专题11：三角形的特性（知识精讲+例题讲解+培优练习）-2025-2026学年四年级下册数学人教版

专题11：三角形的特性 知识精讲+例题讲解+培优练习 亲爱的同学们： 在我们生活的世界里，藏着许多奇妙的图形，它们像一个个小精灵，悄悄地出现在屋顶、桥梁、交通标志、风筝上……你发现了吗？其中有一个图形，它稳定、坚固、美观，它就是——三角形！在本册前面的学习中，我们已经认识了线段、角、平行四边形等图形，也学会了用量角器、直尺测量和画图。今天，我们将走进“三角形的特性”这个有趣的数学世界。你将知道：什么样的图形才是三角形？三角形的高怎么画？为什么三角形具有稳定性？这些问题都等着我们去探索。本讲义严格依据人教版四年级下册数学教材编写，紧扣课程标准，不超纲、不拔高，从“观察—操作—归纳—应用”的学习路径出发，帮助你理解三角形的基本特征，掌握画高的方法，感受“稳定性”的数学价值。我们通过动手画一画、折一折、比一比，培养空间观念和推理意识。希望你在学习中多动手、多思考、多表达，像小小建筑师一样去发现图形的奥秘。让我们一起揭开三角形的神秘面纱，开启一段充满智慧与乐趣的图形之旅吧！ 知识精讲 1. 三角形的定义与基本特征 （1）三角形的定义 由三条线段围成的图形叫做三角形。 强调：“围成”表示首尾相连，不能有缺口，也不能交叉。 三角形有3条边、3个角、3个顶点。 （2）三角形的表示方法 用三个大写字母表示顶点，如三角形ABC，记作“△ABC”。 读作“三角形ABC”。 （3）三角形的边与角的关系 每条边连接两个顶点，每个角由两条边组成。 三角形的任意两边之和大于第三边（本课不作计算要求，但可通过操作感知）。 2. 三角形的高与底 （1）高的定义 从三角形的一个顶点向它的对边（或对边的延长线）作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。 这条对边叫做三角形的底。 （2）高的画法步骤 ① 找顶点和对应的底边； ② 用三角尺的直角边与底边重合； ③ 移动三角尺，使另一条直角边经过顶点； ④ 画出垂线段，标上直角符号，写上“高”。 （3）高的条数 三角形有三条底，对应有三条高。 每条边都可以作为底，从对角的顶点向这条边作高。 3. 三角形的稳定性 （1）实验感知 用三根小棒和图钉做一个三角形，用手拉一拉，发现形状不变。 用四根小棒做一个四边形，拉一拉，发现容易变形。 （2）结论 三角形具有稳定性，即：当三条边的长度确定后，三角形的形状和大小就固定了。 （3）生活应用 房屋的屋顶支架、自行车的车架、电线杆的拉线、桥梁的钢架等，都利用了三角形的稳定性。 4. 与前面知识的联系 （1）二年级：初步认识三角形，能从图形中辨认。 （2）三年级：学习了长方形、正方形的特征，理解“边”“角”“顶点”等概念。 （3）本册前期：学习了“平行与垂直”“角的度量”，为画高提供操作基础。 （4）后续铺垫：为四年级下册“三角形的分类”“三角形的内角和”以及五年级“多边形面积”打下基础。 5. 易错点提醒 （1）误认为“有三条边的图形都是三角形”——必须是“围成”的封闭图形。 （2）画高时，垂线没有从顶点出发，或没有垂直于底边。 （3）忽略直角符号，导致高不规范。 （4）混淆“底”和“高”的对应关系，如从A点向BC边作高，BC是底。 6. 学习策略建议 （1）动手操作：用小棒摆三角形，用三角尺画高，增强直观感知。 （2）画图标注：画高时，用虚线，标直角符号，写“高”和“底”。 （3）语言表达：多说“从顶点A向边BC作高，垂足是D，线段AD是高”。 （4）生活联系：观察家中的家具、建筑结构，找一找三角形的影子。 例题讲解 【典型例题】 说一说：为什么自行车的车架要做成三角形？这利用了三角形的什么特性？ 解析： 因为三角形具有稳定性。 当三根钢管的长度固定后，组成的三角形形状就不会改变，即使受到外力拉扯或挤压，也不容易变形，能保证自行车行驶时的稳定和安全。 【跟踪练习】 生活中还有哪些地方用到了三角形的稳定性？请举出两个例子，并简单说明。 答案及解析： 示例1：房屋的屋顶支架。用三角形结构支撑屋顶，能承受风雨和积雪的压力，不易倒塌。 示例2：电线杆的拉线。拉线与电杆、地面组成三角形，防止电杆倾斜。 其他例子：桥梁钢架、篮球架底座、塔吊结构等。 培优练习 一、选择题 1．下面不是利用三角形稳定性的是（    ）。 A．伸缩门 B．房顶钢架 C．固定树木 D．人字梯 【答案】A 【分析】平行四边形容易变形，三角形具有稳定的特性，据此找出图中的三角形即可。 【详解】A．伸缩门利用了平行四边形容易变形； B．房顶钢架利用了三角形稳定性； C．固定树木利用了三角形稳定性； D．人字梯利用了三角形稳定性。 不是利用三角形稳定性的是。 故答案为：A 2．下面的各组小棒中，不能围成三角形的是（    ）。 A．3cm，4cm，6cm B．3cm，3cm，7cm C．5cm，5cm，9cm D．4cm，5cm，8cm 【答案】B 【分析】根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，对每组小棒进行判断。 【详解】A.，，，能围成三角形。 B.，不满足任意两边之和大于第三边，不能围成三角形。 C.，，，能围成三角形。 D.，，，能围成三角形。 故答案为B。 3．聪聪准备把一根长10cm的吸管剪成3段围成三角形。如果第一刀剪在3cm处，那么第二刀在（    ）处剪才能围成三角形。 A．a B．b C．c D．d 【答案】C 【详解】根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，先确定第一刀剪后余下两段长度和，再分析第二刀的位置。 【解答】A．a处剪开，三条边分别是3厘米、1厘米、10－1－3＝6（厘米）； 1＋3＜6，不能围成三角形； B．b处剪开，三条边分别是3厘米、2厘米、10－3－2＝5（厘米）； 2＋3＝5，不能围成三角形； C．c处剪开，三条边分别是3厘米、3厘米、10－3－3＝4（厘米）； 3＋3＞4，能围成三角形； D．d处剪开，三条边分别是3厘米、1厘米、10－3－1＝6（厘米） 3＋1＜6，不能围成三角形；。 所以第2刀应该选在C处。 故答案为：C 4．一个三角形的周长是20cm，那么它的任意一边的长一定（    ）10cm。 A．大于 B．等于 C．小于 D．小于或等于 【答案】C 【分析】三角形任意两边之和大于第三边。 【详解】假设三角形的一条边长为10cm，那么另外两条边的长度之和为20-10=10cm，此时两边之和等于第三边，不符合三角形三边关系。 若一条边长大于10cm，则另外两条边的长度之和小于10cm，更无法满足两边之和大于第三边，所以任意一边的长一定小于10cm。 故答案为C。 5．乐乐用四根长度分别为3厘米、4厘米、5厘米、7厘米的木棒摆三角形，他能摆出（    ）种不同的三角形。 A．3 B．4 C．5 D．7 【答案】A 【分析】根据三角形的特性：两边之和一定大于第三条边，两边之差一定小于第三条边。据此逐一分析即可。 【详解】能摆成三角形的有：①3厘米、4厘米、5厘米；②3厘米、5厘米、7厘米；③4厘米、5厘米、7厘米。 所以他能摆出3种不同的三角形。 故答案为：A 二、填空题 6．用长度分别为11cm，6cm和( )cm的小棒一定能围成一个三角形。 【答案】10 【分析】根据三角形的三边关系（两边之和大于第三边，两边之差小于第三边），先计算两边之差，再计算两边之和，则第三边的长度范围是：两边之差＜第三边＜两边之和，只要是在这个范围内的数都满足。 【详解】11－6＝5（cm） 11＋6＝17（cm） 所以第三边的长度只要满足大于5cm且小于17cm即可。 所以用长度分别为11cm，6cm和10cm（答案不唯一）的小棒一定能围成一个三角形。 7．房屋的屋顶采用三角形设计，是利用了三角形的( )性。 【答案】稳定 【详解】三角形具有不易变形的特点，这种特性被称为稳定性，即三角形的三条边长度确定后，三角形的形状和大小就固定不变，不易变形，而平行四边形具有易变形性。房屋的屋顶需要稳定的结构，三角形的这种特性，能够满足屋顶结构稳定的需求。 所以房屋的屋顶采用三角形设计，是利用了三角形的稳定性。 8．露营是小朋友喜欢的户外活动，三角形帐篷是露营时最常见的设备（如图），它是利用了三角形( )的特性。 【答案】稳定 【分析】三角形稳定性是指三角形不容易变形，有着稳固、坚定、耐压的特点。因此埃及金字塔、钢轨、三角形框架、起重机、三角形吊臂、屋顶、三角形钢架、钢架桥和埃菲尔铁塔都以三角形形状建造。据此解答。 【详解】根据分析可知： 露营是小朋友喜欢的户外活动，三角形帐篷是露营时最常见的设备（如图），它是利用了三角形稳定的特性。 9．小明准备用图钉固定硬纸条做一个三角形。他最少应该准备( )根硬纸条，准备( )个图钉。如果有2根硬纸条分别长4厘米和6厘米，那么另一根硬纸条最长为( )厘米。（硬纸条的长度是整厘米数） 【答案】 3 3 9 【分析】三角形有三条边，所以最少应该准备3根硬纸条；每两根纸条要用一个图钉固定住，所以至少准备3个图钉；根据三角形两边之和大于第三边，先将已知2条边之和算出＝4＋6＝10（厘米），另一条应该小于10厘米，最大为9厘米。 【详解】根据分析，他最少应该准备3根硬纸条； 准备3个图钉；如果有2根硬纸条分别长4厘米和6厘米，那么另一根硬纸条最长为9厘米。 10．有4cm和9cm长的2根小棒，如果要围成一个三角形，第3根小棒最长是( )cm，最短是( )cm。（小棒长度为整厘米数） 【答案】 12 6 【分析】结合题意得知，两根小棒的长度分别为4厘米、9厘米，那么根据三角形的特征：任意两边之和大于第三边，，那么可以知道第三边最长是多少厘米；根据三角形两边之差小于第三边，，那么由此就可以得出第三边最短是多少厘米。 【详解】＜第三边＜， 所以：5＜第三边＜13， 即第三边的取值在5厘米～13厘米之间（不包括5厘米和13厘米），因为三根小棒都是整厘米数， 所以第三根小棒最长为：（厘米），最短为：（厘米）。 三、判断题 11．所有的三角形都有3条高。( ) 【答案】√ 【分析】三角形的高定义为从一个顶点到其对边的垂线段。每个三角形都有三个顶点，因此每个顶点都可以作一条高，即所有三角形都有三条高。这与三角形的定义和性质一致，适用于锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。 【详解】根据分析可知，所有的三角形都有3条高。原题干说法正确。 故答案为：√ 12．用三根长度分别是4cm，5cm，9cm的小棒，一定能围成一个三角形。( ) 【答案】× 【分析】根据三角形三边关系：三角形的任意两边之和必须大于第三边，来解答。 【详解】因为4＋5＝9，9＝9（第三边长度），不满足三角形三边关系，所以不能围成一个三角形。原题说法错误。 故答案为：× 13．三条线段分别长5cm、4cm、9cm，它们可以组成一个三角形。( ) 【答案】× 【分析】判断三条线段能否组成三角形，需依据三角形三边关系定理：任意两边之和必须大于第三边。若存在任意两边之和不大于第三边（包括等于或小于），则不能组成三角形。本题中三边长度分别为5cm、4cm、9cm，需逐一检验三组组合是否满足条件。 【详解】根据三角形三边关系定理，检验三条线段： ，不大于9（等于9），不满足； 因存在两边之和不大于第三边的情况（），故这三条线段不能组成一个三角形。 故答案为：× 14．周长是18cm的三角形，其中两条边的长度可能是9cm和6cm。( ) 【答案】× 【分析】根据三角形三边关系定理，任意两边之和必须大于第三边。已知三角形周长为18cm，若两条边分别为9cm和6cm，则第三条边为3cm。验证三边关系时，发现有一种情况，两边之和不大于第三条边，因此不能形成三角形。 【详解】第三条边长为 (cm) 检查三角形三边关系： (1) → ，成立； (2) → ，成立； (3) → ，不成立。 由于不满足任意两边之和大于第三边的条件，因此这样的三角形不可能存在，题干说法错误。 故答案为：× 15．三角形有两条边的长都是4cm，那么第三条边的长一定大于4cm。( ) 【答案】× 【分析】根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边。已知两条边均为4cm，设第三条边为x cm，则需满足，即，且，即。因此x的取值范围为。当时，可构成等边三角形；当时，也可构成三角形。题干中“一定大于4cm”的说法不成立，因为第三条边的长可以小于或等于4cm。 【详解】在三角形中，任意两边之和大于第三边。已知两条边的长度都是4cm，设第三条边的长度为x cm。根据三角形三边关系，需满足： （1） （2） 因此，x的取值范围是。 当时，三边分别为4cm、4cm、4cm，满足，可构成等边三角形。 当时，三边分别为4cm、4cm、3cm，满足，，可构成等腰三角形。 题干中“第三条边的长一定大于4cm”的说法错误，因为第三条边的长可以小于4cm（如3cm）或等于4cm。 故答案为：× 【点睛】掌握三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，是解题的关键。 四、解答题 16．如下图，乐乐要从家去学校，走哪条路最近？为什么？ 【答案】走第②条路最近。因为两点间所有连线中线段最短。 【分析】运用两点间所有连线中线段最短的原理来判断从乐乐家到学校哪条路最近。观察图中三条路线，第①条是曲线，第②条是线段，第③条是折线，根据两点间所有连线中线段最短，所以走第②条路最近，据此解答。 【详解】由分析可知，答：走第②条路最近。因为两点间所有连线中线段最短。 17．小猴子想做一个三角形框架，已经锯好了两根木条（如下图）。第三根木条的长度最长是多少分米？最短是多少分米？（木条长为整分米数） 【答案】 19dm；5dm 【分析】根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。已知两根木条的长度分别为12分米和8分米，先计算两边之和与两边之差，从而确定第三根木条长度的取值范围，再根据木条长为整分米数，得出最长和最短的长度。 【详解】（dm） （dm） 第三根木条的长度应大于4dm且小于20dm，因为木条长为整分米数，所以最长是19dm，最短是5dm。 答：第三根木条的长度最长是19分米，最短是5分米。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11：三角形的特性 知识精讲+例题讲解+培优练习 亲爱的同学们： 在我们生活的世界里，藏着许多奇妙的图形，它们像一个个小精灵，悄悄地出现在屋顶、桥梁、交通标志、风筝上……你发现了吗？其中有一个图形，它稳定、坚固、美观，它就是——三角形！在本册前面的学习中，我们已经认识了线段、角、平行四边形等图形，也学会了用量角器、直尺测量和画图。今天，我们将走进“三角形的特性”这个有趣的数学世界。你将知道：什么样的图形才是三角形？三角形的高怎么画？为什么三角形具有稳定性？这些问题都等着我们去探索。本讲义严格依据人教版四年级下册数学教材编写，紧扣课程标准，不超纲、不拔高，从“观察—操作—归纳—应用”的学习路径出发，帮助你理解三角形的基本特征，掌握画高的方法，感受“稳定性”的数学价值。我们通过动手画一画、折一折、比一比，培养空间观念和推理意识。希望你在学习中多动手、多思考、多表达，像小小建筑师一样去发现图形的奥秘。让我们一起揭开三角形的神秘面纱，开启一段充满智慧与乐趣的图形之旅吧！ 知识精讲 1. 三角形的定义与基本特征 （1）三角形的定义 由三条线段围成的图形叫做三角形。 强调：“围成”表示首尾相连，不能有缺口，也不能交叉。 三角形有3条边、3个角、3个顶点。 （2）三角形的表示方法 用三个大写字母表示顶点，如三角形ABC，记作“△ABC”。 读作“三角形ABC”。 （3）三角形的边与角的关系 每条边连接两个顶点，每个角由两条边组成。 三角形的任意两边之和大于第三边（本课不作计算要求，但可通过操作感知）。 2. 三角形的高与底 （1）高的定义 从三角形的一个顶点向它的对边（或对边的延长线）作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。 这条对边叫做三角形的底。 （2）高的画法步骤 ① 找顶点和对应的底边； ② 用三角尺的直角边与底边重合； ③ 移动三角尺，使另一条直角边经过顶点； ④ 画出垂线段，标上直角符号，写上“高”。 （3）高的条数 三角形有三条底，对应有三条高。 每条边都可以作为底，从对角的顶点向这条边作高。 3. 三角形的稳定性 （1）实验感知 用三根小棒和图钉做一个三角形，用手拉一拉，发现形状不变。 用四根小棒做一个四边形，拉一拉，发现容易变形。 （2）结论 三角形具有稳定性，即：当三条边的长度确定后，三角形的形状和大小就固定了。 （3）生活应用 房屋的屋顶支架、自行车的车架、电线杆的拉线、桥梁的钢架等，都利用了三角形的稳定性。 4. 与前面知识的联系 （1）二年级：初步认识三角形，能从图形中辨认。 （2）三年级：学习了长方形、正方形的特征，理解“边”“角”“顶点”等概念。 （3）本册前期：学习了“平行与垂直”“角的度量”，为画高提供操作基础。 （4）后续铺垫：为四年级下册“三角形的分类”“三角形的内角和”以及五年级“多边形面积”打下基础。 5. 易错点提醒 （1）误认为“有三条边的图形都是三角形”——必须是“围成”的封闭图形。 （2）画高时，垂线没有从顶点出发，或没有垂直于底边。 （3）忽略直角符号，导致高不规范。 （4）混淆“底”和“高”的对应关系，如从A点向BC边作高，BC是底。 6. 学习策略建议 （1）动手操作：用小棒摆三角形，用三角尺画高，增强直观感知。 （2）画图标注：画高时，用虚线，标直角符号，写“高”和“底”。 （3）语言表达：多说“从顶点A向边BC作高，垂足是D，线段AD是高”。 （4）生活联系：观察家中的家具、建筑结构，找一找三角形的影子。 例题讲解 【典型例题】 说一说：为什么自行车的车架要做成三角形？这利用了三角形的什么特性？ 解析： 因为三角形具有稳定性。 当三根钢管的长度固定后，组成的三角形形状就不会改变，即使受到外力拉扯或挤压，也不容易变形，能保证自行车行驶时的稳定和安全。 【跟踪练习】 生活中还有哪些地方用到了三角形的稳定性？请举出两个例子，并简单说明。 培优练习 一、选择题 1．下面不是利用三角形稳定性的是（    ）。 A．伸缩门 B．房顶钢架 C．固定树木 D．人字梯 2．下面的各组小棒中，不能围成三角形的是（    ）。 A．3cm，4cm，6cm B．3cm，3cm，7cm C．5cm，5cm，9cm D．4cm，5cm，8cm 3．聪聪准备把一根长10cm的吸管剪成3段围成三角形。如果第一刀剪在3cm处，那么第二刀在（    ）处剪才能围成三角形。 A．a B．b C．c D．d 4．一个三角形的周长是20cm，那么它的任意一边的长一定（    ）10cm。 A．大于 B．等于 C．小于 D．小于或等于 5．乐乐用四根长度分别为3厘米、4厘米、5厘米、7厘米的木棒摆三角形，他能摆出（    ）种不同的三角形。 A．3 B．4 C．5 D．7 二、填空题 6．用长度分别为11cm，6cm和( )cm的小棒一定能围成一个三角形。 7．房屋的屋顶采用三角形设计，是利用了三角形的( )性。 8．露营是小朋友喜欢的户外活动，三角形帐篷是露营时最常见的设备（如图），它是利用了三角形( )的特性。 9．小明准备用图钉固定硬纸条做一个三角形。他最少应该准备( )根硬纸条，准备( )个图钉。如果有2根硬纸条分别长4厘米和6厘米，那么另一根硬纸条最长为( )厘米。（硬纸条的长度是整厘米数） 10．有4cm和9cm长的2根小棒，如果要围成一个三角形，第3根小棒最长是( )cm，最短是( )cm。（小棒长度为整厘米数） 三、判断题 11．所有的三角形都有3条高。( ) 12．用三根长度分别是4cm，5cm，9cm的小棒，一定能围成一个三角形。( ) 13．三条线段分别长5cm、4cm、9cm，它们可以组成一个三角形。( ) 14．周长是18cm的三角形，其中两条边的长度可能是9cm和6cm。( ) 15．三角形有两条边的长都是4cm，那么第三条边的长一定大于4cm。( ) 四、解答题 16．如下图，乐乐要从家去学校，走哪条路最近？为什么？ 17．小猴子想做一个三角形框架，已经锯好了两根木条（如下图）。第三根木条的长度最长是多少分米？最短是多少分米？（木条长为整分米数） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $