第4章 数列（知识清单）高二数学沪教版2020选择性必修第一册

第4章 数列 知识点01.等差数列、等比数列(其中n∈N*) 等差数列 等比数列 通项公式 an＝ an＝ 前n项和公式 Sn＝＝na1＋d ①q≠1，Sn＝＝； ②q＝1，Sn＝ 知识点02.等差、等比数列{an}的常用性质 等差数列 等比数列 性质 ①若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，则 ②an＝am＋ d； ③Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍成等差数列 ①若m，n，s，t∈N*，且m＋n＝s＋t，则 ②an＝am· ； ③Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍成等比数列(Sm≠0) 知识点03.判断等差数列的常用方法 ①定义法 an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)⇔{an}是等差数列； ②通项公式法 an＝pn＋q(p，q为常数，n∈N*)⇔{an}是等差数列； ③中项公式法 2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}是等差数列； ④前n项和公式法 Sn＝An2＋Bn(A，B为常数，n∈N*)⇔{an}是等差数列． 知识点04.判断等比数列的常用方法 ①定义法 ＝q(q是不为0的常数，n∈N*)⇔{an}是等比数列； ②通项公式法 an＝cqn(c，q均是不为0的常数，n∈N*)⇔{an}是等比数列； ③中项公式法 a＝an·an＋2(an≠0，n∈N*)⇔{an}是等比数列． 知识点05.数列的通项公式的求法 1.累加法 形如 (n=2、3、4…...) 且可求，则用累加法求.有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解. 2.累乘法 形如 (n=2、3、4……)，且可求，则用累乘法求。有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解. 3.构造等比数列法 原数列{}既不等差，也不等比。若把{}中每一项添上一个数或一个式子构成新数列，使之等比，从而求出。该法适用于递推式形如=或=或= 其中b、c为不相等的常数，为一次式。 4.构造等差数列法 数列{}既不等差，也不等比，递推关系式形如，那么把两边同除以后，想法构造一个等差数列，从而间接求出. 5.取倒数法 有些关于通项的递推关系式变形后含有项，直接求相邻两项的关系很困难，但两边同除以后，相邻两项的倒数的关系容易求得，从而间接求出. 6.利用公式求通项 有些数列给出{}的前n项和与的关系式=，利用该式写出，两式做差，再利用导出与的递推式，从而求出. 7.重新构造新方程组求通项法 有时数列{}和{}的通项以方程组的形式给出，要想求出与必须得重新构造关于和的方程组，然后解新方程组求得和. 知识点06 数列求和的方法 1.公式法：直接用等差、等比数列的求和公式求解. 2.分组求和法：根据数列或数列通项公式的特征，将其分解为一些可以直接求和的数列（如等差数列、等比数列、常数列等），再分组求和. 3.错位相减法：在数列中，是等差数列，是等比数列，可用错位相减法求此数列的前n项和. 4.裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，相加过程中消去中间项，只剩有限项再求和，分式型数列的求和多用此法. 常见的裂项方法： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）若为等差数列，公差为，则. 5.倒序相加法 已知数列的特征是“与首末两端等距离的两项之和等于首末两项之和”.先把求和的式子倒过来写，然后对两个求和的式子进行相加，即可求出该数列的前n项和. 6.并项求和法 一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称为并项求和.形如，可采用并项求和法. 知识点07 数列的基本概念 1、数列：按照一定次序排列的一列数． 2、数列的项：数列中的每一个数． 3、数列分类：有穷数列：项数有限的数列． 无穷数列：项数无限的数列． 递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列． 递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列． 常数列：各项相等的数列． 摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列． 4、数列的通项公式：表示数列的第项与序号之间的关系的公式． 5、数列的递推公式：表示任一项与它的前一项（或前几项）间的关系的公式． 知识点08 数学归纳法 1．数学归纳法 一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时，可以用以下两个步骤： （1）证明当n＝n0时命题成立； （2）假设当n＝k（k∈N+，且k≥n0）时命题成立，证明n＝k+1时命题也成立． 在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立．这种证明方法称为数学归纳法． 2．用数学归纳法证明时，要分两个步骤，两者缺一不可． （1）证明了第一步，就获得了递推的基础，但仅靠这一步还不能说明结论的正确性． 在这一步中，只需验证命题结论成立的最小的正整数就可以了，没有必要验证命题对几个正整数成立． （2）证明了第二步，就获得了推理的依据．仅有第二步而没有第一步，则失去了递推的基础；而只有第一步而没有第二步，就可能得出不正确的结论，因为单靠第一步，我们无法递推下去，所以我们无法判断命题对n0+1，n0+2，…，是否正确． 在第二步中，n＝k命题成立，可以作为条件加以运用，而n＝k+1时的情况则有待利用命题的已知条件，公理，定理，定义加以证明． 完成一，二步后，最后对命题做一个总的结论． 3．用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项： ①明确初始值n0并验证真假．（必不可少） ②“假设n＝k时命题正确”并写出命题形式． ③分析“n＝k+1时”命题是什么，并找出与“n＝k”时命题形式的差别．弄清左端应增加的项． ④明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等，并用上假设． 易错提醒 1．已知数列的前n项和求an，易忽视n＝1的情形，直接用Sn－Sn－1表示．作答时，应验证a1是否满足an＝Sn－Sn－1，若是，则an＝Sn－Sn－1；否则，an＝ 2．易混淆几何平均数与等比中项，正数a，b的等比中项是±. 3．易忽视等比数列中公比q≠0导致增解，易忽视等比数列的奇数项或偶数项符号相同造成增解． 4．运用等比数列的前n项和公式时，易忘记分类讨论．一定分q＝1和q≠1两种情况进行讨论． 5．利用错位相减法求和时，要注意寻找规律，不要漏掉第一项和最后一项． 易错点01：已知 Sn求 an，忽略 n=1 检验 1．（24-25高二上·上海·课后作业）数列的各项均为正数，已知前n项和且，求的通项公式． 2．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知数列满足，，．求数列的通项公式． 3．（25-26高二上·上海·期末）已知数列的前项和为，数列满足，（）． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的通项公式，并求的值． 4．（24-25高二下·上海徐汇·期末）已知数列的前项和（为正整数），其中为非零实数． (1)求数列的通项公式； (2)若数列的前三项依次成等比数列，求实数的值． 5．（24-25高二下·上海浦东新·期末）设数列的前n项和． (1)求的通项公式； (2)求数列的最小的项． 6．（24-25高二下·上海奉贤·月考）已知数列 满足 (1)求数列的通项公式 (2)若数列 满足 ，求数列的前 项和 7．（24-25高二上·上海·期中）当均为正数时，称为的“均倒数”．若数列的各项均为正数，且其前项的“均倒数”为． (1)试求数列的通项公式； (2)设，试判断并说明的符号（为正整数）； (3)设，是否存在实数，使得当时，对于一切正整数，都有恒成立，并说明理由． 易错点02：错位相减时，最后剩几项、指数是多少搞混 8．（24-25高二上·上海·单元测试）已知数列，，点在曲线上，且． (1)求证：数列是等差数列； (2)已知数列满足，记为数列的前n项和，求． 9．（22-23高二下·上海青浦·期中）（1）已知等比数列首项为，公比为q（），前n项和为，请推导等比数列的求和公式：； （2）已知等差数列前n项和为，满足，，求. 10．（22-23高三下·上海·月考）已知数列为等差数列，首项为1，的前项和记为，若对一切均满足．数列． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 11．（24-25高三上·上海宝山·月考）记数列的前项和为，已知，数列是首项为2，公差为1的等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 12．（24-25高二上·上海·开学考试）已知数列为等差数列，数列为等比数列，且，. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和； (3)记，是否存在正整数，使得？若存在，求出所有符合条件的正整数；若不存在，请说明理由. 13．（24-25高二下·上海奉贤·月考）已知数列的前项和为，且. (1)证明: 为等比数列 (2)求数列的通项公式 (3)求数列的前 项和 14．（24-25高二上·上海·月考）已知为等差数列，为等比数列，，，. (1)求和的通项公式； (2)令，求数列的前项和； (3)记，是否存在实数，使得对任意的正整数，恒有？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由. 易错点03：裂项相消：剩几项搞错 15．（25-26高二上·上海·期末）已知数列满足：，． (1)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和． 16．（24-25高二下·上海·月考）已知数列的前n项和满足，n为正整数． (1)求数列的通项公式； (2)求数列前200项和． 17．（25-26高三上·上海·期中）已知数列满足. (1)求证：是等差数列，并求的通项公式； (2)记，证明：. 18．（25-26高二上·上海·期中）已知数列的前项和满足条件，其中是正整数． (1)求证：数列成等比数列； (2)设数列满足．若，求数列的前项和． 19．（25-26高二上·上海·期末）设数列的前项积为，满足. (1)设，求证：数列是等比数列； (2)设数列满足，求数列的前项和. 20．（25-26高二上·上海奉贤·期末）已知数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)记，若，求正整数的最小值； (3)记，其中且.若是严格增数列，求的取值范围. 21．（25-26高二上·上海·月考）设数列的前项积为，满足. (1)设，求证：数列是等比数列； (2)设数列满足，求数列的前项和； (3)设数列的前项和为，求证：. 易错点04：数列最值问题忽略 n∈N∗ 22．（25-26高二上·上海·期末）已知是严格增数列，且满足：对任意正整数，数列中不大于的项的个数恰为.若存在正整数，使得，则的最小值是（   ）. A．13 B．14 C．15 D．16 23．（25-26高二上·上海嘉定·期末）设是一个无穷数列的前项和，若一个数列满足对任意的正整数，不等式恒成立，则称数列为和谐数列．给出下列命题： （1）若对任意的正整数均有，则数列为和谐数列； （2）若等差数列为和谐数列，则一定存在最大值； 以下说法正确的是（   ） A．（1）错（2）对 B．（1）对（2）错 C．（1）（2）都对 D．（1）（2）都错 24．（25-26高三上·上海杨浦·期末）已知正数，，成等差数列，则的最小值为 . 25．（25-26高二上·上海松江·期末）在数列中，，则的最小值为 . 26．（2025·上海徐汇·一模）已知数列满足：，对任意的正整数均有，若存在正整数，使得所有数列均满足，则的最大值为 ． 27．（25-26高一上·上海·期末）已知数列是等差数列，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求的表达式及的最小值. 28．（25-26高二上·上海浦东新·月考）等差数列的前项和记为，已知，且成等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)当取最小值时，求序号的值，并求出的最小值； (3)求数列的前项的和． 一、单选题 1．（25-26高二上·上海·期末）已知，数列满足，则“数列为严格增数列”是“”的（    ）条件． A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 2．（2025·上海嘉定·一模）数列的前项和为，且对任意正整数，总存在正整数，使得，则下列命题中正确的是（    ） A．