专题12：三角形的分类（知识精讲+例题讲解+培优练习）-2025-2026学年四年级下册数学人教版

专题12：三角形的分类 知识精讲+例题讲解+培优练习 亲爱的同学们： 在我们生活的世界里，藏着许许多多有趣的图形，三角形就是其中最稳定、最常见的一种。从屋顶到交通标志，从桥梁到风筝，三角形无处不在。今天，我们将一起走进“三角形的分类”这个有趣的数学世界，用数学的眼光去观察、比较、归纳，发现三角形之间的秘密。本讲义严格依据人教版四年级下册数学教材编写，紧扣课程标准，不超纲、不拔高，从生活情境出发，帮助你通过角的大小和边的长短两个角度，对三角形进行科学分类。希望你在学习中多动手、多思考，学会用分类的思想认识图形，培养空间观念和推理能力。让我们一起开启探索之旅吧！相信你一定能成为小小数学家！ 知识精讲 1. 三角形的定义与基本特征 （1）定义 由三条线段围成的图形叫做三角形。 三角形有3条边、3个角、3个顶点。 （2）稳定性 三角形具有稳定性，不易变形，生活中常用于桥梁、塔架等结构。 2. 按角分类：把三角形按角的大小分为三类 （1）锐角三角形 三个角都是锐角（小于90°）的三角形。 举例：三个角分别是60°、70°、50°。 （2）直角三角形 有一个角是直角（等于90°）的三角形。 直角用“┐”表示。 举例：三个角分别是90°、50°、40°。 （3）钝角三角形 有一个角是钝角（大于90°）的三角形。 举例：三个角分别是110°、40°、30°。 （4）分类标准总结 看三角形中最大的那个角： 最大角是锐角 → 锐角三角形； 最大角是直角 → 直角三角形； 最大角是钝角 → 钝角三角形。 3. 按边分类：把三角形按边的长短关系分为三类 （1）不等边三角形 三条边都不相等的三角形。 三个角一般也不相等。 （2）等腰三角形 有两条边相等的三角形。 相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边。 两腰所对的角叫做底角，两个底角相等。 有一个对称轴（从顶角到底边中点的连线）。 （3）等边三角形（正三角形） 三条边都相等的三角形。 三个角也都相等，每个角都是60°。 是等腰三角形的特殊情况（三边都相等，当然有两边相等）。 4. 两类分类的联系与区别 （1）分类标准不同 按角分：看角的大小； 按边分：看边的长短。 （2）可以同时属于两类 例如：一个三角形可以既是等腰三角形，又是直角三角形（等腰直角三角形）。 5. 与前面知识的联系 （1）角的认识：认识锐角、直角、钝角是分类的基础。 （2）线段与测量：会测量边长，判断是否相等。 （3）轴对称图形：等腰三角形是轴对称图形，帮助理解对称性。 6. 三角形分类在生活中的应用 （1）建筑结构：屋顶常用等腰三角形，稳定美观； （2）交通标志：警告标志多为等边三角形； （3）测量与设计：工程师根据三角形类型选择合适结构。 例题讲解 【典型例题1】 下面三个三角形的边长如下，分别说出它们按边分是什么三角形： 三角形A：3cm、4cm、5cm 三角形B：5cm、5cm、8cm 三角形C：6cm、6cm、6cm 解析： （1）三角形A：三条边都不相等 → 不等边三角形。 （2）三角形B：两条边相等（5cm=5cm） → 等腰三角形。 （3）三角形C：三条边都相等 → 等边三角形（也是特殊的等腰三角形）。 答：A是不等边三角形，B是等腰三角形，C是等边三角形。 【跟踪练习1】 一个三角形的三条边分别是 7cm、7cm、7cm，它是什么三角形？另一个三角形的边长是 4cm、6cm、4cm，它又是什么三角形？ 答案及解析： （1）三条边都相等（7cm=7cm=7cm） → 等边三角形。 （2）两条边相等（4cm=4cm），第三条边不同 → 等腰三角形。 答：第一个是等边三角形，第二个是等腰三角形。 【典型例题2】 判断对错，并说明理由： （1）等边三角形一定是锐角三角形。 （2）等腰三角形一定是锐角三角形。 （3）有一个角是直角的三角形，可能是等腰三角形。 解析： （1）正确。等边三角形每个角都是60°，都小于90°，所以一定是锐角三角形。 （2）错误。等腰三角形可能是锐角、直角或钝角三角形。例如：顶角是100°的等腰三角形是钝角三角形。 （3）正确。例如：一个三角形有两个角是45°，一个角是90°，它既是直角三角形，又是等腰三角形（两腰相等）。 答：（1）√；（2）×；（3）√。 【跟踪练习2】 判断对错，并说明理由： （1）一个三角形可以既是直角三角形，又是等腰三角形。 （2）等边三角形是特殊的等腰三角形。 （3）三个角都是锐角的三角形一定是等边三角形。 答案及解析： （1）正确。例如：两腰相等且有一个角是90°的三角形，就是等腰直角三角形。 （2）正确。等边三角形有两条边相等，符合等腰三角形的定义，所以是特殊的等腰三角形。 （3）错误。三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，但不一定是等边三角形。例如：三个角是50°、60°、70°的三角形是锐角三角形，但三边不等，不是等边三角形。 答：（1）√；（2）√；（3）×。 培优练习 一、选择题 1．两个完全相同的等腰直角三角形，拼成一个大三角形，这个大三角形是（    ）三角形。 A．锐角 B．等腰直角 C．钝角 D．等边 【答案】B 【分析】三角形按角来分，分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。三个角都是锐角的三角形叫作锐角三角形，有一个角是直角的三角形叫作直角三角形，有一个角是钝角的三角形叫作钝角三角形；有两条边相等的三角形叫作等腰三角形，三条边都相等的三角形叫作等边三角形。据此解答。 【详解】根据题意作图如下： 由图可知，拼成的大三角形有一个角是直角且两个底角的度数相等，所以这个大三角形是一个等腰直角三角形。 故答案为：B 2．把一张长方形纸如图中的样子折一折、剪一剪，将剪下的图形展开后一定是（    ）。 A．一个等边三角形 B．一个等腰三角形 C．一个直角三角形 D．一个钝角三角形 【答案】B 【分析】由题意得，将一张长方形纸先对折再沿虚线剪下的图形是一个三角形，由于是翻折，这个三角形的两条边相等，因此剪下的图形一定是等腰三角形；据此解答即可。 【详解】 由分析可得，剪下并展开得到的图形为，一定为等腰三角形。 故答案为：B 3．风筝是由中国古代劳动人民发明的，距今已2000多年历史。小明用一条长为18分米的彩带装饰一个等腰三角形风筝的三条边，彩带刚好用完。已知这个风筝的其中一条边长4分米，则另外两条边长分别是（    ）。 A．4分米和10分米 B．7分米和7分米 C．4分米和7分米 D．6分米和8分米 【答案】B 【分析】根据题意，明确三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。已知彩带的全长18分米，也就是等腰三角形风筝的三条边，已知这个风筝的其中一条边长4分米，当一条边长为4分米（底边）时，另外两条边均为腰长，各为（18－4）÷2＝7（分米），4＋7＝11，11＞7，可以构成三角形。当一条边长为4分米（腰）时，底边长为18－4×2＝10（分米），4＋4＝8，8＜10，不可以构成三角形。以此逐项分析即可。 【详解】根据分析可知： A．4分米和10分米，不能构成三角形，错误。 B．7分米和7分米，正确。 C．4分米和7分米，4＋4＋7＝15，15＜18，彩带没有用完。 D．6分米和8分米，不是等腰三角形。 风筝是由中国古代劳动人民发明的，距今已2000多年历史。小明用一条长为18分米的彩带装饰一个等腰三角形风筝的三条边，彩带刚好用完。已知这个风筝的其中一条边长4分米，则另外两条边长分别是7分米和7分米。 故答案为：B 4．下面说法正确的是（    ）。 A．等腰三角形一定是锐角三角形 B．等腰三角形是特殊的等边三角形 C．直角三角形可能是等腰三角形 D．钝角三角形不可能是等腰三角形 【答案】C 【分析】等腰三角形可能是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形，并且等边三角形是特殊的等腰三角形。 【详解】A．等腰三角形可能是锐角、直角、钝角三角形，原题干说法错误； B．等边三角形是特殊的等腰三角形，原题干说法错误； C．当两个底角都是45°的直角三角形是等腰三角形，原题干说法正确； D．钝角三角形可能是等腰三角形，原题干说法错误。 故答案为：C 5．用下面6根小棒，你能围出（    ）种三角形（单位：cm）。 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据三角形的特性：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。据此分情况讨论解答即可。 【详解】有小棒长度分别为2cm、2cm、5cm、6cm、6cm、6cm。 尝试组合： 选2cm、2cm、5cm：2＋2＝4cm＜5cm，不满足三角形三边关系，不能组成三角形。 选2cm、2cm、6cm：2＋2＝4cm＜6cm，不满足三角形三边关系，不能组成三角形。 选2cm、5cm、6cm：2＋5＝7cm＞6cm，2＋6＝8cm＞5cm，5＋6＝11cm＞2cm，满足三角形三边关系，可以组成三角形。 选2cm、6cm、6cm：2＋6＝8cm＞6cm，6＋6＝12cm＞2cm，满足三角形三边关系，可以组成三角形。 选5cm、6cm、6cm：5＋6＝11cm＞6cm，6＋6＝12cm＞5cm，满足三角形三边关系，可以组成三角形。 选6cm、6cm、6cm：三条边都相等，可以组成等边三角形，满足三角形三边关系。 能组成三角形的种类： 可以组成三角形的组合有2cm、5cm、6cm；2cm、6cm、6cm；5cm、6cm、6cm；6cm、6cm、6cm，共4种。 故答案为：C 二、填空题 6．下边的三角形被一张纸挡住，按角分，①是( )三角形，②是( )三角形。 【答案】 钝角 锐角 【分析】根据题意，三角形按角的大小，可分为三种：三个角都是锐角的三角形，叫锐角三角形；有一个角是直角的三角形，叫直角三角形；有一个角是钝角的三角形，叫钝角三角形。仔细观察图形，可以延长露着的三角形的两条边，观察角度的大小进行判断，①是钝角三角形；②是锐角三角形。以此答题即可。 【详解】根据分析可知： 图①被挡住的角是钝角，所以①是钝角三角形；图②被挡住的角是锐角，所以②是锐角三角形。 7．图①是( )三角形，有( )个锐角； 图②是( )三角形，有( )个锐角； 图③是( )三角形，有( )个锐角。 【答案】 锐角 3 直角 2 钝角 2 【分析】根据三角形按角分类的定义：三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，有一个角是直角的三角形是直角三角形，有一个角是钝角的三角形是钝角三角形。且直角三角形和钝角三角形中，除直角或钝角外，其余两个角均为锐角。 【详解】（1）图①三个角都是锐角，所以是锐角三角形，有3个锐角。 （2）图②有一个直角，所以是直角三角形，直角外的两个角是锐角，共2个锐角。 （3）图③有一个钝角，所以是钝角三角形，钝角外的两个角是锐角，共2个锐角。 8．一个直角三角形的三条边分别是3厘米、4厘米和5厘米。这个三角形底是3厘米时，它的高是( )厘米；这个三角形的底是4厘米时，它的高是( )厘米。 【答案】 4 3 【分析】从三角形任一顶点向它的对边或者对边的延长线作垂线，从顶点到垂足间的线段叫做三角形的高。这个顶点所对的边叫做三角形的底。直角三角形中，两条直角边都小于斜边。直角三角形中，两条直角边互为底和高。 【详解】根据分析： 因为3＜4＜5，所以这个三角形的两条直角边分别是3厘米和4厘米，那么3厘米和4厘米的直角边互为底和高。 一个直角三角形的三条边分别是3厘米、4厘米和5厘米。这个三角形底是3厘米时，它的高是4厘米；这个三角形的底是4厘米时，它的高是3厘米。 9．图中有( )个锐角三角形，( )个直角三角形，( )个钝角三角形。 【答案】 1 4 5 【分析】三个角都是锐角的三角形是锐角三角形；有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；有一个角是直角的三角形是直角三角形。 【详解】如图： 锐角三角形有：③＋④，共1个； 直角三角形有：③、④、②＋③、①＋②＋③，共4个； 钝角三角形有：①、②、①＋②、②＋③＋④、①＋②＋③＋④，共5个。 因此，图中有1个锐角三角形，4个直角三角形，5个钝角三角形。 三、判断题 10．一个三角形中最大的角是100°，这个三角形一定是钝角三角形。( ) 【答案】√ 【分析】有一个角是钝角的三角形叫钝角三角形。据此解答。 【详解】由题意得，一个三角形中最大的角是100°，100°＞90°，即这个角是钝角，所以这个三角形是钝角三角形。原题说法正确。 故答案为：√ 11．一个三角形里虽然有两个锐角，但这个三角形不一定是锐角三角形。( ) 【答案】√ 【分析】若一个三角形中有两个锐角，第三个角可能是锐角、直角或钝角。只有当三个角均为锐角时才是锐角三角形，因此结论成立。 【详解】假设三角形中有两个锐角，若第三个角为锐角（小于90°），则三角形是锐角三角形；若第三个角为直角（等于90°），则为直角三角形；若第三个角为钝角（大于90°），则为钝角三角形。因此，虽然有两个锐角，但三角形类型不确定。题干说法正确。 故答案为：√ 12．等腰三角形不一定是等边三角形。( ) 【答案】 √ 【分析】根据等腰三角形和等边三角形的定义，等腰三角形是至少有两条边相等的三角形，而等边三角形是三条边都相等的三角形。因此，等边三角形属于等腰三角形的一种特殊情况，但等腰三角形不一定三条边都相等，所以等腰三角形不一定是等边三角形。据此判断。 【详解】根据分析可知： 例如：一个三角形三条边的长度分别是4厘米、4厘米、5厘米，这是一个等腰三角形，但不是等边三角形； 一个三角形三条边的长度分别是6厘米、6厘米、6厘米，这是一个等边三角形，也是一个等腰三角形； 所以，等腰三角形不一定是等边三角形。原题说法正确。 13．直角三角形的两条直角边可以看作是直角三角形的两条高，所以直角三角形只有两条高。( ) 【答案】× 【分析】从三角形任一顶点向它的对边或者对边的延长线作垂线，从顶点到垂足间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底。由题意得，在直角三角形中，两条直角边互为底和高。除此之外，直角三角形斜边上还有一条高。据此解答。 【详解】根据题意作图如下： 由图可知，直角三角形有三条高。原题说法错误。 故答案为：× 14．每个三角形中最少有两个内角是锐角。( ) 【答案】 √ 【分析】对于钝角三角形，存在一个钝角（大于90°），则剩余两个角的和小于90°，因此两个角都小于90°，即均为锐角。对于直角三角形，存在一个直角（90°），剩余两个角的和为90°，因此两个角都小于90°，即均为锐角。对于锐角三角形，三个角均是锐角。因此所有三角形都至少有两个锐角。 【详解】根据分析可知，直角三角形和钝角三角形有两个锐角，锐角三角形有三个锐角，所以无论哪种三角形，都最少有两个锐角，故原题说法正确。 故答案为：√ 四、作图题 15．按要求在点子图上画三角形，并在每个三角形中至少画出1条高。 【答案】见详解 【分析】直角三角形：有一个角是直角的三角形；钝角三角形：有一个角是钝角的三角形；等腰三角形：有两条边相等的三角形。在等腰三角形中，相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底。从三角形任一顶点向它的对边或者对边的延长线作垂线，从顶点到垂足间的线段叫做三角形的高。这个顶点所对的边叫做三角形的底。每个三角形都有三个底和对应的高。 【详解】 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12：三角形的分类 知识精讲+例题讲解+培优练习 亲爱的同学们： 在我们生活的世界里，藏着许许多多有趣的图形，三角形就是其中最稳定、最常见的一种。从屋顶到交通标志，从桥梁到风筝，三角形无处不在。今天，我们将一起走进“三角形的分类”这个有趣的数学世界，用数学的眼光去观察、比较、归纳，发现三角形之间的秘密。本讲义严格依据人教版四年级下册数学教材编写，紧扣课程标准，不超纲、不拔高，从生活情境出发，帮助你通过角的大小和边的长短两个角度，对三角形进行科学分类。希望你在学习中多动手、多思考，学会用分类的思想认识图形，培养空间观念和推理能力。让我们一起开启探索之旅吧！相信你一定能成为小小数学家！ 知识精讲 1. 三角形的定义与基本特征 （1）定义 由三条线段围成的图形叫做三角形。 三角形有3条边、3个角、3个顶点。 （2）稳定性 三角形具有稳定性，不易变形，生活中常用于桥梁、塔架等结构。 2. 按角分类：把三角形按角的大小分为三类 （1）锐角三角形 三个角都是锐角（小于90°）的三角形。 举例：三个角分别是60°、70°、50°。 （2）直角三角形 有一个角是直角（等于90°）的三角形。 直角用“┐”表示。 举例：三个角分别是90°、50°、40°。 （3）钝角三角形 有一个角是钝角（大于90°）的三角形。 举例：三个角分别是110°、40°、30°。 （4）分类标准总结 看三角形中最大的那个角： 最大角是锐角 → 锐角三角形； 最大角是直角 → 直角三角形； 最大角是钝角 → 钝角三角形。 3. 按边分类：把三角形按边的长短关系分为三类 （1）不等边三角形 三条边都不相等的三角形。 三个角一般也不相等。 （2）等腰三角形 有两条边相等的三角形。 相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边。 两腰所对的角叫做底角，两个底角相等。 有一个对称轴（从顶角到底边中点的连线）。 （3）等边三角形（正三角形） 三条边都相等的三角形。 三个角也都相等，每个角都是60°。 是等腰三角形的特殊情况（三边都相等，当然有两边相等）。 4. 两类分类的联系与区别 （1）分类标准不同 按角分：看角的大小； 按边分：看边的长短。 （2）可以同时属于两类 例如：一个三角形可以既是等腰三角形，又是直角三角形（等腰直角三角形）。 5. 与前面知识的联系 （1）角的认识：认识锐角、直角、钝角是分类的基础。 （2）线段与测量：会测量边长，判断是否相等。 （3）轴对称图形：等腰三角形是轴对称图形，帮助理解对称性。 6. 三角形分类在生活中的应用 （1）建筑结构：屋顶常用等腰三角形，稳定美观； （2）交通标志：警告标志多为等边三角形； （3）测量与设计：工程师根据三角形类型选择合适结构。 例题讲解 【典型例题1】 下面三个三角形的边长如下，分别说出它们按边分是什么三角形： 三角形A：3cm、4cm、5cm 三角形B：5cm、5cm、8cm 三角形C：6cm、6cm、6cm 解析： （1）三角形A：三条边都不相等 → 不等边三角形。 （2）三角形B：两条边相等（5cm=5cm） → 等腰三角形。 （3）三角形C：三条边都相等 → 等边三角形（也是特殊的等腰三角形）。 答：A是不等边三角形，B是等腰三角形，C是等边三角形。 【跟踪练习1】 一个三角形的三条边分别是 7cm、7cm、7cm，它是什么三角形？另一个三角形的边长是 4cm、6cm、4cm，它又是什么三角形？ 【典型例题2】 判断对错，并说明理由： （1）等边三角形一定是锐角三角形。 （2）等腰三角形一定是锐角三角形。 （3）有一个角是直角的三角形，可能是等腰三角形。 解析： （1）正确。等边三角形每个角都是60°，都小于90°，所以一定是锐角三角形。 （2）错误。等腰三角形可能是锐角、直角或钝角三角形。例如：顶角是100°的等腰三角形是钝角三角形。 （3）正确。例如：一个三角形有两个角是45°，一个角是90°，它既是直角三角形，又是等腰三角形（两腰相等）。 答：（1）√；（2）×；（3）√。 【跟踪练习2】 判断对错，并说明理由： （1）一个三角形可以既是直角三角形，又是等腰三角形。 （2）等边三角形是特殊的等腰三角形。 （3）三个角都是锐角的三角形一定是等边三角形。 培优练习 一、选择题 1．两个完全相同的等腰直角三角形，拼成一个大三角形，这个大三角形是（    ）三角形。 A．锐角 B．等腰直角 C．钝角 D．等边 2．把一张长方形纸如图中的样子折一折、剪一剪，将剪下的图形展开后一定是（    ）。 A．一个等边三角形 B．一个等腰三角形 C．一个直角三角形 D．一个钝角三角形 3．风筝是由中国古代劳动人民发明的，距今已2000多年历史。小明用一条长为18分米的彩带装饰一个等腰三角形风筝的三条边，彩带刚好用完。已知这个风筝的其中一条边长4分米，则另外两条边长分别是（    ）。 A．4分米和10分米 B．7分米和7分米 C．4分米和7分米 D．6分米和8分米 4．下面说法正确的是（    ）。 A．等腰三角形一定是锐角三角形 B．等腰三角形是特殊的等边三角形 C．直角三角形可能是等腰三角形 D．钝角三角形不可能是等腰三角形 5．用下面6根小棒，你能围出（    ）种三角形（单位：cm）。 A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题 6．下边的三角形被一张纸挡住，按角分，①是( )三角形，②是( )三角形。 7．图①是( )三角形，有( )个锐角； 图②是( )三角形，有( )个锐角； 图③是( )三角形，有( )个锐角。 8．一个直角三角形的三条边分别是3厘米、4厘米和5厘米。这个三角形底是3厘米时，它的高是( )厘米；这个三角形的底是4厘米时，它的高是( )厘米。 9．图中有( )个锐角三角形，( )个直角三角形，( )个钝角三角形。 三、判断题 10．一个三角形中最大的角是100°，这个三角形一定是钝角三角形。( ) 11．一个三角形里虽然有两个锐角，但这个三角形不一定是锐角三角形。( ) 12．等腰三角形不一定是等边三角形。( ) 13．直角三角形的两条直角边可以看作是直角三角形的两条高，所以直角三角形只有两条高。( ) 14．每个三角形中最少有两个内角是锐角。( ) 四、作图题 15．按要求在点子图上画三角形，并在每个三角形中至少画出1条高。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $