5.2.1 第2课时 等差数列的性质-【成才之路·练案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册同步新课程学习指导(人教B版)

练案[4] 第五章数列 5.2[5.2.1第2课时等差数列的性质] b组·素养自测 8.等差数列{an}是递增数列，若a2+a4=16, a1·a5=28,则通项an= 一、选择题 三、解答题 1.等差数列{an}中，a6+ag=16,a4=1,则a11= 9.(2025·太原高二检测)在等差数列{a}中， a1+a3+a5=-12,且a1·a3·a5=80,求通 A.64 B.30 项an C.31 D.15 2.如果等差数列{an}中，a3+a4+a5=12,那么 a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7= () A.14 B.21 C.28 D.35 3.设x是a与b的等差中项，x2是a2与-b2的 等差中项，则a,b的关系是 () A.a=-b B.a=3b C.a=-b或a=3b D.a=b=0 4.设{a.}是公差为正数的等差数列，若a1+a2+ a3=15,a1a2a3=80,则a1+a12+a13等于 A.120 B.105 C.90 D.75 5.《九章算术》一书中有如下问题：今有女子善10.已知数列a,,a=2n-1,b.=a- 织，日增等尺，七日织28尺，第二日，第五日， (1)求{bn}的通项公式； 第八日所织之和为15尺，则第十五日所织尺 (2)数列{b}是否为等差数列？说明理由. 数为 A.13 B.14 C.15 D.16 6.（多选题)若{an}是等差数列，则下列数列为 等差数列的有 ( A.an+an+ B.{a2} C.an+1-an D.2a 二、填空题 7.若1g2,lg(2-1),1g(2+3)成等差数列，则 x= 116 8组·素养提升 三、解答题 一、选择题 7.设数列a,是等差数列，6.=（分又6+ 1.已知数列份}是等差数列，且4，=2.=12. b2+b3= 46dg求遥项a 则a15= A.10 B.30 C.40 D.20 2.在等差数列{an}中，若a4+a6+ag+a10+a12 =120,则-30n的值为 A.14 B.15 C.16 D.17 3.(2024·重庆一中月考)现有一古题：“今有金 箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二 斤，中间三尺重几何.”大致意思是：“现有一 根金箠，长5尺，头部1尺，重4斤，尾部1尺， 重2斤，问中间三尺共重多少斤.”若从头到 尾，该金箠每一尺的重量构成等差数列，则该 8.(2025·浙江高二月考)已知{4.}是一个等差 问题的答案为 数列，公差d>0,且满足a3a6=55,a2+a7 A.6斤 B.7斤 =16. C.8斤 D.9斤 (1)求数列{an}的通项公式； 4.设{an}是等差数列.下列结论中正确的是 (2)若数列{bn}满足：b1=a1且bn=an+bn-1(n≥ ( 2,且n∈N*),求数列{bn}的通项公式 A.若a1+a2>0,则a2+a3>0 B.若a1+a3<0,则a1+a2<0 C.若0<a1<a2,则a2>√Jaa D.若a1<0,则(a2-a1)(a2-a3)>0 二、填空题 5.若等差数列的第一、二、三项依次是1，三 x+1'6x ,则该数列的公差d 6.已知各项都为正数的等差数列{an}中，a5=3, 则a3a,的最大值为 —1177.因为1= 所以1=2+月 111 -2=2 d'd d 所以数列侵}提以1为首项，2为公老的等差数列，所以 a =1+(n-1)x2=2n-1 1 又an>0,所以am=- 1(neN,): 2n-1 8（)已知条件得，a=子(a,+12 .a1=1. 又有a+a=4(a,+1)2,即a-2a-3=0 解得a=-1(舍)或a2=3. (2)由S=4(0,+1)2得 当n≥2时，S1=(a1+1)只， ,-S=4[a,+12-(a1+10] =4-d+2a,-1. 即4an=a2-2-1+2an-2a-1, .a7-a-1-2an-2am-1=0, .(am+an+l)(am-an-1-2）=0, .an-am--2=0,即a,-a-1=2(n≥2). 所以数列an}是首项为1，公差为2的等差数列. 练案[4] A组·素养自测 LD解法-，+a=16,2a1+13d=16, la4=1, la1+3d=1, {0-5a1=1+10d=15 d=2. 解法二：a4+a11=a6+ag=16,.a1=15. 2.Ca3+a4+a5=3a4=12, ∴.a4=4,.a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=7a4=28 3C由等差中项的定义知：x=2=“, 2 。B=(4+b,即a-2ab-36=0. 2 2 故a=-b或a=3b. 4.Ba1+a2+a3=3a2=15,∴.a2=5, 又：a1a2a3=80,.a1a3=16,即(a2-d)(a2+d)=16, d>0,∴.d=3. 则a1+a2+a13=3a2=3(a2+10d)=105. 5.C由题意可知，每日所织数量构成等差数列{an},且a2+a5 +ag=15,a1+a2+a3+a4+a5+a6+a,=28,设公差为d,由 a2+a5+ag=15,得3a5=15,所以a5=5,由a1+a2+a3+a4+ a5+a6+a,=7a4=28,得a4=4,则d=a5-a4=1,所以a15= a5+10d=5+10×1=15. 19 6.ACD设等差数列{an}的公差为d.对于A,(an+a.+1) (am-l+an)=(an-an-1)+(a+l-an)=2d(n≥2)， 所以a,+a+1}是以2d为公差的等差数列.同理可验证{a+l -an},{2an}也是等差数列. 7.log5由题意得21g(2-1)=lg2+lg(2+3), 所以(2-1)2=2·(2+3)，即(2-5)(2+1)=0， 所以2=5，即x=log25. 8.3n-1设公差为d, a2+a4=a1+a5=l6, 由+a=1 6解得=2或=14 a1·a5=28,la5=l4la5=2. 等差数列{an}是递增数列， .∴.a1=2,a5=14. d=a-=12 5-1-4 =3 ∴.am=a1+(n-1)d=2+3(n-1)=3n-1. 9.因为a1+a5=2a3,所以 a1+a3+a5=-12→3a3=-12→a3=-41 a1a3a5=80, 「a1a5=-20, la1+a5=-8, 解得a=-10,a=2或a=2,a5=-10,因为d=a-4 5一，所 以d=3或-3， 所以a=-10+3(n-1)=3n-13, 或an=2-3(n-1)=-3n+5. 10.(1)'am=2n-1,ba=a2m-1, ∴.bn=am-1=2(2n-1)-1=4n-3. (2)由bn=4n-3,知b.-1=4(n-1)-3=4n-7(n≥2）， :b.-b.-1=(4n-3)-(4n-7)=4(n≥2）， ∴.bn}是首项b1=1,公差为4的等差数列. B组·素养提升 1.B解法一：设数列8的公差为d n 4-24=2=号-号-号号 d=写号=号+1d=2放ag=0 解法二：由于数列1%是等差数列，放2×g=号+需 暗=2x号-号2故a。=30 2.C由题意，得5a=120,.ag=24, 4,写u=(a+d)-号a+3d)=子a=16 1 3.D设每一尺的重量构成等差数列{a.},由题意知，a1=4, a5=2,.2a3=a1+a5=6,即a3=3,∴.a2+a3+a4=3a3=9. 4.C先分析四个答案，A举一反例a1=2,a2=-1,则a3=-4, a1+a>0,而2+a3<0,A错误；B举同样反例a1=2,a2= -1,a3=-4,a1+a3<0,而a1+a2>0,B错误；下面针对C进 0 行研究，{an}是等差数列，若0<a1<a2,则a1>0,设公差为 d,则d>0,数列各项均为正，由于a-aa=(a1+d)2 a (a +2d)=aj +2a d+d-a-2a d=d >0,a aras →a2>√/a1a,选C. 5市依题意得2×品-十+片解得=2，则d音寸 =12 6.9依题意，等差数列{an}各项都为正数，所以a3>0,a,>0, 所以aa,≤（色）=aG=9当且仅当a=a=3时等号 成立 64,=g又6，=(2)广…(2)”·(2)°·(2 (”是 8a1+43+a3=3, 又{an}成等差数列.a2=1,a1+a3=2, 66=行4+6是， 。1或 b=8lb=2, la3=3 la3--1, .an=2n-3或am=-2n+5 8(1)由题意得，a,=55, [a3+a6=a2+a=16. 公差d>0,… a=5,d=2,a=1,a,=2n-1 la6=11, (2):bn=an+bn-1(n≥2，且neN*), ∴.bn-bn-1=am=2n-1(n≥2，且neN*）. bn=(bn-bn-1）+(bn-1-b.-2）+…+(b2-b)+b1(n≥2， 且neN*), 且b1=a1=1, bn=2n-1+2n-3+…+3+1=n2(n≥2，且neN*). 又b1=1符合上式，bn=n2(neN). 练案[5] A组·素养自测 1A8=3+321=9. 又a1=1,d=2, .a2=a1+d=3. 2A易知a,是等差数列且a,=-1,所以S,=n(a+a,） 2 a0,30多+分故选A 2 3B33a,+9x)-2a+d+4a+4受3xd-9a+9 2 6a1+7d→3a1+2d=0→6+2d=0→d=-3, 所以a5=a1+4d=2+4×(-3)=-10. 4.A设首项为a,公差为d. 一19 由8，=0，，=5可得0+4W=5, 4a1+6d=0, 解得，3， d=2. 所以an=-3+2(n-1)=2n-5, S.=n×(-3)+m)业x2=2-4n.故选A 2 5.B由S1o-S=a6+a,+ag+ag+a10=5ag=0,则ag=0, 则等差数列a的公差d=与0=-行，放4=4，-4d= 1-4×(）子故选B 6.C设第一个孩子分配到a1斤棉花，则由题意，得Sg=8a1+ 8×7×17=996,解得a,=65,故选C 2 7.-3已知等差数列{an}的前5项和S=25,所以S;= (a+as=5a,=25,解得，=5.已知a,=3,则公差d=a, 2 a3=-2.所以a7=a3+4d=5-8=-3. 8.12根据等差数列的求和公式，。=6a1+65d=12. 2 9.(1)根据题意，得 ,+a,=(a+d0+(a+3）=8,解得 a1=8, la·a4=(a+d)·(a1+3d)=l2,ld=-2. (2)5。=10a,+10x(g0-D4=10×8+0x9×(-2)= 2 2 -10. 10.(1)设等差数列an}的公差为d, 则由a1+a2=5,S4=14得， 2a1+d=5, ，即/2a+d=5, 4a,+43=14,2a,+3d=7. 2 解得a1=2,d=1, 所以an=2+(n-1)=n+1. (2)由(1)可知，Sn=a1+a2+…+a, =na +a(n-1)d=n(n+3) 2 2 B组·素养提升 1.B因为Sa=13x（g+a-13X20=13a, 2 2 所以13a3+S13=13a3+13a7=52, .∴.a3+a7=4, 0-2 9(a1+a,)_9×25=9a,=9×2=18. .S。 2 2 2.A据等差数列前n项和性质可知：S3,S6-S,S,-S6,S2 S,仍成等差数列. 设S3=k,则S6=3k,S6-S3=2k, .Sg-S6=3k,S12-Sg=4k, .S,=S6+3k=6k,S2=S,+4k=10k,