对任意正整数，总存在正整数，使得 B．数列一定是等差数列 C．存在公比为正整数的等比数列满足条件 D．对任意正整数，总存在正整数、，使得 3．（2025·上海长宁·一模）将正整数按一定次序排列得到排列，若排列中的任意一项都满足：，则满足题意的排列的个数为（　　） A．36 B．55 C．89 D．144 4．（2025·上海虹口·一模）若每一项均为正数的数列的前项和为，若对于任意的正整数，均存在正整数使得，则称具有“性质”．对于以下两个命题，说法正确的是（ ） ①存在等比数列，使得具有“性质”； ②若具有“性质”，记且为等差数列，则． A．①和②都为真命题 B．①和②都为假命题 C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题 二、填空题 5．（25-26高二上·上海金山·期末）若数列的前项和是（为正整数），则数列的通项公式是 ． 6．（25-26高二上·上海·期末）已知数列满足，则 . 7．（25-26高三上·上海徐汇·月考）已知函数，则有：，，，，则数列前2026项的和为 . 8．（25-26高二上·上海普陀·月考）已知为无穷等比数列，，数列 满足，则 ． 9．（25-26高二上·上海嘉定·期末）等差数列的公差不为0，前项和为，若成等比数列，则 ． 10．（25-26高三上·上海·期中）等差数列 的通项公式 ，前项和为，则数列的最小值为 . 11．（25-26高三上·上海·期中）已知数列满足，n是正整数，，若是公比为q等比数列，且，，n是正整数，则q的取值范围是 . 12．（25-26高三上·上海浦东新·期末）已知，若等差数列为无穷数列，且均满足递推关系，则该数列首项的取值范围为 . 13．（2025·安徽·二模）已知等差数列的公差为，若集合，则 ． 14．（2025·上海杨浦·一模）数列：满足：，且，记集合.若数列满足：对任意，均有，则称数列是“好的”.“好的”数列的个数为 . 15．（25-26高二上·上海浦东新·期末）已知数列，，，，并且前n项的和满足： ①存在小于1013的正整数，使得； ②对任意的正整数k和m，都有. 则满足以上条件的数列共有 个. 三、解答题 16．（25-26高三上·上海松江·期末）已知函数（、，）的周期为，在时取到最大值，记． (1)求函数的表达式； (2)若数列为等差数列，，，记，求数列的前项和． 17．（25-26高二上·上海·期末）设数列是首项为，公差为的等差数列. (1)若，求数列的前项和； (2)记，证明数列是等比数列；并求出当时，数列的前项和. 18．（25-26高三上·上海宝山·期中）设函数的定义域为，区间，等差数列的首项，公差.数列满足. (1)设，，，求； (2)设，数列的公差，求证：数列是严格增数列； (3)设，是否存在和，使得数列是等比数列？若存在，求出的最小值；若不存在，说明理由. 19．（25-26高三上·上海嘉定·期中）已知. (1)写出函数的单调增区间； (2)求关于的方程的解集； (3)设数列的通项公式为，其前项和为，计算. 20．（2025·上海徐汇·一模）已知函数的定义域为，若其导函数在上是严格减函数，则称是一个“函数”． (1)设，，分别判断、是否为“函数”，并说明理由； (2)已知数列是公差为的等差数列，且的各项都为正数，若定义在上的函数是“函数”，求证：． (3)已知“函数”的定义域为，不等式的解集为．证明：函数在上是严格减函数． 21．（25-26高二上·上海·期中）正五棱锥中，，侧棱长为2，点是线段的中点.定义集合如下：点是棱上异于P的一点，满足，，且（）. (1)若，求五棱锥的表面积（提示：）； (2)若是一个恰有四个元素的有限集，求的取值范围； (3)若是一个无限集，求的取值范围，及各线段，，，…的长度之和. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4章 数列 知识点01.等差数列、等比数列(其中n∈N*) 等差数列 等比数列 通项公式 an＝a1＋(n－1)d an＝a1qn－1(q≠0) 前n项和公式 Sn＝＝na1＋d ①q≠1，Sn＝＝； ②q＝1，Sn＝na1 知识点02.等差、等比数列{an}的常用性质 等差数列 等比数列 性质 ①若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq； ②an＝am＋(n－m)d； ③Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍成等差数列 ①若m，n，s，t∈N*，且m＋n＝s＋t，则am·an＝as·at； ②an＝am·qn－m； ③Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍成等比数列(Sm≠0) 知识点03.判断等差数列的常用方法 ①定义法 an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)⇔{an}是等差数列； ②通项公式法 an＝pn＋q(p，q为常数，n∈N*)⇔{an}是等差数列； ③中项公式法 2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}是等差数列； ④前n项和公式法 Sn＝An2＋Bn(A，B为常数，n∈N*)⇔{an}是等差数列． 知识点04.判断等比数列的常用方法 ①定义法 ＝q(q是不为0的常数，n∈N*)⇔{an}是等比数列； ②通项公式法 an＝cqn(c，q均是不为0的常数，n∈N*)⇔{an}是等比数列； ③中项公式法 a＝an·an＋2(an≠0，n∈N*)⇔{an}是等比数列． 知识点05.数列的通项公式的求法 1.累加法 形如 (n=2、3、4…...) 且可求，则用累加法求.有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解. 2.累乘法 形如 (n=2、3、4……)，且可求，则用累乘法求。有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解. 3.构造等比数列法 原数列{}既不等差，也不等比。若把{}中每一项添上一个数或一个式子构成新数列，使之等比，从而求出。该法适用于递推式形如=或=或= 其中b、c为不相等的常数，为一次式。 4.构造等差数列法 数列{}既不等差，也不等比，递推关系式形如，那么把两边同除以后，想法构造一个等差数列，从而间接求出. 5.取倒数法 有些关于通项的递推关系式变形后含有项，直接求相邻两项的关系很困难，但两边同除以后，相邻两项的倒数的关系容易求得，从而间接求出. 6.利用公式求通项 有些数列给出{}的前n项和与的关系式=，利用该式写出，两式做差，再利用导出与的递推式，从而求出. 7.重新构造新方程组求通项法 有时数列{}和{}的通项以方程组的形式给出，要想求出与必须得重新构造关于和的方程组，然后解新方程组求得和. 知识点06 数列求和的方法 1.公式法：直接用等差、等比数列的求和公式求解. 2.分组求和法：根据数列或数列通项公式的特征，将其分解为一些可以直接求和的数列（如等差数列、等比数列、常数列等），再分组求和. 3.错位相减法：在数列中，是等差数列，是等比数列，可用错位相减法求此数列的前n项和. 4.裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，相加过程中消去中间项，只剩有限项再求和，分式型数列的求和多用此法. 常见的裂项方法： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）若为等差数列，公差为，则. 5.倒序相加法 已知数列的特征是“与首末两端等距离的两项之和等于首末两项之和”.先把求和的式子倒过来写，然后对两个求和的式子进行相加，即可求出该数列的前n项和. 6.并项求和法 一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称为并项求和.形如，可采用并项求和法. 知识点07 数列的基本概念 1、数列：按照一定次序排列的一列数． 2、数列的项：数列中的每一个数． 3、数列分类：有穷数列：项数有限的数列． 无穷数列：项数无限的数列． 递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列． 递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列． 常数列：各项相等的数列． 摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列． 4、数列的通项公式：表示数列的第项与序号之间的关系的公式． 5、数列的递推公式：表示任一项与它的前一项（或前几项）间的关系的公式． 知识点08 数学归纳法 1．数学归纳法 一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时，可以用以下两个步骤： （1）证明当n＝n0时命题成立； （2）假设当n＝k（k∈N+，且k≥n0）时命题成立，证明n＝k+1时命题也成立． 在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立．这种证明方法称为数学归纳法． 2．用数学归纳法证明时，要分两个步骤，两者缺一不可． （1）证明了第一步，就获得了递推的基础，但仅靠这一步还不能说明结论的正确性． 在这一步中，只需验证命题结论成立的最小的正整数就可以了，没有必要验证命题对几个正整数成立． （2）证明了第二步，就获得了推理的依据．仅有第二步而没有第一步，则失去了递推的基础；而只有第一步而没有第二步，就可能得出不正确的结论，因为单靠第一步，我们无法递推下去，所以我们无法判断命题对n0+1，n0+2，…，是否正确． 在第二步中，n＝k命题成立，可以作为条件加以运用，而n＝k+1时的情况则有待利用命题的已知条件，公理，定理，定义加以证明． 完成一，二步后，最后对命题做一个总的结论． 3．用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项： ①明确初始值n0并验证真假．（必不可少） ②“假设n＝k时命题正确”并写出命题形式． ③分析“n＝k+1时”命题是什么，并找出与“n＝k”时命题形式的差别．弄清左端应增加的项． ④明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等，并用上假设． 易错提醒 1．已知数列的前n项和求an，易忽视n＝1的情形，直接用Sn－Sn－1表示．作答时，应验证a1是否满足an＝Sn－Sn－1，若是，则an＝Sn－Sn－1；否则，an＝ 2．易混淆几何平均数与等比中项，正数a，b的等比中项是±. 3．易忽视等比数列中公比q≠0导致增解，易忽视等比数列的奇数项或偶数项符号相同造成增解． 4．运用等比数列的前n项和公式时，易忘记分类讨论．一定分q＝1和q≠1两种情况进行讨论． 5．利用错位相减法求和时，要注意寻找规律，不要漏掉第一项和最后一项． 易错点01：已知 Sn求 an，忽略 n=1 检验 1．（24-25高二上·上海·课后作业）数列的各项均为正数，已知前n项和且，求的通项公式． 【答案】 【详解】解：由题设， 当时，，代入上式得， 化简得，结合可知： 则是以1为首项，1为公差的等差数列，即. 由， 因此时，， 特别地，当时，亦符合上述通项公式， 综上所述，. 2．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知数列满足，，．求数列的通项公式． 【答案】． 【详解】由，得， 令，有，， 当时，， 又满足上式，于是， 则，当时，． 又满足上式，因此， 所以数列的通项公式是． 3．（25-26高二上·上海·期末）已知数列的前项和为，数列满足，（）． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的通项公式，并求的值． 【详解】（1）数列的前项和为， 当时，，而满足上式， 所以数列的通项公式为. （2）数列中，，由，得， 当时， ，满足上式， 所以数列的通项公式为， ，所以. 4．（24-25高二下·上海徐汇·期末）已知数列的前项和（为正整数），其中为非零实数． (1)求数列的通项公式； (2)若数列的前三项依次成等比数列，求实数的值． 【详解】（1）数列的前项和， 当时，， 而，，不满足上式， 所以. （2）依题意，， 由数列的前三项依次成等比数列，得，解得， 当时，均不为0，所以. 5．（24-25高二下·上海浦东新·期末）设数列的前n项和． (1)求的通项公式； (2)求数列的最小的项． 【详解】（1）当时，； 当时，； 经检验符合通项公式， 所以通项公式为． （2）令，则， 令得； 所以，所以最小项为. 6．（24-25高二下·上海奉贤·月考）已知数列 满足 (1)求数列的通项公式 (2)若数列 满足 ，求数列的前 项和 【详解】（1）由已知可得， 故当时，， ， ， ……. ， 累加后可得， 所以， 当时，代入成立， 所以数列的通项公式为. （2）， 当时，， 此时 ； 当时，， ， 综上 7．（24-25高二上·上海·期中）当均为正数时，称为的“均倒数”．若数列的各项均为正数，且其前项的“均倒数”为． (1)试求数列的通项公式； (2)设，试判断并说明的符号（为正整数）； (3)设，是否存在实数，使得当时，对于一切正整数，都有恒成立，并说明理由． 【详解】（1）依题意，，当时，， 两式相减得，而当时，，解得，满足上式， 所以数列的通项公式是. （2）由（1）知，，，， 因此 所以的符号为正. （3）由（2）知数列是单调递增数列，是其最小项，即， 假设存在实数，使得当时，对于一切正整数，都有恒成立， 于是恒成立，则，即， 解得或，取，当时，对于一切正整数，都有恒成立， 所以存在，使得当时，对于一切正整数，都有恒成立. 易错点02：错位相减时，最后剩几项、指数是多少搞混 8．（24-25高二上·上海·单元测试）已知数列，，点在曲线上，且． (1)求证：数列是等差数列； (2)已知数列满足，记为数列的前n项和，求． 【详解】（1）由点在曲线上，得，由，得， 则， 所以数列是首项为1，公差为2的等差数列． （2）由（1）得，于是， 则， 因此， 两式相减得， 即， 所以． 9．（22-23高二下·上海青浦·期中）（1）已知等比数列首项为，公比为q（），前n项和为，请推导等比数列的求和公式：； （2）已知等差数列前n项和为，满足，，求. 【详解】（1）的前n项和为 ，① 两边同乘公比q得，② ①②得， 因为，所以. （2）设等差数列的公差为，则， 因为，所以，所以，所以， 所以. 10．（22-23高三下·上海·月考）已知数列为等差数列，首项为1，的前项和记为，若对一切均满足．数列． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 【详解】（1）设等差数列的公差为，由得：，所以，即， 又， 所以. （2）由，得. 所以，， 当时，； 当时，， ， 所以， 即. 11．（24-25高三上·上海宝山·月考）记数列的前项和为，已知，数列是首项为2，公差为1的等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【详解】（1）由数列是首项为2，公差为1的等差数列， 则，① 当时，，则； 当时，，② 则①②得，， 则，则， 又， 所以数列是首项为，公比为3的等比数列， 所以，则. （2）， 则 ， 设， 则， 所以 ， 所以，则. 12．（24-25高二上·上海·开学考试）已知数列为等差数列，数列为等比数列，且，. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和； (3)记，是否存在正整数，使得？若存在，求出所有符合条件的正整数；若不存在，请说明理由. 【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 由，得，则， 由，得，解得，则， 所以或， 综上，数列的通项公式为，数列的通项公式为或. （2）时，， 所以， 于是， 两式相减得： ， 因此； 时，， 所以， 于是， 两式相减得： ， 因此. （3）时，，所以无意义，固只能， ， 所以，而，所以， 所以对于任意的正整数，有，所以， 因此不存在正整数，使得. 13．（24-25高二下·上海奉贤·月考）已知数列的前项和为，且. (1)证明: 为等比数列 (2)求数列的通项公式 (3)求数列的前 项和 【详解】（1）由题意可得，即， 两边同时除以可得， 又， 所以是以1为首项，3为公比的等比数列. （2）由（1）得， 当时，， 化简可得， 当时，代入也成立， 所以. （3）因为， 则， ， 两式作差可得， 所以. 14．（24-25高二上·上海·月考）已知为等差数列，为等比数列，，，. (1)求和的通项公式； (2)令，求数列的前项和； (3)记，是否存在实数，使得对任意的正整数，恒有？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由. 【详解】（1）为等差数列，为等比数列. 设公差为，公比为， 由，，， 可得，即， 又，解得， 可得，； （2）由（1）知， 设， ， 以上两式相减，得， 所以， 即数列的前项和为； （3）由题设可得，要使对任意的正整数，恒有， 即，即恒成立. 当为奇数时，恒成立， 而，故且； 当为偶数时，恒成立， 而，故且， 综上，存在实数，使得对任意的正整数，恒有. 易错点03：裂项相消：剩几项搞错 15．（25-26高二上·上海·期末）已知数列满足：，． (1)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【详解】（1）由题意可知， 所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列， 则； （2）由上可知的前n项和为 . 16．（24-25高二下·上海·月考）已知数列的前n项和满足，n为正整数． (1)求数列的通项公式； (2)求数列前200项和． 【详解】（1）当时，， 当时，满足上式， 所以. （2）由于， 所以数列前200项和为 . 17．（25-26高三上·上海·期中）已知数列满足. (1)求证：是等差数列，并求的通项公式； (2)记，证明：. 【详解】（1）由，两边取倒数，可得， 即有数列是首项，公差的等差数列， 由等差数列的通项公式，可得，故. （2）由， 可得 18．（25-26高二上·上海·期中）已知数列的前项和满足条件，其中是正整数． (1)求证：数列成等比数列； (2)设数列满足．若，求数列的前项和． 【详解】（1）证明:由题意得， ∴， 又，解得， ∴， ∴ 数列是首项为3，公比为3的等比数列； （2）由（1）得：， 故， 所以， 令数列的前项和为， 则， 计算得， 综上：数列的前项和为. 19．（25-26高二上·上海·期末）设数列的前项积为，满足. (1)设，求证：数列是等比数列； (2)设数列满足，求数列的前项和. 【详解】（1）因为数列的前项之积为，满足， 所以当时，，解得． 当时，，化为， 变形为， 又，所以，又， 所以当，且时，， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列. （2）由（1）知， 所以，所以， 所以， 故， 所以 ， 所以数列的前项和为. 20．（25-26高二上·上海奉贤·期末）已知数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)记，若，求正整数的最小值； (3)记，其中且.若是严格增数列，求的取值范围. 【详解】（1）∵，∴当时，， 又满足上式，所以. （2）∵， ∴， ∴，解得，∴， 即正整数的最小值为17. （3）因为是严格增数列，所以对任意正整数，有恒成立， 即恒成立， 其中且，所以， 化简得到恒成立， 在，时严格减， 所以，当时，取到最大值为3， 所以. 21．（25-26高二上·上海·月考）设数列的前项积为，满足. (1)设，求证：数列是等比数列； (2)设数列满足，求数列的前项和； (3)设数列的前项和为，求证：. 