精品解析：广西贵港市2025-2026学年上学期初中学业水平考试第一次适应性检测九年级数学试卷

2026年初中学业水平考试第一次适应性检测 数学 （考试时间：120分钟 满分：120分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷、草稿纸上作答无效． 3．不能使用计算器． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题列出的四个备选项中，只有一项符合题目要求，错选、多选或未选均不得分．） 1. 若点在反比例函数的图象上，则的值是（ ） A. B. 3 C. D. 2. 已知是关于的一元二次方程的一个解，则的值是（ ） A B. 0 C. 1 D. 3. 设是方程的两个实数根，则的值为（ ） A. 1 B. 2025 C. D. 4. 如图，在一坡度斜面上，一木箱沿斜面向上推进了10米，那么木箱升高了（ ） A. 米 B. 8米 C. 米 D. 5米 5. 果园有果树200棵，从中抽取5棵，每棵果树的产量如下（单位：千克）：98，102，97，103，105，于是可以估计这200棵果树的总产量约为（ ）千克． A. 20200 B. 20000 C. 19800 D. 23000 6. 如图，的直径垂直于弦，垂足是，已知，则的长为（ ） A. B. 4 C. D. 3 7. 若二次函数的图像与轴交于点，则图像与轴的另一个交点为（ ） A. B. C. D. 8. 在中，，则的值为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，四边形内接于，它一个外角，分别连接，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，，则的长为（ ） A. B. 8 C. 10 D. 16 11. 把抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位，所得抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，、分别为矩形的边，的中点．若矩形与矩形相似，，则的长为（ ） A. B. C. D. 9 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．请将答案填在答题卡上． 13. 若，则的值为__________． 14. 如图，、分别是的边、上的点，且，、相交于点，若，则__________． 15. 如图，在中，，，．将绕点逆时针旋转，得到，若点的对应点恰好落在线段上，则点的运动路径长是___________cm（结果用含的式子表示）． 16. 如图，Rt△AOB的边OA在x轴上，反比例函数y＝（k＞0）的图象过斜边OB的中点C，延长BO与该反比例函数图象的另一交点为D，连结AD．若△ABD的面积为18，则k的值为____． 三、解答题（本大题共7小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算： （1）解方程：． （2）计算：． 18. 如图，在直角坐标系中，直线y1＝ax+b与双曲线y2＝（k≠0）分别相交于第二、四象限内的A（m，4），B（6，n）两点，与x轴相交于C点．已知OC＝3，tan∠ACO＝． （1）求y1，y2对应的函数表达式； （2）求△AOB的面积； （3）直接写出当x＜0时，不等式ax+b＞的解集． 19. 某校提倡数学学习与生活紧密结合，数学问题要源于生活，用于生活．为此学校开展了以“生活中的数学”为主题的知识竞赛．现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分成四组： A．，B．，C．，D．），下面给出了部分信息： 七年级10名学生的竞赛成绩是：99 80 99 86 99 96 90 100 89 82 八年级10名学生的竞赛成绩是： 94 90 94 （部分数据被污染） 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数/分 中位数/分 众数/分 方差 七年级 92 93 a 52 八年级 92 b 100 504 八年级抽取的学生竞赛成绩条形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出 ， ，并补全条形统计图． （2）该校七、八年级参加此次竞赛活动的人数分别为600人和700人，估计在本次竞赛活动中七、八年级成绩优秀（）的学生共有多少人． （3）分析上述信息，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握“生活中的数学”知识较好？请说明理由（一条即可）． 20. 如图，是的外接圆，AB是的直径，于点E，P是AB延长线上一点，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 21. 面向日益严峻的气候变化形势，以发展新能源汽车推动道路交通领域零碳转型已成为全球共识．我国政府不断加大对新能源汽车的支持和推动，新能源汽车的市场需求正在不断增加．下表是一款某品牌新能源热门车型7月份和9月份的全国销量情况： 月份 7月 9月 销量/万辆 （1）求该款车销量的月平均增长率． （2）青岛一个该品牌店购进一批该款车型进行销售，已知进价为每辆6万元．经试销发现：当该款汽车售价为万元时，平均每月销量为150辆；而当售价每降低万元时，平均每月就能多售出15辆．为了扩大销量，该店决定降价促销，若该店想要维持利润不变，该款车的售价应为每辆多少万元？ 22. 如图，在等腰直角三角形中，，点分别为的中点，动点同时从点出发，均以速度，分别沿线段和线段的方向匀速运动，当点运动到点停止运动时，点也随之停止运动，连接，以为边向下作正方形，设点运动的时间为，正方形和四边形重合部分图形的面积为． （1）直接写出的长（用含的代数式表示）． （2）当落在上时，求的值． （3）当时，求与之间函数关系，并写出的取值范围． 23. 综合与实践 从特殊到一般是研究数学问题的一般思路，综合实践小组以特殊四边形为背景就三角形的旋转放缩问题展开探究． 特例研究 在正方形中，相交于点O． （1）如图1，可以看成是绕点A逆时针旋转并放大k倍得到，此时旋转角的度数为________，k的值为________； （2）如图2，将绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并放大得到（点O，B对应点分别为点E，F），使得点E落在上，点F落在上，求的值 类比探究 （3）如图3，在菱形中，，O是的垂直平分线与的交点，将绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并放缩得到（点O，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在上，点F落在上．猜想的值是否与α有关，并说明理由； （4）若（3）中，其余条件不变，探究之间的数量关系（用含β的式子表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初中学业水平考试第一次适应性检测 数学 （考试时间：120分钟 满分：120分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷、草稿纸上作答无效． 3．不能使用计算器． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题列出的四个备选项中，只有一项符合题目要求，错选、多选或未选均不得分．） 1. 若点在反比例函数的图象上，则的值是（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是解题的关键． 利用“图象上的点的坐标满足函数解析式”这一性质，将点的坐标代入反比例函数解析式即可求出的值． 【详解】点在反比例函数的图象上， 将，代入中，得， 故选D． 2. 已知是关于的一元二次方程的一个解，则的值是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解的定义，关键是理解方程的解的含义，将已知的方程的解代入原方程，得到关于的一元一次方程，进而求解的值即可． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的一个解， ∴将代入方程中，得，解得； 故选：D． 3. 设是方程的两个实数根，则的值为（ ） A. 1 B. 2025 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，正确理解一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．直接利用一元二次方程根与系数的关系计算两根之和即可. 【详解】∵a、b是方程的两个实数根， ∴， 故选：C． 4. 如图，在一坡度的斜面上，一木箱沿斜面向上推进了10米，那么木箱升高了（ ） A. 米 B. 8米 C. 米 D. 5米 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解坡比的定义，勾股定理；设木箱升高了米，可求，由勾股定理得，即可求解；掌握“”是解题的关键． 【详解】解：设木箱升高了米， ， ， 解得：，（舍去）， 木箱升高了米， 故选：D． 5. 果园有果树200棵，从中抽取5棵，每棵果树的产量如下（单位：千克）：98，102，97，103，105，于是可以估计这200棵果树的总产量约为（ ）千克． A. 20200 B. 20000 C. 19800 D. 23000 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查用样本平均数估计总体，关键是先求出抽取的5棵果树的平均产量，再用平均产量乘以果树总棵数得到总产量的估计值． 【详解】解：5棵果树的产量分别为，，，，， 平均产量为(千克)； 则棵果树的总产量约为(千克)． 故选：A． 6. 如图，的直径垂直于弦，垂足是，已知，则的长为（ ） A. B. 4 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的判定和性质，掌握以上知识是关键，根据圆周角定理，得到，由垂径定理得到，由此得到是等腰直角三角形，结合等腰直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵所对圆周角为，所对圆心角为， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∴， 故选：B ． 7. 若二次函数的图像与轴交于点，则图像与轴的另一个交点为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出对称轴，由二次函数的对称性，即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数为， ∴对称轴为：， ∵抛物线与轴交于点， ∴与轴的另一个交点为， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的对称性进行解题． 8. 在中，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查直角三角形的勾股定理及锐角正弦函数的定义，关键是先利用勾股定理求出斜边长度，再根据正弦的定义计算的值． 【详解】解：∵在中，，，， ∴； ∴． 故选：C． 9. 如图，四边形内接于，它的一个外角，分别连接，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠ADC，根据等腰三角形的性质、圆周角定理计算即可． 【详解】解：∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴， ∵， ∴， ∴， 由圆周角定理得，， 故选：A． 【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、等腰三角形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角是解题的关键． 10. 如图，在中，，，，则的长为（ ） A. B. 8 C. 10 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解决本题的关键． 首先由，得相似三角形，即可求得，根据的长进而求得的长；由四边形是平行四边形，根据平行四边形对边相等，即可求得的长． 【详解】解：，， ∴， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 故选C． 11. 把抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位，所得抛物线解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据抛物线的平移规则：左加右减，上加下减，即可求解． 【详解】解：把抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位，所得抛物线的解析式是， 故选：C． 12. 如图，、分别为矩形的边，的中点．若矩形与矩形相似，，则的长为（ ） A. B. C. D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查矩形的相似，掌握相似图形的性质是解题的关键． ，根据中点，得根据矩形与矩形相似，得，代入求解即可． 【详解】解：设， 矩形和矩形，为矩形的边的中点，， ，， 矩形与矩形相似， ，即，解得， ， ． 故选：B． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．请将答案填在答题卡上． 13. 若，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简，关键是整体思想的应用；通过代数变换，将已知等式 转化为关于 的方程，然后求解． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ． 故答案为： ． 14. 如图，、分别是的边、上的点，且，、相交于点，若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，根据题意得到，再判定，即可求解． 【详解】解：设点到的高为， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为： ． 15. 如图，在中，，，．将绕点逆时针旋转，得到，若点的对应点恰好落在线段上，则点的运动路径长是___________cm（结果用含的式子表示）． 【答案】 【解析】 【分析】由于旋转到，故C运动路径长是的圆弧长度，根据弧长公式求解即可． 【详解】以A为圆心作圆弧，如图所示． 在直角中，，则， 则． ∴． 由旋转性质可知，，又， ∴是等边三角形． ∴． 由旋转性质知，． 故弧的长度为：； 故答案为： 【点睛】本题考查了含角直角三角形的性质、勾股定理、旋转的性质、弧长公式等知识点，解题的关键是明确C点的运动轨迹． 16. 如图，Rt△AOB的边OA在x轴上，反比例函数y＝（k＞0）的图象过斜边OB的中点C，延长BO与该反比例函数图象的另一交点为D，连结AD．若△ABD的面积为18，则k的值为____． 【答案】6 【解析】 【分析】连接AC，过C作，由反比例函数图象性质可得：，结合题意可得，那么，根据是直角三角形，C为OB的中点，那么斜边上的中线等于斜边的一半，可得：，因此，根据反比例函数k的几何意义，k是面积的2倍，即可得到k的值． 【详解】解：连接AC，过C作， 由反比例函数图象的对称性可得：， ∵C为OB的中点， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查了反比例函数中k的几何意义，反比例函数的对称性，直角三角形的性质以及等腰三角形的性质等知识，掌握反比例函数的性质以及灵活运用几何图形的性质是解题关键． 三、解答题（本大题共7小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算： （1）解方程：． （2）计算：． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，实数的混合运算，掌握因式分解法，实数的混合运算法则是关键． （1）运用因式分解法求解即可； （2）分别算出负指数幂，零次幂，特殊角的三角函数值，最后算加减即可． 【小问1详解】 解：， ， 或， 解得，或． 【小问2详解】 解： ． 18. 如图，在直角坐标系中，直线y1＝ax+b与双曲线y2＝（k≠0）分别相交于第二、四象限内A（m，4），B（6，n）两点，与x轴相交于C点．已知OC＝3，tan∠ACO＝． （1）求y1，y2对应的函数表达式； （2）求△AOB的面积； （3）直接写出当x＜0时，不等式ax+b＞的解集． 【答案】（1）y1＝﹣x+2，y2＝﹣；（2）9；（3）x＜﹣3 【解析】 【分析】（1）根据OC＝3，tan∠ACO＝，可求直线与y轴的交点坐标，进而求出点A、B的坐标，确定两个函数的关系式； （2）由S△AOB＝S△AOC+S△BOC，进行计算即可； （3）由函数的图象直接可以得出，当x＜0时，不等式ax+b＞的解集． 【详解】解：（1）设直线y1＝ax+b与y轴交于点D， 在Rt△OCD中，OC＝3，tan∠ACO＝． ∴OD＝2，即点D（0，2）， 把点D（0，2），C（0，3）代入直线y1＝ax+b得， b＝2，3a+b＝0，解得，a＝﹣， ∴直线的关系式为y1＝﹣x+2； 把A（m，4），B（6，n）代入y1＝﹣x+2得，m＝﹣3，n＝﹣2， ∴A（﹣3，4），B（6，﹣2）， ∴k＝﹣3×4＝﹣12， ∴反比例函数的关系式为y2＝﹣，因此y1＝﹣x+2，y2＝﹣； （2）由S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝×3×4+×3×2＝9． （3）由图象可知，当x＜0时，不等式ax+b＞的解集为x＜﹣3． 【点睛】本题考查一次函数、反比例函数的图象和性质，把点的坐标代入是常用的方法，线段与坐标的相互转化是解决问题的关键． 19. 某校提倡数学学习与生活紧密结合，数学问题要源于生活，用于生活．为此学校开展了以“生活中的数学”为主题的知识竞赛．现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分成四组： A．，B．，C．，D．），下面给出了部分信息： 七年级10名学生的竞赛成绩是：99 80 99 86 99 96 90 100 89 82 八年级10名学生的竞赛成绩是： 94 90 94 （部分数据被污染） 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数/分 中位数/分 众数/分 方差 七年级 92 93 a 52 八年级 92 b 100 50.4 八年级抽取的学生竞赛成绩条形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出 ， ，并补全条形统计图． （2）该校七、八年级参加此次竞赛活动的人数分别为600人和700人，估计在本次竞赛活动中七、八年级成绩优秀（）的学生共有多少人． （3）分析上述信息，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握“生活中的数学”知识较好？请说明理由（一条即可）． 【答案】（1），；补全统计图见解析 （2）850人 （3）八年级成绩较好，虽然七、八年级竞赛成绩的平均数相同，但是八年级的竞赛成绩的中位数、众数都比七年级的高，因此八年级的成绩较好．（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了中位数，众数，条形统计图，用样本估计总体，掌握计算方法是解题关键． （1）找出七年级成绩出现次数最多的数即为七年级成绩的众数，找出八年级成绩处在中间位置的两个数的平均数即为中位数，根据各个组的频数之和为10，可求出的八年级B组的人数，补全统计图即可； （2）根据样本中七、八年级成绩优秀率，估计总体的优秀率，进而计算七、八年级的优秀的人数即可． （3）从中位数、众数的角度得出八年级的成绩较好． 【小问1详解】 解：七年级10名学生的竞赛成绩中出现次数最多的是99，共出现3次， 故众数为99，即， 八年级B组的人数为， 八年级10名学生的竞赛成绩的中位数应该是从小大大排列后的第5个和第6个学生竞赛成绩的平均数，即处在C组：，由题意可知，C组共三个数据，分别是， ∴中位数是， 即， 补全统计图如下： 故答案为：，； 【小问2详解】 解：由题意可得，（人） 答：估计在本次竞赛活动中七、八年级成绩优秀() 的学生共有人； 【小问3详解】 解：八年级成绩较好，虽然七、八年级竞赛成绩的平均数相同，但是八年级的竞赛成绩的中位数、众数都比七年级的高，因此八年级的成绩较好． 20. 如图，是的外接圆，AB是的直径，于点E，P是AB延长线上一点，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求半径． 【答案】（1）见详解 （2）5 【解析】 【分析】（1）连接．根据圆周角定理和同角的余角相等可得．然后由切线的判定方法可得结论； （2）的半径为，，由垂径定理知再结合勾股定理进行列式，即可作答． 【小问1详解】 证明：连接． ∵， ∴． ∵于点E， ∴． ∴． ∴ ∵， ∴． ∴． ∵是半径， ∴是的切线． 【小问2详解】 解：设的半径为， 因为， 所以， 因为， 所以， 在中，， 即， ， 所以的半径为． 【点睛】本题考查了切线的判定与圆周角定理、垂径定理、勾股定理等知识内容，难度适中，正确掌握切线的判定内容以及垂径定理运用是解题的关键． 21. 面向日益严峻的气候变化形势，以发展新能源汽车推动道路交通领域零碳转型已成为全球共识．我国政府不断加大对新能源汽车的支持和推动，新能源汽车的市场需求正在不断增加．下表是一款某品牌新能源热门车型7月份和9月份的全国销量情况： 月份 7月 9月 销量/万辆 （1）求该款车销量的月平均增长率． （2）青岛一个该品牌店购进一批该款车型进行销售，已知进价为每辆6万元．经试销发现：当该款汽车售价为万元时，平均每月销量为150辆；而当售价每降低万元时，平均每月就能多售出15辆．为了扩大销量，该店决定降价促销，若该店想要维持利润不变，该款车的售价应为每辆多少万元？ 【答案】（1）该款车销量的月平均增长率为 （2）下调后每辆汽车的售价为7万元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该款车销量的月平均增长率为，可得出关于的一元二次方程，解之取其正值，即可得出结论； （2）设下调后每辆汽车的售价为万元，则每辆汽车的销售利润为万元，利用该店销售该款汽车平均每周的销售利润每辆的销售利润每周的销售量，可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【小问1详解】 解：设该款车销量的月平均增长率为， 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）． 答：该款车销量的月平均增长率为； 【小问2详解】 解：设下调后每辆车的售价为万元，则每辆汽车的销售利润为万元， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， 又∵为了扩大销量， ， 答：下调后每辆汽车的售价为7万元． 22. 如图，在等腰直角三角形中，，点分别为的中点，动点同时从点出发，均以速度，分别沿线段和线段的方向匀速运动，当点运动到点停止运动时，点也随之停止运动，连接，以为边向下作正方形，设点运动的时间为，正方形和四边形重合部分图形的面积为． （1）直接写出的长（用含的代数式表示）． （2）当落在上时，求的值． （3）当时，求与之间函数关系，并写出的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意表示出，由勾股定理求解； （2）当落在上时，求出，，根据勾股定理求出，最后利用列出方程求解． （3）根据题意分三种情况：当时，当时，当时，利用等腰直角三角形的性质求解． 【小问1详解】 解：根据题意得， 在等腰直角三角形中中 ． 【小问2详解】 解：当落在上时， 四边形是正方形，点分别为的中点，动点同时从点出发，均以速度，分别沿线段和线段的方向匀速运动，当点运动到点停止运动时，点也随之停止运动， 和、是等腰直角三角形. ， ． 为中点，， ， ， ， ． 【小问3详解】 解：由（2）可知，当时，恰好落在上， 因此当时，正方形与四边形没有重合部分， 当时，重合部分的图形才拥有面积，且此面积在逐渐变化， 由于为等腰直角三角形，，且为中位线 因此的高为，到的距离为 设与的交点为M，与的交点为N， 重合部分的形状经历了以下几个阶段的变化： 第一阶段，重合部分为四边形，是一个矩形 ∴， 又为等腰直角三角形， 则，， 重合部分的面积， 第一阶段直到落在上时结束，此时为等腰直角三角形 ，， ∴， 解得 第二阶段，从落在上开始，设与的交点为S，与的交点为T，重合部分为矩形， ∴ ∴重合部分的面积为， 第二阶段，直到落在上时结束，此时，，即， 解得； 第三阶段，从落在上开始，此时重合部分为矩形，此时为等腰直角三角形，， ∵， ∴， ∴重合部分的面积为， 第三阶段，直到运动结束为止，此时， 综上所述，y与x之间的函数关系如下： 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，动点问题，求二次函数关系式，正方形的性质，勾股定理，理解题意，作出图形是解答关键． 23. 综合与实践 从特殊到一般是研究数学问题的一般思路，综合实践小组以特殊四边形为背景就三角形的旋转放缩问题展开探究． 特例研究 在正方形中，相交于点O． （1）如图1，可以看成是绕点A逆时针旋转并放大k倍得到，此时旋转角的度数为________，k的值为________； （2）如图2，将绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并放大得到（点O，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在上，点F落在上，求的值 类比探究 （3）如图3，在菱形中，，O是的垂直平分线与的交点，将绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并放缩得到（点O，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在上，点F落在上．猜想的值是否与α有关，并说明理由； （4）若（3）中，其余条件不变，探究之间的数量关系（用含β的式子表示）． 【答案】（1）；；（2）；（3）的值与α无关，理由见解析；（4）． 【解析】 【分析】（1）利用正方形的性质结合旋转的性质求解即可； （2）由题意得，推出，，再得到，推出，根据正方形的性质求解即可； （3）同理可证，得到，根据线段垂直平分线的性质求得，再根据余弦函数的定义求解即可； （4）同理可证，，，根据，求解即可． 【详解】解：（1）∵正方形， ∴，， ∴旋转角为，， 故答案为：；； （2）如图， 根据题意得， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）的值与α无关，理由如下， 如图， 同理可证， ∴， ∵菱形中，， ∴， ∵O是的垂直平分线与的交点， ∴， ∴， 过点作于点， ∴，， ∴， ∴， ∴的值与α无关； （3）同理可证，，， ∴，， ∵， ∴ ， 即． 【点睛】本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，线段垂直平分线的性质，正方形和菱形的性质．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $