专题13：三角形的内角和（知识精讲+例题讲解+培优练习）-2025-2026学年四年级下册数学人教版

专题13：三角形的内角和 知识精讲+例题讲解+培优练习 亲爱的同学们： 在前面的学习中，我们已经认识了三角形，知道了它有三条边、三个角、三个顶点，也学会了按角和边给三角形分类。你是否曾好奇过：每一个三角形的三个内角加起来，到底有多大呢？是不是所有三角形的内角和都一样？今天，我们将一起探索一个非常有趣的数学奥秘——三角形的内角和。本讲义严格按照人教版四年级下册数学教材编写，紧扣课程标准，不超纲、不拔高，从“操作—观察—猜想—验证”的学习路径出发，帮助你通过量一量、拼一拼、算一算等动手活动，发现三角形内角和的规律。我们将结合生活实例、图形操作和简单推理，培养你的空间观念、几何直观和推理意识。希望你在学习中多动手、多思考、多表达，像小小数学家一样去发现、去验证、去应用。让我们一起走进三角形的奇妙世界，揭开“内角和”的神秘面纱，开启一段充满探索与发现的数学之旅吧！ 知识精讲 1. 三角形的内角和 （1）定义 三角形的三个角叫做内角，这三个内角的度数加起来的总和，叫做三角形的内角和。 （2）内角和规律 任意一个三角形的内角和都是 180°。 无论是锐角三角形、直角三角形，还是钝角三角形，它们的内角和都等于180°。 （3）验证方法 测量法：用量角器分别量出三个内角的度数，再相加，看是否接近180°。 拼角法：把三角形的三个角剪下来，拼在一起，会发现它们正好组成一个平角（180°）。 折叠法：通过折叠三角形，使三个角拼成一条直线，验证其和为180°。 （4）举例说明 一个直角三角形，两个锐角分别是50°和40°，那么第三个角是90°，50° + 40° + 90° = 180°。 一个等边三角形，每个角都是60°，60° + 60° + 60° = 180°。 2. 应用内角和求未知角 （1）已知两个角，求第三个角 方法：用180°减去已知的两个角的度数和，就是第三个角的度数。 公式：∠3 = 180° - ∠1 - ∠2 （2）等腰三角形中的应用 等腰三角形有两个底角相等，已知顶角，可求底角：底角 = (180° - 顶角) ÷ 2 已知底角，可求顶角：顶角 = 180° - 底角 × 2 （3）直角三角形中的应用 直角三角形中，一个角是90°，另外两个锐角的和是90°。 所以：一个锐角 = 90° - 另一个锐角 3. 易错点提醒 （1）误以为“大三角形内角和大，小三角形内角和小”——其实所有三角形内角和都是180°； （2）计算时忘记单位“°”或漏减； （3）在等腰三角形中，混淆顶角和底角； （4）拼角时操作不准确，导致误判。 4. 学习策略建议 （1）动手操作：剪一剪、拼一拼，亲身体验“三个角拼成一条直线”； （2）合作探究：和同学一起测量不同三角形，比较结果； （3）多表达：说说“你是怎么验证的”“为什么是180°”； （4）多应用：在画图、解题中灵活运用内角和知识。 例题讲解 【典型例题1】 一个三角形，已知∠1 = 60°，∠2 = 70°，求∠3的度数。 解析： 三角形的内角和是180°。 ∠3 = 180° - ∠1 - ∠2 = 180° - 60° - 70° = 50° 答：∠3 是 50°。 【跟踪练习1】 1.一个三角形中，∠1 = 45°，∠2 = 65°，求∠3。 2.一个三角形中，∠1 = 30°，∠2 = 90°，求∠3。 【典型例题2】 一个等腰三角形，顶角是80°，求它的一个底角是多少度？ 解析： 等腰三角形的两个底角相等。 两个底角的和 = 180° - 80° = 100° 一个底角 = 100° ÷ 2 = 50° 答：一个底角是50°。 【跟踪练习2】 1.一个等腰三角形，一个底角是75°，求它的顶角是多少度？ 2.一个等腰三角形，顶角是40°，求它的一个底角。 【典型例题3】 一个直角三角形中，一个锐角是35°，求另一个锐角是多少度？ 解析： 直角三角形中，有一个角是90°。 两个锐角的和 = 180° - 90° = 90° 另一个锐角 = 90° - 35° = 55° 答：另一个锐角是55°。 【跟踪练习3】 1.一个直角三角形中，一个锐角是28°，求另一个锐角。 2.一个直角三角形中，两个锐角相等，每个锐角是多少度？ 培优练习 一、选择题 1．下面4组数据，表示的都是一个三角形中的其中两个角的度数。哪组的三角形是等腰三角形？（    ） A．40°、100° B．30°、60° C．45°、55° D．50°、60° 2．一个锐角三角形，任意两个锐角的和（    ）90°。 A．大于 B．等于 C．小于 D．无法确定 3．如图，若∠1＝30°，则∠2＝（    ）。 A．60° B．100° C．120° D．140° 4．有一个三角形纸片被撕掉一个角（如图），按角分，这是一个（    ）三角形。 A．锐角 B．等边 C．直角 D．钝角 5．下面说法错误的是（    ）。 A．一条射线长10m B．一个三角形至少有2个锐角 C．梯形的内角和是360° D．两个完全一样的梯形可以拼成平行四边形 二、填空题 6．在三角形ABC中，∠A＝48°，∠C＝63°，∠B＝( )°。按角分，这是一个( )三角形。 7．在三角形中，∠1＝45°，∠2＝38°，∠3＝( )°，它是一个( )三角形。 8．一个等腰三角形的底角是55°，它的顶角是( )°，按角分这个三角形是一个( )三角形。 9．乐乐买了一个等腰三角形的风铃，它的一个底角是40°，顶角是( )°。按角分，这个风铃是一个( )三角形。 10．一个等腰三角形，它的一个角是30°，那么它的另两个角可能是( )°和( )°，也可能是( )°和( )°。 三、判断题 11．用一个10倍的放大镜看一个四边形，它的内角和为3600°。( ) 12．任意四边形的内角和是任意三角形内角和的2倍。( ) 13．在一个三角形中，如果两个内角度数的和等于第三个内角的度数，那么这个三角形是钝角三角形。( ) 14．用相同的正五边形可以密铺。( ) 15．一个三角形中的最小角是46°，这个三角形一定是锐角三角形。( ) 四、解答题 16．如图，∠1＋∠2＋∠3＝180°，∠3是直角，请求出∠1和∠2的度数。 17．如下图，三角形ABC是等边三角形。已知∠1＝35°，求∠2的度数。 18．王伯伯家有一块三角形菜地，三角形菜地的最大内角是120°，是另一个内角度数的4倍。这块三角形菜地的形状按边分是什么三角形？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13：三角形的内角和 知识精讲+例题讲解+培优练习 亲爱的同学们： 在前面的学习中，我们已经认识了三角形，知道了它有三条边、三个角、三个顶点，也学会了按角和边给三角形分类。你是否曾好奇过：每一个三角形的三个内角加起来，到底有多大呢？是不是所有三角形的内角和都一样？今天，我们将一起探索一个非常有趣的数学奥秘——三角形的内角和。本讲义严格按照人教版四年级下册数学教材编写，紧扣课程标准，不超纲、不拔高，从“操作—观察—猜想—验证”的学习路径出发，帮助你通过量一量、拼一拼、算一算等动手活动，发现三角形内角和的规律。我们将结合生活实例、图形操作和简单推理，培养你的空间观念、几何直观和推理意识。希望你在学习中多动手、多思考、多表达，像小小数学家一样去发现、去验证、去应用。让我们一起走进三角形的奇妙世界，揭开“内角和”的神秘面纱，开启一段充满探索与发现的数学之旅吧！ 知识精讲 1. 三角形的内角和 （1）定义 三角形的三个角叫做内角，这三个内角的度数加起来的总和，叫做三角形的内角和。 （2）内角和规律 任意一个三角形的内角和都是 180°。 无论是锐角三角形、直角三角形，还是钝角三角形，它们的内角和都等于180°。 （3）验证方法 测量法：用量角器分别量出三个内角的度数，再相加，看是否接近180°。 拼角法：把三角形的三个角剪下来，拼在一起，会发现它们正好组成一个平角（180°）。 折叠法：通过折叠三角形，使三个角拼成一条直线，验证其和为180°。 （4）举例说明 一个直角三角形，两个锐角分别是50°和40°，那么第三个角是90°，50° + 40° + 90° = 180°。 一个等边三角形，每个角都是60°，60° + 60° + 60° = 180°。 2. 应用内角和求未知角 （1）已知两个角，求第三个角 方法：用180°减去已知的两个角的度数和，就是第三个角的度数。 公式：∠3 = 180° - ∠1 - ∠2 （2）等腰三角形中的应用 等腰三角形有两个底角相等，已知顶角，可求底角：底角 = (180° - 顶角) ÷ 2 已知底角，可求顶角：顶角 = 180° - 底角 × 2 （3）直角三角形中的应用 直角三角形中，一个角是90°，另外两个锐角的和是90°。 所以：一个锐角 = 90° - 另一个锐角 3. 易错点提醒 （1）误以为“大三角形内角和大，小三角形内角和小”——其实所有三角形内角和都是180°； （2）计算时忘记单位“°”或漏减； （3）在等腰三角形中，混淆顶角和底角； （4）拼角时操作不准确，导致误判。 4. 学习策略建议 （1）动手操作：剪一剪、拼一拼，亲身体验“三个角拼成一条直线”； （2）合作探究：和同学一起测量不同三角形，比较结果； （3）多表达：说说“你是怎么验证的”“为什么是180°”； （4）多应用：在画图、解题中灵活运用内角和知识。 例题讲解 【典型例题1】 一个三角形，已知∠1 = 60°，∠2 = 70°，求∠3的度数。 解析： 三角形的内角和是180°。 ∠3 = 180° - ∠1 - ∠2 = 180° - 60° - 70° = 50° 答：∠3 是 50°。 【跟踪练习1】 1.一个三角形中，∠1 = 45°，∠2 = 65°，求∠3。 2.一个三角形中，∠1 = 30°，∠2 = 90°，求∠3。 答案及解析： 1.∠3 = 180° - 45° - 65° = 70° 2.∠3 = 180° - 30° - 90° = 60° 解析：利用“三角形内角和是180°”的规律，用减法求未知角，注意计算准确，单位“°”不能漏。 【典型例题2】 一个等腰三角形，顶角是80°，求它的一个底角是多少度？ 解析： 等腰三角形的两个底角相等。 两个底角的和 = 180° - 80° = 100° 一个底角 = 100° ÷ 2 = 50° 答：一个底角是50°。 【跟踪练习2】 1.一个等腰三角形，一个底角是75°，求它的顶角是多少度？ 2.一个等腰三角形，顶角是40°，求它的一个底角。 答案及解析： 1.两个底角和 = 75° × 2 = 150°，顶角 = 180° - 150° = 30° 2.两个底角和 = 180° - 40° = 140°，一个底角 = 140° ÷ 2 = 70° · 解析：等腰三角形“两底角相等”是关键。已知底角求顶角，用180°减去两个底角；已知顶角求底角，先减再除以2。 【典型例题3】 一个直角三角形中，一个锐角是35°，求另一个锐角是多少度？ 解析： 直角三角形中，有一个角是90°。 两个锐角的和 = 180° - 90° = 90° 另一个锐角 = 90° - 35° = 55° 答：另一个锐角是55°。 【跟踪练习3】 1.一个直角三角形中，一个锐角是28°，求另一个锐角。 2.一个直角三角形中，两个锐角相等，每个锐角是多少度？ 答案及解析： 1.另一个锐角 = 90° - 28° = 62° 2.两个锐角和是90°，相等，所以每个 = 90° ÷ 2 = 45° 解析：直角三角形中，两个锐角互余（和为90°）。可以直接用90°减去已知锐角，更简便。 培优练习 一、选择题 1．下面4组数据，表示的都是一个三角形中的其中两个角的度数。哪组的三角形是等腰三角形？（    ） A．40°、100° B．30°、60° C．45°、55° D．50°、60° 【答案】A 【分析】三角形内角和为180°，等腰三角形底角相等。分别计算各选项中第三个角的度数，若有两个角相等，则该三角形为等腰三角形。 【详解】A．180°－40°－100°＝40°，40°＝40°，是等腰三角形。 B．180°－30°－60°＝90°，不是等腰三角形。 C．180°－45°－55°＝80°，不是等腰三角形。 D．180°－50°－60°＝70°，不是等腰三角形。 故答案为：A 2．一个锐角三角形，任意两个锐角的和（    ）90°。 A．大于 B．等于 C．小于 D．无法确定 【答案】A 【分析】锐角三角形的三个内角都是锐角，锐角是小于90°的角，逐项分析任意两个锐角的和与90°的大小关系，判断哪种情况是锐角三角形。 【详解】A．假设任意两个锐角的和大于90°，如91°，那么第三个内角是：180°－91°＝89°，89°＜90°，这个三角形是锐角三角形，符合题意； B．假设任意两个锐角的和等于90°，那么第三个内角是：180°－90°＝90°，这个三角形是直角三角形，不符合题意； C．假设任意两个锐角的和小于90°，如89°，那么第三个内角是：180°－89°＝91°，90°＜91°＜180°，这个三角形是钝角三角形，不符合题意； D．在锐角三角形中，任意两个锐角的和大于90°，选项D错误。 故答案为：A 3．如图，若∠1＝30°，则∠2＝（    ）。 A．60° B．100° C．120° D．140° 【答案】C 【分析】由图可知，∠1所在的三角形是直角三角形，在直角三角形中，有一个角是90°，三角形的内角和为180°。已知∠1＝30°，则直角三角形中除∠1外的另一个锐角的度数为180°－90°－30°＝60°。因为这个锐角与∠2组成一个平角，平角为180°，所以∠2＝180°－60°＝120°。 【详解】∠1所在的三角形是直角三角形。 180°－90°－30°＝60° 180°－60°＝120° 所以∠2＝120°。 故答案为：C 4．有一个三角形纸片被撕掉一个角（如图），按角分，这是一个（    ）三角形。 A．锐角 B．等边 C．直角 D．钝角 【答案】A 【分析】根据三角形内角和为180°，用180°减去已知的两个角的度数，求出第3个角多少度，根据3个角的度数判断。三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形，有一个直角的三角形叫做直角三角形，有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形。等边三角形的三个角相等。 【详解】180°－46°－67° ＝134°－67° ＝67° 67°、67°、46°都小于90°，所以这是一个锐角三角形。 故答案为：A 5．下面说法错误的是（    ）。 A．一条射线长10m B．一个三角形至少有2个锐角 C．梯形的内角和是360° D．两个完全一样的梯形可以拼成平行四边形 【答案】A 【分析】射线的长度是无限的，射线只有一个端点，只能向一边无限延伸，射线无法测量具体的长度； 多边形的内角和＝（边数-2）×180˚； 梯形是只有一组对边平行的四边形，两个完全一样的梯形（形状和大小相同）进行拼接时，将其中一个梯形旋转180度后，使上底与另一个梯形的下底拼接，此时，新图形的两组对边分别由梯形的上下底之和与腰组成，由于梯形上下底平行，拼接后新图形的两组对边分别平行，符合平行四边形的特征。 【详解】A.射线无法测量，没有具体的长度，原说法错误； B.按角分类，三角形可以分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形：锐角三角形有3个锐角，直角三角形有1个直角、2个锐角，钝角三角形有1个钝角、2个锐角，因此一个三角形至少有2个锐角，原说法正确； C.梯形是四边形，内角和：，原说法正确； D.两个完全一样的梯形根据旋转和拼接可以拼成平行四边形，原说法正确。 故答案为：A 二、填空题 6．在三角形ABC中，∠A＝48°，∠C＝63°，∠B＝( )°。按角分，这是一个( )三角形。 【答案】 69 锐角 【分析】三角形内角和为180°，用内角和减去已知的∠A和∠C的度数，可求出∠B；再根据三个角的大小判断三角形类型（三个角均为锐角则是锐角三角形）。 【详解】求∠B的度数： 判断三角形类型： ∠A＝48°、∠B＝69°、∠C＝63°，三个角均小于90°，因此这是一个锐角三角形。 在三角形ABC中，∠A＝48°，∠C＝63°，∠B＝69°。按角分，这是一个锐角三角形。 7．在三角形中，∠1＝45°，∠2＝38°，∠3＝( )°，它是一个( )三角形。 【答案】 97 钝角 【分析】需要用到三角形内角和的知识，即三角形三个内角的度数之和是180度。已知∠1和∠2的度数，用180度减去∠1与∠2的度数和，即可得到∠3的度数，；大于90度小于180度的角是钝角，有一个角是钝角的三角形是钝角三角形。因为∠3的度数是97度，97度大于90度，所以可以判断这个三角形是钝角三角形。 【详解】∠3：，； 所以，在三角形中，∠1＝45°，∠2＝38°，∠3＝97°，它是一个钝角三角形。 8．一个等腰三角形的底角是55°，它的顶角是( )°，按角分这个三角形是一个( )三角形。 【答案】 70 锐角 【分析】任意三角形的内角和都是180°，等腰三角形的两个底角相等。已知一个等腰三角形的底角是55°，则另一个底角也是55°，用三角形的内角和减去两个底角的度数，求出它的顶角的度数；再根据按角分类的方法，得出这个三角形的类型。 锐角三角形：​三个角都是锐角的三角形； 直角三角形：有一个角是直角的三角形； 钝角三角形：有一个角是钝角的三角形。 【详解】180°－55°－55°＝70° 55°＜90°，70°＜90° 这个等腰三角形的三个内角都是锐角，所以它是锐角三角形。 填空如下： 它的顶角是（70）°，按角分这个三角形是一个（锐角）三角形。 9．乐乐买了一个等腰三角形的风铃，它的一个底角是40°，顶角是( )°。按角分，这个风铃是一个( )三角形。 【答案】 100 钝角 【分析】等腰三角形的两个底角相等，且三角形内角和为180°。先利用“内角和 - 两个底角的度数和”求出顶角；再根据顶角的大小判断三角形类型（顶角大于90°则为钝角三角形）。 【详解】求顶角的度数： 判断三角形类型： 顶角为100°（大于90°），因此这个三角形是钝角三角形。 乐乐买了一个等腰三角形的风铃，它的一个底角是40°，顶角是100°。按角分，这个风铃是一个钝角三角形。 10．一个等腰三角形，它的一个角是30°，那么它的另两个角可能是( )°和( )°，也可能是( )°和( )°。 【答案】 30 120 75 75 【分析】等腰三角形的两腰相等，两个底角相等，三角形的内角和是180°，当30°为底角时，则另一个角也是30°，而用180°减去另外两个角的度数之和，就是顶角的度数；当30°为顶角时，用180°减去30°后，再除以2，就是两个底角的度数，依此解答。 【详解】当30°为底角时： 当30°为顶角时： 一个等腰三角形，它的一个角是30°，那么它的另两个角可能是30°和120°，也可能是75°和75°。 三、判断题 11．用一个10倍的放大镜看一个四边形，它的内角和为3600°。( ) 【答案】× 【分析】放大镜只改变物体的视觉大小，不改变其角度大小。四边形的内角和恒为360°，与是否放大无关。因此，即使用放大镜观察，内角和也不会变为3600°。 【详解】用一个10倍的放大镜看四边形，只是将图形放大到原来的10倍，但每个角的大小不变，因此四个内角的和仍然是360°，而不是3600°。 故答案为：× 12．任意四边形的内角和是任意三角形内角和的2倍。( ) 【答案】√ 【分析】任意三角形的内角和恒为180°，任意四边形的内角和恒为360°。360°是180°的2倍，因此该命题成立。 【详解】任意三角形的内角和为180°，任意四边形的内角和为360°。 ，所以任意四边形的内角和是任意三角形内角和的2倍。 故答案为：√ 13．在一个三角形中，如果两个内角度数的和等于第三个内角的度数，那么这个三角形是钝角三角形。( ) 【答案】× 【分析】根据三角形内角和为180°，设三角形的三个内角分别为、、，且且180°，由此即可分析角度进而判断。 【详解】设三角形的三个内角分别为、、，且且180° 将代入上式，得180°，即90°。 因此，这个三角形有一个内角是90°，是直角三角形。 钝角三角形的定义是有一个内角大于90°，所以不是钝角三角形，原说法错误。 故答案为：× 14．用相同的正五边形可以密铺。( ) 【答案】× 【分析】用一种或几种全等图形（规则图形或不规则图形）进行拼接，图形之间没有空隙，也不重复，这种铺法在数学上叫图形的密铺，也叫图形的镶嵌。能密铺的图形的内角和需要是360°的倍数或者能整除360°。据此解答。 【详解】正五边形的内角和为540°。 540°÷360°＝1……180° 所以正五边形不可以密铺。原题说法错误。 故答案为：× 15．一个三角形中的最小角是46°，这个三角形一定是锐角三角形。( ) 【答案】√ 【分析】根据三角形内角和定理，三角形内角和为180°。一个三角形中至少有两个锐角。已知最小角为46°，则其余两个角均不小于46°。计算最大角的最小可能值：当其余两个角均为46°时，求出第三个角的度数，有一个角是钝角的三角形是钝角三角形，三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，有一个角是直角的三角形是直角三角形，据此判断。 【详解】设三角形的最小角为46°。根据三角形内角和为180°，其余两个角的和为134°。由于最小角为46°，其余两个角均不小于46°。因此，最大角的最大可能值为当其中一个角取最小值46°时，另一个角为134°－46°＝88°。88°＜90°，所以最大角小于90°。最小角46°＞0°，且所有角均小于90°，因此这个三角形一定是锐角三角形。 原题说法正确。 故答案为：√ 四、解答题 16．如图，∠1＋∠2＋∠3＝180°，∠3是直角，请求出∠1和∠2的度数。 【答案】∠1是60°；∠2是30° 【分析】观察图片可知，∠1和120°组成了一个平角，平角＝180°，所以∠1＋120°＝180°，∠1用180°－120°即可求出。上一步求出∠1的度数，题目中给出∠3是直角，∠3＝90°，且∠1＋∠2＋∠3＝180°，用180°－∠3－∠1即可求出∠2的度数。 【详解】∠1＋120°＝180°，所以∠1＝180°－120°＝60° ∠1＋∠2＋∠3＝180°，因为∠1＝60°，∠3＝90°，所以∠2＝180°－∠3－∠1 ∠2＝180°－90°－60°＝30° 答：∠1是60°，∠2是30°。 17．如下图，三角形ABC是等边三角形。已知∠1＝35°，求∠2的度数。 【答案】 【分析】因为三角形ABC是等边三角形，所以每个内角都是60°，即∠4＝60°。利用平角大小求出∠3，再结合内角和180°，最后求出∠2。 【详解】因为三角形ABC是等边三角形，所以， 所以， 所以 答：∠2的度数是25°。 18．王伯伯家有一块三角形菜地，三角形菜地的最大内角是120°，是另一个内角度数的4倍。这块三角形菜地的形状按边分是什么三角形？ 【答案】 等腰三角形 【分析】三角形按边分，可以分为一般三角形、等腰三角形和等边三角形：有两条边相等的三角形，是等腰三角形，等腰三角形两个底角的大小相等；三条边相等的三角形，是等边三角形，等边三角形三个角大小都是60°。 根据题意，已知三角形的最大内角是120°，是另一个内角度数的4倍，用120°除以4即可求出另一个内角的度数；再根据三角形内角和为180°，用180°减去已知的两个角，即可求出第三个内角的度数；根据角的大小关系，再判断这个三角形按边分，是什么三角形，据此解答。 【详解】另一个内角： 第三个内角： 30°＝30°，两个角大小相等 答：这个三角形菜地的形状按边分是等腰三角形。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $