6.1.2 导数及其几何意义-【成才之路·练案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册同步新课程学习指导(人教B版)

当d<0时，x+d<xo,则f(x+d)<f(o),即f(xo+d)- fx）<0, 所以o+）-fl>0. d 综上，无论d>0还是4<0，都有6+d）-）>0. d 练案[14] A组·素养自测 1.B由导数的几何意义知B正确，故应选B. 2.B由导数的几何意义可知曲线在(x,f(x)处的导数等于 曲线在该点处的切线的斜率，所以f'(xo)=3.故选B. -△x 3.D4y=2+Ax-2-1+A-1=1+Ax 一之-四1十-1，斜率为-1，颜斜角为导 -1 4.D设切点为(，y%), ×f()=+A-5==(2+4)=2, △x 2,=m音=1，得6=分 1 (付了-子，所求点的坐标为（兮，） 5.D1im24x+D-f山=-2f1)=-2. 4x0 2Ax .∴.曲线y=f(x)在点(1，f代1))处的切线斜率k=-2. 6.D如图示，根据题意，设M(2,f(2)),N(3,f(3))为函数y =f(x)上的点，则f'(2)为函数f(x)在x=2处切线的斜率 f'(3)为函数f(x)在x=3处切线的斜率，f(3)-f(2)= f3)二22为直线MN的斜率，结合图像分析可得f'(2)< 3-2 f3)-f2)<f'(3)<0. 2 M N 1 01234567x 7.3由导数的定义可知应为3. 8)当t=2s时，瞬时速度为 2 g2+ay2-g×2 △t -g4+4)=2(m》 91k=f'(1)=1+4- △x =1im21+4)2-2×1 △x 4+24 Y- △x =im(4+2Ax)=4, ..曲线在点A处的切线的斜率为4 (2)由(1)知曲线在点A处的切线的斜率是4， .切线方程是y-2=4(x-1),即y=4x-2. 10.f(a）=lima+4)3-a-3a2」 △x ∴曲线在(a,a3)处的切线方程为y-a3=3a2(x-a),切线与 轴的交点为（子a0 六三角形的面积为分a-子a1d1=右，得a=士1 12 B组·素养提升 1.B由图像可知，函数的增长越来越快，故函数在区间[1,2] 的斜率越来越大， f2）=山=a,f'(1)<a<f'(2),故选B. 2-1 2B“-+t-a △x a(Ax)+2a(Ax)=a(Ax)+2ax △x Ay =2ax, 即y'=2ax,设切点为(xoo),则2a,=1, 六。=2a:切点在直线y=x上，心%=2a 代人y=+1得站=右+1，a=子放选思 3.A根据函数的几何意义可知，f'(4)是曲线在x=4处的切线 的斜*注意到-昌宁所W《4)=分 4.ABD根据导数的定义可知，A正确；对于B,若令x=x+ △x,当一时，Ar一0，则lin）-八） +0x一X0 g+4)-) =f'(xo),B正确； △x 根据导数的定义f'(x)=im +△)=f代o）,所以，C错 △x 误；根据导数的定义可知，D正确. 故选ABD. 5.-2由导数的概念和几何意义知， m1+A0①-f'(1)=6e=9- 0-4 =-2. △x 6.-7设点P(xo,2品+a).由导数的几何意义可得f'(xo)= 2(+Ax)2+a-(26+@）=4=8,6=2, △x ∴.P(2,8+a).将x=2,y=8+a代人8x-y-15=0,得a= -7. 7.将点P2,-1）代人y=,得t=1, 所以y=1-x y=四+---+a百 △x △x △x =i四[1-(x+Ax)](1-x)△x =(1--Ax)(1-x)(1-x) (1)曲线在点P处的切线斜率为12=1-2)=1： 1 曲线在点Q处的切线斜率为y八：-1=4 (2)曲线在点P处的切线方程为y-（-1)=x-2, 即x-y-3=0, 曲线在点Q处的切线方程为y子=子[x-(-1】, 即x-4y+3=0. 8.△y=fxo+△x)-f(xo) =(x0+△x)3+a(x+△x)2-9(x+△x)-1-(x+a 9xo-1) =(3x+2ax0-9)△x+(3x0+a)(△x)2+(△x)3, .Ay=36+2a-9+(3x+a)Ax+(Ax)月. △x 当△x无限趋近于零时，y无限趋近于3x+2a。-9. △x1 即f'(xo）=3x号+2ax0-9, fw)=3,+号户-9-号 当。=-号时"(，)取最小值-9- 3 :斜率最小的切线与12x+y=6平行， ..该切线斜率为-12 .9-3=-12.解得a=±3 又a<0,∴.a=-3. 练案[15] A组·素养自测 1.D当y=2时，y'=(x)'=(四'=2在=2x克. D不正确.故应选D. 2.C常数函数的导数为0. 3.CD根据基本初等函数导数公式知 (1ogx）'= na(3)y=3n3,(nx)'=.所以A,B均 1 正确，C,D正确 4.Cy=x3∴.y'=3x2,.y'1x==1, .切线的倾斜角a满足taa=1, 0≤a<ma=平 5.A f(x)=e+2sinx 1+x2 则f'(x)= (e*+2cos x)(1+x2)-(e"+2sin x)2x (1+x2)2 故f'(0)=3, 所以曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线为y=3x+1, 令x=0,解得y=1, 令y=0,解得x=- 放所求三角形的面积为S=分×-号×1=石放选A 6.Ay'=(x2)′=2x,设切点为M(x0,o),则y1=0=2x,又 :P0的斜*为=号1，面切线平行于P0=2=1,即 。=宁以切点为宁)…所求的切线方程为-子 1 -分即--1=0 号 7. 因为fx)==x号， 所以f'(x)= 局号命) =爱×)号 8.x+y-受=0因为cs号=0，即求曲线y=csx,在点 (受，0)处的切线方程。 y=-m,当x=受时y=-1 所以切线方程为)=-1·(：-受)》， 即x+y- -0 9.设切点坐标为()， 因为y=(》=之所以切线斜率为：京 所以切线方程为y- -与(x-） 1 即y=+ 又切线方程为y=-x+b, 1 ,解得 x=1 或- b=21b=-2 不 2=b L%o 即当b=2时，切点为(1,1)； 当b=-2时，切点为(-1，-1). 10(1)因为P(号o在曲线y=msx上，所以a=m号=分 (2)因为y'=-simx, 所以与=y儿5=-如号=要 又因为所求直线与直线垂直， 所以所求直线的斜率为大 所以所求直线方程为子2（：-哥》 即y22+7 3 9 B组·素养提升 x29 206练案[14] 第六章 导数及其应用 6.1[6.1.2 导数及其几何意义] b组·素养自测 一、选择题 1.设∫'(xo)=0,则曲线y=f(x)在点(xof代xo) 1 处的切线 01234567x A.不存在 A.f'(2)<f'(3)<f3)-f(2)<0 B.与x轴平行或重合 B.f'(3)<f'(2)<f(3)-f(2)<0 C.与x轴垂直 C.f(3)-f(2)<f'(3)<f'(2)<0 D.与x轴斜交 D.f'(2)<f(3)-f(2)<f'(3)<0 2.若曲线y=f(x)在点(xo,f(xo))处的切线方程 二、填空题 为3x-y+1=0,则 ( ）7.(2025·河南郑州高二期末)若∫'(2)=3，则 A.f'(x)<0 B.f'(xo)>0 i/2+Aw）-f2)= C.f'(x)=0 D.f'(x)不存在 △x 3.曲线y在点P(2,1)处的切线的倾斜角 8.一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平 距离s(m)与时间t(s)之间的函数关系为s= 为 名，则当1=2s时，此木块在水平方向的瞬时 4. 6 B. 4 速度为 m/s. D.3m 三、解答题 4 9.已知曲线y=f(x)=2x2上一点A(1,2),求： 4.已知函数f(x)=x2,则在曲线y=f(x)上切线 (1)曲线在点A处的切线的斜率； 倾斜角为平的点是 (2)曲线在点A处的切线方程. A.(0,0) B.(2,4) c(合 (分 5.设∫(x)是可导函数，且满足 m2Ax+1)=f山=-2，则y=f(x)在点 △x0 2△x (1,f八1))处的切线的斜率为 A.-4 B.4 C.2 D.-2 6.函数y=f(x)的图像如图所示，f'(x)是函数 (x)的导函数，下列数值排序正确的是() 140 10.(2025·山西临汾高三检测)已知函数f(x)2.y=ax2+1的图像与直线y=x相切，则a= =x3,若曲线y=f(x)在点(a,a3)(a≠0)处 的切线与x轴、直线x=a所围成的三角形的 1 >.8 B. 面积为石求a的值， c时 D.1 :3.(2025·湖北华中师大一附中高二检测)如图 所示，直线1是曲线y=f(x)在x=4处的切 线，则f'(4)= () B.3 C.4 D.5 4.(多选题)已知函数y=f(x)在自变量x。处的 改变量为△x,函数值的改变量为△y,f(x)在xo 处的导数值为f'(x。),下列等式中正确的是 () A.f'(xo）=limAr △x0△X B.f'(o)=lim)-f） x-X0 C.f'(xo)=lim [f(xo +Ax)f(xo) 组·素养提升 D.f'(xo）=lim (x+△x)-f() △x 一、选择题 二、填空题 1.(2024·河北石家庄鹿泉区 5.如图，函数f(x)的图像是折线段ABC,其中A,B,C 第一中学高二月考)已知函 的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则 数f(x)在R上可导，其部分 f1+△x)-f1= lim 图像如图所示，设 △x-0 △x 2)-f1)=a,则下列不等 2-1 式正确的是 ) A.f'(1)<f'(2)<a 0123456 B.f'(1)<a<f'(2) 6.(2025·河南郑州一中高二检测)已知曲线y= C.f'(2)<f'(1)<a f(x)=2x2+a在点P处的切线方程为8x- D.a<f'(1)<f'(2) y-15=0,则实数a的值为 141 三、解答题 8.设函数f(x)=x3+ax2-9x-1(a<0),若曲线 7.已知周线y=j(x)=上两点P(2,-1), y=f(x)的斜率最小的切线与直线12x+y=6 平行，求a的值. -1,》 (1)求曲线在点P,Q处的切线的斜率； (2)求曲线在P,Q处的切线方程. -142