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【解析】解：由题意得，，， ∴， ∵，， ∴，，即， ∴，， ∴， ∴的长度可能是4， 故选：B． 10．（25-26河北）下图中，图2是图1长方体的三视图，若用S表示面积，则，，已知，a的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】解：设长方体的长为x，宽为y，高为m， 根据题意，得，，， 故，， 故， 解得， 解得或（舍去）， 故选：B． 11．如图是一个正方体的表面展开图，若正方体中相对的面上的数互为相反数，则的值为 ． 【答案】 【解析】解：根据题意得：， ， 故答案为：． 12．（2024·河北廊坊·二模）如图是一个边长为2的正方体的一种平面展开图，它的每个面上都有一个汉字，那么在原正方体的表面上，与汉字“真”相对的面上的汉字是 ．把正方体展开图放在平面直角坐标系xOy中，其中“考”字左上角的顶点A坐标为．若双曲线在第一象限的部分过该图形的对称中心，则双曲线的函数解析式为 ． 【答案】 查 【解析】解∶根据正方体的表面展开图与原正方体之间的关系可知，汉字“真”的对面是汉字“查”． 因为正方体的棱长为2，且点A的坐标为 ， 所以点B的坐标为， 所以AB的中点坐标为． 令反比例函数解析式为． 将点坐标代入反比例函数解析得，， 所以双曲线的函数解析式为， 故答案为∶查， 13．如图为一机器零件的三视图，它的俯视图为正三角形，根据图中所标的尺寸，计算这个几何体的表面积是 ．（结果保留根号） 【答案】32+96 【解析】解： 由三视图得机器零件为正三棱柱， 作CD⊥AB于D， ∵△ABC是正三角形， 在Rt△BCD中， ∴ ． 故答案为：32+96 14．（25-26河北张家口）综合与实践： 课题 制作一个尽可能大的无盖长方体形收纳盒 知识准备 （1）下列图形中，不是无盖正方体的表面展开图的是 ；（填字母）    实践探索 嘉嘉在边长为的正方形纸板四个角各剪去一个边长为的小正方形并沿虚线折叠成一个无盖的长方体形收纳盒（图1）    b/ 1 2 3 4 5 6 V/ 324 512 588 576 500 384 图2 （2）任务1：当，时，求这个盒子的容积． （3）任务2：当，将相应长方体形盒子的容积V与高度b之间的关系建立如图2表格，若b取整数，观察表格特点，当 时V最大？当 时？ （4）任务3：经证明：当时，V取得最大值，求当时V的最大值（结果保留整数） 【答案】（1）B；（2）这个盒子的容积为；（3）3，0或10；（4）当时V的最大值为． 【解析】解：（1）B不能折成一个无盖正方体纸盒，ACD能折成一个无盖正方体纸盒； 故答案为：B； （2）由题意可知，该长方体纸盒的底面边长为，高为； 这个盒子的容积为； （3）由题意可知，该长方体纸盒的底面边长为，高为； 容积， 观察表格特点，当时V最大； 当时，， 解得或， ∴当或时，， 故答案为：3，0或10； （4）∵当时，V取得最大值， ∴当时，， ∴， ∴当时V的最大值为． 15．（25-26河北张家口）如图是一个长方体的表面展开图，一共标有A、B、C、D、E、F六个面，请解答下列问题： (1)如果A面在长方体的底部，那么_____面会在上面； (2)设，若该长方体相对两个面的代数式之和为0，求代数式的值． 【答案】(1)F (2) 【解析】（1）解：如图所示，根据长方体的平面展开图，A与F是对面，如果A面在长方体的底部，那么F面在长方体的上面； 故答案为：F （2）解：∵相对面是A与F，B与D，C与E，且相对两个面的代数式之和为0， ∴ ∴ ． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $