4.1.2 乘法公式与全概率公式-【成才之路·练案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步新课程学习指导(人教B版)

6品0从这批产品中随意地取一件，则这件产品恰好是次 品的概*是0-品 方法一：已知取出的产品是甲厂生产的，则这件产品恰好是次 品的概率是总分 方法二：设A:“取出的产品是甲厂生产的”，B:“取出的产品为 次品，则)04nB)=点所以这件产品恰好 是甲厂生产的次品的概率是P(B1A)=PAnB)=1 P(A)-20 7.设事件A表示“选到第一组学生”， 事件B表示“选到共青团员” (I)由题意，P氏A)=品-子 (2)解法一：要求的是在事件B发生的条件下，事件A发生的 条件概率P(AIB).不难理解，在事件B发生的条件下（即以 所选到的学生是共青团员为前提)，有15种不同的选择，其中 属于第一组的有4种选择.因此，P(A1B)=5 4 解法二P()=品=令，P4B)=有=0 P代A®=0-吉 8.(1)从甲箱中任取2个产品的事件数为 C-87-28, 2 这2个产品都是次品的事件数为C=3. 心这2个产品都是次品的概率为？ (2)设事件A为“从乙箱中取出的一个产品是正品”，事件B为 “从甲箱中取出2个产品都是正品”，事件B2为“从甲箱中取出1 个正品1个次品”，事件B为“从甲箱中取出2个产品都是次 品”，则事件B、事件B,、事件B彼此互斥. C5C_15 p(B)=C=4,P(B,)C=28 P(B)=S、3 C28 P(AIB)=子，P(AB)=司P(4A,)=专 ..P(A)=P(B)P(AIB)+P(B,)P(AIB)+P(B) 52155347 P(41B,)=4×5+28×9+28×9=12 练案[9] A组·素养自测 1.ADP(B1A)=P,而0<P(A)≤1，∴P(B1A) P(AB),故A不成立；P(AB)=P(A)P(BIA),.当P(AB) =P(B)时，B成立；当A、B相互独立时，P(AB)=P(A)· 18 P(B),故C可能成立；P(AIA)=1,故D不成立.故选AD. 2C由P(0)=P(B1A)PA,可得P()==子改 选C 3.B设A:任取的一件是合格品，B:任取的一件是一等品， 因为P(A)=1-P(A)=96%,P(B1A)=75%, 所以P)=代=代4AA)-0x高=02 4.A以A1,A2,A3分别表示取得的这盒X光片是由甲厂、乙厂、 丙厂生产的，B表示取得的X光片为次品， A)-高P4)=品P4)品 r(BA)=OPBM)=5PBA)动 侧由全概率公式，所求概率为P(B)=P(A)P(BIA)+ AA)PB)+R)rA)高×品+高×吉+品×司 1 =0.08. 5.C以A1,A2,A3分别表示取得的这盒X光片是由甲厂、乙厂、 丙厂生产的，B表示取得的X光片为次品， P(A)=品P(4,)=0P(4)=品， PBIA,)=0P(B1A,)=5P(BI4)= P(A B)P(A P(BIA)= 所以P(B)=0.08,P(AIB)=P(B) P(B) 51 10×10=0.625. 0.08 6.0.63.2设小桐一周跑11圈为事件A,设第一次跑5圈为 事件B,设第二次跑5圈为事件C, P (A)=P(B)P (C I B)+P(B)P(CI B)= 0.5×0.6+0.5×0.6=0.6, 若至少跑11圈为运动量达标为事件D, P(D)=P(A)+P(B)P(CIB)=0.6+0.5×0.4=0.8, 所以X~B(4,0.8),E(X)=4×0.8=3.2. 7.0.175设B,=“他是谨慎的”，B2=“他是一般的”，B3=“他 是冒失的”，则B,B2,B3构成了2的一个划分，设事件A= “出事故”，由全概率公式得， P(A)=P(B,)P(A1B,)(i=1,2,3)=0.05×20%+0.15× 50%+0.30×30%=0.175. 9 8.22由题意A,A,A,是两两互斥的事件，且AUA,UA =2, 所以P(B)=P[B∩(A1UA2UA3)] =P(BA)+P(BA,)+P(BA) =P(A,)P(BA,)+P()P(BIA,+P(A)P(BIA)=8× 5.2.4.349 11+10×11+10×11=22 9.记B.={球取自i号罐}(i=1,2,3,),A={取得红球}，显然A 的发生总是伴随着B,B,,B,之一同时发生，即A=AB,+AB +AB3,且AB1,AB2,AB3两两互斥， PAIB)=子P氏AIB)=子PA品，)= 所以P(A)=P(AB)+P(AB,)+P(AB,）=P(B,)P(AIB,) 10.设A表示“被诊断为肺结核”，C表示“患有肺结核”。 由题意得，P(C)=0.001,P(C)=0.999,P(A1C)=0.95, P(A1C)=0.002.由贝叶斯公式知 P(C)P(AIC) 475 P(CIA)=P(C)P(AIC)+P(C)P(AIC)1474 B组·素养提升 1.B设A=“考生答对”，B=“考生知道正确答案”， 由全概率公式： P4)=PB)P(AIB)+P(B)P(4IB)=子x1+ 1 行×4 2 又由贝叶斯公式： 1 P(BIA)=P(B)P(AIB)3 2 P(A) =3 1 故选B. 2.B用A表示丢失一箱后任取两箱是英语书，用B,表示丢失 的一箱为k,k=1,2,3分别表示英语书、数学书、语文书. 1C,1 由全概率公式得P(A)=2P(B,)P(AIB,)=2·C+了 C+3.C=8 C区10Cg36 1 C2 P(A) 选B. 3.C设事件A={第一次抽出的是黑球}，事件B={第二次抽 出的是黑球}，则B=AB+AB,由全概率公式P(B)=P(A) b P(B1A)+P(A)P(BIA).由题意P(A)=a+bP(BIA)= eP()=6P(g1不=e所以P(B）= b(b+c) ab .6 (a+b)(a+b+c)+(a+b)(a+b+c)=a+6 4.ABCP(D1)=0.02,P(D2)=0.05,P(D3)=0.005,P(SID1) =0.4,P(S1D2)=0.18,P(S1D3)=0.6, 由全概率公式得P(S)=三P(D,)P(SID,) =0.02×0.4+0.05×0.18+0.005×0.6=0.02 由贝叶斯公式得： 18 pD,IS)=PD)PSD）_02x0.4=0.4, P(S) 0.02 PD,IS)=PD,)PsID,）_005x0.18=0.45. P(S) 0.02 P(D:IS) P(D,)P(SID2_0.005xQ.6=0.15. P(S) 0.02 5.甲设A1,A2,A表示产品来自甲、乙、丙车间，B表示产品为 次品的事件，易知A,A2,A3是样本空间2中的事件，且有 P(A1)=0.45,P(A2)=0.35,P(A3)=0.2,P(B1A)=0.04, P(B1A2)=0.02,P(B1A3)=0.05. 由全概率公式得P(B)=P(A)P(BIA)+P(A2)P(BIA,)+ P(A2)P(B1A3)=0.45×0.04+0.35×0.02+0.2×0.05= 0.035. 由贝叶斯公式得P(A,1B)=0.45×004-0.514, 0.035 P(A,1B)=0.35×002=0.200, 0.035 P(A,1B)=0.20×005=0.286. 0.035 所以，该次品由甲车间生产的可能性最大 6.0.5设A1为“第一次去甲超市购物”，B,为“第一次去乙超 市购物”，A2为“第二次去甲超市购物”，则2=A1UB,且A1 与B互斥，得P(A1)=P(B)=0.5,P(A2IA1)=0,4,P(A2 B)=0.6. 由全概率公式得 P(A)=P(A)P(A IA)+P(B)P(A2IB) =0.5×0.4+0.5×0.6=0.5. ∴.老王第二次去甲超市购物的概率为0.5. 7.m.m+k n n+k mtn m+ntk'm+n+2k'mn3kR(i=1,2.3. 4)表示第i次取到红球的事件，R(i=1,2,3,4)表示第i次取 到白球的事件.则有 P(R RR R)=P(R)P(RIR)P(RI(RR))P(Rl(R RR)) =m.m+h 几 n +k m+n m+n+k m+n+2k m+n+3k 8.记事件A为“题答对了”，事件B为“知道正确答案”，则按题 意有P(AIB)=1,P(AIB)=0.25. (1)此时有P(B)=P(B)=0.5,所以由贝叶斯公式得 P(BIA)= P(B)P(AIB) P(B)P(AIB)+P(B)P(AIB) 0.5×1 0.5×1+0.5x0.25=0.8 (2)此时有P(B)=0.2,P(B)=0.8,所以由贝叶斯公式得 P(B)P(AIB) P(BIA)= P(B)P(AIB)+P(B)P(AIB) 0.2×1 0.2×1+0.8x0.25=0.5. 9.设事件A,={发送信号为0}，事件A={发送信号为1}，事件 B。=收到信号为0}，事件B,=收到信号为1}.因为收到信 号为0时，除来自发送信号为0外，还由于干扰原因，发送信 5 号为1时，接收的信号也可能为0，因此导致事件B。发生的原 因有事件A。与A1,且它们互不相容，故A。与A1构成一完备 事件组由题意有P(A)=P(A,)=,P(A,IA)=Q.7,P(A A1)=0.1, P(Ba)=P(A)P(BoIAo)+P(A )P(BIA)=x0.7+ 分x01=04 由贝叶斯公式得收到信号0时，发出的信号是0的概率为 PA,1B）=PAPn1A)-0875 P(B。) 练案[10] A组·素养自测 1.AC把一枚硬币掷两次，对于每次而言是相互独立的，其结 果不受先后次序的影响，故A中A,B事件是相互独立事件；B 中是不放回地摸球，显然A事件与B事件不相互独立：对于 C,A事件为出现1,3,5点，P(A)=方，在事件B的条件下，事 件A发生的概率P(AB)=方=P(A),事件A,B相互独立：D 中两事件是互斥事件，不是相互独立事件 2B因为A,B相互独立，放P(AnB)=(AP(B)=×号 =子，放选B 3.A记“三个元件T,T2,T3正常工作”分别为事件A,A,A, 则P(A)=2,P(A)=子，P(A)=子 不发生故障的事件为(A2UA)∩A1, ..不发生故障的概率为 P=P[(A2UA3)∩A1J =[1-P(A2)·P(A)]·P(A) ×1-15 故选A. 4.C从甲袋内摸出白球与从乙袋内摸出白球两事件相互独立， 放两个球都是白球的度率为八=号×号。 5 :两个球不都是白球的概率为P=1-P=6 5.D设A(i=1,2)表示继续比赛时，甲在第i局获胜，B事件 表示甲队获得冠军. 方法一：B=A,+A1A2,故P(B)=P(A)+P(A1)P(A2)= 方法二：P(®)=1-P(44,)=1-P(a,)P(4)=1-×7 18 号“从20个螺杆中，任取一个是A型”记为事件B“从 6. 240个螺母中任取一个是A型”记为事件C,则P(B)=C0 P(C)= C ∴.P(BnC)=P(B)·P(C)= Cico.Ciso3 C5 7.9 由题意知，“从甲袋中取出红球”和“从乙袋中取出红球” 两个事件相互独立，且从甲袋中取出红球的概率为4=？ 6-3 从乙袋中取出红球的既率为石，所以所求事件的概率为号× 11 6=9 8各由题意得，甲，乙在三小时以上且不超过四小时还车的概 *分别为好行 设甲，乙两人所付的租车费用相同为事件A, 即甲，乙两人所付的粗车费用相同的概率为。 9.记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为A,B,C, 则P(A)=0.5,P(B)=0.6,P(C)=0.9. (1)应聘者用方案一考试通过的概率为P,=P(ABC)+ P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)=0.5×0.6×0.1+0.5×0.6 ×0.9+0.5×0.4×0.9+0.5×0.6×0.9=0.75. (2)应聘者用方案二考试通过的概率为B=号P(AB)+ P8C)+P(4C)=号x0.5x0.6+5x0.6x0.9+了× 0.5×0.9=0.43 10.(1)设A、B、C分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是 一等品的事件. 1 P(AB)=4· 由题设条件有P(BO= PaC=号， P(A)[1-P(B]= ① 即P(B)·[I-P(C)]=2 ② 4G= ③ 由①.③得P(B)=1-是P(O),代入②得 27[P(C)]2-51P(C)+22=0. 6练案[9] 第四章 概率与统计 4.1[4.1.2 乘法公式与全概率公式] b组·素养自测 0.4.小桐一周跑11圈的概率为 ;若一周 至少跑11圈为运动量达标，则连续跑4周，记 一、选择题 合格周数为X,则期望E(X)= 1.（多选)下列说法一定不成立的是 ( 7.某保险公司把被保险人分为3类：“谨慎的” A.P(BIA)<P(AB) “一般的”“冒失的”.统计资料表明，这3类人 B.P(B)=P(A)P(BIA) 在一年内发生事故的概率依次为0.05,0.15 C.P(AB)=P(A)·P(B) 和0.30.如果“谨慎的”被保险人占20%，“一 D.P(A1A)=0 般的”被保险人占50%，“冒失的”被保险人占 2.已知P(BA)=分，P(B)=令，则P(A)等于 30%,则一个被保险人在一年内出事故的概率 是 君 B.3 8.甲罐中有5个红球、2个白球和3个黑球，乙罐 16 中有4个红球、3个白球和3个黑球，先从甲罐 c 中随机取出一球放入乙罐，分别以A,A2和A 表示由甲罐中取出的球是红球、白球和黑球的 3.某厂的产品中有4%的废品，在100件合格品 事件，再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙 中有75件一等品，则在该厂的产品中任取一 罐中取出的球是红球的事件，则P(B)= 件是一等品的概率为 ( A.0.21 B.0.72 三、解答题 C.0.75 D.0.96 9.三个罐子分别编号为1,2,3，其中1号罐中装 4.设某医院仓库中有10盒同样规格的X光片， 有2个红球和1个黑球，2号罐中装有3个红 已知其中有5盒3盒、2盒依次是甲厂、乙厂、 球和1个黑球，3号罐中装有2个红球和2个 丙厂生产的.且甲、乙、丙三厂生产该种X光片 黑球，若某人从中随机取一罐，再从中任意取 的改品率依次为石石方现从这10盒小纤 出一球，求取得红球的概率. 取一盒，再从这盒中任取一张X光片，则取得 的X光片是次品的概率为 ( A.0.08 B.0.1 C.0.15 D.0.2 5.如果在上题中已知取得的X光片是次品，则该 次品是由甲厂生产的概率为 ( A.0.085 B.0.226 1 C.0.625 D.0.815 二、填空题 6.(2025·天津卷)小桐操场跑圈，一周2次，一 次5圈或6圈.第一次跑5圈或6圈的概率均 为0.5，若第一次跑5圈，则第二次跑5圈的概 率为0.4,6圈的概率为0.6；若第一次跑6圈， 则第二次跑5圈的概率为0.6,6圈的概率为 —118 1O.设患肺结核病的患者通过胸透被诊断出的概： 箱.现从剩下9箱中任意打开两箱，结果都是 率为0.95，而未患肺结核病的人通过胸透被 英语书，则丢失的一箱也是英语书的概率为 误诊为有病的概率为0.002，已知某城市居民 .m 患肺结核的概率为0.1%.若从该城市居民中 随机地选出一人，通过胸透被诊断为肺结核， 1 B c 求这个人确实患有肺结核的概率. 3.盒中有a个红球，b个黑球，今随机地从中取出 一个，观察其颜色后放回，并加上同色球c个， 再从盒中抽取一球，则第二次抽出的是黑球的 概率是 A.6 B.、b a+b+c a+c C.b D.b+c atb a+b+c 4.(多选)在某一季节，疾病D1的发病率为2%， 病人中40%表现出症状S,疾病D,的发病率 为5%，其中18%表现出症状S,疾病D3的发 病率为0.5%，症状S在病人中占60%.则 () A.任意一位病人有症状S的概率为0.02 B.病人有症状S时患疾病D,的概率为0.4 C.病人有症状S时患疾病D2的概率为0.45 D.病人有症状S时患疾病D3的概率为0.25 二、填空题 5.某工厂有甲、乙、丙3个车间生产同一种产品， 产量依次占全厂的45%，35%，20%，且各车间 8组·素养提升 的次品率分别为4%，2%，5%，现从一批产品 一、选择题 中检查出1个次品，则该次品由 车间 1.一道考题有4个答案，要求学生将其中的 一} 生产的可能性最大 个正确答案选择出来.某考生知道正确答案的6.某乡镇有甲、乙两家超市，在某一周内老王去 概率为，而乱猜正确的概率为子在乱猜时， 超市购物两次，第一次购物时随机地选择一家 超市购物.若第一次去甲超市，则第二次去甲 4个答案都有机会被他选择，如果他答对了， 超市的概率为0.4，若第一次去乙超市，则第二 则他确实知道正确答案的概率是 次去甲超市的概率为0.6，则老王第二次去甲 A号 B号 超市购物的概率为 c n号 7.设盒中有m只红球，n只白球，每次从盒中任 取一只球，看后放回，再放入飞只与所取颜色 2.某卡车为乡村小学运送书籍，共装有10个纸 相同的球.若在盒中连取四次，则第一次，第二 箱，其中5箱英语书、2箱数学书、3箱语文书. 次取到红球，第三次，第四次取到白球的概率 到目的地时发现丢失一箱，但不知丢失哪一 为 —119 三、解答题 9.在数字通讯中，信号是由数字0和1的长序列 8.学生在做一道有4个选项的选择题时，如果他 组成的，由于随机干扰，发送的信号0或1各 不知道问题的正确答案，就做随机猜测.现从 有可能错误接收为1或0.现假设发送信号为 卷面上看题是答对了，试在以下情况下求学生 0和1的概率均为；又已知发送信号为0时。 确实知道正确答案的概率。 (1)学生知道正确答案和胡乱猜想的概率都 接收为0和1的概率分别为0.7和0.3.发送 是好： 信号为1时，接收为1和0的概率分别为0.9 和0.1.求已知收到信号0时，发出的信号是0 (2)学生知道正确答案的概率是0.2. (即没有错误接收)的概率. 120