精品解析：山西大同市铁路第一中学校2025-2026学年高一上学期期末考试数学试卷

大同铁一中2025-2026学年高一上学期期末考试卷 数学 （考试时间：120分钟 分值：150分） 第一部分（选择题共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中有一个选项是符合题目要求的， 1. 已知集合，，则的子集个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 函数的零点所在的一个区间是（ ） A. B. C. D. 4. 已知扇形的弧长为，圆心角为，则扇形的面积为（    ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 若函数的图象过点，则函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 7. 若，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 如图，函数（，，）的部分图象，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 将图象向右平移后得到函数的图象 C. 在区间上单调递增 D. 直线是图象的一条对称轴 10. 已知，则下列等式正确的是（  ） A. B. C. D. 11. 已知函数，关于的方程有个不同的实数根，则下列选项正确的是（ ） A. 函数零点个数为 B. 实数的取值范围为 C. 函数无最值 D. 函数在区间上递增 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若函数的图象经过定点，则函数的单调增区间为__________. 13. 函数的图象关于轴对称，则的值是________． 14. 已知，为锐角，且，，则 _____． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚． 15. 已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，为角终边上一点. （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值. 16. 已知二次函数． （1）若不等式的解集为，求的值； （2）若，且，求的最小值． 17. 已知函数， 函数图像上所有点的纵坐标保持不变，横坐标扩大为原来的2倍，再向左平移个长度单位，得到函数的图象. （1）求函数 的最小正周期和单调递减区间； （2）当时， 求函数的值域. 18. 近年来，某市认真践行“绿水青山就是金山银山”生态文明理念，围绕良好的生态禀赋和市场需求，深挖冷水鱼产业发展优势潜力，现已摸索出以虹鳟、鲟鱼等养殖为主方向.为扩大养殖规模，某鲟鱼养殖场计划在如图所示的扇形区域OMN内修建矩形水池ABCD，矩形一边AB在OM上，点在圆弧MN上，点在边ON上，且，米，设. （1）求扇形OMN的面积； （2）若，求矩形ABCD的面积； （3）若矩形ABCD的面积为，当为何值时，取得最大值，并求出这个最大值. 19. 已知函数． （1）判断函数的奇偶性； （2）判断函数的单调性；并求出在的值域. （3）若对，都有对恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大同铁一中2025-2026学年高一上学期期末考试卷 数学 （考试时间：120分钟 分值：150分） 第一部分（选择题共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中有一个选项是符合题目要求的， 1. 已知集合，，则的子集个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】求出的集合，然后找出子集个数即可. 【详解】由题可知，所有，所有其子集分别是，所有共有4个子集 故选：C 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】解不等式，根据集合的包含关系和充分性、必要性的概念求解即可. 【详解】由可得，解得， 由解得或， 因为集合是集合的真子集， 即由可推出或，由或，推不出， 所以“”是“”的充分而不必要条件， 故选：A 3. 函数的零点所在的一个区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】确定函数的单调性，再利用零点存在性定理判断即得. 【详解】函数的定义域为， 函数在上都单调递增，则函数在上单调递增， 而，所以函数零点所在的一个区间是. 故选：C 4. 已知扇形的弧长为，圆心角为，则扇形的面积为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用扇形的面积公式进行求解即可. 【详解】设扇形的弧长为，半径为，圆心角为，则， 所以扇形的面积为. 故选：A. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用诱导公式化简求值. 【详解】， 故选：A. 6. 若函数的图象过点，则函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，求出，再利用奇偶性及在的单调性判断即得. 【详解】由函数的图象过点，得，解得， 函数，即的定义域为， ，即函数是偶函数， 当时，在上单调递减，ABD错误，C正确. 故选：C 7. 若，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用对数函数和指数函数的单调性，再结合特殊值即可比较大小. 【详解】根据对数函数的单调性可知：， ，， 根据指数函数的单调性可知：， 所以有， 故选：D. 8. 已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据余弦函数图像性质可得单调区间长度小于等于半周期，即可得，再利用整体代换法即可求得， 取即可得出结果. 【详解】函数的最小正周期， 所以，即． 当时，， 依题意知，， 解得，又 ∴当时成立，． 故选：A． 二、多选选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 如图，函数（，，）的部分图象，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 将图象向右平移后得到函数的图象 C. 在区间上单调递增 D. 直线是图象的一条对称轴 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定的函数图象，求出函数的解析式，再逐项分析判断. 【详解】观察函数图象知，，函数的最小正周期，解得， 由，得，而，则，， 对于A，的最小正周期为，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，当时，，而正弦函数在上单调递增， 因此在区间上单调递增，C正确； 对于D，，直线是图象的一条对称轴，D正确. 故选：ACD 10. 已知，则下列等式正确的是（  ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】由已知得的值，由此即可判断AB；求出的值即可判断C；再结合已知求出和的值，求出的值，由此即可判断D 【详解】由已知可得，则， 因为，， 所以，，故AB正确； 所以 则①，故C正确； 又②，联立①②解得，则，故D错误. 故选：ABC. 11. 已知函数，关于的方程有个不同的实数根，则下列选项正确的是（ ） A. 函数零点个数为 B. 实数的取值范围为 C. 函数无最值 D. 函数在区间上递增 【答案】BC 【解析】 【分析】解方程，可判断A选项；数形结合可判断CD选项；令，则，令，分析可知在上有两个不等的零点，利用二次函数的零点分布可得出关于实数的不等式组，解出的取值范围，可判断B选项. 【详解】对于A选项，当时，由可得，符合题意， 当时，由，可得或，解得或，符合题意， 综上所述，函数的零点个数为，A错； 对于CD选项，作出函数的图象如下图所示： 由图可知，函数既无最大值，也无最小值，C对； 函数在上递减，在上递增，故函数在上不单调，D错； 对于B选项，令，则，令， 因为关于的方程有个不同的实数根， 所以函数必有两个不等的零点，设这两个零点分别为、，且， 则关于的方程、各有个不同的实数根， 所以，即函数在上有两个不等的零点， 所以，解得，即实数的取值范围是，B对. 故选：BC. 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若函数的图象经过定点，则函数的单调增区间为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用指数函数过定点可得，再根据对数函数以及二次函数性质，利用复合函数“同增异减”的性质即可求得结果. 【详解】由指数函数图象性质可知，令，可得, 因此函数的图象经过定点； 即；所以， 显然，解得或； 即函数的定义域为； 利用二次函数单调性可得函数在上单调递减，在上单调递增； 又在定义域内单调递减， 利用复合函数单调性可得的单调增区间为. 故答案为： 13. 函数的图象关于轴对称，则的值是________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据正弦函数的图象和性质，利用整体代入法求解即可. 【详解】因为函数的图象关于轴对称， 所以，解得， 又因为，所以， 故答案为： 14. 已知，为锐角，且，，则 _____． 【答案】 【解析】 【分析】先根据题目范围可得到的范围以及的值，再根据的范围求出，即可得出的值． 【详解】因为，且，， 所以，，． 故， 由于， 所以． 故答案为：. 【点睛】本题主要考查给值求角问题的解法，解题关键是根据角度的范围计算恰当的三角函数值，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚． 15. 已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，为角终边上一点. （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值. 【答案】（1）3 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先根据三角函数的定义求出的值. （2）利用诱导公式化简表达式，方法一：利用的值求得结果；方法二：先根据三角函数的定义求出的值，进而利用诱导公式化简表达式求得结果. （3）将（2）中求出的的值代入表达式即可. 【小问1详解】 因为为角终边上一点， 由任意角三角函数的定义得，. 【小问2详解】 方法一：由（1）知. 由题意知角的终边在第一象限，所以， 所以. 方法二：由任意角三角函数的定义得， . 所以. 【小问3详解】 由（2）知，. 所以 . 16. 已知二次函数． （1）若不等式的解集为，求的值； （2）若，且，求的最小值． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由不等式的解集为，可得且和是方程的两个实数根，再根据根与系数的关系即可求解； （2）由，可得，再结合基本不等式即可求解. 【小问1详解】 因为不等式的解集为， 所以，且的两根为和， 则根据韦达定理，可得，解得； 【小问2详解】 由，可得，化简得. 又，所以， 当且仅当时，即时等号成立. 17. 已知函数， 函数图像上所有点的纵坐标保持不变，横坐标扩大为原来的2倍，再向左平移个长度单位，得到函数的图象. （1）求函数 的最小正周期和单调递减区间； （2）当时， 求函数的值域. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】(1)根据三角恒等变换化简得，再根据题意得，再整体换元求单调区间即可； (2)由题知，再求值域即可. 【小问1详解】 ，所以的最小正周期为：，由 ，解得 所以得单调递减区间为：. 【小问2详解】 函数图像上所有点的纵坐标保持不变，横坐标扩大为原来的2倍，得到，再向左平移个长度单位，得. 当 ，，，故. 故函数在的值域为. 18. 近年来，某市认真践行“绿水青山就是金山银山”生态文明理念，围绕良好的生态禀赋和市场需求，深挖冷水鱼产业发展优势潜力，现已摸索出以虹鳟、鲟鱼等养殖为主方向.为扩大养殖规模，某鲟鱼养殖场计划在如图所示的扇形区域OMN内修建矩形水池ABCD，矩形一边AB在OM上，点在圆弧MN上，点在边ON上，且，米，设. （1）求扇形OMN的面积； （2）若，求矩形ABCD的面积； （3）若矩形ABCD的面积为，当为何值时，取得最大值，并求出这个最大值. 【答案】（1）平方米. （2）平方米. （3），最大值为. 【解析】 【分析】（1）由扇形面积公式可得； （2）根据，求得和的长度，即可求得矩形的面积； （3）利用直角三角形利用半径与分别表示出，进而可得矩形面积表达式，利用辅助角公式将化简变形，结合角的范围求最大值可得. 【小问1详解】 由题意，，扇形半径即米， 则扇形OMN的面积为平方米. 【小问2详解】 因为，在中，，， 在中，，则， 所以. 则矩形ABCD的面积. 所以当时，矩形ABCD的面积平方米. 【小问3详解】 在中，，， 在中，，则， 所以. 则矩形ABCD的面积 ， 所以，其中. 由于， 则当时，即时，. 所以当时，取得最大值，最大值为. 19. 已知函数． （1）判断函数的奇偶性； （2）判断函数的单调性；并求出在的值域. （3）若对，都有对恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）函数是奇函数； （2）单调递增，值域为； （3）或. 【解析】 【分析】（1）求出定义域，然后根据奇函数定义判断即可； （2）利用复合函数单调性判断的单调性，然后利用单调性求值域； （3）转化为对恒成立，整理后更换主元，令，转化为在上恒成立，结合一次函数性质列不等式组求解可得. 【小问1详解】 函数中，，解得， 函数的定义域为， 又， 所以函数是奇函数. 【小问2详解】 函数， 因为函数在上单调递减，函数在上单调递减， 所以函数在上单调递增. 因为在上单调递增，， 因此，在上的值域为. 【小问3详解】 由题意，对恒成立. 由（2）知，故： ，即对恒成立. 令（关于的一次函数），需在上恒成立， 则，即， 解得或 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $