专题03 整式乘法易错压轴题型专项训练（高效培优专项训练）数学新教材苏科版七年级下册

专题03 整式乘法易错压轴题型专项训练 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 题型一：单项式乘单项式及求值 题型二：单项式乘多项式及求值 题型三：单项式乘多项式的应用 题型四：多项式乘多项式 题型五：多项式乘法的化简求值 题型六：已知多项式乘积不含某项求字母的值 题型七：多项式乘多项式与图形面积 题型八：运用平方差公式进行运算 题型九：平方差公式与几何图形 题型十：运用完全平方公式进行运算 题型十一：通过对完全平方公式变形求值 题型十二：完全平方公式在几何图形中的应用 题型十三：求完全平方式中的字母系数 题型十四：多项式乘法中的整体代入求值（压轴） 题型十五：已知多项式乘积不含某项求字母的值（图形压轴） 题型十六：多项式乘法中的规律性问题（压轴） 题型十七：完全平方式的变形求值（压轴） 题型十八：完全平方式与几何图形综合（压轴） 题型十九：利用配方法求最值（压轴） 题型二十：乘法公式中的新定义运算（压轴） 题型一：单项式乘单项式及求值 1．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·江苏南京·期末）若单项式与单项式相乘的结果是一个十二次单项式，则 ． 3．（24-25八年级下·江苏无锡·期末）若 ，则求的值． 题型二：单项式乘多项式及求值 4．（24-25八年级下·江苏连云港·期末）计算：（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·江苏淮安·期末）已知，则 ． 6．（24-25八年级下·江苏无锡·期末）某同学在计算一个多项式乘时，因抄错运算符号，算成了加上，得到的结果是． (1)这个多项式是多少？ (2)正确的计算结果是多少？ 题型三：单项式乘多项式的应用 7．（24-25八年级下·江苏常州·期末）已知某长方形的长为，其中，它的宽比长短，求这个长方形的周长与面积． 8．（24-25八年级下·江苏淮安·期末）明德学校在进行“雷小锋”校园文化墙装饰时，师傅对原装饰区域做了改动，在原长方形基础上挖去四个边长相同的正方形，如图所示． (1)根据平面图数据，用含、、的代数式表示图中阴影部分新装饰区面积． (2)已知，，，且装饰板块一所用布料单价为5元/，装饰板块二所用布料单价为7元/，完成新装饰区域全部铺设，总费用为多少？ 9．（24-25八年级下·江苏盐城·期末）如图，一张长方形硬纸片，长为，宽为，在它的四个角上分别剪去一个边长均为的小正方形（阴影部分所示），然后折成一个无盖的盒子，请你求出折成无盖盒子所用硬纸片的面积． 题型四：多项式乘多项式 10．（24-25八年级下·江苏南京·期末）若则m+n的值为（　 ） A． B．1 C． D．5 11．（25-26八年级上·四川自贡·期末）已知关于的代数式有，则 ． 12．先计算下列各式，再观察，最后解答后面问题： __________； __________； __________； __________； （1）根据以上各式呈现的规律，用公式表示出来，则__________； （2）试用你写的公式，直接写出下列两式的结果 ①__________； ②__________； （3）在计算时，甲把错看成了6，得到结果是：；乙错把看成了，得到结果：．依据上述发现的规律，直接写出__________，__________． 题型五：多项式乘法的化简求值 13．（25-26八年级上·福建厦门·期中）先化简，再求值：，其中． 14．（25-26八年级上·四川德阳·月考）计算题： (1)计算：； (2)先化简，再求值：，其中． 15．先化简，再求值： (1)，其中． (2)，其中． 题型六：已知多项式乘积不含某项求字母的值 16．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）已知，若不论为何值，的值始终是一个确定的值，则这个确定的值是（　　） A．4 B．2 C．-4 D．-2 17．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）要使多项式 展开后不含x的二次项，则a与b的关系是 ． 18．（24-25八年级下·江苏淮安·期末） 已知关于x的多项式与的乘积的展开式中不含项，且的系数为2，求的值． 题型七：多项式乘多项式与图形面积 19．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）如图，在某高铁站广场前有一块长为，宽为的长方形空地，计划在中间留两个长方形喷泉池（图中阴影部分），两个长方形喷泉池及周边留有宽度为b的人行通道． (1)求这两个长方形喷泉池的总面积（用代数式表示）； (2)当时，求这两个长方形喷泉池的总面积． 20．（24-25八年级上·江苏南通·期中）如图，长方形中剪下两个大小相同的正方形（有关线段的长如图所示），留下一个“T”型的图形（阴影部分）． (1)用含x，y的代数式表示“T”型图形的面积并化简； (2)若米，“T”型区域铺上价格为每平方米20元的草坪，请计算草坪的造价． 21．（24-25七年级下·江苏南京·期末）一个正方形边长为 (a为常数，)，记它的面积为．将这个正方形的一组邻边长分别增加2 和减少2，得到一个长方形，记该长方形的面积为． (1)求 (用含a的代数式表示)． (2)小丽说无论a为何值，与的差都不变，你同意她的观点吗？为什么？ (3)将原正方形一组邻边分别增加4 和减少3，得到一个长方形，记该长方形的面积为，比较与的大小． 题型八：运用平方差公式进行运算 22．下列乘法中，不能运用平方差公式进行运算的是（   ） A． B． C． D． 23．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）若，，则代数式的值等于 ． 24．（25-26七年级上·江苏盐城·月考）观察下列等式，并完成下列问题： 第1个：； 第2个：； 第3个：； 第4个；； …… (1)请你写出第6个等式：_____； (2)第个等式可表示为：_____；（，且为整数） (3)运用上述结论，计算：． 题型九：平方差公式与几何图形 25．如图，从边长为的大正方形中剪去一个边长为的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成如图所示的长方形．根据图形的变化过程可以验证等式（    ） A． B． C． D． 26．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）如图，小正方形和大正方形相邻，B，C，G三点在同一条直线上，C，D，E三点在同一条直线上，连接．若阴影部分的面积为8，则大正方形的面积与小正方形的面积之差为 ． 27．（24-25六年级下·山东威海·期中）如图，在边长为a的正方形上裁去边长为b的正方形． (1)图1阴影面积是 ； (2)图2是将图1中的阴影部分裁开，重新拼成梯形，根据图形可以得到乘法公式 ； (3)运用得到的公式，计算： ． 题型十：运用完全平方公式进行运算 28．（24-25七年级下·河北邯郸·期末）下列关系式中正确的是（   ） A． B． C． D． 29．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）若．则 ． 30．（24-25七年级下·江苏南京·月考）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型十一：通过对完全平方公式变形求值 31．（24-25八年级下·江苏盐城·期末）若，则（   ） A．8 B．12 C．16 D．24 32．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）若，，则 ． 33．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）已知，．求： (1)的值； (2)的值． 题型十二：完全平方公式在几何图形中的应用 34．（24-25七年级下·江苏淮安·期末）现有长与宽分别为的小长方形若干个，用两个相同的小长方形拼成图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题： (1)根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于的关系式；（用含的代数式表示出来）； 图1表示：________；图2表示：________． (2)根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： ①若，求的值； ②如果，求的值． 35．（24-25七年级下·江苏宿迁·月考）如图1是一个长为、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）． (1)图2中的阴影部分的面积为________ ；（用a、b的代数式表示） (2)观察图2请你写出、、之间的等量关系是________ ； (3)实际上通过计算图形的面积可以探求相应的等式．如图3，你有什么发现？ ． 36．（24-25八年级下·江苏苏州·期末） 【知识技能】 已知：；； 填空：（1）①______；②______． 【数学理解】 若x满足，求的值． 解：设，， 则， ∴． 【解决问题】 （2）①若x满足，则______； ②若x满足，求的值； ③如图，已知正方形被分割成4个部分，其中四边形与为正方形，若，，四边形的面积为6，求正方形，的面积． 题型十三：求完全平方式中的字母系数 37．（25-26八年级上·江苏南通·月考）若是一个完全平方式，则的值为（   ） A． B．8 C． D．16 38．（24-25七年级下·江苏扬州·月考）若关于x的二次三项式是完全平方式，则a的值是（   ） A．4 B．2 C． D． 39．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）已知代数式 是一个完全平方式，则 的值为 ． 题型十四：多项式乘法中的整体代入求值（压轴） 40．（24-25八年级下·江苏南京·期末）“整体思想”在数学中应用极为广泛． 例如：已知，求的值． 解：∵， ∴ ∴． 请尝试应用“整体思想”解决以下问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 41．（24-25八年级下·江苏无锡·期末）阅读：已知，求的值． 分析：考虑到，的可能值较多，不能逐一代入求解，故考虑运用整体思想，将整体代入求值． 解： ． 用上述方法解决以下问题． (1)已知，求的值． (2)已知，求的值． 42．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）阅读：已知，求的值． 分析：考虑到x，y的可能值较多，不能逐一代入求解，故考虑整体思想，将整体代入． 解： ． 你能用上述方法解决以下问题吗？试一试！ (1)已知，求的值； (2)已知，求代数式的值． 题型十五：已知多项式乘积不含某项求字母的值（图形压轴） 43．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）【知识回顾】我们在学习代数式求值时，遇到过这样一类题：代数式的值与x的取值无关，求a的值．其解题过程如下： 解：原式． 代数式的值与x的取值无关， ，解得． 【理解应用】（1）已知，，且的值与x的取值无关，求m的值． 【能力提升】（2）用7个如图1所示的小长方形（长为a，宽为b）拼成如图2所示的大长方形，大长方形中两个阴影部分也是长方形．设右上角的长方形的面积为，左下角的长方形的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求a与b的等量关系． 44．（25-26八年级上·四川内江·月考）【知识回顾】 我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式的值与的取值无关，求的值．通常的解题思路是：把x、y看作字母，看作系数，合并同类项．因为代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0．具体解题过程是： 原式， 代数式的值与的取值无关， ，解得． 【理解应用】 （1）若关于的多项式的值与的取值无关，求的值； （2）已知，，且的值与的取值无关，求的值． 【能力提升】 （3）如图1，小长方形的长为，宽为，7张图1的小长方形放入图2的大长方形中，其中未被覆盖的两个部分都是长方形．设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求与的等量关系． 45．（25-26八年级上·河南周口·月考）【知识回顾】 我们在学习代数式求值时，有这样一类题：代数式的值与的取值无关，求的值．通常的解题思路是：把、看作字母，看作系数，合并同类项．因为代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为．故原式，∵代数式的值与的取值无关，∴，解得． 【理解应用】 （1）若关于的代数式的值与的取值无关，则的值为________； （2）已知，，且的值与的取值无关，求的值； 【能力提升】 （3）将七张如图1的小长方形（长为，宽为）按图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个阴影部分都是长方形．设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，直接写出的值． 题型十六：多项式乘法中的规律性问题（压轴） 46．（25-26七年级上·河北保定·月考）我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，如图所示的图表是他在《详解九章算法》中记载的“杨辉三角”． 此图揭示了（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，由此规律可解决如下问题： (1)请在图中括号内的数为________； (2)展开式中共有________项，第19项系数为________； (3)根据上面的规律，写出的展开式：________； (4)利用上面的规律计算：； 47．（25-26八年级上·山东滨州·月考）你能化简吗？遇到这样的复杂问题时，我们可以先从简单的情形入手，然后归纳出一些方法． (1)填空： _____________； _____________； _____________． (2)猜想：_____________． (3)请你利用上面的结论计算：． 48．（25-26八年级上·辽宁营口·期中）探究应用 （1）计算：______． （2）______． （3）上面的整式乘法计算结果很简洁，你又发现一个新的乘法公式______．（请用含a、b的字母表示）． （4）直接用公式计算： ①______． ②______． 题型十七：完全平方式的变形求值（压轴） 49．（25-26八年级上·福建福州·期末）小李同学在解决问题“已知，求的最小值”时，给出框图中的思路： ， ， 则， ， ， 的最小值为． 结合以上小李同学的思路探究：若，则下列关于式子的说法正确的是（   ） A．有最小值3 B．有最大值3 C．有最小值 D．有最大值6 50．（25-26八年级上·甘肃武威·期中）若，，则的值是（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．4050 51．（25-26八年级上·湖北武汉·月考）已知，，则 ． 题型十八：完全平方式与几何图形综合（压轴） 52．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）【问题情境】我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式．例如：由图1可得到． 【活动猜想】 （1）写出由图2所表示的数学等式：___________． 【类比探究】 （2）①根据上面的等式，如果将看成，则___________． ②若，求的值． 【拓展运用】 （3）已知实数、、满足以下条件：，，且，求的值． 53．（24-25七年级下·江苏南京·月考）【探索】（1）观察图1， 图2， 请写出之间的等量关系是:___________；根据（1）的结论，若 则 的值是___________； 【应用】（2）如图3，是线段上的一点，以为边向上分别作等腰 和等腰， 点在上， 连接， 若， ， 求的面积． 【拓展】（3）如图4， 某学校有一块梯形空地， 于点， ． 该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草．经测量种花区域的面积和为平方米，米，求种草区域的面积和． （4）利用5张完全相同的小长方形纸片(长为，宽为)拼成如图5所示的大长方形，记长方形的面积为，长方形的面积为．若不论的长为何值时， 永远为定值，求与之间的数量关系． 54．（24-25八年级上·广东珠海·期中）结合图形我们可以通过两种不同的方法计算面积，从而可以得到一个数学等式．    (1)如图1，用两种不同的方法计算阴影部分的面积，可以得到的数学等式是______； (2)我们可以利用（1）中的关系进行求值，例如，若x满足，可设，，则，．则______． (3)若x满足，则的值为______； (4)小玲想利用图2中x张A纸片，y张B纸片，z张C纸片拼出一个面积为的大长方形，则______； (5)如图3，已知正方形的边长为x，E，F分别是、上的点，且，，长方形的面积是24，分别以、为边作正方形，求阴影部分的面积． 题型十九：利用配方法求最值（压轴） 55．（24-25八年级上·江苏南通·月考）在学习乘法公式的运用时，我们常用配方法求最值， 例如：求代数式的最小值，总结出如下解答方法： 解：． ∵，∴当时，的值最小，最小值是0， ∴．∴当时，的值最小，最小值是1， ∴的最小值是1． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)若，当______时，y有最______值（填“大”或“小”）是______； (2)已知a，b，c是的三边长，满足，且c的值为代数式的最大值，求该三角形的周长； (3)已知，求的最小值． 56．（24-25七年级下·江苏盐城·月考）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．比如因为， 所以当时，的值最小，最小值是0． 所以． 所以当时，即时的值最小，最小值是1． 即的最小值是1． 定义：一个正整数能表示成（、是正整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”． 【解决问题】 （1）①已知13是“完美数”，请将它写成（、是正整数）的形式______； ②配方：； 【探究问题】 （2）①已知，则______； ②已知（、是整数，是常数），要使为“完美数”，试写出符合条件的一个值，并说明理由． 【拓展结论】 （3）已知实数、满足，当______时，最小值为______． 57．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）上数学课时，王老师在讲完乘法公式（a±b）2＝a2±2ab+b2的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式x2+4x+5的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1 ∵（x+2）2≥0， ∴当x＝﹣2时，（x+2）2的值最小，最小值是0， ∴（x+2）2+1≥1 ∴当（x+2）2＝0时，（x+2）2+1的值最小，最小值是1， ∴x2+4x+5的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列各题 (1)知识再现：当x＝____时，代数式的最小值是_____； (2)知识运用：若，当x＝____时，y有最____值（填“大”或“小”），这个值是____； (3)知识拓展：若，求y+2x的最小值． 题型二十：乘法公式中的新定义运算（压轴） 58．（25-26九年级上·江苏无锡·月考）定义：若一个整数能表示成（a，b为整数）的形式，则称这个数为“完美数”． 例如：5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”． (1)尝试：已知25是“完美数”，请将它写成（a，b为正整数）的形式_______； (2)探究：请将表示成“完美数”的形式，并求出其最小值； (3)应用：已知（x，y为整数，k是常数），要使S为“完美数”，求k的值，并说明理由． 59．（24-25八年级上·湖南长沙·期中）我们定义：如果两个多项式与的和为常数，则称与互为“对消多项式”，这个常数称为它们的“对消值”．如与互为“对消多项式”，它们的“对消值”为． (1)下列各组多项式互为“对消多项式”的是 （填序号）； 与；与；与 (2)多项式与多项式（，为常数）互为“对消多项式”，求它们的“对消值”； (3)关于的多项式与互为“对消多项式”，“对消值”为．若，，求代数式的最小值． 60．（25-26九年级上·江苏淮安·期中）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“智能数”．例如，13是“智能数”，理由：因为． 解决问题： （1）①已知17是“智能数”，请将它写成（a，b是整数）的形式______； ②已知，则______； 探究问题： （2）已知（x，y是整数，k是常数），要使S为“智能数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由． 拓展结论： （3）已知实数x，y满足，求的最大值． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $专题03 整式乘法易错压轴题型专项训练 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 题型一：单项式乘单项式及求值 题型二：单项式乘多项式及求值 题型三：单项式乘多项式的应用 题型四：多项式乘多项式 题型五：多项式乘法的化简求值 题型六：已知多项式乘积不含某项求字母的值 题型七：多项式乘多项式与图形面积 题型八：运用平方差公式进行运算 题型九：平方差公式与几何图形 题型十：运用完全平方公式进行运算 题型十一：通过对完全平方公式变形求值 题型十二：完全平方公式在几何图形中的应用 题型十三：求完全平方式中的字母系数 题型十四：多项式乘法中的整体代入求值（压轴） 题型十五：已知多项式乘积不含某项求字母的值（图形压轴） 题型十六：多项式乘法中的规律性问题（压轴） 题型十七：完全平方式的变形求值（压轴） 题型十八：完全平方式与几何图形综合（压轴） 题型十九：利用配方法求最值（压轴） 题型二十：乘法公式中的新定义运算（压轴） 题型一：单项式乘单项式及求值 1．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了单项式与单项式的乘法运算，解题的关键是掌握系数相乘、同底数幂相乘的法则． 先计算系数的乘积，再对同底数幂分别进行指数相加，最后合并结果得到最终单项式． 【详解】解： 故选：B． 2．（24-25八年级下·江苏南京·期末）若单项式与单项式相乘的结果是一个十二次单项式，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式乘单项式，熟练掌握单项式乘单项式的法则是关键． 先根据单项式乘单项式的法则求解，再根据单项式的次数等于所有字母的指数的和求解即可． 【详解】解：∵， 又∵单项式与单项式相乘的结果是一个十二次单项式， ∴， ， ． 故答案为：． 3．（24-25八年级下·江苏无锡·期末）若 ，则求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式，根据单项式乘以单项式的计算法则得到，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型二：单项式乘多项式及求值 4．（24-25八年级下·江苏连云港·期末）计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了整式的乘法运算．根据单项式与多项式相乘的运算法则求解即可． 【详解】解：． 故选：C． 5．（24-25八年级下·江苏淮安·期末）已知，则 ． 【答案】10 【分析】本题考查了单项式乘多项式，整体代入思想，掌握单项式乘多项式的运算法则是关键． 将代数式 展开为 ，然后利用已知条件 代入计算即可． 【详解】解：∵，且 ， ∴ ． 故答案为：10． 6．（24-25八年级下·江苏无锡·期末）某同学在计算一个多项式乘时，因抄错运算符号，算成了加上，得到的结果是． (1)这个多项式是多少？ (2)正确的计算结果是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式混合运算，涉及单项式乘以多项式运算、去括号法则及合并同类项等知识，熟练掌握整式的乘法运算、整式加减运算法则是解决问题的关键． （1）根据题意，列式后，运用去括号法则及合并同类项求解即可得到答案； （2）根据题意，列式后，运用单项式乘以多项式的运算法则及合并同类项求解即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意可得， ； （2）解：正确的计算结果为： ． 题型三：单项式乘多项式的应用 7．（24-25八年级下·江苏常州·期末）已知某长方形的长为，其中，它的宽比长短，求这个长方形的周长与面积． 【答案】周长为，面积为 【分析】本题考查的是整式的加减运算的应用，单项式乘以多项式与图形面积．先求解长方形的宽，再求解长方形的周长与面积即可． 【详解】解：由题意可得： 这个长方形的宽为， 长方形的周长为， 长方形的面积为． 8．（24-25八年级下·江苏淮安·期末）明德学校在进行“雷小锋”校园文化墙装饰时，师傅对原装饰区域做了改动，在原长方形基础上挖去四个边长相同的正方形，如图所示． (1)根据平面图数据，用含、、的代数式表示图中阴影部分新装饰区面积． (2)已知，，，且装饰板块一所用布料单价为5元/，装饰板块二所用布料单价为7元/，完成新装饰区域全部铺设，总费用为多少？ 【答案】(1) (2)完成新装饰区域全部铺设，总费用为元 【分析】本题主要考查单项式乘以多项式及代数式的值，解题的关键是理解题意； （1）根据图形可直接进行求解； （2）由图可分别得出装饰板块一和板块二的面积，然后问题可求解． 【详解】（1）解：由图形可知：； （2）解：由图可知：装饰板块一的面积为，装饰板块二的面积为， ∵，，， ∴装饰板块一的面积为，装饰板块二的面积为， ∴总费用为（元）； 答：完成新装饰区域全部铺设，总费用为元． 9．（24-25八年级下·江苏盐城·期末）如图，一张长方形硬纸片，长为，宽为，在它的四个角上分别剪去一个边长均为的小正方形（阴影部分所示），然后折成一个无盖的盒子，请你求出折成无盖盒子所用硬纸片的面积． 【答案】 【分析】本题考查了整式的运算，理解纸片的面积减去剪去的4个小正方形的面积就是盒子的表面积是关键．利用纸片的面积减去剪去的4个小正方形的面积就是盒子的表面积． 【详解】解：依题意，纸片的面积是：； 一个小正方形的面积是：， 则无盖盒子的表面积是：． 题型四：多项式乘多项式 10．（24-25八年级下·江苏南京·期末）若则m+n的值为（　 ） A． B．1 C． D．5 【答案】C 【分析】本题考查多项式乘以多项式，直接运用多项式乘法法则展开，通过系数对比求解出m和n的值，再计算它们的和即可． 【详解】解：∵， 又∵， ∴，， ∴， 故选：C． 11．（25-26八年级上·四川自贡·期末）已知关于的代数式有，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了多项式乘多项式、代数式的求值，通过展开左边代数式并比较等式两边对应项的系数，建立关于和的方程，求解得到和的值，进而计算的值． 【详解】解：展开左边代数式：=， 与右边代数式比较，得： 常数项：，解得； 一次项系数：，代入，得， 因此，， 故答案为：3． 12．先计算下列各式，再观察，最后解答后面问题： __________； __________； __________； __________； （1）根据以上各式呈现的规律，用公式表示出来，则__________； （2）试用你写的公式，直接写出下列两式的结果 ①__________； ②__________； （3）在计算时，甲把错看成了6，得到结果是：；乙错把看成了，得到结果：．依据上述发现的规律，直接写出__________，__________． 【答案】；；；；（1）；（2）①，②；（3）； 【分析】根据多项式乘以多项式进行计算即可求解； （1）根据规律写出公式，即可求解； （2）根据公式计算即可求解； （3）根据题意，计算，求得的值，计算进而求得的值，即可求解． 【详解】解：； ； ； ； 故答案为：；；；； （1） 故答案为：． （2）①， 故答案为：． ②， 故答案为：． （3）依题意， ∴， ∴， 故答案为：；． 【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． 题型五：多项式乘法的化简求值 13．（25-26八年级上·福建厦门·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】，0． 【分析】本题考查了整式的混合运算．先利用多项式乘多项式、单项式乘多项式展开，再合并同类项，然后把代入计算即可解答． 【详解】解： ， 当时，原式． 14．（25-26八年级上·四川德阳·月考）计算题： (1)计算：； (2)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1) (2)，11 【分析】本题考查了整式的混合运算与化简求值，掌握整式的混合运算法则是解题的关键． （1）根据幂的乘方和积的乘方、单项式乘单项式、合并同类项把原式化简； （2）根据多项式乘多项式、合并同类项把原式化简，把x的值代入计算，得到答案． 【详解】（1）解： （2）解： 当时，原式 15．先化简，再求值： (1)，其中． (2)，其中． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查整式的混合运算以及整式的化简求值，解答本题的关键是明确整式化简求值的方法． （1）根据平方差公式和多项式除以单项式化简，然后将代入求值即可； （2）根据单项式乘多项式和多项式除以单项式可以化简题目中的式子，然后将的值代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】解：（1）原式． 当时，原式． （2）原式 ． 当时，原式． 题型六：已知多项式乘积不含某项求字母的值 16．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）已知，若不论为何值，的值始终是一个确定的值，则这个确定的值是（　　） A．4 B．2 C．-4 D．-2 【答案】A 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的无关型问题．根据多项式乘以多项式的计算法则得到，则，进而可得，再根据是定值，得到，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵无不论为何值，的值始终是一个确定的值， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 17．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）要使多项式 展开后不含x的二次项，则a与b的关系是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查整式的运算，根据整式的乘法进行运算，合并后，使x的二次项系数等于0即可求解． 【详解】解： ， ∵多项式 展开后不含x的二次项， ∴， ∴， 故答案为：． 18．（24-25八年级下·江苏淮安·期末） 已知关于x的多项式与的乘积的展开式中不含项，且的系数为2，求的值． 【答案】 【分析】本题考查多项式乘以多项式，解题的关键是明确不含x的二次项，则二次项的系数为0． 根据多项式乘以多项式法则进行运算，再利用关于x的多项式与的乘积的展开式中不含项，且的系数为2建立方程，即可求解． 【详解】解： ∵展开式中不含项，且的系数为2 ∴，，解得， ∴． 题型七：多项式乘多项式与图形面积 19．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）如图，在某高铁站广场前有一块长为，宽为的长方形空地，计划在中间留两个长方形喷泉池（图中阴影部分），两个长方形喷泉池及周边留有宽度为b的人行通道． (1)求这两个长方形喷泉池的总面积（用代数式表示）； (2)当时，求这两个长方形喷泉池的总面积． 【答案】(1)（或） (2)20 000 【分析】本题考查整式的混合运算，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． （1）根据题意求得两个长方形喷泉池的长与宽的和，然后计算两个长方形喷泉池的面积即可； （2）将已知数值代入（1）中求得的代数式中计算即可． 【详解】（1）解：由题意可得两个长方形喷泉池的长为，它们宽的和为， 则 ， 即这两个长方形喷泉池的总面积为； （2）当时， ， 即这两个长方形喷泉池的总面积为20000． 20．（24-25八年级上·江苏南通·期中）如图，长方形中剪下两个大小相同的正方形（有关线段的长如图所示），留下一个“T”型的图形（阴影部分）． (1)用含x，y的代数式表示“T”型图形的面积并化简； (2)若米，“T”型区域铺上价格为每平方米20元的草坪，请计算草坪的造价． 【答案】(1)“T”型图形的面积为； (2)5440元 【分析】本题主要考查多项式乘多项式的几何应用，熟练掌握多项式乘多项式的几何应用是解题的关键． （1）根据图形可用割补法进行求解； （2）把代入（1）中式子进行求解面积，然后再根据草坪的造价“T”型区域的面积单价，进而问题可解． 【详解】（1）解：由题意得：“T”型图形的面积为； （2）解：当米时，此时米， （平方米）， ∴造价为（元）． 21．（24-25七年级下·江苏南京·期末）一个正方形边长为 (a为常数，)，记它的面积为．将这个正方形的一组邻边长分别增加2 和减少2，得到一个长方形，记该长方形的面积为． (1)求 (用含a的代数式表示)． (2)小丽说无论a为何值，与的差都不变，你同意她的观点吗？为什么？ (3)将原正方形一组邻边分别增加4 和减少3，得到一个长方形，记该长方形的面积为，比较与的大小． 【答案】(1) (2)同意；理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查了整式乘法的应用和整式加减的应用，解题的关键是根据题意列出代数式，熟练掌握整式乘法运算法则． （1）根据题意得出长方形的两条边长，求出长方形的面积即可； （2）求出，然后进行判断即可； （3）表示出，然后再作差，比较大小即可． 【详解】（1）解：得到的长方形的两边长分别为，， ∴； （2）解：同意；理由如下： ， ∴与的差都不变． （3）解：∵， ∴， ∴当时，， 当时，， 当时，， 综上分析可知：． 题型八：运用平方差公式进行运算 22．下列乘法中，不能运用平方差公式进行运算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平方差公式，正确识别平方差公式是解题的关键． 根据平方差公式中的两个二项式有一项完全相同，另一项互为相反数即可求解． 【详解】解：∵ 平方差公式的形式为， 选项A: ，相同项x，相反项a 和，故选项A符合公式； 选项B: ，没有相同项，故选项B不符合公式； 选项C: ，相同项，相反项和x，故选项C符合公式； 选项D: ，相同项m，相反项b 和，故选项D符合公式． 故选择B． 23．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）若，，则代数式的值等于 ． 【答案】8 【分析】本题考查因式分解――平方差公式．利用平方差公式变形后求解． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：8． 24．（25-26七年级上·江苏盐城·月考）观察下列等式，并完成下列问题： 第1个：； 第2个：； 第3个：； 第4个；； …… (1)请你写出第6个等式：_____； (2)第个等式可表示为：_____；（，且为整数） (3)运用上述结论，计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了数字规律计算及有理数的乘方运算，理解题意，找出相应规律是解题关键． （1）利用规律进行表示即可； （2）根据给出的示例，找出规律，用代数式进行表示即可； （3）利用规律展开计算即可． 【详解】（1）解：根据题意得， 第6个等式为， 故答案为：； （2）解：第个等式可表示为， 故答案为：； （3）解： ． 题型九：平方差公式与几何图形 25．如图，从边长为的大正方形中剪去一个边长为的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成如图所示的长方形．根据图形的变化过程可以验证等式（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式的几何意义，用两种方法表示阴影部分的面积是解题的关键．由图中大正方形的面积小正方形的面积图长方形的面积，进而可以证明平方差公式． 【详解】解：图中，大正方形的面积小正方形的面积， 图中，长方形的面积， 根据面积相等，得， 故选：D． 26．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）如图，小正方形和大正方形相邻，B，C，G三点在同一条直线上，C，D，E三点在同一条直线上，连接．若阴影部分的面积为8，则大正方形的面积与小正方形的面积之差为 ． 【答案】16 【分析】本题考查了平方差公式的几何背景，解决本题的关键是根据图形求出面积．设大正方形的边长是小正方形的边长是则，大正方形的面积是，小正方形的面积表示为，阴影部分的面积为8，即，即，化简可得，据此解答． 【详解】解：设大正方形的边长是小正方形的边长是则， ∵阴影部分的面积为8， ∴， ∴， ， ∴． ∴大正方形的面积与小正方形的面积之差为16． 故答案为：． 27．（24-25六年级下·山东威海·期中）如图，在边长为a的正方形上裁去边长为b的正方形． (1)图1阴影面积是 ； (2)图2是将图1中的阴影部分裁开，重新拼成梯形，根据图形可以得到乘法公式 ； (3)运用得到的公式，计算： ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查平方差公式的证明和应用．理解平方差公式的结构特征是正确应用的前提． （1）利用大正方形的面积减小正方形的面积即可求得； （2）根据图1阴影面积和图2面积相等即可直接填空； （3）根据平方差公式计算即可． 【详解】（1）解：阴影面积是：， 故答案为：； （2）解：根据梯形的面积公式可知图2中阴影部分的面积为： ， ∴可以得到的乘法公式为， 故答案为：； （3）解： ． 故答案为：． 题型十：运用完全平方公式进行运算 28．（24-25七年级下·河北邯郸·期末）下列关系式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了乘法公式，掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键．根据平方差公式和完全平方公式逐项判断即可求解； 【详解】解：、，该选项关系式错误，不合题意； 、，该选项关系式正确，符合题意； 、，该选项关系式错误，不合题意； 、，该选项关系式错误，不合题意； 故选：． 29．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）若．则 ． 【答案】 【分析】本题给出两个关于、与的等式，要求的值．解题思路是将两个等式相加，然后通过因式分解的方法，将式子转化为含有的形式，进而求出的值．本题主要考查了因式分解以及平方根的概念，熟练掌握完全平方公式以及平方根的求解方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 30．（24-25七年级下·江苏南京·月考）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4) 【分析】本题考查了整式的混合运算，掌握整式的运算法则是解决本题的关键 （1）利用多项式乘多项式法则计算即可； （2）先变形，再利用平方差公式计算即可； （3）先变形利用平方差公式，再利用完全平方公式计算即可； （4）先变形两个因式，再利用平方差公式计算，最后利用完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 题型十一：通过对完全平方公式变形求值 31．（24-25八年级下·江苏盐城·期末）若，则（   ） A．8 B．12 C．16 D．24 【答案】D 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键．根据完全平方公式变形求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 故选：D． 32．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）若，，则 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．根据，代入数据求值即可． 【详解】解：∵，， ∴，， 将两式相加可得：， 则， 故答案为：． 33．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）已知，．求： (1)的值； (2)的值． 【答案】(1)7 (2) 【分析】本题考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）利用完全平方公式变形求解即可； （2）先将完全平方公式展开，利用整体思想代入求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解： ． 题型十二：完全平方公式在几何图形中的应用 34．（24-25七年级下·江苏淮安·期末）现有长与宽分别为的小长方形若干个，用两个相同的小长方形拼成图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题： (1)根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于的关系式；（用含的代数式表示出来）； 图1表示：________；图2表示：________． (2)根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： ①若，求的值； ②如果，求的值． 【答案】(1)； (2)①；② 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景及完全平方公式的变形应用，平方差公式，解题的关键是熟练掌握完全平方公式和平方差公式． （1）图1中由两个长与宽分别为a、b的小长方形与一大一小两个正方形构成一个大的正方形，利用边长为正方形的面积等于两个长方形的面积加边长分别为a，b的正方形的面积可得；图2中利用大正方形的面积等于4个长方形的面积加小正方形的面积可得； （2）①将根据完全平方公式用含有的式子表示出来，然后代入求值即可． ②利用完全平方公式先求出，再根据平方差公式求解即可． 【详解】（1）解：图1表示； 图2表示； 故答案为：；； （2）解：①∵， ∴， ∵， ∴， 即； ②∵，， ∴ ， ∴， 当时，； 当时，； 综上分析可知：． 35．（24-25七年级下·江苏宿迁·月考）如图1是一个长为、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）． (1)图2中的阴影部分的面积为________ ；（用a、b的代数式表示） (2)观察图2请你写出、、之间的等量关系是________ ； (3)实际上通过计算图形的面积可以探求相应的等式．如图3，你有什么发现？ ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了完全平方公式与几何图形，多项式乘多项式等内容，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）观察图形，根据正方形的面积等于边长的平方，即可作答． （2）观察图形，大正方形的面积减去小正方形的面积等于4个小长方形的面积，列式计算，即可作答． （3）结合面积相等，列式即可作答． 【详解】（1）解：依题意，阴影部分是小正方形，且边长为， ∴图2中的阴影部分的面积为， 故答案为：； （2）解：结合图形，大正方形的面积减去小正方形的面积等于4个小长方形的面积， 即， 故答案为：； （3）解：依题意，大长方形的宽为，大长方形的长为， 故大长方形的面积为； ∵观察图形，大长方形是由3个小正方形、1个大正方形，4个小方形组成的， ∴大长方形的面积为， 即． 故答案为：． 36．（24-25八年级下·江苏苏州·期末） 【知识技能】 已知：；； 填空：（1）①______；②______． 【数学理解】 若x满足，求的值． 解：设，， 则， ∴． 【解决问题】 （2）①若x满足，则______； ②若x满足，求的值； ③如图，已知正方形被分割成4个部分，其中四边形与为正方形，若，，四边形的面积为6，求正方形，的面积． 【答案】（1）①，②；（2）①，②，③ 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景掌握完全平方公式的结构特征是正确解题的关键． （1）根据完全平方公式进行解答即可； （2）①设，，由题意得，，根据进行计算即可； ②设，，由题意得，，根据代入计算即可； ③设，，根据题意得，，，由，代入计算即可． 【详解】解：（1）①， ， 故答案为：； ②；； ， 故答案为：； （2）①设，， ，， ； ②设，， ，， ； ③由题意得，， 设，， ，，， ． 题型十三：求完全平方式中的字母系数 37．（25-26八年级上·江苏南通·月考）若是一个完全平方式，则的值为（   ） A． B．8 C． D．16 【答案】D 【分析】本题主要考查了求完全平方公式中的字母系数，利用完全平方式的结构特征，通过系数比较确定参数值即可． 【详解】解：∵为完全平方式， 设其形式为， ∴， 解得：， ∴． 故选：D． 38．（24-25七年级下·江苏扬州·月考）若关于x的二次三项式是完全平方式，则a的值是（   ） A．4 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式：，熟记完全平方公式是解题关键. 根据是完全平方式，得到这个完全平方式是：或，展开后对比即可得到答案. 【详解】解：∵是完全平方式， ∴这个完全平方式是：或 即或 解得：或 故的值是. 故选：C. 39．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）已知代数式 是一个完全平方式，则 的值为 ． 【答案】1或 【分析】此题考查了完全平方公式和一元一次方程的应用，根据是一个完全平方式得到，解方程即可得答案． 【详解】解：∵代数式是一个完全平方式， ∴， ∴， 解得或， 故答案为：1或 题型十四：多项式乘法中的整体代入求值（压轴） 40．（24-25八年级下·江苏南京·期末）“整体思想”在数学中应用极为广泛． 例如：已知，求的值． 解：∵， ∴ ∴． 请尝试应用“整体思想”解决以下问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1)10 (2)58 【分析】本题考查了代数式求值，多项式与多项式的乘法运算，掌握整体代入思想是解题的关键． （1）仿照题例，利用整体代入法解答即可； （2）先化简代数式，再整体代入计算即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴ ． （2）解：∵， ∴， ∴ ． 41．（24-25八年级下·江苏无锡·期末）阅读：已知，求的值． 分析：考虑到，的可能值较多，不能逐一代入求解，故考虑运用整体思想，将整体代入求值． 解： ． 用上述方法解决以下问题． (1)已知，求的值． (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2)2027 【分析】本题考查了整式的混合运算、整体代入思想和降次法。解题关键是通过变形将表达式转化为已知条件的形式，避免直接求解未知数，从而简化计算． （1）先展开整式乘法，将表达式整理为用表示的形式，再代入进行求值； （2）由已知等式变形得到和，通过降次将高次幂转化为低次幂，再整体代入化简求值． 【详解】（1）解： ． ∵， ∴原式 ． （2）解：∵， ∴，， ∴ ． 42．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）阅读：已知，求的值． 分析：考虑到x，y的可能值较多，不能逐一代入求解，故考虑整体思想，将整体代入． 解： ． 你能用上述方法解决以下问题吗？试一试！ (1)已知，求的值； (2)已知，求代数式的值． 【答案】(1) (2)22 【分析】本题考查了单项式乘以多项式运算，积的乘方逆运算，代数式求值． （1）先利用单项式乘以多项式运算法则计算，再利用积的乘方逆运算变形，然后代入求值； （2）先将原式变形为，再整体代入求值即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：因为， 所以． 所以 ． 题型十五：已知多项式乘积不含某项求字母的值（图形压轴） 43．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）【知识回顾】我们在学习代数式求值时，遇到过这样一类题：代数式的值与x的取值无关，求a的值．其解题过程如下： 解：原式． 代数式的值与x的取值无关， ，解得． 【理解应用】（1）已知，，且的值与x的取值无关，求m的值． 【能力提升】（2）用7个如图1所示的小长方形（长为a，宽为b）拼成如图2所示的大长方形，大长方形中两个阴影部分也是长方形．设右上角的长方形的面积为，左下角的长方形的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求a与b的等量关系． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了多项式乘多项式，整式的混合运算，解题关键是掌握整式的相关运算法则． （1）把m看作字母，合并同类项后得，再令的系数为0，即可求出m的值； （2）设，由图可得，，即可得到关于的代数式，根据其值不变，得出，即可求得a与b的关系． 【详解】解：（1），， ． 的值与x的取值无关， ， 解得； （2）设，由图可知，， ． 当的长变化时，的值始终保持不变， 的值与x的取值无关， ， ． 44．（25-26八年级上·四川内江·月考）【知识回顾】 我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式的值与的取值无关，求的值．通常的解题思路是：把x、y看作字母，看作系数，合并同类项．因为代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0．具体解题过程是： 原式， 代数式的值与的取值无关， ，解得． 【理解应用】 （1）若关于的多项式的值与的取值无关，求的值； （2）已知，，且的值与的取值无关，求的值． 【能力提升】 （3）如图1，小长方形的长为，宽为，7张图1的小长方形放入图2的大长方形中，其中未被覆盖的两个部分都是长方形．设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求与的等量关系． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了多项式乘多项式，整式的混合运算，解题关键是掌握整式的相关运算法则． （1）把看作字母，看作系数，合并同类项．得，再令的系数为0，即可求出的值； （2）根据整式的混合运算法则，先将、的代数式代入式子，再进行化简，合并同类项得，然后根据的值与的取值无关，令的系数为0，即可求出的值； （3）设，由图可得，即可得到关于的代数式，根据其值不变，令的系数为0，即可求得与的关系． 【详解】解：（1） ∵多项式的值与的取值无关， ， 解得； （2）∵，， ， ∵的值与的取值无关， ， 解得：； （3）设，由图可知， ， ∵当的长变化时，的值始终保持不变， 的值与的取值无关， ， ． 45．（25-26八年级上·河南周口·月考）【知识回顾】 我们在学习代数式求值时，有这样一类题：代数式的值与的取值无关，求的值．通常的解题思路是：把、看作字母，看作系数，合并同类项．因为代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为．故原式，∵代数式的值与的取值无关，∴，解得． 【理解应用】 （1）若关于的代数式的值与的取值无关，则的值为________； （2）已知，，且的值与的取值无关，求的值； 【能力提升】 （3）将七张如图1的小长方形（长为，宽为）按图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个阴影部分都是长方形．设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，直接写出的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了整式加减中的无关型问题，单项式乘以多项式在几何图形中的应用，多项式乘法中的无关型问题，正确理解题意是解题的关键． （1）把原式合并同类项，再令含x的项的系数为0，据此列式求解即可； （2）根据整式的相关计算法则求出的展开结果，，再令含x的项的系数为0，据此列式求解即可； （3）根据题意分别用a、b、的长表示出，进而表示出，再根据的值与的长无关列式求解即可． 【详解】解：（1）∵关于的代数式的值与的取值无关， ∴， ∴； （2）∵，， ∴ ， ∵的值与的取值无关， ∴， ∴； （2）由题意得，，， ∴ ， ∵当的长变化时，的值始终保持不变， ∴， ∴， ∴． 题型十六：多项式乘法中的规律性问题（压轴） 46．（25-26七年级上·河北保定·月考）我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，如图所示的图表是他在《详解九章算法》中记载的“杨辉三角”． 此图揭示了（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，由此规律可解决如下问题： (1)请在图中括号内的数为________； (2)展开式中共有________项，第19项系数为________； (3)根据上面的规律，写出的展开式：________； (4)利用上面的规律计算：； 【答案】(1)6 (2)， (3) (4) 【分析】本题考查了多项式乘以多项式中的规律，数字的变化规律，解题关键是找出规律． （1）根据表中数据特点解题即可； （2）先找出规律，用表示出展开式中共项数，当时，用表示出倒数第项的系数，代入数据计算即可； （3）根据图示顺推即可得到展开式； （4）根据展开式，令，时代入展开式即可得到所求代数式的值； 【详解】（1）解：图中括号内的数为， 故答案为：6； （2）展开式有项， ，展开式有项，倒数第三项系数为； ，展开式有项，倒数第3项系数为3，倒数第三项系数为； ，展开式有项，倒数第3项系数为6，倒数第三项系数为； 展开式有项，倒数第3项系数为，倒数第三项系数为； ……； 以此类推，展开式中共有项，倒数第三项的系数， ∴展开式共有项，第项系数为， 故答案为：，； （3）根据图示，， 故答案为：； （4）∵， 当，时，， ∴． 47．（25-26八年级上·山东滨州·月考）你能化简吗？遇到这样的复杂问题时，我们可以先从简单的情形入手，然后归纳出一些方法． (1)填空： _____________； _____________； _____________． (2)猜想：_____________． (3)请你利用上面的结论计算：． 【答案】(1)；；， (2) (3) 【分析】此题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）根据多项式乘以多项式计算即可； （2）归纳总结得到规律，写出结果即可； （3）原式乘以，变形后，即可利用得出的规律计算得到结果． 【详解】（1）解：； ； ； （2）； （3）． 48．（25-26八年级上·辽宁营口·期中）探究应用 （1）计算：______． （2）______． （3）上面的整式乘法计算结果很简洁，你又发现一个新的乘法公式______．（请用含a、b的字母表示）． （4）直接用公式计算： ①______． ②______． 【答案】（1） （2） （3） （4）① ；② ； 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式、探索规律题等知识点，熟练掌握多项式乘多项式法则是解题的关键． （1）两式利用多项式乘以多项式法则计算即可解答； （2）两式利用多项式乘以多项式法则计算即可解答； （3）根据（1）（2）归纳总结得到一般性规律即可； （4）利用（3）得出的公式计算即可． 【详解】解：（1） ． （2） ． （3）由（1）（2）可归纳出：． （4）① ； ②中间应补上：， ； ． 题型十七：完全平方式的变形求值（压轴） 49．（25-26八年级上·福建福州·期末）小李同学在解决问题“已知，求的最小值”时，给出框图中的思路： ， ， 则， ， ， 的最小值为． 结合以上小李同学的思路探究：若，则下列关于式子的说法正确的是（   ） A．有最小值3 B．有最大值3 C．有最小值 D．有最大值6 【答案】A 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式、完全平方公式、非负数的性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 仿照小李同学的思路，由 表示 ，代入 ，然后运用完全平方公式以及非负数的性质求解即可． 【详解】∵ ， ∴ ， 则 ， ∴ ， ， ∴， ∴有最小值3． 故选A． 50．（25-26八年级上·甘肃武威·期中）若，，则的值是（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．4050 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题关键． 通过设，将原式转化为关于和的等式，利用已知平方和求值． 【详解】∵，， 设，则，， 将两式相加得：， ∴， ∴， 又∵， ∴． 故选B． 51．（25-26八年级上·湖北武汉·月考）已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式变形求值． 由条件 可得，再代入 求得，然后代入所求表达式计算即可． 【详解】解：由，得， 即， 所以， 代入，得， 所以， 故， 则，，， 所以，，， 因此原式． 故答案为：． 题型十八：完全平方式与几何图形综合（压轴） 52．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）【问题情境】我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式．例如：由图1可得到． 【活动猜想】 （1）写出由图2所表示的数学等式：___________． 【类比探究】 （2）①根据上面的等式，如果将看成，则___________． ②若，求的值． 【拓展运用】 （3）已知实数、、满足以下条件：，，且，求的值． 【答案】（1）；（2）①；②或；（3） 【分析】本题考查了灵活运用完全平方式，以及运算能力，转换变形是本题得关键． （1）把几何面积和完全平方式结合起来，便可求出相应关系式； （2）灵活运用公式，尤其是符号变换； （3）灵活运用公式，可得，，再结合，可求出的值． 【详解】解：（1）大正方形面积，大正方形面积也等于各个小矩形面积之和，即：， ∴． 故答案为：； （2）①根据上面的等式，如果将看成， 则， 故答案为：． ②由题意得：， ∵， ∴， ∴， ∴或； （3）∵，， 运用公式可得：，， ∴， ∴ ∴ ∵， ∴ 解得：． 53．（24-25七年级下·江苏南京·月考）【探索】（1）观察图1， 图2， 请写出之间的等量关系是:___________；根据（1）的结论，若 则 的值是___________； 【应用】（2）如图3，是线段上的一点，以为边向上分别作等腰 和等腰， 点在上， 连接， 若， ， 求的面积． 【拓展】（3）如图4， 某学校有一块梯形空地， 于点， ． 该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草．经测量种花区域的面积和为平方米，米，求种草区域的面积和． （4）利用5张完全相同的小长方形纸片(长为，宽为)拼成如图5所示的大长方形，记长方形的面积为，长方形的面积为．若不论的长为何值时， 永远为定值，求与之间的数量关系． 【答案】（1），；（2）14；（3）19；（4） 【分析】本题考查了单项式乘多项式的应用，整式的加减无关型问题，完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． （1）观察图1和图2即可表示出4个小长方形的面积即可得到；然后根据题意得到，将代入求解即可； （2）设由题意得，， ，则，最后根据求解即可； （3）设得，根据种花区域的面积和为平方米得到，即，则，最后计算； （4）根据长方形的面积得，结合不论的长为何值时，永远为定值，且，得到的值与无关，即，即可作答． 【详解】解：(1) 通过观察图1可知图1中4个小长方形的面积为， 通过观察图2可知图2中4个长方形的面积为， ∵图1和图2的面积相等，由此可得； ∵， 根据题意得， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）设 ∵以为边向上分别作等腰 和等腰， ∴ ∴， ， ∴， ∴， ∴； （3）设得， ∴，即， ∴， ∴， 即种草区域的面积和为19； （4）∵长方形的面积为，长方形的面积为， ∴，， ∴， ∵不论的长为何值时，永远为定值，且， ∴的值与无关， ∴， ∴与之间的数量关系为． 54．（24-25八年级上·广东珠海·期中）结合图形我们可以通过两种不同的方法计算面积，从而可以得到一个数学等式．    (1)如图1，用两种不同的方法计算阴影部分的面积，可以得到的数学等式是______； (2)我们可以利用（1）中的关系进行求值，例如，若x满足，可设，，则，．则______． (3)若x满足，则的值为______； (4)小玲想利用图2中x张A纸片，y张B纸片，z张C纸片拼出一个面积为的大长方形，则______； (5)如图3，已知正方形的边长为x，E，F分别是、上的点，且，，长方形的面积是24，分别以、为边作正方形，求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】（1）方法一是直接将两个正方形的面积相加，方法二是用大的正方形面积减去两个长方形的面积，即可得到等式； （2）根据（1）中得到的关系式直接代入即可得到结果； （3）根据（2）中的方法可得到结果； （4）根据得到的大长方形的面积展开，可以得到一个关系式，由关系式中可知道用的纸张分别是多少，计算其和即可； （5）先根据阴影部分构造出来等式，然后根据两次完全平方公式得到结果． 【详解】（1）解：方法一：阴影部分是两个正方形的面积和，即； 方法二：阴影部分也可以看作边长为的面积减去两个长为，宽为的长方形面积，即， 两种方法可得出：； （2）解：由（1）可得， ∵，， ∴； （3）解：设，， ∵x满足， ∴， ∵， ∴， ∴的值为； （4）解：， A纸片的面积为，B纸片面积为，C纸片面积为， 根据可知要拼出一个面积为的大长方形，需要3张A纸片，1张B纸片，4张C纸片， 则； （5）解：由图知，， ∴， ∵长方形的面积是24， ∴， 设，， 则，， 由，得， ∴， ∴， 即， ∴阴影部分的面积为． 【点睛】本题考查了完全平方公式在几何图形中的应用、多项式乘多项式、完全平方公式的变形适用，熟练掌握完全平方公式以及能够用换元法解题是解题的关键． 题型十九：利用配方法求最值（压轴） 55．（24-25八年级上·江苏南通·月考）在学习乘法公式的运用时，我们常用配方法求最值， 例如：求代数式的最小值，总结出如下解答方法： 解：． ∵，∴当时，的值最小，最小值是0， ∴．∴当时，的值最小，最小值是1， ∴的最小值是1． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)若，当______时，y有最______值（填“大”或“小”）是______； (2)已知a，b，c是的三边长，满足，且c的值为代数式的最大值，求该三角形的周长； (3)已知，求的最小值． 【答案】(1)，小， (2) (3)19 【分析】本题考查了完全平方公式，不等式的性质，非负数的性质，熟练掌握完全平方公式，不等式的性质是解题的关键． （1）根据完全平方公式求解作答即可； （2）利用完全平方公式、不等式的性质求解作答即可； （3）由，判断作答即可． 【详解】（1）解：． ∵， ∴当时，的值最小，最小值是0， ∴． ∴当时，的值最小，最小值是， ∴当时，y有最小值是， 故答案为：，小， （2）∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴当时，代数式的最大值是， ∴， 此时该三角形的周长是 （3）∵ ∴， ∴ 当时，的最小值为19 56．（24-25七年级下·江苏盐城·月考）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．比如因为， 所以当时，的值最小，最小值是0． 所以． 所以当时，即时的值最小，最小值是1． 即的最小值是1． 定义：一个正整数能表示成（、是正整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”． 【解决问题】 （1）①已知13是“完美数”，请将它写成（、是正整数）的形式______； ②配方：； 【探究问题】 （2）①已知，则______； ②已知（、是整数，是常数），要使为“完美数”，试写出符合条件的一个值，并说明理由． 【拓展结论】 （3）已知实数、满足，当______时，最小值为______． 【答案】（1）①；②9，3；（2）①；②当时，为“完美数”，理由见解析；（3）3，1 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，非负数的性质，熟知完全平方公式是解题的关键． （1）①把13分为两个整数的平方即可； ②原式利用完全平方公式即可求解； （2）①已知等式利用完全平方公式配方后，根据非负数的性质求出与的值，即可求出的值； ②根据为“完美数”，利用完全平方公式配方，确定出的值即可； （3）由已知等式表示出，代入中，配方后再利用非负数的性质求出最小值即可． 【详解】解：（1）①根据题意得：； 故答案为：； ②根据题意得：， 故答案为：9，3； （2）①∵， ∴， ∴， ，， ，， 解得：，， ∴； 故答案为：； ②当时，为“完美数”， 理由如下： ， ，是整数， ，也是整数， 是一个“完美数”； （3）∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴当时，有最小值，最小值为1． 故答案为：3，1． 57．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）上数学课时，王老师在讲完乘法公式（a±b）2＝a2±2ab+b2的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式x2+4x+5的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1 ∵（x+2）2≥0， ∴当x＝﹣2时，（x+2）2的值最小，最小值是0， ∴（x+2）2+1≥1 ∴当（x+2）2＝0时，（x+2）2+1的值最小，最小值是1， ∴x2+4x+5的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列各题 (1)知识再现：当x＝____时，代数式的最小值是_____； (2)知识运用：若，当x＝____时，y有最____值（填“大”或“小”），这个值是____； (3)知识拓展：若，求y+2x的最小值． 【答案】(1)－3，－21； (2)3，大，6； (3) 【分析】（1）利用完全平方公式对代数式变形，然后根据偶次方的非负性可得答案； （2）利用完全平方公式对变形，然后根据可得答案； （3）移项可得，利用完全平方公式对变形，然后根据偶次方的非负性可得答案． 【详解】（1）解：， ∵， ∴时，代数式的值最小，最小值为－21， 即当x＝－3时，代数式可取最小值－21， 故答案为：－3，－21； （2）， ∵， ∴当时，代数式的值最大，最大值为6， 即当x＝3时，y有最大值6． 故答案为：3，大，6； （3）∵， ∴， ∵，， ∴当时，的值最小，最小值为， 即当x＝时，y+2x的最小值为． 【点睛】本题考查了偶次方的非负性，完全平方公式的应用，灵活运用完全平方公式进行变形是解答本题的关键． 题型二十：乘法公式中的新定义运算（压轴） 58．（25-26九年级上·江苏无锡·月考）定义：若一个整数能表示成（a，b为整数）的形式，则称这个数为“完美数”． 例如：5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”． (1)尝试：已知25是“完美数”，请将它写成（a，b为正整数）的形式_______； (2)探究：请将表示成“完美数”的形式，并求出其最小值； (3)应用：已知（x，y为整数，k是常数），要使S为“完美数”，求k的值，并说明理由． 【答案】(1) (2)，的最小值为1； (3)当时，S为“完美数”． 【分析】本题考查完全平方公式的运用，阅读理解题目表述的意思是本题的关键． （1）利用“完美数”的定义可得； （2）利用配方法，将其配成完美数，可求出最小值； （3）根据完全平方公式，将其配成完美数，可求的值． 【详解】（1）解：25是“完美数”，将它写成（，是正整数）的形式为：， 故答案为：； （2）解：， ， ， ∴的最小值为1； （3）解：， ，是整数， ，也是整数， 要使S为“完美数”， ∴， 解得：， ∴当时，S为“完美数”． 59．（24-25八年级上·湖南长沙·期中）我们定义：如果两个多项式与的和为常数，则称与互为“对消多项式”，这个常数称为它们的“对消值”．如与互为“对消多项式”，它们的“对消值”为． (1)下列各组多项式互为“对消多项式”的是 （填序号）； 与；与；与 (2)多项式与多项式（，为常数）互为“对消多项式”，求它们的“对消值”； (3)关于的多项式与互为“对消多项式”，“对消值”为．若，，求代数式的最小值． 【答案】(1)； (2)它们的“对消值”为； (3)代数式的最小值是． 【分析】此题考查了求代数式值的能力， ()运用题目中的定义进行逐一计算、辨别； ()先运用题目中的定义求得，的值，再代入求解； ()先求得，再将原式进行配方变形进行求解；解题的关键是能准确运用题目的新定义进行求解． 【详解】（1）∵， , ， ∴组多项式不是互为“对消多项式”，组多项式是互为“对消多项式”， 故答案为：； （2），， ∵与互为“对消多项式”， ，， ，， ∴它们的“对消值”为； （3），， ， ∵与互为“对消多项式”且“对消值”为， ∴， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ∴代数式的最小值是． 60．（25-26九年级上·江苏淮安·期中）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“智能数”．例如，13是“智能数”，理由：因为． 解决问题： （1）①已知17是“智能数”，请将它写成（a，b是整数）的形式______； ②已知，则______； 探究问题： （2）已知（x，y是整数，k是常数），要使S为“智能数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由． 拓展结论： （3）已知实数x，y满足，求的最大值． 【答案】 （1）① ；② （2）当 时， 为“智能数”，理由见解析 （3） 【分析】本题考查了配方法的应用、非负数的性质及代数式的最值求解，解题的关键是通过配方法将式子化为完全平方式，结合“智能数”的定义或非负数的意义解决问题． （1）①寻找两个整数的平方和表示17； ②用配方法将等式化为完全平方式的和，利用非负数性质求、； （2）对配方，凑成两个完全平方式的和以满足“智能数”的定义； （3）用表示，代入代数式后配方求最大值． 【详解】（1）①解：∵， 故答案为：． ②解：， ∵，， ∴，，解得，， ∴． 故答案为：． （2）解： ， 令，即， 此时，、是整数，则、是整数，符合“智能数”的定义． 答：符合条件的一个值为13． （3）解：由，得， ∴， 配方得：， ∵， ∴的最大值为． 答：的最大值为． $