6.2.3向量的数乘运算同步训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6.2.3向量的数乘运算同步训练题 一、单选题 1．在中，为边上的中点，则（    ） A． B． C． D． 2．已知点是的重心，则（    ） A． B． C． D． 3．在平行四边形中，是边上靠近点的三等分点，则（    ） A． B． C． D． 4．在中，为边上的中线，，则（   ） A． B． C． D． 5．如图，已知是的边上的中线，若，，则等于（　　） A． B． C． D． 6．在平行四边形ABCD中，，则（    ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，则等于（    ）    A． B． C． D． 8．设为所在平面内一点，满足，则的面积与的面积的比值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．如图所示，四边形为梯形，其中，，，分别为，的中点，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 10．已知平行四边形的两条对角线交于点，则（    ） A． B． C． D． 11．如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是CD边上的两个三等分点，则下列选项正确的有（    ） A． B． C．D． 三、填空题 12．化简 ． 13．设，是两个不共线的向量．若向量与的方向相反，则 ． 14．设和是两个不共线的向量，若，且三点共线，则实数的值等于 . 四、解答题 15．计算： (1)； (2)． 16．设是两个不共线的向量，已知． (1)求证：三点共线； (2)若且，求实数的值． 17．已知向量，不共线，且，，． (1)若，求的值； (2)若，求证：，，三点共线． 18．已知两个非零向量与不共线. (1)若，求证：三点共线； (2)试确定实数，使和共线. 19．已知、是两个不平行的向量，向量，，， (1)求证：； (2)判断三点的位置关系. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．A 【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得. 【详解】因为为边上的中点， 所以. 故选：A 2．D 【分析】利用三角形重心的性质，结合平面向量的线性运算，即可求得答案. 【详解】设的中点为D，连接，点是的重心，则P在上， 且 ， 由此可知A，B，C错误，D正确， 故选：D 3．A 【分析】利用向量线性运算的几何表示即可得解. 【详解】如图， 因为在平行四边形中，是边上靠近点的三等分点， 所以， 则. 故选：A. 4．A 【分析】根距离向量的线性运算，得到，结合，即可求解. 【详解】由，可得，所以， 因为为边上的中线，可得，所以， 所以. 故选：A.    5．C 【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得. 【详解】因为是的边上的中线， 所以，所以 . 故选：C 6．B 【分析】根据向量加减法的三角形法则，将转化为与和有关的表达式，再结合已知条件进行化简 【详解】在平行四边形ABCD中，，则， 所以 故选：B. 7．B 【分析】根据题意，由向量的线性运算，即可得到结果. 【详解】因为， 所以， 即得. 故选：B. 8．D 【分析】延长到，使，延长到，使，连接，则由已知条件可得为的重心，由重心的性质可得，再结合中点可求出，的面积，进而可求得答案 【详解】解：延长到，使，延长到，使，连接， 因为，所以， 所以为的重心， 所以设，则，, 所以, 所以， 故选：D 9．AC 【分析】根据向量的线性运算分别判断各选项. 【详解】A选项：，A选项正确； B选项：，B选项错误； C选项：，C选项正确； D选项：，D选项错误； 故选：AC. 10．AD 【分析】利用向量加法、减法的几何意义求解即可. 【详解】平行四边形的两条对角线交于点，作出图形如下：    由图可得:，故A正确； ，故D正确； 故选：AD 11．ABD 【分析】根据向量的线性关系及加减法计算求解判断各个选项即可. 【详解】对于A，由题意知，E，F分别是边上的两个三等分点，且与方向相同，则，故A正确； 对于，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于，，所以，故D正确． 故选:ABD． 12． 【分析】利用向量的线性运算法则即可 【详解】， 故答案为：. 13． 【分析】由共线得到，比较系数即可求解； 【详解】解：因为向量与的方向相反， 所以，其中， 所以：， 联立可得：， 解得： 故答案为： 14． 【分析】根据题意，由三点共线可得，然后代入计算，即可得到结果. 【详解】因三点共线，故. ， . 故答案为： 15．(1) (2) 【分析】（1）根据向量的加减和数乘运算即可求得结果； （2）按照向量的运算法则依次计算即可. 【详解】（1）原式 ． （2）原式 16．(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）根据，即可得证； （2）利用共线向量定理即可求解. 【详解】（1）由已知，得， 因为， 所以，又与有公共点， 所以三点共线． （2）由（1），知，若，且， 可设， 所以， 即． 又是两个不共线的向量，所以， 解得． 17．(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）根据向量的共线定理即可求解； （2）由向量的线性运算，可求出、，再根据向量的共线定理，即可证明. 【详解】（1）若，则，即， 可得，解得，， 所以. （2）若，则， 所以，， 所以，则，，三点共线． 18．(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）根据平面向量共线定理证明即可得出结论； （2）利用共线定理构造方程组即可解得. 【详解】（1）由可得； 显然，即共线， 又因为它们有公共点， 所以可得三点共线； （2）若和共线，且向量与不共线， 则存在实数满足，因此， 解得； 即存在，使和共线. 19．(1)证明见解析； (2)三点共线 【分析】（1）求出，找到使成立的即可证明； （2）根据可知三点共线. 【详解】（1）证明：， 因此， （2）由（1）知，又有公共点C，故三点共线. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $