专题02：乘、除法的意义和各部分间的关系（知识精讲+例题讲解+培优练习）-2025-2026学年四年级下册数学人教版

专题02：乘、除法的意义和各部分间的关系 知识精讲+例题讲解+培优练习 亲爱的同学们： 在前面的学习中，我们已经掌握了加法和减法的意义，它们帮助我们解决了“合并”与“去掉”的问题。今天，我们将继续探索数学的奥秘，走进“乘法”和“除法”的世界。乘法是加法的简便运算，除法是乘法的逆运算，它们就像一对亲密的伙伴，共同帮助我们解决生活中“平均分”“几个几”等实际问题。本讲义严格依据人教版四年级下册数学教材编写，紧扣课程标准，不超纲、不拔高，从生活情境出发，帮助你真正理解乘、除法的意义，掌握各部分之间的关系。希望你在学习中多动手、多思考、多表达，学会用数学的眼光观察世界，用数学的方法解决问题。让我们一起开启今天的探索之旅吧！相信你一定能成为乘除法的小专家！ 知识精讲 1. 乘法的意义 （1）定义 求几个相同加数的和的简便运算，叫做乘法。 举例：每盒有6支铅笔，4盒一共有多少支？可以用加法：6 + 6 + 6 + 6 = 24，也可以用乘法：6 × 4 = 24（支）。 （2）乘法各部分的名称 在算式 6 × 4 = 24 中： 6 和 4 叫做因数； “×” 叫做乘号； 24 叫做积。 关系式：因数 × 因数 = 积 （3）乘法的应用场景 求几个几是多少（如：5个8是多少）； 计算总价（单价 × 数量 = 总价）； 计算路程（速度 × 时间 = 路程）。 2. 除法的意义 （1）定义 已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算，叫做除法。 举例：有24支铅笔，每6支装一盒，可以装几盒？列式：24 ÷ 6 = 4（盒）。 （2）除法各部分的名称 在算式 24 ÷ 6 = 4 中： 24 叫做被除数； 6 叫做除数； 4 叫做商。 关系式：被除数 ÷ 除数 = 商 （3）除法的两种情况 平均分：把一个数平均分成几份，求每份是多少。 如：把12个苹果平均分给3个小朋友，每人分几个？12 ÷ 3 = 4（个） 包含除：求一个数里面包含几个另一个数。 如：12个苹果，每3个分一份，可以分几份？12 ÷ 3 = 4（份） 3. 乘法与除法的关系 （1）互为逆运算 乘法和除法是互为逆运算，可以互相验证。 举例：6 × 4 = 24，反过来可以写成 24 ÷ 6 = 4 或 24 ÷ 4 = 6。 （2）各部分之间的关系 由乘法推除法： 积 ÷ 一个因数 = 另一个因数 由除法推乘法： 商 × 除数 = 被除数 被除数 ÷ 商 = 除数（当商不为0时） （3）验算方法 乘法的验算：交换两个因数的位置，积不变；或用积除以一个因数，看是否等于另一个因数。 除法的验算：用“商 × 除数”看是否等于“被除数”。 4. 与前面知识的联系 （1）二年级基础：初步认识乘法，背诵乘法口诀，会计算表内乘除法。 （2）三年级拓展：学习多位数乘一位数、两位数乘两位数，理解算理。 （3）本册衔接：为后续学习“四则混合运算”“解决问题”打下基础。 5. 乘除法在生活中的应用 （1）购物计算：每本笔记本8元，买6本多少钱？ （2）分组活动：48人做游戏，每8人一组，能分几组？ （3）时间与速度：汽车每小时行60千米，4小时行多少千米？ （4）平均分配：妈妈买了36个苹果，分给6个亲戚，每人几个？ 例题讲解 【典型例题1】 根据题意列出算式，并说出各部分名称。 （1）每包方便面3元，买7包一共多少钱？ （2）有56块糖，平均分给8个小朋友，每人分几块？ 解析： （1）求7个3是多少，用乘法：3 × 7 = 21（元） 3 和 7 是因数，21 是积。 （2）把56平均分成8份，用除法：56 ÷ 8 = 7（块） 56 是被除数，8 是除数，7 是商。 【跟踪练习1】 根据题意列出算式，并写出各部分名称。 （1）每支钢笔12元，买5支一共多少钱？ （2）有72个气球，每9个扎一束，可以扎几束？ 答案及解析： （1）12 × 5 = 60（元） 因数：12 和 5，积：60 （2）72 ÷ 9 = 8（束） 被除数：72，除数：9，商：8 【典型例题2】 根据算式 8 × 9 = 72，写出两个相关的除法算式，并说明理由。 解析： 乘法和除法互为逆运算。 已知积是72，一个因数是8，另一个因数是9。 可以推出： 72 ÷ 8 = 9 72 ÷ 9 = 8 答：两个除法算式是 72 ÷ 8 = 9 和 72 ÷ 9 = 8。 【跟踪练习2】 根据算式 63 ÷ 7 = 9，写出一个乘法算式和一个除法算式，并说明它们之间的关系。 答案及解析： 乘法算式：9 × 7 = 63（商 × 除数 = 被除数） 另一个除法算式：63 ÷ 9 = 7（被除数 ÷ 商 = 除数） 关系：乘法和除法可以互相验证，知道其中两个量，可以求出第三个量。 【典型例题3】 填空，并说明依据。 （1）一个因数是8，积是96，另一个因数是（ ）。 （2）被除数是100，商是5，除数是（ ）。 解析： （1）根据“另一个因数 = 积 ÷ 一个因数” 列式：96 ÷ 8 = 12 所以另一个因数是12。 （2）根据“除数 = 被除数 ÷ 商” 列式：100 ÷ 5 = 20 所以除数是20。 【跟踪练习3】 填空，并写出计算依据。 （1）两个因数的积是84，其中一个因数是7，另一个因数是（ ）。 （2）除数是6，商是15，被除数是（ ）。 答案及解析： （1）84 ÷ 7 = 12 依据：另一个因数 = 积 ÷ 一个因数 答：另一个因数是12。 （2）15 × 6 = 90 依据：被除数 = 商 × 除数 答：被除数是90。 培优练习 一、选择题 1．某品牌奶粉营养成分表标注“钙含量≥1200mg/100g”，冲调一杯25g奶粉的牛奶，钙至少（      ）mg。 A．120 B．240 C．300 D．360 【答案】C 【分析】已知“钙含量≥1200mg/100g”，先用1200÷100求出每克奶粉的钙含量，再乘25，即是冲调一杯25g奶粉的牛奶中的钙含量。 【详解】1200÷100×25 ＝12×25 ＝300（mg） 钙至少300mg。 故答案为：C 2．若●＋★＝■，△÷☐＝☆（☐≠0），则下面算式正确的是（    ）。 A．■＋●＝★ B．★－■＝● C．☆÷□＝△ D．□×☆＝△ 【答案】D 【分析】根据加法的各部分关系：加数＋加数＝和，一个加数＝和－另一个加数，被除数÷除数＝商，商×除数＝被除数，据此解答。 【详解】因为●＋★＝■，所以■－●＝★，■－★＝●。 因为△÷☐＝☆（☐≠0），所以□×☆＝△。 故正确答案为：D 3．已知算式○÷□＝△（○、□、△均不为0），则下列算式正确的有（    ）个。 ①○÷△＝□        ②△×□＝○ ③○×△＝□        ④△×□＋○＝○＋○ A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据被除数÷除数＝商，可得其中除数＝被除数÷商，被除数＝商×除数，○是被除数，□是除数，△是商，据此解答即可。 【详解】①○÷△＝□，表示被除数÷商＝除数，正确； ②△×□＝○，表示商×除数＝被除数，正确； ③○×△＝□，表示被除数×商＝除数，错误； ④△×□＋○＝○＋○，表示商×除数＋被除数＝被除数＋被除数，正确。 算式正确的有①②④共3个。 故答案为：C 4．对于没有余数的除法，下列说法正确的有（    ）个。 ①被除数＋除数＋商＝1    ②被除数－（除数＋商）＝0    ③除数一定比商大 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】在没有余数的除法中，被除数÷除数＝商，商×除数＝被除数。据此举例说明即可判断给定的关系是否正确，然后再选择。 【详解】例如：100÷5＝20，5×20＝100，被除数是100，除数是5，商是20。 ①100＋5＋20 ＝105＋20 ＝125 被除数＋除数＋商＝1不成立，说法错误； ②100－（5＋20） ＝100－25 ＝75 被除数－（除数＋商）＝0不成立，说法错误； ③5＜20，除数比商小，则除数一定比商大不成立，说法错误； 说法正确的有0个。 故答案为：A 5．已知，。下面的算式错误的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】被除数÷除数＝商，商×除数＝被除数，被除数÷商＝除数； 乘数×乘数＝积，积÷一个乘数＝另一个乘数； 商不变的规律：被除数和除数同时乘（或除以）一个相同的数（0除外），商不变，余数会随之乘（或除以）这个数； 积的变化规律：一个乘数不变，另一个乘数乘几或除以几（0除外），积也乘或除以几； 据此逐项分析并解答。 【详解】 A．根据，则有，原选项说法正确； B．根据，则有，原选项说法正确； C．根据积的变化规律可知，，则有，原选项说法正确； D．根据商不变的规律可知，，则有，或者，原选项的被除数和除数没有同时除以3或者乘3，故说法错误。 故答案为：D 二、填空题 6．在一个加法算式中，两个加数相等，和是214，其中一个加数是( )；在一个除法算式中，被除数和除数相等（都不为0），商是( )。 【答案】 107 1 【分析】两个加数相等，和是214，所以用214÷2即可计算出其中的一个加数是几；两个相同的数相除，商是1，被除数和除数相等（都不为0），商是1，据此解题， 【详解】214÷2＝107 在一个加法算式中，两个加数相等，和是214，其中一个加数是107；在一个除法算式中，被除数和除数相等（都不为0），商是1。 7．根据714÷17＝42，写出一道乘法算式和一道除法算式分别是( )和( )。 【答案】 【分析】先明确除法算式中各部分的名称，再根据乘除法的互逆关系，分别写出对应的乘法算式和除法算式。 【详解】除数×商＝被除数：； 被除数÷商＝除数：。 所以：根据714÷17＝42，写出一道乘法算式和一道除法算式分别是和。 8．已知两个因数的积是120，其中一个因数是15，另一个因数是( )。 【答案】8 【分析】已知两个因数的积和其中一个因数，求另一个因数，根据“积÷一个因数＝另一个因数”可直接列除法算式计算。 【详解】根据因数与积的关系，另一个因数为：120÷15＝8 所以另一个因数是8。 9．乐乐忘记了自家大门的密码，爸爸根据乐乐所学的知识给她提供了一些线索，其中○＝( )，密码是( )。 线索：○＋△＝□，△×15＝90，54÷△＝□ 密码：○□△○ 【答案】 3 3963 【分析】根据题意，明确加数＋加数＝和，加数＝和－另一个加数；乘数×乘数＝积，乘数＝积÷另一个乘数；被除数÷除数＝商，被除数＝除数×商；根据线索，先通过△×15＝90，求出△的值，再代入54÷△＝□，求出□，最后利用○＋△＝□，求出○。将各符号对应的数字按顺序组合成密码○□△○即可。 【详解】根据分析可知： △×15＝90 △＝90÷15＝6 54÷△＝□ □＝54÷6＝9 ○＋△＝□ ○＝□－△ ○＝9－6＝3 乐乐忘记了自家大门的密码，爸爸根据乐乐所学的知识给她提供了一些线索，其中○＝3，密码是3963。 10．根据3345＋678＝4023，可以直接得出4023－3345＝( )。根据314×26＝8164，可以直接得出8164÷26＝( )。 【答案】 678 314 【分析】根据加减法和乘除法的互逆关系，和减去一个加数等于另一个加数；积除以一个因数等于另一个因数；可以直接写出对应的减法算式和除法算式的答案。 【详解】根据分析可知： 根据3345＋678＝4023，可以直接得出4023－3345＝678。根据314×26＝8164，可以直接得出8164÷26＝314。 三、判断题 11．在一道没有余数除法算式中，被除数、除数和商的和是49，商是4，被除数是32.( ) 【答案】× 【分析】这道题中，除法没有余数，商是4，三个数的和是49。我们先减去商，得到被除数和除数的和是45。因为被除数是除数的4倍，所以除数和它的4倍加起来是5倍除数，等于45，那么除数就是9。被除数就是9×4＝36。所以被除数不是32。 【详解】被除数、除数、商的和是49，商是4，所以被除数＋除数＝49－4＝45； 在没有余数的除法中，被除数＝除数×商，因为商是4，所以被除数＝除数×4； 被除数＋除数＝除数×4＋除数＝除数×5＝45； 因此，除数：45÷5＝9；被除数：9×4＝36； 所以，被除数应该是36，而不是32。 故答案为：× 12．两个数相乘的积一定大于两个数相加的和。( ) 【答案】× 【分析】两个数相乘的积可能大于、等于或小于两个数相加的和。可以通过举反例的方法，例如1×1＝1，1＋1＝2，而1＜2。由此反驳两个数相乘的积一定大于两个数相加的和。 【详解】两个数相乘的积不一定大于这两个数相加的和，例如1×1＝1，1＋1＝2，而1＜2。原说法错误。 故答案为：× 13．被减数＝减数＋差，除数＝商÷被除数。( ) 【答案】× 【分析】在减法算式中，被减数－减数＝差，差＋减数＝被减数；在除法算式中，被除数÷除数＝商，被除数÷商＝除数。据此解答。 【详解】由分析得，被减数＝减数＋差，除数＝被除数÷商。原题说法错误。 故答案为：× 14．两个不为零的数的差是0，则商一定是1。( ) 【答案】√ 【分析】两个不为零的数的差为0，说明这两个数相等。根据除法的意义，一个非零数除以它本身，商为1。依此举例并判断即可。 【详解】假如两个不为零的数为10， 10－10＝0 10÷10＝1 两个不为零的数的差是0，则商一定是1。原题说法正确。 故答案为：√ 15．若34×A＝26×B（A＞0，B＞0），则A与B的大小关系是A＜B。( ) 【答案】 √ 【分析】根据等式34×A＝26×B（A、B均为正数），34比26大，所以A必须比B小，才能使等式成立（因为较大的数乘较小的数，才能等于较小的数乘较大的数）。依此判断即可。 【详解】根据分析可知： 若34×A＝26×B（A＞0，B＞0），则A与B的大小关系是A＜B。说法正确。 故答案为：√ 四、解答题 16．学校图书馆有科技书280本，故事书的本数比科技书的3倍还多20本。学校图书馆有故事书多少本？ 【答案】 860本 【分析】根据题意，明确求一个数的几倍用乘法；求比一个数多几的数用加法。用280乘3，再加上20，就是故事书的数量，据此列式解答即可解决问题。 【详解】根据分析可知： 280×3＋20 ＝840＋20 ＝860（本） 答：学校图书馆有故事书860本。 17．为助力社区净化空气，绿植店特推出两款吸碳绿植：白掌和吊兰。已知店内现有白掌35盆，每盆售价18元；吊兰18盆，每盆售价15元。这两种绿植一共能卖多少钱？ 【答案】 900元 【分析】根据，白掌有35盆，每盆售价18元，根据公式可算出白掌总价，吊兰有18盆，每盆售价15元，同理可算出吊兰总价，然后再把两种绿植的总价相加，即可算出这两种绿植的总售价。 【详解】 （元） 答：这两种绿植一共能卖900元。 18．机器人和女孩一起在舞台上扭秧歌，已知机器人排成4行，每行4位，女孩排成5行，每行4位。这个节目包含机器人一共有多少位演员？ 【答案】36位 【分析】由题可知，机器人4行，每行4位，女孩5行，每行4位。先根据乘法的意义，用行数×每行人数，分别算出机器人和女孩的数量，再根据加法的意义，把机器人和女孩的数量相加得到演员总人数。 【详解】（位） （位） （位） 答：这个节目包含机器人一共有36位演员。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02：乘、除法的意义和各部分间的关系 知识精讲+例题讲解+培优练习 亲爱的同学们： 在前面的学习中，我们已经掌握了加法和减法的意义，它们帮助我们解决了“合并”与“去掉”的问题。今天，我们将继续探索数学的奥秘，走进“乘法”和“除法”的世界。乘法是加法的简便运算，除法是乘法的逆运算，它们就像一对亲密的伙伴，共同帮助我们解决生活中“平均分”“几个几”等实际问题。本讲义严格依据人教版四年级下册数学教材编写，紧扣课程标准，不超纲、不拔高，从生活情境出发，帮助你真正理解乘、除法的意义，掌握各部分之间的关系。希望你在学习中多动手、多思考、多表达，学会用数学的眼光观察世界，用数学的方法解决问题。让我们一起开启今天的探索之旅吧！相信你一定能成为乘除法的小专家！ 知识精讲 1. 乘法的意义 （1）定义 求几个相同加数的和的简便运算，叫做乘法。 举例：每盒有6支铅笔，4盒一共有多少支？可以用加法：6 + 6 + 6 + 6 = 24，也可以用乘法：6 × 4 = 24（支）。 （2）乘法各部分的名称 在算式 6 × 4 = 24 中： 6 和 4 叫做因数； “×” 叫做乘号； 24 叫做积。 关系式：因数 × 因数 = 积 （3）乘法的应用场景 求几个几是多少（如：5个8是多少）； 计算总价（单价 × 数量 = 总价）； 计算路程（速度 × 时间 = 路程）。 2. 除法的意义 （1）定义 已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算，叫做除法。 举例：有24支铅笔，每6支装一盒，可以装几盒？列式：24 ÷ 6 = 4（盒）。 （2）除法各部分的名称 在算式 24 ÷ 6 = 4 中： 24 叫做被除数； 6 叫做除数； 4 叫做商。 关系式：被除数 ÷ 除数 = 商 （3）除法的两种情况 平均分：把一个数平均分成几份，求每份是多少。 如：把12个苹果平均分给3个小朋友，每人分几个？12 ÷ 3 = 4（个） 包含除：求一个数里面包含几个另一个数。 如：12个苹果，每3个分一份，可以分几份？12 ÷ 3 = 4（份） 3. 乘法与除法的关系 （1）互为逆运算 乘法和除法是互为逆运算，可以互相验证。 举例：6 × 4 = 24，反过来可以写成 24 ÷ 6 = 4 或 24 ÷ 4 = 6。 （2）各部分之间的关系 由乘法推除法： 积 ÷ 一个因数 = 另一个因数 由除法推乘法： 商 × 除数 = 被除数 被除数 ÷ 商 = 除数（当商不为0时） （3）验算方法 乘法的验算：交换两个因数的位置，积不变；或用积除以一个因数，看是否等于另一个因数。 除法的验算：用“商 × 除数”看是否等于“被除数”。 4. 与前面知识的联系 （1）二年级基础：初步认识乘法，背诵乘法口诀，会计算表内乘除法。 （2）三年级拓展：学习多位数乘一位数、两位数乘两位数，理解算理。 （3）本册衔接：为后续学习“四则混合运算”“解决问题”打下基础。 5. 乘除法在生活中的应用 （1）购物计算：每本笔记本8元，买6本多少钱？ （2）分组活动：48人做游戏，每8人一组，能分几组？ （3）时间与速度：汽车每小时行60千米，4小时行多少千米？ （4）平均分配：妈妈买了36个苹果，分给6个亲戚，每人几个？ 例题讲解 【典型例题1】 根据题意列出算式，并说出各部分名称。 （1）每包方便面3元，买7包一共多少钱？ （2）有56块糖，平均分给8个小朋友，每人分几块？ 解析： （1）求7个3是多少，用乘法：3 × 7 = 21（元） 3 和 7 是因数，21 是积。 （2）把56平均分成8份，用除法：56 ÷ 8 = 7（块） 56 是被除数，8 是除数，7 是商。 【跟踪练习1】 根据题意列出算式，并写出各部分名称。 （1）每支钢笔12元，买5支一共多少钱？ （2）有72个气球，每9个扎一束，可以扎几束？ 【典型例题2】 根据算式 8 × 9 = 72，写出两个相关的除法算式，并说明理由。 解析： 乘法和除法互为逆运算。 已知积是72，一个因数是8，另一个因数是9。 可以推出： 72 ÷ 8 = 9 72 ÷ 9 = 8 答：两个除法算式是 72 ÷ 8 = 9 和 72 ÷ 9 = 8。 【跟踪练习2】 根据算式 63 ÷ 7 = 9，写出一个乘法算式和一个除法算式，并说明它们之间的关系。 【典型例题3】 填空，并说明依据。 （1）一个因数是8，积是96，另一个因数是（ ）。 （2）被除数是100，商是5，除数是（ ）。 解析： （1）根据“另一个因数 = 积 ÷ 一个因数” 列式：96 ÷ 8 = 12 所以另一个因数是12。 （2）根据“除数 = 被除数 ÷ 商” 列式：100 ÷ 5 = 20 所以除数是20。 【跟踪练习3】 填空，并写出计算依据。 （1）两个因数的积是84，其中一个因数是7，另一个因数是（ ）。 （2）除数是6，商是15，被除数是（ ）。 培优练习 一、选择题 1．某品牌奶粉营养成分表标注“钙含量≥1200mg/100g”，冲调一杯25g奶粉的牛奶，钙至少（      ）mg。 A．120 B．240 C．300 D．360 2．若●＋★＝■，△÷☐＝☆（☐≠0），则下面算式正确的是（    ）。 A．■＋●＝★ B．★－■＝● C．☆÷□＝△ D．□×☆＝△ 3．已知算式○÷□＝△（○、□、△均不为0），则下列算式正确的有（    ）个。 ①○÷△＝□        ②△×□＝○ ③○×△＝□        ④△×□＋○＝○＋○ A．1 B．2 C．3 D．4 4．对于没有余数的除法，下列说法正确的有（    ）个。 ①被除数＋除数＋商＝1    ②被除数－（除数＋商）＝0    ③除数一定比商大 A．0 B．1 C．2 D．3 5．已知，。下面的算式错误的是（    ）。 A． B． C． D． 二、填空题 6．在一个加法算式中，两个加数相等，和是214，其中一个加数是( )；在一个除法算式中，被除数和除数相等（都不为0），商是( )。 7．根据714÷17＝42，写出一道乘法算式和一道除法算式分别是( )和( )。 8．已知两个因数的积是120，其中一个因数是15，另一个因数是( )。 9．乐乐忘记了自家大门的密码，爸爸根据乐乐所学的知识给她提供了一些线索，其中○＝( )，密码是( )。 线索：○＋△＝□，△×15＝90，54÷△＝□ 密码：○□△○ 10．根据3345＋678＝4023，可以直接得出4023－3345＝( )。根据314×26＝8164，可以直接得出8164÷26＝( )。 三、判断题 11．在一道没有余数除法算式中，被除数、除数和商的和是49，商是4，被除数是32.( ) 12．两个数相乘的积一定大于两个数相加的和。( ) 13．被减数＝减数＋差，除数＝商÷被除数。( ) 14．两个不为零的数的差是0，则商一定是1。( ) 15．若34×A＝26×B（A＞0，B＞0），则A与B的大小关系是A＜B。( ) 四、解答题 16．学校图书馆有科技书280本，故事书的本数比科技书的3倍还多20本。学校图书馆有故事书多少本？ 17．为助力社区净化空气，绿植店特推出两款吸碳绿植：白掌和吊兰。已知店内现有白掌35盆，每盆售价18元；吊兰18盆，每盆售价15元。这两种绿植一共能卖多少钱？ 18．机器人和女孩一起在舞台上扭秧歌，已知机器人排成4行，每行4位，女孩排成5行，每行4位。这个节目包含机器人一共有多少位演员？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $