7.5正态分布巩固训练-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

§7.5 正态分布 1. 已知随机变量服从正态分布，且，则（    ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】指定区间的概率、正态曲线的性质 【分析】根据正态分布的性质求解即可， 【详解】因为随机变量服从正态分布，， 所以. 故选：A. 2. 已知随机变量，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】正态曲线的性质、二项分布的均值 【分析】根据正态分布的性质可得，即可根据二项分布的期望公式求解. 【详解】由以及可得， 由于，故，， 故选：D 3. 若随机变量，若，则 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据正态曲线的对称性求参数 【分析】根据正态分布的对称性列式求解即可. 【详解】因为，所以正态曲线的对称轴为， 因为，所以， 即，解得． 故答案为：． 4. (多选)某市有甲、乙两个工厂生产同一型号的汽车零件，零件的尺寸分别记为X，Y，已知X，Y均服从正态分布，，其正态曲线如图所示，则下列结论中正确的是（    ）    A．甲工厂生产零件尺寸的平均值等于乙工厂生产零件尺寸的平均值 B．甲工厂生产零件尺寸的平均值小于乙工厂生产零件尺寸的平均值 C．甲工厂生产零件尺寸的稳定性高于乙工厂生产零件尺寸的稳定性 D．甲工厂生产零件尺寸的稳定性低于乙工厂生产零件尺寸的稳定性 【答案】AC 【难度】0.85 【知识点】正态曲线的性质、概率分布曲线的认识 【分析】根据正态密度函数的图象，得到，，即可求解. 【详解】X，Y均服从正态分布，， 结合正态密度函数的图象可知，可得，， 故甲工厂生产零件尺寸的平均值等于乙工厂生产零件尺寸的平均值，故A正确，B错误； 甲工厂生产零件尺寸的稳定性高于乙工厂生产零件尺寸的稳定性，故C正确，D错误． 故选：AC 5. 袋装食盐标准质量为，规定误差的绝对值不超过就认为合格.某食盐包装生产线的误差服从正态分布，误差的样本均值为0，样本方差为4，则随机抽取10000袋食盐，估计合格的约（   ）袋. [附：若随机变量X服从正态分布，则，，.] A．6827 B．8161 C．9545 D．9759 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】3δ原则、指定区间的概率、正态分布的实际应用 【分析】根据题意得到误差的随机变量满足的条件，结合附加数值计算. 【详解】因为误差的样本均值为，样本方差为，所以， 又规定误差的绝对值不超过为合格，即合格时误差随机变量满足， 即，根据附加信息， 估计误差满足的概率约为， 所以估计合格的袋数约为. 故选：C. 故选：C. 6. 已知，则（    ） （注：若随机变量，则） A．0.1587 B．0.8413 C．1 D．0.4206 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】正态曲线的性质、指定区间的概率 【分析】根据正态分布的性质及所给条件求解即可. 【详解】因为， 所以， 因为， 所以， 所以， 故选：C 7. 某校高二级学生参加期末调研考试的数学成绩服从正态分布，将考试成绩从高到低按照、、、的比例分为、、、四个等级.若小明的数学成绩为分，则属于等级（    ）（附：，） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】3δ原则 【分析】计算出、的值，结合即可得出结论. 【详解】由题意可得，，则， 所以， ， 因为，故小明属于等级. 故选：B. 8. （多选）某校高三第一、二次数学测试成绩分别满足：，则（   ） A．学生在两次考试中超过90分的概率与无关 B．时，第一次测试成绩在的概率更大 C．时，第二次测试成绩在的概率更大 D．时，第二次测试成绩在的概率更大 【答案】ABC 【难度】0.85 【知识点】正态曲线的性质、指定区间的概率 【分析】由正态分布的图像和性质分别判断各个选项即可. 【详解】∵，测试成绩均关于对称， ∴，与无关，A选项正确； 当时，正态分布曲线示意图如图所示： 由图像可知，第一次测试成绩在的概率更大，B选项正确；第二次测试成绩在的概率更大，C选项正确； 所以D选项错误. 故选：ABC. 9. （多选）已知随机变量，且，其中，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】指定区间的概率、正态曲线的性质 【分析】由正态分布的期望公式及方差公式即可判断AB；由正态分布的对称性即可判断C；由方差的性质即可判断D． 【详解】对于A，由正态分布的期望公式得，，故A正确； 对于B，由正态分布的方差公式得，，故B错误； 对于C，由正态分布的对称性得，， 所以，故C正确； 对于D，由，则， 根据方差的性质知，分布更集中，所以，故D正确. 故选：ACD. 10. （多选）工厂生产某零件，其尺寸X（单位：cm）服从正态分布．其中k由零件的材料决定，且．当零件尺寸大于10.3cm或小于9.7cm时认为该零件不合格，当零件尺寸大于9.9cm且小于10.1cm时认为该零件为优质零件，其余时候认为是普通零件．已知当随机变量时，，，则下列说法中正确的有（    ） A．k越大，预计生产出的优质零件与不合格零件的概率之比越小 B．k越大，预计生产出普通零件的概率越大 C．若，则生产200个零件约有9个零件不合格 D．若生产出优质零件、普通零件与不合格零件的盈利分别为，则当时，每生产1000个零件预计盈利2668a 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】正态分布的实际应用、特殊区间的概率、正态曲线的性质、3δ原则 【分析】依题意得，则，再根据对正态曲线的影响即可判断AB；先利用原则求出不合格零件的概率，即可判断C；先利用原则求出优质零件，不合格零件及普通零件的概率，进而可判断D. 【详解】依题意得，则， 对于A，越大，越大，则零件尺寸的正态曲线越扁平， 所以预计生产出优质零件的概率越小，不合格零件的概率越大，则其比越小，故A正确； 对于B，由选项A可知，预计生产出普通零件的概率越小，故B错误； 对于C，当时，， 则， 所以预计生产出不合格零件的概率为， 故生产200个零件约有不合格零件的个数为，故C正确； 对于D，当时，， 则， ， 所以预计生产出优质零件的概率为0.682，不合格零件的概率为0.002， 普通零件的概率为， 故每生产个零件预计盈利， 故D正确． 故选：ACD． 11. 法国数学家庞加莱是个喜欢吃面包的人，他每天都会到同一家面包店购买一个面包．该面包店的面包师声称自己所出售的面包的平均质量是，上下浮动不超过．这句话用数学语言来表达就是：每个面包的质量服从期望为，标准差为的正态分布． (1)已知如下结论：若，从的取值中随机抽取个数据，记这个数据的平均值为，则随机变量．利用该结论解决下面问题． （i）假设面包师的说法是真实的，随机购买25个面包，记随机购买25个面包的平均值为，求； （ii）庞加莱每天都会将买来的面包称重并记录，25天后，得到的数据都落在上，并经计算25个面包质量的平均值为．庞加莱通过分析举报了该面包师，从概率角度说明庞加莱举报该面包师的理由； (2)假设有甲，乙两箱面包（面包除颜色外，其他都一样），已知甲箱中共装有6个面包，其中黑色面包有2个；乙箱中共装有8个面包，其中黑色面包有3个．已知从甲箱抽取面包的概率为，从乙箱抽取面包的概率为，现随机挑选一箱，然后从该箱中随机取出2个面包．求取出黑色面包个数的分布列及数学期望． 附：①随机变量服从正态分布，则，； ②通常把发生概率小于的事件称为小概率事件，小概率事件基本不会发生． 【答案】(1)（i）0.02275；（ii）答案见解析 (2)分布列见解析， 【难度】0.65 【知识点】指定区间的概率、3δ原则、求离散型随机变量的均值、写出简单离散型随机变量分布列 【分析】（1）（i）由正态分布的对称性及原则进行求解；（ii）结合第一问求解的概率及小概率事件进行说明； （2）设取出黑色面包个数为随机变量，则的可能取值为0，1，2，求出相应的概率，进而求出分布列及数学期望. 【详解】（1）（i）因为，所以，因为，所以      ，因为， 所以； （ii）由第一问知，庞加莱计算25个面包质量的平均值为，，而，为小概率事件，小概率事件基本不会发生，这就是庞加莱举报该面包师的理由 （2）设取出黑色面包个数为随机变量，则的可能取值为0，1，2， 则；，， 故分布列为： 0 1 2 其中数学期望 12. 某市共有教师1000名，为了解老师们的寒假研修情况，评选研修先进个人，现随机抽取了10名教师利用“学习APP”学习的时长（单位：小时）：35，43，90，83，50，45，82，75，62，35，时长不低于80小时的教师评为“研修先进个人”． (1)现从该样本中随机抽取3名教师的学习时长，求这3名教师中恰有2名教师是研修先进个人的概率． (2)若该市所有教师的学习时长近似地服从正态分布，其中为抽取的10名教师学习时长的样本平均数，利用所得正态分布模型解决以下问题： ①试估计学习时长不低于50小时的教师的人数（结果四舍五入到整数）； ②若从该市随机抽取的名教师中恰有名教师的学习时长在内，则为何值时，的值最大？ 附：若随机变量服从正态分布，则，，． 【答案】(1) (2)①841；②14 【难度】0.65 【知识点】指定区间的概率、3δ原则、服从二项分布的随机变量概率最大问题、计算古典概型问题的概率 【分析】（1）根据题意利用古典概型即可计算； （2）①由样本数计算，进而利用求解即可； ②首先求在内的概率，再由题意可知，然后设，最后利用可求使得的最小的值，从而得到使最大的的值. 【详解】（1）设事件“抽取的3名教师中恰有2名教师是研修先进个人”为． 由题知样本中学习时长不低于80小时的人数为3，时长低于80小时的人数为7， 则， 所以这3名教师中恰有2名教师是研修先进个人的概率为． （2）①由样本数据知，． 因为， 所以， 所以，学习时长不低于50小时的教师人数为841. ②每名教师的学习时长在内的概率为， 由题意可知，则， 设，则． 令，得，所以当时，， 令，得，所以当时，， 所以当时，最大，即使最大的的值为14． 13. 某学校举办了春季科技体育节，其中安排的女排赛事共有12个班级作为参赛队伍，本次比赛启用了新的排球用球，已知这种球的质量指标（单位：）服从正态分布，其中.比赛赛制采取单循环方式，即每支球队进行11场比赛，最后靠积分选出最后冠军，积分规则如下（比赛采取5局3胜制）：比赛中以3：0或3：1取胜的球队积3分，负队积0分；而在比赛中以3：2取胜的球队积2分，负队积1分.9轮过后，积分榜上的前2名分别为1班排球队和2班排球队，1班排球队积26分，2班排球队积22分.第10轮1班排球队对抗3班排球队，设每局比赛1班排球队取胜均概率为. (1)令，则，且，求，并证明：； (2)第10轮比赛中，记1班排球队3：1取胜的概率为，求出的最大值点； (3)以（2）中作为的值，在第10轮比赛中，1班排球队所得积分为，求的分布列. 参考数据：，则，. 【答案】(1)0.02275；证明见解析. (2)； (3)分布列见解析 【难度】0.65 【知识点】正态分布的实际应用、正态曲线的性质、独立重复试验的概率问题、写出简单离散型随机变量分布列 【分析】（1）利用正态分布的对称性即可求得结果； （2）由题意可得，利用导数即可求得； （3）利用二项分布求概率公式求出X对应的概率，写出分布列即可求得结果. 【详解】（1），又， 所以. 因为，根据正态曲线对称性，， 又因为，所以. （2）， . 令，得. 当时，在上为增函数； 当时，在上为减函数. 所以的最大值点，从而. （3）的可能取值为. ， 所以的分布列为 3 2 1 0 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ §7.5 正态分布 1. 已知随机变量服从正态分布，且，则（    ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 2. 已知随机变量，且，则（    ） A． B． C． D． 3. 若随机变量，若，则 ． 4. (多选)某市有甲、乙两个工厂生产同一型号的汽车零件，零件的尺寸分别记为X，Y，已知X，Y均服从正态分布，，其正态曲线如图所示，则下列结论中正确的是（    ）    A．甲工厂生产零件尺寸的平均值等于乙工厂生产零件尺寸的平均值 B．甲工厂生产零件尺寸的平均值小于乙工厂生产零件尺寸的平均值 C．甲工厂生产零件尺寸的稳定性高于乙工厂生产零件尺寸的稳定性 D．甲工厂生产零件尺寸的稳定性低于乙工厂生产零件尺寸的稳定性 5. 袋装食盐标准质量为，规定误差的绝对值不超过就认为合格.某食盐包装生产线的误差服从正态分布，误差的样本均值为0，样本方差为4，则随机抽取10000袋食盐，估计合格的约（   ）袋. [附：若随机变量X服从正态分布，则，，.] A．6827 B．8161 C．9545 D．9759 6. 已知，则（    ） （注：若随机变量，则） A．0.1587 B．0.8413 C．1 D．0.4206 7. 某校高二级学生参加期末调研考试的数学成绩服从正态分布，将考试成绩从高到低按照、、、的比例分为、、、四个等级.若小明的数学成绩为分，则属于等级（    ）（附：，） A． B． C． D． 8. （多选）某校高三第一、二次数学测试成绩分别满足：，则（   ） A．学生在两次考试中超过90分的概率与无关 B．时，第一次测试成绩在的概率更大 C．时，第二次测试成绩在的概率更大 D．时，第二次测试成绩在的概率更大 9. （多选）已知随机变量，且，其中，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10. （多选）工厂生产某零件，其尺寸X（单位：cm）服从正态分布．其中k由零件的材料决定，且．当零件尺寸大于10.3cm或小于9.7cm时认为该零件不合格，当零件尺寸大于9.9cm且小于10.1cm时认为该零件为优质零件，其余时候认为是普通零件．已知当随机变量时，，，则下列说法中正确的有（    ） A．k越大，预计生产出的优质零件与不合格零件的概率之比越小 B．k越大，预计生产出普通零件的概率越大 C．若，则生产200个零件约有9个零件不合格 D．若生产出优质零件、普通零件与不合格零件的盈利分别为，则当时，每生产1000个零件预计盈利2668a 11. 法国数学家庞加莱是个喜欢吃面包的人，他每天都会到同一家面包店购买一个面包．该面包店的面包师声称自己所出售的面包的平均质量是，上下浮动不超过．这句话用数学语言来表达就是：每个面包的质量服从期望为，标准差为的正态分布． (1)已知如下结论：若，从的取值中随机抽取个数据，记这个数据的平均值为，则随机变量．利用该结论解决下面问题． （i）假设面包师的说法是真实的，随机购买25个面包，记随机购买25个面包的平均值为，求； （ii）庞加莱每天都会将买来的面包称重并记录，25天后，得到的数据都落在上，并经计算25个面包质量的平均值为．庞加莱通过分析举报了该面包师，从概率角度说明庞加莱举报该面包师的理由； (2)假设有甲，乙两箱面包（面包除颜色外，其他都一样），已知甲箱中共装有6个面包，其中黑色面包有2个；乙箱中共装有8个面包，其中黑色面包有3个．已知从甲箱抽取面包的概率为，从乙箱抽取面包的概率为，现随机挑选一箱，然后从该箱中随机取出2个面包．求取出黑色面包个数的分布列及数学期望． 附：①随机变量服从正态分布，则，； ②通常把发生概率小于的事件称为小概率事件，小概率事件基本不会发生． 12. 某市共有教师1000名，为了解老师们的寒假研修情况，评选研修先进个人，现随机抽取了10名教师利用“学习APP”学习的时长（单位：小时）：35，43，90，83，50，45，82，75，62，35，时长不低于80小时的教师评为“研修先进个人”． (1)现从该样本中随机抽取3名教师的学习时长，求这3名教师中恰有2名教师是研修先进个人的概率． (2)若该市所有教师的学习时长近似地服从正态分布，其中为抽取的10名教师学习时长的样本平均数，利用所得正态分布模型解决以下问题： ①试估计学习时长不低于50小时的教师的人数（结果四舍五入到整数）； ②若从该市随机抽取的名教师中恰有名教师的学习时长在内，则为何值时，的值最大？ 附：若随机变量服从正态分布，则，，． 13. 某学校举办了春季科技体育节，其中安排的女排赛事共有12个班级作为参赛队伍，本次比赛启用了新的排球用球，已知这种球的质量指标（单位：）服从正态分布，其中.比赛赛制采取单循环方式，即每支球队进行11场比赛，最后靠积分选出最后冠军，积分规则如下（比赛采取5局3胜制）：比赛中以3：0或3：1取胜的球队积3分，负队积0分；而在比赛中以3：2取胜的球队积2分，负队积1分.9轮过后，积分榜上的前2名分别为1班排球队和2班排球队，1班排球队积26分，2班排球队积22分.第10轮1班排球队对抗3班排球队，设每局比赛1班排球队取胜均概率为. (1)令，则，且，求，并证明：； (2)第10轮比赛中，记1班排球队3：1取胜的概率为，求出的最大值点； (3)以（2）中作为的值，在第10轮比赛中，1班排球队所得积分为，求的分布列. 参考数据：，则，. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $