4.2.2离散型随机变量的分布列（同步课件）数学人教B版2019选择性必修第二册

4.2.2离散型随机变量的分布列 主讲： 人教B版选择性必修第二册 第4章 概率与统计 学习目标 1.理解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念. 2.掌握离散型随机变量分布列的表示方法与性质. 3.理解两点分布的特点. 2 1、离散型随机变量的分布列 思考：已知随机变量X的取值范围是{0，1，2}，而且P(X=0)=0.2，P(X=1)=0.4，P(X=2)=0.4. （1）求出P(-1≤X≤1)与P(1≤X≤2)的值； （2）如果a，b是给定的实数，则P(a≤X≤b)一定可以算出来吗？ （3）探讨怎样才能对离散型随机变量有比较全面的了解. 情境与问题1 由于X只能在0，1，2中取值，所以-1≤X≤1等价于X=0或X=1, 又因为X=0与X=1互斥，所以 P(-1≤X≤1)=P(X=0)+P(X=1)=0.2+0.4=0.6; 类似地，1≤X≤2等价于____________， 而且P(1≤X≤2)=___________________________ 尝试与发现1 思考：已知随机变量X的取值范围是{0，1，2}，而且P(X=0)=0.2，P(X=1)=0.4，P(X=2)=0.4. （1）求出P(-1≤X≤1)与P(1≤X≤2)的值； X=1或X=2 P(X=1)+P(X=2)=0.4+0.4=0.8; 当实数a，b给定时，只要检查0，1，2是否满足a≤X≤b就可以求出P(a≤X≤b). 尝试与发现1 思考：已知随机变量X的取值范围是{0，1，2}，而且P(X=0)=0.2，P(X=1)=0.4，P(X=2)=0.4. （1）求出P(-1≤X≤1)与P(1≤X≤2)的值； （2）如果a，b是给定的实数，则P(a≤X≤b)一定可以算出来吗？ 对于离散型随机变量来说，如果已知其每一个取值的概率，那么也就对其有了比较全面的了解. 尝试与发现1 思考：已知随机变量X的取值范围是{0，1，2}，而且P(X=0)=0.2，P(X=1)=0.4，P(X=2)=0.4. （1）求出P(-1≤X≤1)与P(1≤X≤2)的值； （2）如果a，b是给定的实数，则P(a≤X≤b)一定可以算出来吗？ （3）探讨怎样才能对离散型随机变量有比较全面的了解. 一般地，当离散型随机变量X的取值范围是时，如果对任意 ，概率 都是已知的，则称X的概率分布是已知的.离散型随机变量X的概率分布可以用如下形式的表格表示，这个表格称为X的概率分布或分布列. 离散型随机变量的分布列 离散型随机变量X的概率分步还可以用下图直观表示，其中，下左图中，xk 上的矩形宽为1、高为 pk ，因此每个矩形的面积也恰为 pk ；下右图中， xk上的线段长为pk. 离散型随机变量的分布列必须满足： （1） （2） 离散型随机变量分布列的性质 1 例1：掷一个均匀的骰子，记所得的点数为X . （1）求X 的分布列； （2）求“点数大于3”的概率. （1）因为X的取值范围是{1，2，3，4，5，6} 因此X的分布列如下表所示. X 0 1 2 3 4 5 6 P 典例分析1 （2）“点数大于3”等价于 ，也就是说，X可取4，5，6中任何一个值，因此所求概率为 例1：掷一个均匀的骰子，记所得的点数为X . （1）求X 的分布列； （2）求“点数大于3”的概率. 典例分析1 例2：抛一枚均匀的硬币3次，设正面朝上的次数为X. (1)说明X=2 表示的是什么事件，并求出P(X=2); (2)求 X 的分布列. (1)X=2表示的事件是“恰有2次正面朝上”. 因为抛一枚均匀硬币3次，总共有2×2×2=8种不同的情况，其中恰有两次正面朝上的情况共 种，所以 典例分析2 (2)根据题意，X 的取值范围是{0,1,2,3} 又因为用（1）中的方法可知 X 0 1 2 3 P 典例分析2 例2：抛一枚均匀的硬币3次，设正面朝上的次数为X. (1)说明X=2 表示的是什么事件，并求出P(X=2); (2)求 X 的分布列. 当堂达标 容易看出，当X与Y都是离散型随机变量而且 时， 思考：在上一小节中，我们已经看到，如果X是一个离散型随机变量 , a,b都是实数且，则也是一个离散型随机变量.那么，它们的分布列之间有什么联系呢？ X与Y的分布列分别如下表所示，它们的第二行的概率值是一样的. 尝试与发现2 当堂达标 3.已知随机变量ξ的分布列为 ξ -2 -1 0 1 2 3 P 求出随机变量η＝ξ的分布列. 当堂达标 所以η的分布列为 求离散型随机变量η＝f(ξ)分布列的步骤: (1)确定η的取值，由变量ξ与η的关系确定. (2)确定每个η取值的概率. (3)列分布列. 注意：若ξ是一个随机变量，a，b∈R，则η＝aξ＋b也是一个随机变量. 当堂达标 2、两点分布 思考：分别写出下列随机变量的分布列，并分析他们的共同点. （1）篮球运动员在比赛中每次罚球得分的规则是：命中得1分，不中得0分，已知某篮球运动员罚球命中的概率为0.6，设其罚球一次的得分为X. （2）假设某人寿保险的投保人年龄超过50岁的占70%，从投保人中随机抽取1人，设Y表示抽到的年龄超过50岁的投保人人数. （3）从含有3件次品的100件产品中随机抽取1件，设抽到的次数为Z. （1）它们的取值范围均为{1，0}， （2）分布列都能写成如下的表格形式（其中0<p<1). W 1 0 P p 1-p 尝试与发现2 共同点 1.两点分布（伯努利分布） 一般地，如果随机变量的分布列能写成如下表格的形式，则称这个随机变量服从参数为 p 的两点分布（或0-1分布）. W 1 0 P p 1-p 两点分布 如果将伯努利试验的结果分别看成“成功”与“不成功”，并设“成功”出现的概率为 p ，一次伯努利试验中“成功”出现的次数为 X，则 X 服从参数为 p 的两点分布，因此两点分布也常称为伯努利分布，两点分布中的 p 也常被称为成功概率. 2.伯努利试验 一个所有可能结果只有两种的随机试验. 伯努利试验 4.在一次购物抽奖活动中，在10张奖券中有一等奖奖券1张，二等奖奖券3张，其余6张没有奖品.某顾客从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X的分布列. 【解析】抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况， 故X的取值只有0和1两种情况. 因此X的分布列为 X 0 1 P 判断是否两点分布方法： ①看取值：随机变量只取两个值0和1. ②验概率：检验P(X＝0)＋P(X＝1)＝1是否成立. 当堂达标 5.若随机变量X服从两点分布，且P(X＝0)＝0.8，P(X＝1)＝0.2.令Y＝3X－2，则P(Y＝－2)＝________. 【解析】　由Y＝－2，且Y＝3X－2，得X＝0，∴P(Y＝－2)＝0.8. 当堂达标 通过确定随机变量的取值和书写分布列提升数学抽象素养,通过对随机变量分布列性质的应用提升逻辑推理素养. 离散型随机变量的分布列,不仅能清楚地反映其所取的一切可能的值,而且能清楚地看到取每一个值的概率的大小,从而反映了随机变量在随机试验中取值的分布情况. 两点分布:两点分布是很简单的一种概率分布,两点分布的试验结果只有两种可能,要注意成功概率的值指的是哪一个量. 一般地,离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和. 课堂小结 课后作业 教材P69-70，练习A，练习B. 27 1．某一随机变量ξ的概率分布如下表，且m＋2n＝1.2，则m－eq \f(n,2)的值为(　　) ξ 0 1 2 3 P 0.1 m n 0.1 A. －0.2　 B．0.2 C．0.1 D．－0.1 【解析】由离散型随机变量分布列的性质可得m＋n＋0.2＝1，又m＋2n＝1.2，解得m＝n＝0.4，可得m－eq \f(n,2)＝0.2. 2．设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 m 若随机变量Y＝X－2，则P(Y＝2)等于(　　) A．0.3　　 B．0.4 C．0.6 D．0.7 【解析】由0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，得m＝0.3. 又P(Y＝2)＝P(X＝4)＝0.3. 【解析】由η＝ξ知，对于ξ取不同的值－2，－1,0,1,2,3时， η的值分别为－1，－，0，，1，， η －1 － 0 1 P P(X＝1)＝＝＝， 则P(X＝0)＝1－P(X＝1)＝1－＝. $$