4.2.1 随机变量及其与事件的联系-【成才之路·练案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步新课程学习指导(人教B版)

练案[11] 第四章 概率与统计 4.2[4.2.1 随机变量及其与事件的联系] b组·素养自测 8.已知Y=3+2X,若P(Y>7)=0.3,则P(X≤ ! 2)= 一、选择题 三、解答题 1.（多选)下列随机变量是离散型随机变量的是 9.盒中有9个正品和3个次品零件，每次从中取 A.马六甲海峡某天经过的轮船数X 一个零件，如果取出的是次品，则不再放回，直 B.某超市5月份每天的销售额X 到取出正品为止，设取得正品前已取出的次品 C.某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规 数为 定的外径尺寸之差 (1)写出专的取值范围； D.江西九江市长江水位监测站所测水位在 (2)写出{=1}所表示的事件. (0,29]这一范围内变化，该水位站所测水 位专 2.同时抛掷3个硬币，正面向上的个数是随机变 量，这个随机变量的所有可能取值为（) A.3 B.4 C.1、2、3 D.0、1、2、3 3.袋中有形状、大小均相同的5个球，分别标有 1,2,3,4,5五个号码，现在在有放回抽取的条 件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随 机变量X,则X所有可能取值的个数是() A.5 B.9 C.10 D.25 10.某篮球运动员在罚球时，命中1球得2分，不 4.甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分， 命中得0分，且该运动员在5次罚球中命中 输了得0分，共下三局.用表示甲的得分，则 的次数专是一个随机变量： {5=3}表示 (1)写出专的取值范围及每一个取值新表示 A.甲赢三局 的结果； B.甲赢一局 (2)若记该运动员在5次罚球后的得分为η， C.甲、乙平局三次 写出η与的关系，并求η的取值范围。 D.甲赢一局输两局或甲、乙平局三次 5.已知P(X=-2)=0.2,P(X=2)=0.3,随机 变量Y=2,则P(Y=4)= A.0.2 B.0.3 C.0.5 D.0.06 二、填空题 6.掷一枚质地均匀的骰子，设朝上的点数为随机 变量X,则P(X>4)= 7.一个人要开房门，他共有10把钥匙，其中仅有 一把是能开门的，他随机取钥匙去开门并且用 后不放回，其中打开门所试的钥匙个数为X,则 “X=6”表示的事件为 —124 乃组·素养提升 三、解答题 :8.写出下列随机变量的取值范围，并说明这些值 一、选择题 1.（多选)袋中有3个白球，5个黑球，从中任取2 所表示的随机试验的结果 个球，可以作为随机变量的是 (1)一个袋中装有质地、大小完全相同的2个 A.至少取到1个白球 白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白 B.至多取到1个白球 球的个数X; C.取到白球的个数 (2)抛掷两枚质地均匀的骰子各一次，第一枚 D.取到黑球的个数 骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之 2.(多选)若用随机变量X表示从一个装有1个 差的绝对值Y. 白球、3个黑球、2个黄球的袋中取出的4个球 中不是黑球的个数，则X的取值可能为( A.0 B.1 C.2 D.3 3.随机变量专的所有等可能取值为1,2，…，n,若 P(<4)=0.3,则 A.n=3 B.n=7 C.n=10 D.不能确定 4.已知随机变量X与Y的不同取值及对应的概 率如表，则a+2b= ( X 1 2 P(X) 0.4 0.6 9.在一个盒子中，放有标号分别为1,2,3的三张 Y=aX+b 以 7 卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两 P() 0.4 0.6 张卡片的标号分别为x,y,记X=|x-21+ ly-xl. A.3 B.4 c.5 D.6 (1)求X的取值范围； 二、填空题 (2)写出每一个取值X表示的事件： 5.在一次比赛中，需回答三个问题，比赛规则规 (3)求P(X=3). 定：每题回答正确得100分，回答不正确得 -100分，则选手甲回答这三个问题的总得分专 的取值范围是 6.袋中有大小相同的红球6个，白球5个，不放 回地从袋中每次任意取出1个球，直到取出的 球是白球为止，所需要的取球次数为随机变量 X,则X的取值范围为 7.(一题两空)为了调动员工的积极性.某厂某月 实行超额奖励制度，具体措施是：每超额完成1 件产品，奖励50元.假设这个月中，该厂的每名 员工都完成了定额，而且超额完成的产品数都 不超过30.从该厂员工中随机抽出一名，记抽出 的员工该月超额完成的产品数为X,获得的超 额奖励为Y元，则X与Y之间的关系为 ,若P(X>20)=0.3,则P(Y≤1000) —125答：甲，乙两人至少有一人考试合格的概率为转 解法二：因为事件A、B相互独立，所以甲、乙两人考试均不合 格的概率为 P(AB)=PP周)-(-号)×(1-)=5 所以甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为 P=1-P(AB)=1-4545 144 答：甲，乙两人至少有一人考试合格的概率为 45 练案[11] A组·素养自测 1.ABA选项中轮船数X的取值可以一一列出，故X为离散型 随机变量；B选项中某超市5月份每天销售额X可以一一列 出，故为离散型随机变量：C选项中实际测量值与规定值之间 的差值无法一一列出，不是离散型随机变量；D选项中水位在 (0,29]这一范围内变化，无法一一列出，故不是离散型随机 变量. 2.D同时抛掷3个硬币，正面向上的个数可能为0、1、2、3. 3.B号码之和可能为2,3,4,5,6,7,8,9,10，共9个.故选B. 4.D由于赢了得3分，平局得1分，输了得0分，故=3有两 种情况，即甲赢一局输两局或甲、乙平局三次，故选D 5.C由题意，事件Y=4是X=-2与X=2的并事件，所以P(Y =4)=P(X=-2)+P(X=2)=0.2+0.3=0.5. 6号事件X>4表示点数朝上的为5点或6点，所以P(X>4) =PX=5)+PX=6)=石+合分 7.第6次能打开房门X可能取值为1,2,3，…，10. X=n表示第n次能打开房门. 8.0.7因为P(Y>7)=P(3+2X>7)=P(X>2)=0.3, 所以P(X≤2)=1-0.3=0.7. 9.(1)取值范围为0,1,2,3}. (2)5=1}表示的事件为：第一次取得次品，第二次取得 正品. 10.(1)的取值范围为{0,1,2,3,4,5}.=0,1,2,3,4,5分别表 示5次罚球中命中0次，1次，2次，3次，4次，5次 (2)由题意可知7=2 又5∈0,1,2,3,4,5}，.n∈{0,2,4,6,8,10. B组·素养提升 1.CD选项A,B表述的都是随机事件；选项C,D是随机变量， 可能的取值均为0,1,2. 2.BCD因为白球和黄球的个数和为3，所以取出的4个球中至 少有1个黑球，故X的可能取值为1,2,3. 3.C因为随机变量的所有等可能取值为1,2，…，n, 所以P(5=k)=(k=1,2,n)由题意，P(5<4)=P(专= -18 )+P5=2)+P5=3)=月=0.3，所以n=10 4.CP(X=1)=P(Y=4),所以a+b=4, ① P(X=2)=P(Y=7),所以2a+b=7, ② 由①②得，a=3,b=1,所以a+2b=5. 5.300,100,-100,-300}可能回答全对，两对一错，两错一 对，全错四种结果，相应得分为300分，100分，-100 分，-300分 6.{1,2,3,4,5,6,7}由于取到白球游戏结束，那么取球次数可 以是1,2,3，…，7 7.Y=50X0.7由题意可知Y=50X,其中X∈{0,1,2,3，…， 30}. X>20,∴.Y=50X>1000. 又P(X>20)=0.3,∴.P(Y>1000)=0.3, ∴.P(Y≤1000)=1-P(Y>1000)=1-0.3=0.7. 8.(1)X的取值范围为0,1,2. X=0表示所取的3个球都是黑球： X=1表示所取的3个球中有1个白球，2个黑球； X=2表示所取的3个球中有2个白球，1个黑球. (2)Y的取值范围为0,1,2,3,4,5}. 用（α，b)表示两枚骰子掷出的点数，其中a为第一枚骰子掷出 的点数，b为第二枚骰子掷出的点数 Y=0表示掷出的两枚骰子的，点数相同，其包含的所有可能结 果有(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6) Y=1表示掷出的两枚骰子的点数相差1，其包含的所有可能 结果有(1,2)，(2,1)，（2,3)，（3,2)，(3,4)，(4,3)，(4,5)， (5,4),(5,6),(6,5) Y=2表示掷出的两枚骰子的点数相差2，其包含的所有可能 结果有(1,3)，(3,1)，(2,4)，(4,2)，(3,5)，(5,3)，(4,6)， (6,4). Y=3表示掷出的两枚骰子的点数相差3，其包含的所有可能 结果有(1,4)，(4,1)，(2,5)，(5,2)，(3,6)，(6,3). Y=4表示掷出的两枚骰子的点数相差4，其包含的所有可能 结果有(1,5)，(5,1)，(2,6)，(6,2). Y=5表示掷出的两枚骰子的点数相差5，其包含的所有可能 结果有(1,6)，(6,1). 9.因为x,y可能取的值为1,2,3，所以1x-21=0,1,lx-y1=0, 1,2,所以X=0,1,2,3, 所以X的取值范围为0,1,2,3}. (2)用(x,y)表示第一次抽到卡片的号码为x,第二次抽到卡 片的号码为y,则随机变量X取各值的意义为：X=0表示两次 抽到卡片编号都是2，即(2,2)； X=1表示(1,1)，(2,1)，(2,3)(3,3)： X=2表示(1,2)(3,2)： X=3表示(1,3)(3,1) (3)由(2)知，P(X=3)=9 2 8