精品解析：安徽马鞍山市2026届高三第一次教学质量监测数学试题

2026年马鞍山市高三第一次教学质量监测 数学 注意事项： 1.答卷前，务必将自己的姓名和考号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，务必擦净后再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算化简后得解. 【详解】因为， 所以的虚部为， 故选：A 2. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据全集，化简集合，再由补集运算得解. 【详解】， 由解得或 ， 因为，所以， 所以. 故选：D 3. 函数的导函数的图象如图所示，则函数在区间上的极值点有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定的函数图象确定的变号零点个数即可. 【详解】函数的图象与轴有3个公共点，从左到右依次记为， 当时，；当时，；当时， ， 当且仅当时取等号，则函数在上单调递增，在 上单调递减， 因此函数在处取得极大值，在处取得极小值，所以极值点个数为2. 故选：B 4. 若，则（ ） A. -56 B. -28 C. 28 D. 56 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用换元法及二项式定理求出指定项的系数. 【详解】令，则原等式化为， 所以. 故选：C 5. 位于某海域处的甲船获悉，在其正东方向相距的 处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救.甲船立即前往救援，同时把消息告知位于甲船北偏西，且与甲船相距的 处的乙船.那么的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定信息作出图形，利用余弦定理、正弦定理列式求解. 【详解】如图，在中，， 由余弦定理，得， 由正弦定理得. 故选：A 6. 已知圆 的圆心在抛物线上，且圆 与直线相切，当圆 的面积最小时，圆心的纵坐标为（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】设，根据直线与圆相切求出半径，利用二次函数求最小值即可得解. 【详解】由圆C的圆心在抛物线上， 可设， 又圆C与直线相切， 则圆C的半径， 当 时取等号，即当 时圆C的半径最小，故圆的面积最小， 此时圆心的纵坐标为. 故选：D 7. 两个粒子 从同一发射源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为，设此时粒子相对粒子的位移为，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，求得，结合向量的数量积的公式和投影向量的公式计算，即可求解. 【详解】由向量，可得粒子相对粒子的位移为， 可得且， 所以在上的投影向量为. 故选：B. 8. 已知数列满足：，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用归纳递推法，结合对数函数性质可得 ，利用不等式性质判断AC；构造函数并利用导数确定单调性判断CD. 【详解】数列中，，函数是增函数，且当 时， ， 则，…， ，因此，AC错误； ，令函数，求导得， 函数在 上单调递减，则 ，而 ，则， 因此，所以，B错误，D正确. 故选：D 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知 ，条件，则成立的充分不必要条件有（ ） A. B. C. D. 且 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用充分不必要条件的定义逐项分析判断. 【详解】对于A，由 ，得，而也能使成立， 因此 是成立的充分不必要条件，A是； 对于B，，由，得，而 也能使成立， 因此是成立的充分不必要条件，B是； 对于C，当 时，成立，而不等式不成立， 因此不是的充分条件，C不是； 对于D，由且，得且，则， 而 也能使成立，因此且，是成立的充分不必要条件，D是. 故选：ABD 10. 已知双曲线的渐近线方程为，虚轴长为4，则（ ） A. 的焦距为 B. 的方程为 C. 的焦点到渐近线的距离为2 D. 与直线仅一个公共点 【答案】CD 【解析】 【分析】根据题意不确定双曲线焦点位置，可判断AB错误；根据双曲线的性质，可判断CD. 【详解】依题意，，即 ， 若双曲线焦点在轴上，则由，解得 ， 所以，所以焦距为， 若焦点在轴上，则，解得 ，所以， 所以焦距为，故A错误； 由A选项分析可知，双曲线的焦点位置不确定，方程有两个，故B错误； 若双曲线焦点在轴上，由双曲线的对称性，不妨取焦点，渐近线， 则焦点到渐近线的距离， 同理双曲线焦点在轴上，可得，故C正确； 因为与双曲线的一条渐近线平行，故与直线仅一个公共点，所以D正确， 故选：CD 11. 已知函数列，则（ ） A. 在区间上单调递减 B. 的图象关于直线对称 C. 的最小值为 D. 的最大值为1 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用辅助角公式及正弦函数性质判断A；利用轴对称的定义判断B；确定函数的周期，利用导数求出周期长的区间上的最值判断CD. 【详解】对于A，，当时，， 函数 在区间上单调递减，A正确； 对于B，， ，， 的图象关于直线不对称，B错误； 对于CD，，， ，因此函数是以为周期的周期函数， 求导得， 当 时，，，， 当时，，，， 函数在上单调递减，在上单调递增，当时，， ，由的周期性得在R上的最大值为1， 最小值为，因此，，CD正确. 故选：ACD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，且，则的值为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据给定的函数式及函数值求出，再判断代入求出目标值. 【详解】函数，当 时，， 当 时，，由，得，则，解得 ， 所以. 故答案为： 13. 已知一个球的体积和表面积的数值相等，若该球的内接圆柱的高与其底面直径相等，则此圆柱的侧面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由球的体积与表面积相等求出球的半径，再由题意求出球的内接圆柱的底面圆半径与高，即可得解. 【详解】设球的半径为，则球的体积为：，球的表面积为：， 因为球的体积与其表面积的数值相等，所以， 解得， 设圆柱底面半径为 ，作球的内接圆柱的轴截面图，如图， 由题意可知，解得， 所以圆柱的侧面积为. 故答案为： 14. 已知事件 满足，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用对立事件的概率公式、全概率公式及条件概率公式列式求解. 【详解】由，得，， 由全概率公式，得，则， 即，解得，， 因此，所以. 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 为响应“全民健身”号召，某社区统计了5名居民每周参与体育锻炼的时长（单位：小时）与身体活力指数的对应数据，结果如下表所示： 特征量 居民 居民 居民 居民 居民 2 4 6 8 10 4 5 6 8 7 （1）根据表中数据，计算样本相关系数 ，并推断它们的相关程度； （2）求身体活力指数关于每周锻炼时长的一元线性回归方程，并利用该方程计算居民 的身体活力指数残差. 参考公式：相关系数；回归系数. 【答案】（1），与成正相关，有较强的相关性； （2），1.1. 【解析】 【分析】（1）根据给定的数表求出相关系数 ，进而推断相关程度. （2）利用最小二乘法求出线性回归方程，进而求出指定的残差. 【小问1详解】 由给定数表得， ， ， ， 所以样本相关系数， 与成正相关，有较强的相关性. 【小问2详解】 由（1）得， 所以身体活力指数关于每周锻炼时长的一元线性回归方程为， 当时，，所以居民 的身体活力指数残差为. 16. 如图，四棱锥 中， ，. （1）求证：平面 平面 ； （2）求平面 与平面 夹角的余弦值. 【答案】（1）证明：因为在四棱锥 中，， 所以四边形 为等腰梯形，，则， 所以，则由余弦定理得， 在 中，，于是， 因此，又，即， 而平面 ， 则 平面 ，又平面 ，所以平面 平面 . （2）. 【解析】 【分析】（1）利用等腰梯形的性质及余弦定理分别求出，再利用勾股定理的逆定理及线面垂直的判定、面面垂直的判定推理得证. （2）建立空间直角坐标系，求出平面 与平面 的法向量，再利用面面角的向量法求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在平面 内过 作，由（1）得直线两两垂直， 以 为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面 与平面 的法向量分别为， 则，令 ，得， ，令，得， 所以平面 与平面 夹角的余弦值为. 17. 若数列满足 （为常数），则称数列为等比和数列，为公比和，已知数列是以5为公比和的等比和数列，且 ，记． （1）求证：数列是周期数列，并指出其周期； （2）求的值． 【答案】（1）由 及可得 ， 由此可得递推关系，所以， 可得，即数列是周期数列，周期为2． （2）6 【解析】 【分析】（1）根据题干所给条件可得 ，再据此推出的关系即可； （2）根据，可直接求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， ， 由（1）知， 周期为 2，所以 ， 所以 ． 18. 已知，动点满足直线的斜率与直线的斜率的商是，记点的轨迹为. （1）求的方程； （2）已知椭圆以分别为左，右焦点，离心率为.直线与轴平行，与交于点，与交于 两点.直线与轴交于点. （i）求面积的最大值； （ii）求证：为定值，并求出该定值. 【答案】（1） （2）（i）（ii）定值为，证明：设，，则三点共线， 所以，即，解得， 则， 所以，为定值. 【解析】 【分析】（1）根据题设条件，写出两直线斜率，根据斜率之比化简即可得解； （2）（i）先求出椭圆方程，设，根据点在椭圆上得到 ，利用基本不等式求出面积的最值即可； （ii）设，，利用三点共线可得，再由两点间距离公式求出，即可得证. 【小问1详解】 由题知，， 设，则， 由题意知，均不为0，即 ， 再由，得， 即 所以的方程为. 【小问2详解】 （i）因为椭圆的离心率为， 故， 所以椭圆的方程为， 如图， 设，其中，， 因为 在上，所以 ， 由基本不等式，， 故，当且仅当时，等号成立， 而面积， 所以面积的最大值为. （ii）略 19. 已知函数 ，其中 . （1）当时，求在区间上的最大值； （2）若在上有且仅有一个极值点，求实数的取值范围； （3）设为在内的极小值点，求证： . 【答案】（1） （2） （3）由题知， ，即 ， 要证 ，即证 ， 令，则 ， 令 ，得 ， 再令 ， ， 当时， ，则单调递减， 所以 ，单调递减， 所以 ，从而，可得单调递减， 所以有 ， 则有 ， 因此 . 【解析】 【分析】（1）利用导数求函数最大值即可； （2）先分析的单调性，再分类讨论分析的零点，据此分析的单调性得出是否存在唯一极值即可； （3）原不等式可转化为证明 ，构造函数，利用导数求函数的最值即可得证. 【小问1详解】 当时， ， ， 时， ，故 ，单调递增， 故. 【小问2详解】 由题， ，令 ，则 ， 当时， ，则在 上单调递增； 当时， ，则在 上单调递减. ①当时， ，则 在 上恒成立，此时单调递减，不存在极值点； ②当时， ， 由零点存在性定理知，存在 ，当 时，单调递减， 当时，单调递增，当 时，单调递减，此时有唯一极小值点，极大值点； ③当 时， ， 存在唯一 ，使得 ， 所以在 上单调递增，在上单调递减，此时在 上有唯一极大值点； ④当时， 恒成立，在 上单调递增，此时无极值点. 综上，实数的取值范围为 . 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年马鞍山市高三第一次教学质量监测 数学 注意事项： 1.答卷前，务必将自己的姓名和考号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，务必擦净后再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 函数的导函数的图象如图所示，则函数在区间上的极值点有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4. 若，则（ ） A. -56 B. -28 C. 28 D. 56 5. 位于某海域处的甲船获悉，在其正东方向相距的处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救.甲船立即前往救援，同时把消息告知位于甲船北偏西，且与甲船相距的处的乙船.那么的正弦值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆的圆心在抛物线上，且圆与直线相切，当圆的面积最小时，圆心的纵坐标为（ ） A. B. 2 C. D. 4 7. 两个粒子 从同一发射源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为，设此时粒子相对粒子的位移为，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 8. 已知数列满足：，则（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知 ，条件，则成立的充分不必要条件有（ ） A. B. C. D. 且 10. 已知双曲线的渐近线方程为，虚轴长为4，则（ ） A. 的焦距为 B. 的方程为 C. 的焦点到渐近线的距离为2 D. 与直线仅一个公共点 11. 已知函数列，则（ ） A. 在区间上单调递减 B. 的图象关于直线对称 C. 的最小值为 D. 的最大值为1 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，且，则的值为__________. 13. 已知一个球的体积和表面积的数值相等，若该球的内接圆柱的高与其底面直径相等，则此圆柱的侧面积为__________. 14. 已知事件 满足，则__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 为响应“全民健身”号召，某社区统计了5名居民每周参与体育锻炼的时长（单位：小时）与身体活力指数的对应数据，结果如下表所示： 特征量 居民 居民 居民 居民 居民 2 4 6 8 10 4 5 6 8 7 （1）根据表中数据，计算样本相关系数 ，并推断它们的相关程度； （2）求身体活力指数关于每周锻炼时长的一元线性回归方程，并利用该方程计算居民的身体活力指数残差. 参考公式：相关系数；回归系数. 16. 如图，四棱锥 中， ，. （1）求证：平面 平面； （2）求平面 与平面 夹角的余弦值. 17. 若数列满足 （为常数），则称数列为等比和数列，为公比和，已知数列是以5为公比和的等比和数列，且 ，记． （1）求证：数列是周期数列，并指出其周期； （2）求的值． 18. 已知，动点满足直线的斜率与直线的斜率的商是，记点的轨迹为. （1）求的方程； （2）已知椭圆以分别为左，右焦点，离心率为.直线与轴平行，与交于点，与交于 两点.直线与轴交于点. （i）求面积的最大值； （ii）求证：为定值，并求出该定值. 19. 已知函数 ，其中 . （1）当时，求在区间上的最大值； （2）若在上有且仅有一个极值点，求实数的取值范围； （3）设为在内的极小值点，求证： . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $