寒假预习 平面向量的坐标运算 专项训练-2025-2026学年高一数学人教A版必修第二册

2026学年寒假预习人教A版必修第二册《平面向量的坐标运算》 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列各对向量中，共线的是(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 2.已知向量，，则(    ) A. B. C. D. 3.在平行四边形中，为一条对角线，若，，则等于(    ) A. B. C. D. 4.已知，，，且，，三点共线，则(    ) A. B. C. D. 5.已知向量，，若，则(    ) A. B. C. D. 6.（2025高一·广东惠州·期末）已知，若，则实数（    ） A． B．2 C． D．1 7.若向量与的夹角为锐角，则的取值范围为(    ) A. B. C. D. 8.在矩形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上．若，则的最大值为  (    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.下列各式不正确的是(    ) A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 10.下列说法中正确的为(    ) A. 已知，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 B. 向量，不能作为平面内所有向量的一组基底 C. 非零向量，，满足且与同向，则 D. 非零向量和，满足，则与的夹角为 11.已知向量，，是与同向的单位向量，则下列结论正确的是       ． A. B. 向量在向量上的投影向量为 C. 与的夹角余弦值为 D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.设与轴、轴方向相同的两个单位向量分别为，，若，则向量用坐标表示为        13.已知点，，为坐标原点，且，则点的坐标为______． 14.如图，在直角梯形中，，，，，为中点，若，则          ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知向量，求： (1)；(2)；(3)． 16.本小题分 已知平面向量. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值； (3)若两向量的夹角为锐角，求的取值范围. 17.本小题分 已知，分别是与轴、轴正方向相同的单位向量，，，求向量的坐标． 已知边长为的正三角形，顶点为坐标原点，边在轴上，点在第一象限，为的中点． 求，的坐标； 求向量，，，的坐标． 18.本小题分 在平面直角坐标系中，已知四边形是等腰梯形，，点满足，点在线段上运动包括端点，如图所示． 求与共线的单位向量的坐标； 求的余弦值； 是否存在实数，使若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由． 19.本小题分 如图，设，是平面内相交成的两条射线，，分别为，同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系在仿射坐标系中，若，则记． 在仿射坐标系中 若，求 若，，且与的夹角为，求 如图所示，在仿射坐标系中，，分别在轴，轴正半轴上，，，，分别为，中点，求的最大值． 人教A版（2019）必修第二册《平面向量的坐标运算》解析 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列各对向量中，共线的是(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】解：由向量共线的充要条件可知：非零向量与共线，当且仅当存在唯一实数，使得．而只有满足：，，． 2.已知向量，，则(    ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】解：向量，， 所以． 3.在平行四边形中，为一条对角线，若，，则等于(    ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：，，． 4.已知，，，且，，三点共线，则(    ) A. B. C. D. 【答案】D 解：由，，，得， 因为，，三点共线，所以，即，解得， 5.已知向量，，若，则(    ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】解：由已知可得， ， 因为，则，解得， 6.（2025高一·广东惠州·期末）已知，若，则实数（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】C【详解】由题意，向量，则， 因为，可得，解得． 7.若向量与的夹角为锐角，则的取值范围为(    ) A. B. C. D. 【答案】D 解： 与 夹角为锐角，则 且 与 不同向，又 ，  ， 所以   ，即  ， 由 ， 共线得   ，得 ，故   ． 8.在矩形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上．若，则的最大值为  (    ) A. B. C. D. 【答案】A  解：如图：以为原点，以，所在的直线为，轴，建立如图所示的坐标系， 则，，，， 动点在以点为圆心且与相切的圆上，设圆的半径为， ，，，， 圆的方程为， 设点的坐标为， ，， ，， ，其中， ，，故的最大值为， 二、多选题：本题共3小题，18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.下列各式不正确的是(    ) A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】ACD  【解析】解：根据题意，依次分析选项： 对于，若，，则，A错误； 对于，若，，则，B正确； 对于，若，，则，C错误； 对于，若，，则，D错误； 10.下列说法中正确的为(    ) A. 已知，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 B. 向量，不能作为平面内所有向量的一组基底 C. 非零向量，，满足且与同向，则 D. 非零向量和，满足，则与的夹角为 【答案】BD  解：对于：已知，，由于与的夹角为锐角， 故，且，故实数的取值范围是，故A错误； 对于：向量，，满足，所以和共线，所以不能作为平面内的一组基底，故B正确； 对于：非零向量，，满足且与同向，则是错误的，向量不能比较大小，故C错误； 对于：非零向量和，满足，则以这三边构成的三角形为等边三角形，所以与的夹角为，故D正确． 11.已知向量，，是与同向的单位向量，则下列结论正确的是       ． A. B. 向量在向量上的投影向量为 C. 与的夹角余弦值为 D. 若，则 【答案】CD  解：对于， ，，故不成立，故A错误 对于，，，向量在向量上的投影向量为： ，故B错误 对于，，，故，C正确 对于，，，则， 又 都是非零向量，故，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.设与轴、轴方向相同的两个单位向量分别为，，若，则向量用坐标表示为        【答案】  【解析】解：根据题意，若，而与轴、轴方向相同的两个单位向量分别为，， 则向量用坐标表示为； 13.已知点，，为坐标原点，且，则点的坐标为______． 【答案】  【解析】解：点，，为坐标原点，且，设点 ， ，解得， 点的坐标为， 14.如图，在直角梯形中，，，，，为中点，若，则          ． 【答案】  解：以点为原点，所在的直线为轴，为轴，建立如图所示的坐标系， ，，为中点，，，， 设，，， ，，解得，， 为中点，，即为，，， ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知向量，求： (1)；(2)；(3)． 【答案】(1)2(2)(3)2 【详解】（1）因为，所以； （2）因为，所以； （3）因为，所以， 所以. 16.本小题分 已知平面向量. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值； (3)若两向量的夹角为锐角，求的取值范围. 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）因为且，所以，解得. （2）因为，所以，又且， 所以，解得. （3）由两向量的夹角为锐角，则，且与不共线， 由，得，解得，由与共线，得， 所以向量与的夹角为锐角时，得取值范围为. 17.本小题分 已知，分别是与轴、轴正方向相同的单位向量，，，求向量的坐标． 已知边长为的正三角形，顶点为坐标原点，边在轴上，点在第一象限，为的中点． 求，的坐标； 求向量，，，的坐标． 【答案】解：因为，，所以， 所以的坐标． 如图所示：正中，边长，顶点为坐标原点，边在轴上， 所以点的坐标为，即； 的中点的坐标为； 因为，， 所以向量，，，  18.本小题分 在平面直角坐标系中，已知四边形是等腰梯形，，点满足，点在线段上运动包括端点，如图所示． 求与共线的单位向量的坐标； 求的余弦值； 是否存在实数，使若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】解：由已知可得，设单位向量， ，解得或； 由题意，可得，，， ，， ，． 设，其中，则，， 若，则，即， ，若，则不存在；若，则． ． 即满足条件的实数存在，实数的取值范围为．   19.本小题分 如图，设，是平面内相交成的两条射线，，分别为，同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系在仿射坐标系中，若，则记． 在仿射坐标系中 若，求 若，，且与的夹角为，求 如图所示，在仿射坐标系中，，分别在轴，轴正半轴上，，，，分别为，中点，求的最大值． 【答案】解：因为，， ， 所以， 由，，得， ， ， 因为与的夹角为，则，得 依题意设，， ，， 因为为中点，所以 为中点，所以， 所以 因为，． 在中依据余弦定理得，所以，代入上式， ， 设，则， 令得，得，舍，所以， ， 1 学科网（北京）股份有限公司 $