4.2.2 离散型随机变量的分布列-【成才之路·学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步新课程学习指导(人教B版)

052 4.2.2离散型随机变量的分布列 素养目标定方向 课程标准 学法解读 1.理解取有限值的离散型随机变量的分布列 1.通过学习离散型随机变量及两点分布的概念 及两点分布的概念及表示， 表示及性质，体会数学抽象的素养。 2.掌握离散型随机变量的分布列的性质 2.借助离散型随机变量的分布列求法，培养数学 3.会求某些简单的离散型随机变量的分布列 运算的素养。 （含两点分布)· 必备知识 探新知 知识点一离散型随机变量的分布列 (1)一般地，当离散型随机变量X的取值范围是{x1,x,…,x}时，如果 对任意k∈{1,2，…，n,概率P(X=x)=P.都是已知的，则称X的概率分布 是已知的. 离散型随机变量X的概率分布可以用如下形式的表格表示，这个表格称 为X的概率分布或分布列 X x1 2 … P P2 P P (2)离散型随机变量X的概率分布还可以用图1或图2来直观表示，其 中，图1中，x上的矩形宽为1，高为P,因此每个矩形的面积也恰为 ;图2中，x上的线段长为 P P2 P 思考1：通过随机变量 2 的分布列，你能得到 图2 哪些信息？ (3)离散型随机变量的分布列必须满足： ①p≥ ,k=1,2,…,n. ②2Pm=p+p+…+p.= [思考1] 053 知识点二两点分布 (1)一般地，如果随机变量X的分布列能写成如下表格的形式： 0 1-p 思考2：服从两点分布 则称随机变量X服从参数为 的两点分布， 的随机变量X的取值 (2)一个所有可能结果只有 的随机试验，通常称为伯努利试验 范围均为{1,0}吗？ 不难看出，如果将伯努利试验的结果分别看成“成功”与“不成功”，并设“成功” 出现的概率为P,一次伯努利试验中“成功”出现的次数为X,则X服从参数为p的 分布，因此两点分布也常称为伯努利分布，两点分布中的 也 常被称为成功概率. P[思考2] 关键能力 攻重难 ●题型探究 题型一 分布列及其性质的应用 例1.设随机变量X的分布列为P(X=)=三(i=1,2,3,4),求： 规律方法： m 离散型随机变量分布 (1)P(X=1或X=2); 列的性质的应用 (2P3<X<2引 (1)求参数的取值或 范围. 【分标】先由分布列的性质求0，再根超x=1或X=2,}<【<号的含 (2)求随机变量在某 个范围内取值的 义，利用分布列求概率 概率 （3)验证分布列是否 正确. [规律方法] 054 》对点训练1 (1)设是一个随机变量，其分布列如下表所示： -1 0 1 p 2 1-2g d 则g= A.1 B.1±② c1+月 D.1-② 2 (2)设随机变量X的分布列为P(X=)6i=1,234).若P1≤X<a) 寻则实数a的取值花围为 [分析](1)由分布列的性质列出关于9的等式或不等式求解；(2)分 别求出P(X=1),P(X=2),P(X=3),P(X=4)的值，然后根据P(1≤X<a) =子，求a的取值范周 题型二两点分布的应用 例2一个袋中装有除颜色外其他都相同的3个白球和4个红球。 (1)从中任意摸出1个球，用0表示摸出白球，用1表示摸出红球，即 X= 0,摸出白球，求X的分布列： 1,摸出红球， (2)从中任意摸出两个球，用X=0表示“两个球全是白球”，用X=1 表示“两个球不全是白球”，求X的分布列. [分析]两问中X只有两个可能取值，且为0,1，属于两点分布，应用概 率知识求出X=0的概率，然后根据两，点分布的特点求出X=1的概率，最后 列表即可 规律方法： 两点分布的两个特点 (1)两点分布中只有 [规律方法] 两个对应结果，且两 》对点训练2 个结果是对立的： 在一次购物抽奖活动中，在10张奖券中有一等奖奖券1张，二等奖奖券 (2)由对立事件的概 3张，其余6张没有奖品.某顾客从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X 率求法可知：P(X= 0)+P(X=1)=1. 的分布列 ●055 题型三离散型随机变量的分布列 例3袋中装若标有数字1,23,45的小球各2个，从袋中任取3个小球， 按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相 等，用X表示取出的3个小球上的最大数字，求： (1)取出的3个小球上的数字互不相同的概率； (2)随机变量X的分布列； (3)计算介于20分到40分之间的概率. [分析](1)借助古典概型的概率公式求解；(2)列出X的所有可能取 值，并求出相应的概率，列出分布列：(3)根据分布列转化为求概率之和. ·[规律方法]规律方法： 》对点训练3 求离散型随机变量的 分布列应注意的问题 一批笔记本电脑共有10台，其中A品牌3台，B品牌7台.如果从中随机 （1)正确求出分布列 挑选2台，求这2台电脑中A品牌台数的分布列. 的前提是女须先准确 写出随机变量的所有 可能取值，再依古典 概型求出每一个可能 取值的概率.至于某 一范围内取值的概 率，应等于它取这个 范围内各个值的概率 之和. (2)在求解过程中注 重知识间的融合，常 常会用到排列组合、 古典概型及互斥事 件、对立事件的概率 等知识 056 题型四 两个相关离散型随机变量的分布列 例4.已知离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.10.10.3 m 求：(1)2X+1的分布列； (2)1X-1I的分布列. [分析]先由分布列的性质求出m的值，然后求出X取每一个值时对应 的2X+1,1X-11的值，再分别把2X+1,|X-11取相同的值时所对应的概率相 加，列出分布列 [规律方法]规律方法： )对点训练4 已知离散型随机变量 已知随机变量的分布列为 专的分布列，求离散 型随机变量η= -2 -1 012 3 ∫（飞）的分布列的关 1 1 1 P 124 326 12 键是弄清楚专取每一 个值时对应的η的 分别求出随机变量，=一专+：=-2的分布列， 值，再把η取相同的 值时所对应的事件的 概率相加，列出概率 分布列即可. 057 ●易错警示 离散型随机变量的可能取值搞错致误 例5.小王参加一次比赛，比赛共设三关，第一、二关各有两个必答题，如果每关两个问题都答对， 可进入下一关，第三关有三个问题，只要答对其中两个问题，则闯关成功.每过一关可一次性 获得价值分别为1000元，3000元，6000元的奖品（不重复得奖）用X表示小王所获奖品的 价值，写出X的所有可能取值. [错解]X的可能取值为0,1000,3000,6000. X=0表示一关没过； X=1000表示只过第一关； X=3000表示只过第二关； X=6000表示只过第三关， [辨析]①对题目背景理解不准确；比赛设三关，前一关不过是不允许进入下一关比赛的； ②忽略题目中的条件：忽略不重复得奖，最高奖不会超过6000元. [正解] [点评]理解题目背景，弄清各条件的含义，挖掘出隐含条件，准确写出随机变量的所有可能 取值是本章学习的重要基本功， 课堂检测 固双基 1.设离散型随机变量专的概率分布如下表： 4.若P(X≤n)=1-a,P(X≥m)=1-b,其中 1 2 3 4 m<n,则P(m≤X≤n)= （) 1 1 1 A.(1-a)(1-b) B.1-a(1-b) P P 6 3 6 C.1-(a+b) D.1-b(1-a) 则P的值为 ( ):5.甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互 A行 1 D. 独立的随机变量专，η，已知甲、乙两名射手在 4 每次射击中射中的环数分别为7,8,9,10，且甲 2.随机变量X的概率分布规律为P(X=n)= 射中10,9,8,7环的概率分别为2a,0.2,a, n(n+1)n=1,2,3,4),其中a是常数，则 a 0.2,乙射中10,9,8,7环的概率分别为0.3， 0.3,b,b,求5,7的分布列. r}<X<引的值为 ( A号 4 c号 6 3.已知随机变量X的分布列如下表所示，其中c =2b-a,则P(1X1=1)等于 ( X -1 0 P b 夯基提能作业 A号 B c D.2 请同学们认真完成练案[12]=。,事件丙发生的概率P(丙)6文66，事件丁发生的 61 概率P(丁)=6X66事件甲与事件丙同时发生的概率为 0,P(甲丙)≠P(甲)P(丙)，故A错误：事件甲与事件丁同时 发生的概率为66P(甲)=P(甲)P(T),放B正确： 事件乙与事件丙同时发生的概率为6文6名P(乙丙) P(乙)P(丙)，故C错误；事件丙与事件丁是互斥事件，不是相 互独立事件，故D错误.选B. 36 0 [解析】加工出来的零件的正品率为(1-0)× (1-动)×(1-点)-% 4.2随机变量 4.2.1随机变量及其与事件的联系 必备知识探新知 知识点一（1)唯一确定(3)所有可能 思考：随机变量每取一个确定的值对应着试验的不同结果， 试验的结果对应着随机变量的值，即随机变量的取值实质上是 试验结果所对应的数. 知识点二(1)互斥 (2)对立1 知识点三(2)离散型区间 知识点四随机变量P(Y=at+b) 关键能力攻重难 例1：C随机试验的结果可以一一列出的，就是离散型随 机变量.一天内的温度的取值不能一一列出，是连续型随机变 量.故选C. 对点训练1：(1)在标准大气压下，水沸腾的温度是100℃， 是常量，故不是随机变量 (2)王老师在某天内接电话的次数是不确定的，因此是随 机变量. (3)作品获奖奖次的可能性不确定，可能是一，二或三，因 此是随机变量. (4)体积是64cm㎡的正方体的棱长是4cm,因此不是随机 定量. 例2：(1)C击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为 X=5,则说明前4次均未击中目标 (2)这名同学可能回答全对，两对一错，两错一对，全错四 种结果，相应得分为300分，200分，100分，0分 ①所以X的取值范围是{300,200,100,0} ②因为事件X>0为“不得0分”，X<300为“不得满分” 所以X=0与X>0是对立事件，X=300与X<300是对立事件， 又P(X=0)=0.06,P(X=300)=0.43,所以P(X>0)= 1-P(X=0)=1-0.06=0.94: P(X<300)=1-P(X=300)=1-0.43=0.57 对点训练2：设所需的取球次数为X,则X=1,2,3,4,…, 10,11, X=i表示前i-1次取到红球，第i次取到白球，这里i=1, 2,…,11. 例3：(1)当X=25时，Y=25×100+1500=4000. (2)由题意可知Y=100X+1500. (3)由Y>3500可知100X+1500>3500,即X>20. .P(X>20)=P(Y>3500)=0.7 ∴.P(X≤20)=1-0.7=0.3. 对点训练3：-2，-1,0}因为随机变量X的取值范围是 -1,0,1},且Y=X-1, 16 所以-1-1=-2,0-1=-1,1-1=0，所以Y的取值范围 是{-2，-1,0}. 课堂检测固双基 1.D 2.A因为随机变量Y=2X,当X=1时，Y=2,所以P(Y=2)= P(X=1)=0.1. 3.D专=4可能出现的结果是一枚是3点，一枚是1点或两枚 都是2点. 4.D的所有可能取值为-5，-4，-3，-2，-1,0,1,2,3,4,5， 即-5≤E≤5，eZ. 5.(1,6),(2,6),(3,6),(4,6),(5,6) 4.2.2离散型随机变量的分布列 必备知识探新知 知识点一(2)P4p4(3)①0②1 思考1：(1)随机变量的所有可能取值；(2)取每一个值的概 率的大小 知识点二(1)p(2)两种两点p 思考2：是的 关键能力攻重难 例1：108=+2+3+1=1a=10, 则P(X=1或X=2)=P(X=1)+P(X=2) =0+品 .23 (2)由a=10,可得P分<X<) /1 =P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)》 1233 =10+10+10=5 对点训练1：(1)D由离散型随机变量分布列的性质得 2+(1-2g)+g2=1, 0≤1-2g≤1， 解得g=1-2 2 lg≤1， （2)(3,4因为PX=)=6i=1,23,4).所以P(X= 0=0X=2)=品-5P=)=0PX=4)-0 号义P1≤X<a)=号故3a4 3 例2：(1)由题意知P(X=0)=号，P(X=1)=号 。3 所以X的分布列为： X 0 1 P ； (2)由题意知P(X=0)=元=方， PX=I)=1-PX=0)=9 所以X的分布列为： X 0 1 P 6 7 对点训练2：抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，故X 的取值只有0和1两种惜况.P(X=1)二C0三则 P(X=0)=1-P(X=1)=1-2=3 5=5 因为X的分布列为 0 1 2 例3：(1)解法一：记“一次取出的3个小球上的数字互不相 可r的事件记为4，测P(-CC-号 Cio 解法二：记“一次取出的3个小球上的数字互不相同”为事 件A,“一次取出的3个小球上的数字中有两个数字相同”为事 件B,事件A和事件B是对立事件. 因为P(B)=CSCC-⊥ 31 所以P(A)=1-P()=1-子=子 (2)由题意，X所有可能的取值为2,3,4,5. P(X=2)=CC+CC1 Ci。 -301 P(X=3)=Cic+CiC_2 Cio -151 P(X=4)=CC+C4C3 Cio P(X=5)= CC +CC8 C3。 15 所以随机变量X的概率分布列为： 2 3 5 P w 8 3015 10 15 (3)记“一次取球得分介于20分到40分之间”为事件C,则 P氏C)=PX=3或X=4)=P(X=3)+PX=4)=5+i0=30 2 .313 对点训练3：设挑选的2台电脑中A品牌的台数为X,则X 的可能取值为0,1,2.根据古典概型的知识，可得P(X=0)= 告名风x1岂名2答正 用表格表示X的分布列，如下表所示 X 0 7 7 P 1 15 15 例4：由分布列的性质知0.2+0.1+0.1+0.3+m=1,解得 m=0.3. 由题意列表如下 X 0 2 3 4 2X+1 5 1X-11 0 P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3 (1)易得2X+1的分布列为 2X+1 1 3 5 7 9 P 0.20.10.10.30.3 (2)易得IX-1I的分布列为 1X-11 0 3 P 0.1 0.3 0.3 0.3 16 对点训练4：由=-专+号对于5=-2，-101,23，得 531 3 5 .111 01=2,22,-2,- 2，- ,相应的概率值为2,4,3， 111 12’6*12 故1的分布列为 5 1 2 1 1 12 4 3 12 由2=2-2，对于专=-2，-1,0,1,2,3，得2=8,3,0， 111 -1,0,3.所以P(%=8)=12P(:=3)=4+12=3, 11 P(:=0)=3+6=2,P(nm=-1)=2 故2的分布列为 12 8 3 0 -1 P 1 1 1 12 3 212 例5：X的可能取值为0,1000,3000,6000. {X=0表示“第一关就没有通过”； X=1000表示“第一关通过，而第二关没有通过”； X=3000}表示“第一关通过、第二关通过而第三关没有通 过”； X=6000}表示“三关都通过”。 课堂检测固双基 1.C对于离散型随机变量分布列中的参数的确定，应根据随机 变量取所有值时的概率和等于1来确定，由石+了+石+刀 =1得p=3,选C 2.D.P(X=n)= n(n+1)（n=1,2,3,4), 号+6++=1…a=子， Pr<X<=P=+PX=2)=x3+x行 61 3.D.c=2b-a 5a+b+e=36=1,6=写 ∴.P(IX1=1)=P(X=1)+P(X=-1)=1-P(X=0)=1 4.CP(m≤X≤n)=P(X≤n)-P(X≤m)=1-a-[1-(1- b)]=1-(a+b) 5.由题意得0.2+2a+a+0.2=1,解得a=0.2, 0.3+0.3+2b=1,解得b=0.2, 所以飞的分布列为 9 8 0.4 0.2 0.2 0.2 ?的分布列为 10 6 7 0.3 0.3 0.2 0.2