4.3.1 一元线性回归模型（课时2）学案-2025-2026学年高二上学期数学人教B版选择性必修第二册

该高中数学学案聚焦一元线性回归模型（课时2），核心知识点为相关系数r的线性相关性刻画及非线性回归方程。课堂导入从已学回归直线方程的局限性切入，衔接上节课内容，以问题驱动构建知识支架，引导学生思考如何量化变量间线性相关程度。 该资料注重直观与转化，通过散点图观察数据规律培养数学眼光，用变量替换将非线性问题转化为线性回归发展数学思维。习题覆盖概念辨析与实际预测，帮助学生用数学语言描述和解决现实问题，提升数据分析与模型构建能力，有效衔接知识与应用。

4.3.1一元线性回归模型（课时2） 1、 学习目标 1. 了解两个变量间的线性相关系数r，并能利用公式求相关系数r 2. 能利用相关系数r判断两个变量线性相关程度的大小 3. 掌握非线性回归方程的概念，会求非线性回归方程，并作出预测. 2、 重难点 重点：利用相关系数r判断两个变量线性相关程度的大小，会求非线性回归方程 难点：求非线性回归方程 新知识导入 由上节课所学可知，给定一组成对数据后，总能得到一个回归直线方程.不难想到，如果变量之间本身的线性相关关系很弱，那么得到的回归直线方程价值是有限的，甚至是没有价值的. 怎样来刻画两个变量之间线性相关关系的强弱呢？ 三、知识梳理 1.统计学里一般用来衡量 y 与 x 的 ，这里的 r 称为 （简称为 ）. 2.相关系数的性质： （1），且 y 与 x 正相关的充要条件是 ，y 与 x 负相关的充要条件是 . （2） 越小，说明两个变量之间的线性相关性 ，也就是得出的回归直线方程越没有价值，即方程越不能反映真实的情况； 越大，说明两个变量之间的线性相关性 ，也就是得出的回归直线方程越有价值； （3） 的充要条件是成对数据构成的点都在 上. 3. y 与 x 的关系，不是线性相关关系，称为 ，所得到的方程称为 .一般地，非线性回归方程的曲线类型可以通过作出 进行猜测，而回归方程有时可以通过变量替换后，借助求 的过程确定. 当然，确定了非线性回归方程之后，也可以利用它进行预测. 四、例题讲解 例1 某人工智能公司从某年起7年的利润情况如下表所示. 第x年 1 2 3 4 5 6 7 利润y/亿元 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9 (1)计算出y与x之间的相关系数(精确到0.01)，并求出y关于x的回归直线方程； (2)根据回归直线方程，预测人工智能公司第8年、第9年的利润 例2 设某幼苗从观察之日起，第x天的高度为y cm，测得一些数据如下表. 第x天 1 4 9 16 25 36 49 高度y/cm 0 4 7 9 11 12 13 作出这组数的散点图，并通过散点图思考：近似描述y与x的关系，除使用一次函数外，还可以用其他函数吗？具体应该怎样操作？ 五、课堂练习 1.关于样本相关系数，下列说法正确的是( ) A.样本相关系数 B.当样本相关系数时，称成对数据成正相关 C.两个随机变量线性相关越弱，则相关系数越接近-1 D.两个随机变量线性相关越强，则相关系数越接近1 2.（多选）关于相关系数r，下面说法正确的是( ) A. B.若，则两个变量线性不相关 C.若，则一个变量增加，另一个变量有减少的趋势 D.|r|越小，变量之间的线性相关程度越高 3.在研究线性回归模型时，成对样本数据所对应的点均在直线上，则样本相关系数( ) A. B.1 C. D.无法确定 4.下列图中，相关性系数最大的是( ) A.B.C.D. 5.对四组数据进行统计，获得如下散点图，将四组数据相应的相关系数进行比较，正确的是( ) A. B. C. D. 6.通过计算样本相关系数可以反映两个随机变量之间的线性相关程度，以下四个选项中分别计算出四个样本的相关系数r，则反映样本数据成正相关，并且线性相关程度最强的是( ) A. B. C. D. 7.甲，乙，丙，丁各自研究两个随机变量的数据，若甲，乙，丙，丁计算得到各自研究的两个随机变量的线性相关系数分别为，，，，则这四人中，________研究的两个随机变量的线性相关程度最高. 六、课后练习 1.对于相关系数r，下列说法中正确的是( ) A.r越大，线性相关程度越强 B.越小，线性相关程度越强 C.越大，线性相关程度越弱，越小，线性相关程度越强 D.，且越接近1，线性相关程度越强，越接近0，线性相关程度越弱 2.对变量X，Y有观测数据，，，，，对变量U，V有观测数据，，，，，表示变量X，Y之间的线性相关系数，表示变量U，V之间的线性相关系数，则( ) A. B. C. D. 3.（多选）关于样本相关系数，下列说法错误的是( ) A.样本相关系数 B.当样本相关系数时，称成对数据成正相关 C.两个随机变量线性相关越弱，则相关系数越接近-1 D.两个随机变量线性相关越强，则相关系数越接近1 4.某学校高一年级学生某次考试成绩进行统计，从全体高一学生中抽出名学生的数学成绩和物理成绩，数据经过处理后，得到一些统计数据和数据关系：，，，其中、分别表示学生的数学成绩和物理成绩，其中.通过计算得到与的相关系数. (1)求y与x的线性回归方程； (2)已知同学甲的此次数学成绩为125分，根据回归方程估计其物理成绩是否会超过80分？ 参考公式：，；相关系数. 5.高质量发展是全面建设社会主义现代化国家的首要任务,创新研发是高质量发展的重要前提．某公司研发新产品的投入x（单位：百万元）与该产品的收益y（单位：百万元）的5组统计数据如下表所示,且经验回归方程为． x 5 6 8 9 12 y 16 20 25 28 m (1)求m的值； (2)若将图表中的点去掉,判断样本相关系数r是否改变,并说明你的理由． 参考数据：样本相关系数 答案及解析 三、知识梳理 1.线性相关性强弱 线性相关系数 相关系数 2. 越弱 越强 回归直线 3.非线性相关关系 非线性回归方程 散点图 回归直线 四、例题讲解 例题1 解：(1)可求得 列表计算得 因此 回归直线方程为 (2) 在回归方程中令x=8得， 所以预测第8年的利润为6.3亿元 类似地，可预测第9年的利润为 6.8 亿元. 例题2 分析：从散点图中可以看出，这些数据集中在图中橙色的曲线附近，曲线的形状与函数 的图像很相似，则可用的表达式来描述y与x的关系 解：令，则可变为，即y与u的关系可看成线性相关关系. 令，构造新的成对数据，如下表所示. x 1 4 9 16 25 36 49 1 2 3 4 5 6 7 y 0 4 7 9 11 12 13 算得：，通过列表计算得 因此 故y关于u的回归直线方程为 ，代入 ，则 五、课堂练习 1.答案：A 解析：根据相关系数，可知A正确； 时，数据成负相关，时，数据成正相关，故B错误； 越接近1，线性相关性越强，越接近0，相关性越弱，故C错误； 对于D，两个随机变量线性相关越强，相关系数也可能接近，故D错误. 故选：A. 2.解析：，故A正确； 若，则两个变量线性不相关，故B正确； 若，则一个变量增加，另一个变量有减少的趋势，C正确； 越大，变量之间的线性相关程度越高，故D错误.故选ABC. 3.答案：B 解析：因成对样本数据所对应的点均在直线上， 则，又直线的斜率为，满足正相关，故. 故选：B. 4.答案：A 解析：变量间的相关性越强，越接近于1， 根据散点图可知，A选项是正相关，且分布比较集中，大体接近一条直线， 则线性回归模型拟合效果比较好，相关性强，故A选项的相关性系数最大. 故选：A. 5.答案：A 解析：由给出的四组数据的散点图可以看出， 图1和图3是正相关，相关系数大于0， 图2和图4是负相关，相关系数小于0， 图1和图2的点相对更加集中，所以相关性要强，所以接近于1，接近于， 由此可得. 故选：A. 6.答案：A 解析：因为相关系数的绝对值越大，线性相关程度越强，且为正相关， 所以时，线性相关程度最强，且为正相关， 故选：A. 7.答案：甲 解析：因为，所以这四人中，甲研究的两个随机变量的线性相关程度最高. 故答案为：甲. 六、课后练习 1.答案：D 解析：对于选项A，越大，线性相关程度越强，即A错误； 对于选项B，越小，线性相关程度越弱，即B错误； 对于选项C，越大，线性相关程度越强，越小，线性相关程度越弱， 即C错误； 对于选项D，，且越接近1，线性相关程度越强，越接近，线性相关程度越弱，即D正确， 故选：D. 2.解析：由条件可知：第一组中的数据负相关，相关系数小于零；第二组中的数据正相关，相关系数大于零.所以有.故选C. 3.解析：根据相关系数，可知A正确； 时，数据成负相关，时，数据成正相关，故B错误； 越接近1，线性相关性越强，越接近0，相关性越弱，故C错误； 对于D，两个随机变量线性相关越强，相关系数也可能接近-1，故D错误. 故选：BCD. 4.答案：(1) (2)同学甲物理成绩不会超过80分. 解析：(1)由题中数据可得，，， 由得， ， 所以， 所以线性回归方程为. (2)当时，，即同学甲物理成绩不会超过分. 5.解：(1)由题设,, 所以,可得； (2)由(1)知,,故去掉点后样本中心仍然是, 去掉点前, 去掉点后 , 显然前后数值没有改变,同理,的值都没有变化, 所以相关系数r不变. 学科网（北京）股份有限公司 $