2026届云南昆明高考数学自编模拟卷（四）

2026届云南昆明高考数学模拟卷（四） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版2019高考考试大纲要求内容。 5．难度系数：0.7。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，若，则（   ） A．1 B．2 C．e D．3 【答案】A 【分析】由可知，集合A中所有元素均属于集合B，可对的取值进行分类讨论，求出的可能值，再代入检验是否成立即可. 【详解】当时，可得，此时，又，不符合，故舍去； 当时，，此时，又，不符合，故舍去； 当，则，此时，，满足，符合题意. 综上所述：. 故选：A. 2．已知复数满足：，则（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】根据方程求出复数，然后计算复数的模. 【详解】因为复数满足：， 所以，所以，解得. 所以. 故选：B. 3．已知，则的最大值为（   ） A．1 B．0 C． D． 【答案】C 【分析】根据对数定义得，则，利用基本不等式求最值. 【详解】由，得，则， 因此， 而，当且仅当，即时取等号， 则，即， 所以的最大值为. 故选：C 4．如图所示在中，，，，，，为边的四等分点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用向量的线性运算求出和，再利用向量的数量积公式即可求出答案. 【详解】由题意得，， ， 所以， 因为，，， 所以，，， 所以. 故选：A. 5．已知数列中，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将两边同时减去，再同时取倒数得到，从而得到是以为首项，为公差的等差数列，即可求出的通项公式，代入计算可得. 【详解】因为，，所以， 所以，即 又，所以是以为首项，为公差的等差数列， 所以，所以， 所以. 故选：B 6．将的图象向右平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标缩小到原来的，得到函数的图象，若函数的图象与直线在上有4个交点，记这4个交点的横坐标从小到大依次为，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平移变换和周期变换的原则即可得，再根据交点及对称轴方程计算求解. 【详解】将函数的图象向右平移个单位， 得，再将所得图象上各点的横坐标缩小到原来的，纵坐标不变，得， 函数的图象与直线在上有4个交点， 因为，所以，对称轴为，且，所以可知这4个交点对应的相位成对地关于中心对称， 又因为,在上有4个交点，记这4个交点的横坐标从小到大依次为，，，， 则，则， 所以. 故选：B. 7．双曲线具有光学性质：从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点，若双曲线的左、右焦点分别为，，如图所示，从发出的光线经过图中的，两点反射后，分别经过点和，且，，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用双曲线的光学性质及双曲线定义，结合勾股定理列式求出离心率. 【详解】连接，，由双曲线的光学性质，得，，三点共线，，，三点共线， 则，，于是，， 不妨设，，，由双曲线的定义得，， 则，，而， 解得，，，在中，由勾股定理得，， 即，解得，所以双曲线的离心率 故选：D 8．不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设函数，确定定义域，恒成立转化为，利用构造函数，结合求导求函数的范围或最值，即可求得答案. 【详解】设函数，其定义域为． 不等式． 设，求导得， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，则， 设，则，当时，；当时，， 故函数在上单调递增，在上单调递减， 可得，因此， 于是，即， 即得恒成立， 则，所以的取值范围为． 故选： 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．某次测验中，高一（1）班位同学参加考试，平均分为，方差为，高一（2）班位同学参加考试平均分为，方差为，两个班总的平均分为，方差为，则下列说法一定正确的是（   ） （参考公式： A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABD 【分析】根据平均数的公式和方差的公式对每个选项进行推导即可判断AB，对于C先求，利用作差法比较大小即可判断，对于D当时，代入方差公式化简即可判断. 【详解】根据题意可知，两个班的平均分，方差， 对于A：若，所以，故A正确； 对于B：若，所以，故B正确； 对于C：若，所以，所以， 因为， 因为正负不确定，所以不等式不一定成立，故C错误； 对于D：若，则，所以 ，故D正确. 故选：ABD. 10．某数学兴趣小组对函数进行研究，得出如下结论，正确的有（   ） A．，都有 B．的值域为 C．的图象关于对称 D．，，都有 【答案】ACD 【分析】根据函数的单调性、值域、对称性及作差法相关知识，逐项进行分析即可. 【详解】函数的定义域为. 选项A：当时，， 此时单调递减，； 当时，， 此时单调递减，； 所以在上为减函数. 所以当即时，即， 即，都有.故A正确. 选项B：由选项A知，的值域为，故B错误. 选项C：若的图象关于对称，则需满足. ，满足对称条件，故C正确. 选项D：因为，，所以， ，， 若，需， 即，也即成立. 又 ， 所以成立，即.故D正确. 故选：ACD. 11．如图，在棱长为2的正方体中，点分别为的中点，动点在棱上（不含端点），则下列说法正确的有（    ） A．是钝角三角形 B．平面截该正方体所得截面的形状可能是平行四边形 C．当为的中点时，平面与底面所成角的正切值为 D．若在同一个球面上，则该球的表面积的最小值为 【答案】ACD 【分析】建立空间直角坐标系.A：利用空间向量数量积的坐标表示公式，判断各内角中有没有钝角；B：根据正方体截面性质进行判断；C：根据面面所成角的定义，结合空间向量夹角公式、同角的三角函数关系进行求解判断；D：根据球的性质，结合空间两点间距离公式、基本不等式、球的表面积公式进行判断. 【详解】A：建立如图所示的空间直角坐标系， ，设， ， 因为， ， ， 所以是钝角，所以是钝角三角形，因此本选项说法正确； B：根据正方体截面性质，可以判断平面截该正方体所得截面的形状不可能是平行四边形，所以本选项说法不正确； C：当为的中点时，， 因为平面， 所以是平面的一个法向量， ， 设平面的法向量为， 所以，令，得， 所以是平面的一个法向量， 设平面与底面所成角为， ， ，所以本选项说法正确； D：在同一个球面上，设该球的球心为， 所以由， ， ， 所以球心坐标， 所以球的半径为， 因为， 所以，当且仅当时取等号， 即当时，有最小值， 所以有最小值，最小值为， 所以球的表面积的最小值为，所以本选项说法正确. 故选：ACD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若，则的值为 . 【答案】0 【分析】通过赋值，代入即可求解. 【详解】由，令， 则有， 即. 故答案为：0 13．已知抛物线的焦点为，过点F的直线l交抛物线于A，B两点，以线段AB为直径的圆交y轴于M，N两点，设线段AB的中点为P，O为坐标原点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】先根据题意设出直线的方程，再联立直线方程与抛物线方程，然后利用韦达定理结合抛物线定义求出以及点到轴的距离，从而表示出，进而求出结果. 【详解】由得，由题意知直线的斜率不为0， 所以设直线的方程为，， 联立消去得， 则由韦达定理得，所以， 所以，所以， 又点到轴的距离， 所以， 所以当时，取得最小值. 故答案为：. 14．如图，矩形中，， 分别为边上的点，若，则的面积的最大值为 .    【答案】 【分析】设，可得，，从而得，利用换元法及基本不等式求解即可. 【详解】解：设，    则， 则在中，易知则， 所以； 在中，易知则， 所以； 所以 ， 令， 因为，所以， 所以 ， 因为， 当且仅当时，等号成立， 所以，时等号成立， 所以. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题的关键是将三角形的面积化成关于的函数，再利用换元法及基本不等式求解. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）在中，角对边为，的面积为，已知. (1)若，，求的值； (2)若，求cos A的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理可得，结合题意利用余弦定理求解； （2）结合三角形面积公式得到，再利用余弦定理求解余弦值即可. 【详解】（1）因为，所以由正弦定理可得， 又，则， 由余弦定理得， 解得； （2）因为，又， 所以， 所以由余弦定理得. 16．（15分）一口袋中装有10个小球，其中标有数字的小球各两个，这些小球除数字外其余均相同. (1)某人从中一次性摸出4个球，设事件A “摸出的4个球中至少有一个数字是5”，事件“摸出的4个球中恰有两个数字相同”；分别求事件A和事件的概率； (2)现有一游戏，游戏规则是：游戏玩家每次有放回地从袋中随机摸出一球，若摸到5号球，则游戏结束；否则继续摸球，当摸到第个球时，无论摸出的是几号球游戏都结束.设表示摸球的次数（，求随机变量的期望，并比较期望与1的大小. 【答案】(1)，； (2)，大于1. 【分析】（1）求出从中一次性摸出4个球方法的数目，求出和，即可求得相应的概率； （2）求出的取值，当时，求出，当时，求出，列出列联表求出，得用错位相减，即可求得解. 【详解】（1）从中一次性摸出4个球有种方法， 所以； （2）的取值可能为， 当时， 当时，， 1 2 3 所以 令， 则， 相减得 ， 所以. 为递增数列，故. 17．（15分）如图，在四棱锥中，底面，且是矩形，．点是的中点，过作交于点 (1)证明：平面； (2)若与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）证明出平面，可得出，由等腰三角形的几何性质得出，进而可得出平面，可得出，再结合以及线面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）建立空间直角坐标系，利用已知条件确定的长，利用空间向量求二面角的余弦值. 【详解】（1）因为底面，平面，所以. 又底面为矩形，所以. 因为、平面，，所以平面. 又平面，所以. 又，为的中点，所以. 因为、平面，，所以平面. 又平面，所以. 又，、平面，，所以平面. （2）由（1）知，平面，垂足为. 所以即为与平面所成的角. 由，，所以. 在中，，，， 所以，所以. 由得，所以. 由得，所以. 以为原点，、、所在直线分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系： 则、、、，， 因为为中点，所以. 且，. 设平面的一个法向量为， 则，取，则， 由（1）可知，平面的一个法向量可取. 设平面与平面的夹角为， 则， 故平面与平面夹角的余弦值为. 18．（17分）已知椭圆的左、右顶点为，离心率为，椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合.过点且斜率不为的直线交椭圆于点，直线与直线交于点. (1)求椭圆的方程； (2)记，的面积分别为，，若，求直线的斜率； (3)记直线、的斜率分别为、，则是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由. 【答案】(1) (2) (3)，证明见详解 【分析】（1）由抛物线焦点为得椭圆右焦点，即，根据离心率可解得，再利用椭圆基本关系求得的值，从而确定椭圆的标准方程； （2）根据的坐标关系，分别表示出和的面积，利用面积比条件建立与的模长关系，设直线的参数方程后联立椭圆，通过韦达定理结合的条件建立关于斜率参数的方程并求解； （3）先由直线的方程与联立求出点坐标，进而得到直线的斜率，结合的斜率构建比值表达式，代入直线参数方程进行化简，最后利用韦达定理消去坐标变量，判断比值是否为常数. 【详解】（1）抛物线的焦点为，故椭圆右焦点，即. 椭圆离心率，得. ，因此椭圆的方程为： （2），，. 面积， 面积. 由，得： 因为在两侧，故异号，不妨设. 设直线，与椭圆联立得： 设，， 则 代入，得： 消去得： 所以，斜率. （3）直线， 令得： 直线的斜率. 于是： 代入， ， 由韦达定理得：，， 可得： 代入上式，分子：， 分母：. 所以： 19．（17分）已知函数，当时，恒成立. (1)求实数a的取值范围； (2)若函数，当实数取最小值时，求使得关于x的不等式恒成立的最大整数； (3)已知，证明：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）由题意在上恒成立，令，，然后利用导数法研究其单调性，利用最值列不等式即可求解； （2）由（1）知，利用导数法求得的最小值，进而利用单调性求得，即可得解； （3）先证当时，原不等式成立，再证时的情况，由（1）知，令得，然后结合对数运算性质利用累加法即可证明. 【详解】（1）由题设在时恒成立， 等价于在上恒成立， 令，，则， 令，且， 当，即时，，即， 此时在上单调递增，则，满足题意； 当，即时，，对称轴， 所以存在，使，在时，，即， 所以在上单调递减，此时，不满足题意； 综上，的取值范围为. （2）由（1）知，所以，则， 令，易知在上单调递增， 由，知，存在使，即， 所以时，，，所以在上单调递减， 时，，，所以在上单调递增， 则在处取得极小值，， 又，即， 故， 由函数在上单调递增， 故在上单调递减， 所以， 又恒成立，即，故， 所以整数t的最大值为. （3）当时，右边，左边，左边右边，原不等式成立， 下面考虑时的情况， 由（1）知当时，，即在上恒成立， 即， 令，且， 则， 所以， 则，故， 所以， 综上，当时，成立. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届云南昆明高考数学模拟卷（四） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版2019高考考试大纲要求内容。 5．难度系数：0.7。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，若，则（   ） A．1 B．2 C．e D．3 2．已知复数满足：，则（   ） A．1 B． C． D．2 3．已知，则的最大值为（   ） A．1 B．0 C． D． 4．如图所示在中，，，，，，为边的四等分点，则（    ） A． B． C． D． 5．已知数列中，，，则（    ） A． B． C． D． 6．将的图象向右平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标缩小到原来的，得到函数的图象，若函数的图象与直线在上有4个交点，记这4个交点的横坐标从小到大依次为，，，，则（    ） A． B． C． D． 7．双曲线具有光学性质：从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点，若双曲线的左、右焦点分别为，，如图所示，从发出的光线经过图中的，两点反射后，分别经过点和，且，，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 8．不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．某次测验中，高一（1）班位同学参加考试，平均分为，方差为，高一（2）班位同学参加考试平均分为，方差为，两个班总的平均分为，方差为，则下列说法一定正确的是（   ） （参考公式： A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．某数学兴趣小组对函数进行研究，得出如下结论，正确的有（   ） A．，都有 B．的值域为 C．的图象关于对称 D．，，都有 11．如图，在棱长为2的正方体中，点分别为的中点，动点在棱上（不含端点），则下列说法正确的有（    ） A．是钝角三角形 B．平面截该正方体所得截面的形状可能是平行四边形 C．当为的中点时，平面与底面所成角的正切值为 D．若在同一个球面上，则该球的表面积的最小值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若，则的值为 . 13．已知抛物线的焦点为，过点F的直线l交抛物线于A，B两点，以线段AB为直径的圆交y轴于M，N两点，设线段AB的中点为P，O为坐标原点，则的最小值为 ． 14．如图，矩形中，， 分别为边上的点，若，则的面积的最大值为 .    四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）在中，角对边为，的面积为，已知. (1)若，，求的值； (2)若，求cos A的值. 16．（15分）一口袋中装有10个小球，其中标有数字的小球各两个，这些小球除数字外其余均相同. (1)某人从中一次性摸出4个球，设事件A “摸出的4个球中至少有一个数字是5”，事件“摸出的4个球中恰有两个数字相同”；分别求事件A和事件的概率； (2)现有一游戏，游戏规则是：游戏玩家每次有放回地从袋中随机摸出一球，若摸到5号球，则游戏结束；否则继续摸球，当摸到第个球时，无论摸出的是几号球游戏都结束.设表示摸球的次数（，求随机变量的期望，并比较期望与1的大小. 17．（15分）如图，在四棱锥中，底面，且是矩形，．点是的中点，过作交于点 (1)证明：平面； (2)若与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值． 18．（17分）已知椭圆的左、右顶点为，离心率为，椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合.过点且斜率不为的直线交椭圆于点，直线与直线交于点. (1)求椭圆的方程； (2)记，的面积分别为，，若，求直线的斜率； (3)记直线、的斜率分别为、，则是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由. 19．（17分）已知函数，当时，恒成立. (1)求实数a的取值范围； (2)若函数，当实数取最小值时，求使得关于x的不等式恒成立的最大整数； (3)已知，证明：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $