精品解析：天津市第一中学2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题

天津一中2025－2026－1高二年级 数学学科期末质量调查试卷 本试卷分为第I卷（选择题）、第II卷（非选择题）两部分，共100分，考试用时90分钟．第I卷1至1页，第II卷2至2页．考生务必将答案涂写答题纸或答题卡的规定位置上，答在试卷上的无效． 祝各位考生考试顺利！ 一、选择题：（每题3分，共24分） 1. 已知直线，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. -2 【答案】C 【解析】 【分析】根据两条直线垂直的条件求解即可. 【详解】由，， 可知，解得. 故选：C 2. 在等差数列中，若，，则（ ） A. 10 B. 18 C. 26 D. 32 【答案】D 【解析】 【分析】利用等差数列片段和的性质求解. 【详解】因为数列为等差数列，所以等差数列的片段和： ，，，仍为等差数列. 又，， 所以， . 故选：D 3. 抛物线C：的焦点为F，点在C上，，则（ ） A. 4 B. C. D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】先利用点在抛物线上求的关系，求出抛物线的焦点和准线，根据抛物线定义解得参数的值. 【详解】因为点在上，所以，又，得，即； 又抛物线的焦点为，准线：， 所以，得. 故选：B. 4. 在正项等比数列中，，且，，10成等差数列，则的值为（ ） A. B. C. 18 D. 24 【答案】C 【解析】 【分析】由等比数列下标和性质，结合等差中项列出等式求解即可. 【详解】在正项等比数列中，设公比为， 则，又，，10成等差数列， 则，则， 故， 故选：C 5. 将项数列重新排序为的操作称为一次“洗牌”，即排序后的新数列以为首项，将排在之后，将排在之后．例如，当时，数列经过一次“洗牌”后变为．则数列经过3次“洗牌”后得到的新数列是（ ） A. 8，7，6，5，4，3，2，1 B. 1，2，3，4，5，6，7，8 C 2，4，6，8，1，3，5，7 D. 1，3，5，7，2，4，6，8 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定操作，依次写出每次“洗牌”后的新数列即可. 【详解】数列经过一次“洗牌”变， 再经过一次“洗牌”变为，第三次“洗牌”后变为， 所以所得新数列是. 故选：A 6. 设是数列的前n项和，若，则＝（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由可得时，，所以，分别代入 即可得到结果. 【详解】由 ①，可得时，， 时， ②，则①②得， 即，分别代入 ，再相乘得到： . 故选：D. 7. 某班5位同学参加3项比赛，要求每人报名1项或2项，且每个项目恰有2人报名，则不同的报名方法有（ ）种． A. 120 B. 180 C. 240 D. 360 【答案】B 【解析】 【分析】设报1项的同学有人，报2项的同学有人，根据题意得，解出，再利用分步乘法计数原理即可求解. 【详解】设报1项的同学有人，报2项的同学有人， 由题意有：5位同学每人报名1项或2项，3个项目每个项目恰有2人报名，总报名名额为， 所以，即恰好有1人报2项，其余4人各报1项， 第一步：先选报2项的同学有种选法， 第二步：选该同学报的2个项目有种选法，假设选的项目是和， 则项目各已有1人，还需各1人，项目还需要2人， 第三步：分配剩余4人，从4人中选1人去项目有种选法，选1人去项目有种选法， 剩余的2人去项目有1种选法，共有种选法， 根据分步乘法计数原理有：种选法. 故选：B 8. 已知F是双曲线C：（a＞0，b＞0）的右焦点，直线与C交于A，B两点若△ABF的周长为9a，则C的离心率为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出坐标，结合对称性与双曲线定义，得出，由距离公式以及的关系代入整理得到关于的方程，求解即可. 详解】联立解得，即， 则，由的周长为可得，， 设左焦点，由对称性，， 则， 由于，则， 即， 代入，整理得， 即 解得或（舍）， 故选：A. 二、填空题：（每题4分，共24分） 9. 过点且与平行的直线与圆交于两点，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据点坐标以及两直线平行的关系可求得直线方程，再由点到直线距离公式以及弦长公式计算可得结果. 【详解】由题意知直线斜率,直线的方程为，即； 圆的标准方程为，可知圆心，半径， 圆心到直线的距离为, 所以可得， 故答案为： 10. 如图，用6种不同颜色对图中A，B，C，D四个区域染色，要求同一区域染同一色，相邻区域不能染同一色，允许同一颜色可以染不同区域，则不同的染色方案有________种． 【答案】480 【解析】 【分析】按照分步计数原理，首先染A区域，再染B区域，C区域，最后染D区域，计算可得； 【详解】解：依题意，首先染A区域有种选择，再染B区域有5种选择，第三步染C区域有4种选择，第四步染D区域也有4种选择，根据分步乘法计数原理可知一共有种方法 故答案为： 【点睛】本题考查染色问题，分步乘法计数原理的应用，属于基础题. 11. 已知数列的前n项和为，则数列的前10项和为______． 【答案】0 【解析】 【分析】把代入计算即可. 【详解】数列的前n项和为，数列的前10项和为. 故答案为：0. 12. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点P是其渐近线上的一点，若，，则该双曲线的渐近线方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用直角三角形的性质得到，再设结合已知条件利用二倍角公式即可求出. 【详解】，为中点，， 又点P是其渐近线上的一点，不妨取点在第一象限内，设， 又，， 则， 则该双曲线的渐近线方程为. 故答案为：. 13. 已知公差不为0的等差数列的前n项和为，且，则数列的通项公式为______． 【答案】 【解析】 【分析】应用已知条件分或计算，再应用等差数列求和公式及等差数列通项公式计算求解. 【详解】因为， 则令时，，所以或， 当时，则与矛盾，不合题意舍去； 当时，令时，，所以， 即得，而，解得， 所以. 故答案为：. 14. 已知数列的前n项和为，且，若对任意的，等式恒成立，则＝______． 【答案】 【解析】 【分析】根据的关系式可求得数列是首项为公差为2的等差数列，求出的表达式，再由恒成立条件可求得当，时满足题意. 【详解】由，当时得 两式相减可得 又不恒为0，可得，所以数列是首项为公差为2的等差数列， 所以, 所以， 因为对任意的，等式恒成立，即恒成立, 所以，且，解得，； 可得, 故答案为：. 三、解答题：（共计52分） 15. 已知等差数列的前n项和为，且． （1）求数列的通项公式以及； （2）记数列的前n项和为，若集合中恰好有3个元素，求的取值范围； （3）在任意相邻两项与之间插入个2，使它们和原数列的项构成一个新的数列，求． 【答案】（1），. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列基本量计算出首项和公差，即可得出通项公式以及； （2）利用裂项相消求和可得，再利用增减性及集合中元素个数可求出的取值范围； （3）根据插入数字2的规律找出数列的前2026项中2的个数，再利用等差数列前n项公式计算可得结果. 【小问1详解】 由题意知， 解得, 可得， 所以, 可得数列的通项公式，. 【小问2详解】 易知 , 所以 , 显然随着的增大逐渐变大， 又， 因集合中恰好有3个元素，可得. 【小问3详解】 依题意可知在项之前共插入了个2， 易知； 当时，新数列从至共有项 当时，新数列从至共有项， 易知，所以数列的前2026项中除了其余全部为2， 所以. 16. 已知椭圆C：的离心率为，左右顶点分别为，上顶点为，且． （1）求椭圆C的方程； （2）若P为椭圆在第一象限上一点，的面积是的面积的倍，求P的坐标； （3）已知斜率为的直线在轴上的截距为，l与椭圆交于两点，是否存在实数使得恒成立？若存在，求出的取值范围，若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用离心率和联立方程组即可求得，得出结果； （2）设,根据面积关系可得，代入椭圆方程即可得； （3）设直线,, 联立方程并利用韦达定理得出满足即可，解不等式可得答案. 【小问1详解】 由题意知,,即，且 又，解得; 即椭圆C的方程为. 【小问2详解】 设, 则 因，可得， 代入椭圆方程得， 因P为椭圆在第一象限，则. 【小问3详解】 设直线,，如下图： 联立方程，整理可得， 因此, 因为，可得 易知若使得恒成立，即 因为则， 可得，即 所以 所以 17. 已知数列满足，且． （1）证明：数列与均为等比数列； （2）证明：； （3）求数列前2n项和．（其中[x]表示不超过x的最大整数，如[1.2]＝1） 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据表达式分别将两式相加、相减即可证明得出结论； （2）求出的通项公式可得，对为奇偶进行分类讨论，再分别利用单调性和糖水不等式进行放缩即可证明； （3）根据定义可得，再利用错位相减以及等差数列前项和公式计算可得结果. 【小问1详解】 根据，将两式相加可得； 又由，可得， 因此可知数列是以为首项，公比为2的等比数列； 将两式相减可得，又， 所以可知数列是以为首项，公比为的等比数列； 即可知数列与均为等比数列； 【小问2详解】 由（1）可知； 将上述两式相加可得， 因此； 所以； 而， 所以； 而时，，即， 所以， 所以， 所以 【小问3详解】 易知， 又； 因此数列前2n项和为 ； 记， 则； 所以； 所以， 易知； 所以. 因此数列的前2n项和为 18. 天津一中学生校园生活丰富多彩，在一次社团活动中，学生们设计了一个“一中数字塔”（下面简称“数字塔”），塔的第一层有两个数字：和，将和的和插入和之间就得到了塔的第二层，将上一层每相邻两项之间插入此两项的和，得到塔的第三层，依次类推（“数字塔”如图所示）．从第一层起，每一层的数字个数记作数列，每一层的所有数字的和记作数列. （1）求、和、； （2）求数列的通项公式； （3）试探究与的递推关系，并求数列的通项公式． 【答案】（1），，， （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）根据“数字塔”的前三层，可得出、和、的值； （2）根据题意可得出关于的递推公式，利用构造法可得出数列的通项公式； （3）设“数字塔”第层的项分别为、、、、，其中，根据题中定义推导得出，再结合构造法可求得数列的通项公式. 【小问1详解】 “数字塔”的前三层如下所示： ， 所以，，，. 【小问2详解】 由题意可知，第层各项可由第层中每相邻两项之间插入此两项的和， 第层共有个项，中间形成个空，在这个空中将相邻两项的和插入即可形成第层， 故，即，且，则， 所以数列是公比为，首项为的等比数列， 即，故. 【小问3详解】 设“数字塔”第层的项分别为、、、、，其中， 则该“数字塔”第层的项分别为、、、、、、、， 所以，其中，， ， 所以，且， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津一中2025－2026－1高二年级 数学学科期末质量调查试卷 本试卷分为第I卷（选择题）、第II卷（非选择题）两部分，共100分，考试用时90分钟．第I卷1至1页，第II卷2至2页．考生务必将答案涂写答题纸或答题卡的规定位置上，答在试卷上的无效． 祝各位考生考试顺利！ 一、选择题：（每题3分，共24分） 1. 已知直线，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. -2 2. 在等差数列中，若，，则（ ） A 10 B. 18 C. 26 D. 32 3. 抛物线C：的焦点为F，点在C上，，则（ ） A. 4 B. C. D. 6 4. 在正项等比数列中，，且，，10成等差数列，则的值为（ ） A. B. C. 18 D. 24 5. 将项数列重新排序为的操作称为一次“洗牌”，即排序后的新数列以为首项，将排在之后，将排在之后．例如，当时，数列经过一次“洗牌”后变为．则数列经过3次“洗牌”后得到的新数列是（ ） A. 8，7，6，5，4，3，2，1 B. 1，2，3，4，5，6，7，8 C. 2，4，6，8，1，3，5，7 D. 1，3，5，7，2，4，6，8 6. 设是数列的前n项和，若，则＝（ ） A. B. C. D. 7. 某班5位同学参加3项比赛，要求每人报名1项或2项，且每个项目恰有2人报名，则不同的报名方法有（ ）种． A. 120 B. 180 C. 240 D. 360 8. 已知F是双曲线C：（a＞0，b＞0）的右焦点，直线与C交于A，B两点若△ABF的周长为9a，则C的离心率为（ ） A 2 B. C. D. 二、填空题：（每题4分，共24分） 9. 过点且与平行的直线与圆交于两点，则的长为______． 10. 如图，用6种不同颜色对图中A，B，C，D四个区域染色，要求同一区域染同一色，相邻区域不能染同一色，允许同一颜色可以染不同区域，则不同的染色方案有________种． 11. 已知数列的前n项和为，则数列的前10项和为______． 12. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点P是其渐近线上的一点，若，，则该双曲线的渐近线方程为______． 13. 已知公差不为0等差数列的前n项和为，且，则数列的通项公式为______． 14. 已知数列的前n项和为，且，若对任意的，等式恒成立，则＝______． 三、解答题：（共计52分） 15. 已知等差数列的前n项和为，且． （1）求数列的通项公式以及； （2）记数列的前n项和为，若集合中恰好有3个元素，求的取值范围； （3）在任意相邻两项与之间插入个2，使它们和原数列的项构成一个新的数列，求． 16. 已知椭圆C：的离心率为，左右顶点分别为，上顶点为，且． （1）求椭圆C的方程； （2）若P为椭圆在第一象限上一点，的面积是的面积的倍，求P的坐标； （3）已知斜率为的直线在轴上的截距为，l与椭圆交于两点，是否存在实数使得恒成立？若存在，求出的取值范围，若不存在，说明理由． 17. 已知数列满足，且． （1）证明：数列与均等比数列； （2）证明：； （3）求数列前2n项和．（其中[x]表示不超过x的最大整数，如[1.2]＝1） 18. 天津一中学生校园生活丰富多彩，在一次社团活动中，学生们设计了一个“一中数字塔”（下面简称“数字塔”），塔的第一层有两个数字：和，将和的和插入和之间就得到了塔的第二层，将上一层每相邻两项之间插入此两项的和，得到塔的第三层，依次类推（“数字塔”如图所示）．从第一层起，每一层的数字个数记作数列，每一层的所有数字的和记作数列. （1）求、和、； （2）求数列的通项公式； （3）试探究与的递推关系，并求数列的通项公式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $