5.2.1 第1课时 等差数列的定义-【成才之路·练案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册同步新课程学习指导(人教B版)

tr(aeN"). 8.Sn=nam,∴.n≥2时， a,=S-S-1=na-(n-1)2a1,化为a= am-1n+11 0,=4..2. a3..a an-1 an-2 an-3 a2 a =n-1.n-2.n-3,, n l n n-l 2 =n(m+1' n=l时也成立a,n(n+) 2 练案[3] A组·素养自测 1.C设等差数列的公差为d,则10-2=4d,解得d=2,所以c- a=2d=4,故选C. 2B设公差为d,由题意，得+41=3， La1+44d=153, 解得0,21， d=3. .an=a1+(n-1)d=21+3(n-1)=3n+18. 令201=3n+18,.n=61 3C设公差为d,由题意，得+2d=7, la1+d+6=a1+4d, 「a1=3, 解得 .a6=a1+5d=3+10=13. ld=2. 4.B设公差为d,由题意，得 +日4n解得2 la1+4d=10,ld=2. 5.B设公差为d,则a2+a3=a1+d+a1+2d=2a1+3d=4+3d =13,解得d=3,所以a4+a5+a=(a1+3d)+(a1+4d)+ (a1+5d)=3a1+12d=42. 6D由条件可得a1-a,=之，故a.是等差数列，从而 a=a+(101-1)）×号=2+50=52. 7.-2n+3设公差为d,由题意，得 a3=a1+2d,-3=1+2d,.d=-2. ∴.an=a1+(n-1)d=1-2(n-1)=-2n+3. 66 :设此等差数列为an},公差为d,则 [a1+a2+a3+a4=3, La7 as ag =4, 13 ∫4a1+6d=3, 「a=22' 解得 13a1+21d=4, 7 d=66 a5=0+4d=22+4× 6666 9.设这三个数分别为a-d,a,a+d, 18 则3a=9,.a=3. 这三个数分别为3-d,3,3+d. 由题意，得3(3-d)=6(3+d),d=-1. 这三个数分别为4,3,2. 10.方法一：因为L=1+30 所以L=1+3,所以1-上=3， antl an 又因为b,=L(neN),所以b1-b.=3(neN),且6，= an 女=宁所以敬列么是等老数列，首项为宁公老为3 方法二：因为6.=士且a1=1平30 所以61=-1+30=+3=6.+3， an+1 an an 所以b1-b.=3(neN),6=a=2 11 所以数列6是等差数列，首项为分，公差为3， B组·素养提升 1.D由等差中项的定义知a+1+a,-1=2an(n≥2)，结合条件得 a=2an·又an>0,所以an=2,即数列{an}为常数列，故a.=2. 2.D由题意厂a0>1, 25+9d>1, la≤1， 1 l25+8ds1, 8 方<d≤25 3.A解送-设微列{公去为期。= 4d,代入数据可得d= 1 因此a十+2=号放分选 解法二：曲等老中项的性质可知，2·十+十 1 解得4，=之故选A 4.BCD对于A,令a=1,b=2,c=3,则a2=1,b2=4,c2=9,A 错：对于B,取a=b=c→2=2=2，B正确，对于C,因为a, b,c成等差，所以a+c=2b,所以(ha+2)+(kc+2)=k(a+ c)+4=2(仙+2)，C正确.对于D,取a=b=c≠0，则上= D正确 5.a,=38-5n由题意可得=a+6d>0即3+6d>0. lag=a1+7d<0,l33+7d<0 解得-3<d<-空又deZd=-5. 6 7 .am=33+(n-1)×(-5)=38-5n. 6.an=2n-1由a-1+an+1=2a,得a1-a.=a.-a-1(n≥2) ∴数列{an}是等差数列. 又a1=1,a2=3,d=2,an=a1+(n-1)d=2n-1. 9 7.因为1= 所以1=2+月 111 -2=2 d'd d 所以数列侵}提以1为首项，2为公老的等差数列，所以 a =1+(n-1)x2=2n-1 1 又an>0,所以am=- 1(neN,): 2n-1 8（)已知条件得，a=子(a,+12 .a1=1. 又有a+a=4(a,+1)2,即a-2a-3=0 解得a=-1(舍)或a2=3. (2)由S=4(0,+1)2得 当n≥2时，S1=(a1+1)只， ,-S=4[a,+12-(a1+10] =4-d+2a,-1. 即4an=a2-2-1+2an-2a-1, .a7-a-1-2an-2am-1=0, .(am+an+l)(am-an-1-2）=0, .an-am--2=0,即a,-a-1=2(n≥2). 所以数列an}是首项为1，公差为2的等差数列. 练案[4] A组·素养自测 LD解法-，+a=16,2a1+13d=16, la4=1, la1+3d=1, {0-5a1=1+10d=15 d=2. 解法二：a4+a11=a6+ag=16,.a1=15. 2.Ca3+a4+a5=3a4=12, ∴.a4=4,.a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=7a4=28 3C由等差中项的定义知：x=2=“, 2 。B=(4+b,即a-2ab-36=0. 2 2 故a=-b或a=3b. 4.Ba1+a2+a3=3a2=15,∴.a2=5, 又：a1a2a3=80,.a1a3=16,即(a2-d)(a2+d)=16, d>0,∴.d=3. 则a1+a2+a13=3a2=3(a2+10d)=105. 5.C由题意可知，每日所织数量构成等差数列{an},且a2+a5 +ag=15,a1+a2+a3+a4+a5+a6+a,=28,设公差为d,由 a2+a5+ag=15,得3a5=15,所以a5=5,由a1+a2+a3+a4+ a5+a6+a,=7a4=28,得a4=4,则d=a5-a4=1,所以a15= a5+10d=5+10×1=15. 19 6.ACD设等差数列{an}的公差为d.对于A,(an+a.+1) (am-l+an)=(an-an-1)+(a+l-an)=2d(n≥2)， 所以a,+a+1}是以2d为公差的等差数列.同理可验证{a+l -an},{2an}也是等差数列. 7.log5由题意得21g(2-1)=lg2+lg(2+3), 所以(2-1)2=2·(2+3)，即(2-5)(2+1)=0， 所以2=5，即x=log25. 8.3n-1设公差为d, a2+a4=a1+a5=l6, 由+a=1 6解得=2或=14 a1·a5=28,la5=l4la5=2. 等差数列{an}是递增数列， .∴.a1=2,a5=14. d=a-=12 5-1-4 =3 ∴.am=a1+(n-1)d=2+3(n-1)=3n-1. 9.因为a1+a5=2a3,所以 a1+a3+a5=-12→3a3=-12→a3=-41 a1a3a5=80, 「a1a5=-20, la1+a5=-8, 解得a=-10,a=2或a=2,a5=-10,因为d=a-4 5一，所 以d=3或-3， 所以a=-10+3(n-1)=3n-13, 或an=2-3(n-1)=-3n+5. 10.(1)'am=2n-1,ba=a2m-1, ∴.bn=am-1=2(2n-1)-1=4n-3. (2)由bn=4n-3,知b.-1=4(n-1)-3=4n-7(n≥2）， :b.-b.-1=(4n-3)-(4n-7)=4(n≥2）， ∴.bn}是首项b1=1,公差为4的等差数列. B组·素养提升 1.B解法一：设数列8的公差为d n 4-24=2=号-号-号号 d=写号=号+1d=2放ag=0 解法二：由于数列1%是等差数列，放2×g=号+需 暗=2x号-号2故a。=30 2.C由题意，得5a=120,.ag=24, 4,写u=(a+d)-号a+3d)=子a=16 1 3.D设每一尺的重量构成等差数列{a.},由题意知，a1=4, a5=2,.2a3=a1+a5=6,即a3=3,∴.a2+a3+a4=3a3=9. 4.C先分析四个答案，A举一反例a1=2,a2=-1,则a3=-4, a1+a>0,而2+a3<0,A错误；B举同样反例a1=2,a2= -1,a3=-4,a1+a3<0,而a1+a2>0,B错误；下面针对C进 0练案[3] 第五章数列 5.2[5.2.1 第1课时等差数列的定义] b组·素养自测 三、解答题 一、选择题 9.三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为 1.如果2，a,b,c,10成等差数列，那么c-a= 后一项的6倍，求这三个数， A.1 B.2 C.4 D.8 2.等差数列{an}中，a=33,a45=153,则201是 该数列的第 项 ( A.60 B.61 C.62 D.63 3.在等差数列{an}中，a3=7,a5=a2+6,则a6= A.11 B.12 C.13 D.14 4.等差数列{an}中，a2=4,a5=10,则数列{an} 的公差为 ( ) 10.已知数列{a.满足a1=2,0+1=1+3a A.1 B.2 N),b.=1(neN). c时 求证：数列{b}是等差数列，并求出首项和 5.已知数列{an}为等差数列，且a1=2,a2+a3= 公差 13,则a4+a5+a6等于 ( A.40 B.42 C.43 D.45 6.在数列{an}中，a1=2,2an+1-2an=1,则a1o1的 值为 A.49 B.50 C.51 D.52 二、填空题 7.在等差数列{an}中，a1=1,a3=-3,则an= 8.《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的 竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4 节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5 节的容积为 升. —114 8组·素养提升 三、解答题 一、选择题 2+2,0m> 7.已知数列a,满足a1=1,。=,位+2 1.(2024·安徽省黄山市期中)在各项均为正数 0,求an 的等差数列{an}中，若a+1-a+an-1=0(n ≥2)，则an等于 A.-2 B.0 C.1 D.2 2等差数列的首项为站，且从第10项开始为比1 大的项，则公差d的取值范围是 A.d>8 75 B.d<3 5 cg<d<是 <ds D.8 3.在数列{an}中，已知a2=2,a6=0,且数列 {+}是等差数列.则a等针 B 1 8.已知正项数列{an}的前n项和为Sm,且Sn= 3 1 4(a.+1)(neN). c D I 6 (1)求a1,a2; 4.(多选题)下列命题中正确的个数是( (2)求证：数列{an}是等差数列： A.若a,b,c成等差数列，则a2,b2,c2一定成等 差数列 B.若a,b,c成等差数列，则2,2,2可能成等 差数列 C.若a,b,c成等差数列，则ha+2,b+2,c+ 2一定成等差数列 》若a,6c欣等去数列，则。，可能脱等 差数列 二、填空题 5.等差数列{an},首项为33，公差为整数，若前7 项均为正数，第7项以后各项都为负数，则数 列的通项公式为 6.已知数列{an}满足a.-1+a+1=2an(n∈N, n≥2)且a1=1,a2=3,则数列{an}的通项公式 : 为 —115