【详解】（1）因为数列的前项之积为，满足， 所以当时，，解得． 当时，，化为， 变形为， 又，所以，又， 所以当，且时，， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， （2）由（1）， 所以，所以， 所以， 故， 所以 ， 所以数列的前项和为； （3）当时，，又， 所以， 要证明 只需证明， 只需证明， 只需证明，由（2）可得， 只需证明， 只需证明， 只需证明 只需证明 设，，则 则函数在上单调递减，所以当时，， 又，所以，故， 所以 所以． 易错点04：数列最值问题忽略 n∈N∗ 22．（25-26高二上·上海·期末）已知是严格增数列，且满足：对任意正整数，数列中不大于的项的个数恰为.若存在正整数，使得，则的最小值是（   ）. A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】C 【详解】若存在最小的正整数，使得，则各项应尽可能大. 由题意，且是严格增数列，所以, 故数列的前项和，所以必然大于. 再验证时，存在符合该数列的所有性质，此时是以为首项，为公差的等差数列， 所以，解得. 综上，满足条件的的最小值是. 故选：. 23．（25-26高二上·上海嘉定·期末）设是一个无穷数列的前项和，若一个数列满足对任意的正整数，不等式恒成立，则称数列为和谐数列．给出下列命题： （1）若对任意的正整数均有，则数列为和谐数列； （2）若等差数列为和谐数列，则一定存在最大值； 以下说法正确的是（   ） A．（1）错（2）对 B．（1）对（2）错 C．（1）（2）都对 D．（1）（2）都错 【答案】B 【详解】数列为和谐数列， 则. 对（1）由，所以数列为和谐数列.故（1）正确； 对（2）设，则，所以等差数列为和谐数列，但不存在最大值.故（2）错误. 故选：B 24．（25-26高三上·上海杨浦·期末）已知正数，，成等差数列，则的最小值为 . 【答案】 【详解】因为正数，，成等差数列，所以， 所以， 当且仅当且，即时取等号. 所以，当且仅当即时取等号. 两个等号可以同时取得，所以的最小值为. 故答案为：. 25．（25-26高二上·上海松江·期末）在数列中，，则的最小值为 . 【答案】 【详解】， ， ， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，，， 因此当，或，有最小值， 即的最小值为. 故答案为： 26．（2025·上海徐汇·一模）已知数列满足：，对任意的正整数均有，若存在正整数，使得所有数列均满足，则的最大值为 ． 【答案】 【详解】由题可知：， 则：， ， ， ， 要使不等式恒成立，的最大值小于等于的最小值， 当时，取， ，，符合； 当时，取， ，此时：， ，符合； 当时，取， ，此时：， ，不符；故当时，不符； 当时，取， ，此时：，，不符； 当时，取， ，此时：，，不符； 综上：的最大值为. 故答案为： 27．（25-26高一上·上海·期末）已知数列是等差数列，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求的表达式及的最小值. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 因为， 所以， 所以， 所以数列的通项公式为 （2）由（1）可知， 所以 ， 因为是递增数列，且， 令，所以， 当时，，当时，， 所以当时，取得最小值，最小值为 28．（25-26高二上·上海浦东新·月考）等差数列的前项和记为，已知，且成等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)当取最小值时，求序号的值，并求出的最小值； (3)求数列的前项的和． 【详解】（1）设等差数列的公差为d， 由题可得：， 解得， ； （2）由（1）知，， 所以， 由二次函数性质可知，当时，取最小值， 此时最小值为； （3）， 由， 当时，；当时，， 所以当时，； 当时， . 综上，. 一、单选题 1．（25-26高二上·上海·期末）已知，数列满足，则“数列为严格增数列”是“”的（    ）条件． A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 【答案】B 【分析】先结合题意求出分段数列，再利用指数函数性质和二次函数性质求解参数范围，最后利用必要非充分条件的定义求解即可. 【详解】因为数列满足，所以， 当时，若数列为严格增数列，则， 当时，若数列为严格增数列， 则，可得，解得， 而数列为严格增数列，得到，解得， 综上可得，即， 则“数列为严格增数列”是“”的必要非充分条件，故B正确. 故选：B 2．（2025·上海嘉定·一模）数列的前项和为，且对任意正整数，总存在正整数，使得，则下列命题中正确的是（    ） A．对任意正整数，总存在正整数，使得 B．数列一定是等差数列 C．存在公比为正整数的等比数列满足条件 D．对任意正整数，总存在正整数、，使得 【答案】D 【分析】可根据数列的性质，对每一选项进行分析判断即可. 【详解】选项A：取数列，易知不存在正整数，使得，故该选项错误； 选项B：取数列，则，满足对任意正整数，总存在正整数，使得，但数列不是等差数列，故该选项错误； 选项C：设等比数列的公比为，首项为，则， 当时，，，则不恒为0，不符合题意； 当正整数时，，， 若，则， 由于正整数，则， 即…*， 由于单调递增，且在与之间不存在其他正整数，则*式不成立； 故C错误； 选项D：当正整数时，由题意，存在正整数使得， 且存在正整数使得，则符合题意； 当时，存在正整数使得，取，则符合题意； 故D正确. 故选：D. 3．（2025·上海长宁·一模）将正整数按一定次序排列得到排列，若排列中的任意一项都满足：，则满足题意的排列的个数为（　　） A．36 B．55 C．89 D．144 【答案】C 【分析】设 满足题意的排列个数为，将排列按照与两种情况分类，可得，据此可得答案. 【详解】设 满足题意的排列个数为，本题所求为. 由题可得，，. 当，此时，，， 则满足题意的排列个数为； 当，，此时，，， 则满足题意的排列个数为； 当，，则，，，，， 此时没有整数使满足题意，即当，时，满足题意的排列不存在. 综上可得，. 注意到，，则， . 故选：C 4．（2025·上海虹口·一模）若每一项均为正数的数列的前项和为，若对于任意的正整数，均存在正整数使得，则称具有“性质”．对于以下两个命题，说法正确的是（ ） ①存在等比数列，使得具有“性质”； ②若具有“性质”，记且为等差数列，则． A．①和②都为真命题 B．①和②都为假命题 C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题 【答案】A 【分析】对于①，举出实例即可验证；对于②，先得到，为常数列，依次类推可得，当时，每一个的最大值为，求和可得. 【详解】对于①，因为数列每一项均为正数，故， 又对于任意的正整数，均存在正整数使得， 故存在正整数使得，即， 设，则， 其中，故， 解得， 当时，取，满足要求， 对任意的正整数，均存在正整数，使得上式成立， 具有“性质”，故存在等比数列，使得具有“性质”；①正确； 对于②，当时，，故只能等于1，即， 当时，，故只能等于1，即，， 为等差数列，故公差为，所以， 假设，则当时，，这与矛盾， 故，所以为常数列， 易知，若，则，舍去， 若，则，令可得， 同理易知，若，则，舍去， 所以，，令，可得， 或，令，可得， 同理，可得或， 或可得，或可得， 依次类推可得，当时，每一个的最大值为， 当时，，②正确. 故选：A 二、填空题 5．（25-26高二上·上海金山·期末）若数列的前项和是（为正整数），则数列的通项公式是 ． 【答案】 【分析】根据求解即可. 【详解】当 时，. 当 时， ， 也满足，所以公式对所有正整数 都成立. 故答案为：. 6．（25-26高二上·上海·期末）已知数列满足，则 . 【答案】 【分析】利用递推公式先判断周期，利用周期数列即可求解. 【详解】由，所以， ，即，所以数列是以为周期的周期数列， 所以， 故答案为：. 7．（25-26高三上·上海徐汇·月考）已知函数，则有：，，，，则数列前2026项的和为 . 【答案】 【分析】通过求导得到，数列是首项为，公差为的等差数列，利用等差数列的前项和公式即可求解. 【详解】因为，所以，所以， ，所以， ，所以， 以此类推，， 所以数列是首项为，公差为的等差数列， 记数列前项的和为， 则. 故答案为：. 8．（25-26高二上·上海普陀·月考）已知为无穷等比数列，，数列 满足，则 ． 【答案】 【分析】利用无穷等比数列的性质及求和公式，结合已知条件构造方程，求出，进而求出，再利用无穷等比数列的求和公式计算求解． 【详解】设的公比为， 为无穷等比数列，则当时，， ， ，化简整理得，解得或（，舍去）， ， ，是首项 ， 公比的无穷等比数列， ． 故答案为：． 9．（25-26高二上·上海嘉定·期末）等差数列的公差不为0，前项和为，若成等比数列，则 ． 【答案】/ 【分析】设等差数列的公差为，根据条件得，再利用等差数列的前项和公式及等差数列的通项公式，即可求解． 【详解】设等差数列的公差为，因为，，成等比数列， 则，所以，整理得到， 所以， 故答案为：. 10．（25-26高三上·上海·期中）等差数列 的通项公式 ，前项和为，则数列的最小值为 . 【答案】 【分析】由等差数列的前n项和公式可得，由题意可知，令，利用导数求解即可. 【详解】由题意可得， 由题意可知， 令， 则， 由可得，由可得， 即在上单调递减，在上单调递增， 又因，而， ， 因为，所以数列的最小值为. 故答案为： 11．（25-26高三上·上海·期中）已知数列满足，n是正整数，，若是公比为q等比数列，且，，n是正整数，则q的取值范围是 . 【答案】 【分析】由已知条件得到，由得到，分别讨论和两种情况，在当时，由得到；分别讨论，，进行求解即可 【详解】，是公比为q等比数列，，， ， 当时，这三个数正负交替出现，不满足； 当时，，； 当时，，，，此不等式对所有的成立； 当时，，，， ，， ，， ，， 对于不等式，令，得到，解得， ，，，成立， ； 当时， ，，， ，， ，， ，， ，， ， 时，不等式恒成立. 综上，的取值范围为. 12．（25-26高三上·上海浦东新·期末）已知，若等差数列为无穷数列，且均满足递推关系，则该数列首项的取值范围为 . 【答案】. 【分析】由递推关系，则，根据分段函数的解析式，分三种情况讨论，列出关系式，即可求解. 【详解】由函数，可得函数的图像，如图所示， 因为等差数列为无穷数列，且均满足递推关系，则， 当时，， 可得，符合题意，此时； 当时，则，可得 ， 两式相减，可得，即， 所以，所以，此时数列为常数列， 可得，解得或（舍去）； 若，，则，解得 综上可得：首项的取值范围为. 故答案为：. 13．（2025·安徽·二模）已知等差数列的公差为，若集合，则 ． 【答案】/ 【分析】根据题意得到的周期为，即最多3个不同取值，再结合，分析得到一定会有相邻的两项相等，设这两项分别为，，解得，则集合中的两个不同元素为，，再化简计算即可． 【详解】， 则，其周期为， 而，即最多3个不同取值， 由题可知集合有且仅有两个元素，， 则在，，中，或， 或， 又，即，一定会有相邻的两项相等， 设这两项分别为，， 于是有， 即有， 解得， 不相等的两项为，， 故． 故答案为：． 14．（2025·上海杨浦·一模）数列：满足：，且，记集合.若数列满足：对任意，均有，则称数列是“好的”.“好的”数列的个数为 . 【答案】1926 【分析】由题意，要，则要满足，可得，设，则，分析可得k的范围，进而得到答案. 【详解】由题意，要，则需满足， 即，即， 由已知数列为递增数列，， 则有， 设，则， 又，则，则； ，则，则， 所以，则整数个数为， 则“好的”数列的个数为1926. 故答案为：1926. 15．（25-26高二上·上海浦东新·期末）已知数列，，，，并且前n项的和满足： ①存在小于1013的正整数，使得； ②对任意的正整数k和m，都有. 则满足以上条件的数列共有 个. 【答案】 【分析】根据的奇偶性结合，分析可知，进而可得，，即可求数列个数，同时排除不满足条件①的情况. 【详解】由，，得的奇偶性与的奇偶性一致， 对于①：存在小于的正整数，使得， 对于②：对任意的正整数和，都有， 知为奇数，即， 令，则，得或， 令，则，可得或， 因此对任意的正整数，，且，得，， 即确定，不相等，有2种可能，此时，条件②满足， 对于数列可知：均有2种可能， 则满足条件的数列共有个， 又存在小于的正整数，使得， 则对任意，不成立，即这种情况不符合题意， 所以符合题意的数列共有个. 故答案为： 三、解答题 16．（25-26高三上·上海松江·期末）已知函数（、，）的周期为，在时取到最大值，记． (1)求函数的表达式； (2)若数列为等差数列，，，记，求数列的前项和． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据正弦函数的性质，结合已知条件求出、、的值，进而得到函数的表达式； （2）先根据函数表达式求出和的值，再利用等差数列的通项公式求出，进而得到，最后根据等比数列的前项和公式求出. 【详解】（1）由题意，函数（、，）的周期为， 所以，即，解得， 又函数在时取到最大值，所以， 解得，， 又，所以当时，， 所以函数的表达式为； （2）由（1）知，函数的表达式为， 所以，， 又数列为等差数列，则，解得，， 所以， 又，所以，即数列为首项是，公比为的等比数列， 所以数列的前项和. 17．（25-26高二上·上海·期末）设数列是首项为，公差为的等差数列. (1)若，求数列的前项和； (2)记，证明数列是等比数列；并求出当时，数列的前项和. 【答案】(1) (2)证明见解析； 【分析】（1）先根据等差数列的通项公式求出公差，再利用等差数列的前$n$项和公式求出； （2）根据等比数列的定义，证明为常数；再根据等比数列的前项和公式求出. 【详解】（1）已知数列是首项，公差为的等差数列，可得， 因为，所以，解得， 根据等差数列的前项和公式可得：， 因此，数列的前项和； （2）已知，则，那么， 因为是等差数列，所以，则，由于为常数，所以为常数，且， 根据等比数列的定义可得数列是以为首项，为公比的等比数列； 当时，等比数列的首项，公比， 得：， 因此，数列是以为首项，为公比的等比数列；当时，数列的前项和. 18．（25-26高三上·上海宝山·期中）设函数的定义域为，区间，等差数列的首项，公差.数列满足. (1)设，，，求； (2)设，数列的公差，求证：数列是严格增数列； (3)设，是否存在和，使得数列是等比数列？若存在，求出的最小值；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)存在， 【分析】（1）求出导数，根据关系式直接计算即可得解； （2）化简数列递推关系式，，构造函数，再由导数判断函数单调性，即可得证； （3）由导数及两角和的正弦公式分别正用、逆用可得，再由等比数列的定义及三角函数的诱导公式即可判断并求解. 【详解】（1）因为，，， 所以， （2）由题意，，， 设，则，故单调递减， 故随着增大，由增大，减小，可知增大， 故数列是严格增数列. （3）由题意，， 故， 故， 故， 数列若是等比数列，则， 存在当时，，当时，， 故当时，数列是等比数列. 19．（25-26高三上·上海嘉定·期中）已知. (1)写出函数的单调增区间； (2)求关于的方程的解集； (3)设数列的通项公式为，其前项和为，计算. 【答案】(1)的单调增区间是; (2); (3). 【分析】（1）先找绝对值的 “分界点”，令，得；再分区间拆绝对值； （2）先换元化简令，方程变为；再按的范围拆绝对值，最后还原求解即可； （3）先按n的范围拆通项，把拆成不同对应的表达式，再判断时的数列类型，最后把拆为 “单独项 + 等比数列和”取极限即可. 【详解】（1）令，得分界点为； 当时，； 由于是单调递增函数，因此在上单调递增； 当时，； 由于是单调递减函数，因此在上单调递减； 综上，的单调增区间是. （2）令，方程变为， 根据绝对值的几何意义（数轴上到和的距离之和），或分段讨论： 当时，，解得，符合； 当时，，等式恒成立； 当，解得，符合； 因此，即，解得. 故方程的解集为：. （3）数列通项的分段形式为： 当，即时：时，，； 当，即时：. 因此数列的前项和： 当时， 当时，， 因此： 20．（2025·上海徐汇·一模）已知函数的定义域为，若其导函数在上是严格减函数，则称是一个“函数”． (1)设，，分别判断、是否为“函数”，并说明理由； (2)已知数列是公差为的等差数列，且的各项都为正数，若定义在上的函数是“函数”，求证：． (3)已知“函数”的定义域为，不等式的解集为．证明：函数在上是严格减函数． 【答案】(1)函数为“函数”，函数不是“函数” (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据“函数”的定义判断即可； （2）要证，即证，构造函数，其中，利用“函数”的定义结合导数分析函数在上的单调性，即可得出结论； （3）利用反证法，假设不是减函数，分两种情况讨论，为增函数、不单调，结合“函数”的定义分析函数的单调性，分析函数的函数值变化，对不等式的解集进行分析，推出矛盾，即可证得结论成立. 【详解】（1）函数的定义域为，其导函数在上为减函数， 函数的定义域为，其导函数在上为增函数， 故函数为“函数”，函数不是“函数”. （2）因为数列是公差为的等差数列， 所以，，， 要证，即证， 设函数，其中，则， 因为函数为“函数”，则函数在上为减函数，且， 所以，故对任意的恒成立， 故函数在上为减函数， 又因为对任意的，，所以， 即，故. （3）假设不是严格减， 的解集为， 不可能严格增，否则解集中必包含正无穷大， 只能有增有减， 使得， 严格减， ∴当时，严格增， 当时，严格减， 取，求处切线方程， ,即， 令,得， 构造函数， 严格减， 当时，严格增， 当时，严格减， ，即，即（当时，取等）， 而，结合，得严格增， ∴当时,， 与的解集为矛盾， ∴假设不成立，即严格减. 21．（25-26高二上·上海·期中）正五棱锥中，，侧棱长为2，点是线段的中点.定义集合如下：点是棱上异于P的一点，满足，，且（）. (1)若，求五棱锥的表面积（提示：）； (2)若是一个恰有四个元素的有限集，求的取值范围； (3)若是一个无限集，求的取值范围，及各线段，，，…的长度之和. 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）分析侧面与底面形状，利用面积公式求解即可； （2）转化为且，计算得到不等式求解即得答案； （3）转化为且对所有成立，建立不等式求解即得角的范围；再利用无穷项递缩等比数列和公式可求. 【详解】（1）给定，侧棱， 为中点，故. 由在上，满足. 在正五棱锥中，相邻侧棱间夹角相等，均为. 由几何关系，得. 同理，； 在中，，， 故为等边三角形，则（此时）， 故； 故侧面积为， 底面为正五边形，且边长为，可分为五个顶角为的等腰三角形， 如图，设正五边形中心为，取的中点， 则， 所以每个等腰三角形的高； ， 故总表面积. 又每个侧面三角形为边长1的等边三角形，面积. 故侧面积，底面正五边形面积为. 故总表面积. （2）由题意，. 由题意几何体为正五棱锥，侧面三角形均为全等的等腰三角形， 且等腰三角形的顶角， 如图，作,垂足为， 因为（），所以为中点， ，由， 则是首项为,公比也为的等比数列， 设 ，则， 由 位于棱 上，其中 ，且. 点 需满足 . 由集合 恰有四个元素， 即点列在 后终止（ 未定义），且所有点互异： 则 在 上，, 在 上，, 在 上，, 在 上， 则由 且 （ 未定义）， 则由点互异（因距离不同且棱不同）可得， 且（).解得， 由 可得， 即，解得 故范围为. （3）无限集要求所有定义，即且 对所有成立， 则（），且（若，则，点序列必终止）； 故解得，由， 可得,故. 由，所以. 当时，则，此时， 故集合恰个元素，为有限集，不合题意； 故的取值范围为； 且当 时，由公比满足，则， 故. 综上， ，定义域为 . 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $