4.2.1 随机变量及其与事件的联系-【成才之路·学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步新课程学习指导(人教B版)

048 4.2随机变量 4.2.1随机变量及其与事件的联系 素养目标定方向 课程标准 学法解读 1.理解随机变量的含义， 1.通过学习随机变量，培养数学抽象的素养 2.能写出离散型随机变量的可能取值，并能 2.借助随机变量间的关系解题，提升数学运算的 解释其意义 素养 3.会借助随机变量间的关系解题 必备知识探新知 知识点一随机变量 (1)定义：一般地，如果随机试验的样本空间为2，而且对于2中的每一 个样本点，变量X都对应有 的实数值，就称X为一个随机变量 (2)表示：用大写英文字母X,Y,Z,…或小写希腊字每，m,5,…表示 (3)取值范围：随机变量 的取值组成的集合，称为这个随机变 量的取值范围， P[思考] 知识点二随机变量与事件的联系 般地，如果X是一个随机变量，a,b都是任意实数，那么X=a,X≤b,X思考：随机变量与随 >b等都表示事件，而且： 机试验的结果的关系 (1)当a≠b时，事件X=a与X=b 是怎样的？ (2)事件X≤a与X>a相互 ,因此P(X≤a)+P(X>a)= 知识点三随机变量的分类 (1)离散型随机变量：若随机变量的所有可能取值都是可以一一列举出 来的，那么这个变量是离散型随机变量. (2)连续型随机变量：与 随机变量对应的是连续型随机变量，连 续型随机变量的取值范围包含一个 知识点四随机变量之间的关系 如果X是一个随机变量，a,b都是实数且a≠0，则Y=aX+b也是一个 ,且P(X=t)= 049 关键能力 攻重难 ●题型探究 题型一随机变量的判定 例1，有以下随机试验：①某路口一天内经过的机动车的辆数为X,②一天 内的温度为X;③某单位的某部电话在单位时间内被呼叫的次数为 X;④某篮球运动员在一次训练中，投中球的个数为X.上述问题中的X是 离散型随机变量的是 () A.①②③④ B.②③④ C.①③④ D.①②④ [分析]判断一个变量是否为离散型随机变量，关键是看它的取值能否 列出，若能，则是离散型随机变量，否则就不是离散型随机变量： 规律方法： [规律方法] 判断一个变量是否为 》对点训练1 离散型随机变量的 判断下列各个量，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由 步骤 (1)标准大气压下，水沸腾的温度； (1)根据题意分析变 (2)王老师在某天内接电话的次数； 量是否为随机变量. (3)在一次绘画作品评比中，设一、二、三等奖，你的一件作品获得的 (2)求随机变量的 奖次； 值域 (4)体积为64cm3的正方体的棱长， (3)判断变量的取值 能否按一定顺序列举 出来，若能，则是离 散型随机变量。 050 题型二「 随机变量的取值及其表示的事件 例2)某人进行射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击。 射击次数为X,则“X=5”表示的事件是 () A.第5次击中目标 B.第5次未击中目标 C.前4次未击中目标 D.第4次击中目标 (2)在考试中，需回答三个问题，考试规则规定：每题回答正确得100 分，回答不正确得0分，设一名同学回答这三个问题的总得分为X. ①求X的取值范围； ②若已知这名同学不得分的概率为0.06，能得满分的概率为0.43，求 不得0分与不得满分的概率 [分析]明确随机变量的所有取值，以及取每一个值时对应的意义， 规律方法： 随机变量的取值及表 示的事件问题的关 注点 (1)明确离散型随机 变量的所有可能取值 及取每一个值所对应 的随机试验的结果， [规律方法] 同时也要明确一个随 》对点训练2 机变量的取值可能对 袋中有大小相同的红球10个，白球5个，从袋中每次任取1个球，直到取应一个或多个随机试 出的球是白球为止，写出所需要的取球次数；可能的取值及每个取值所表示 验的结果，解答过程 的事件 中不要漏掉某些试验 结果. (2)概率的公式：互 斥事件与对立事件的 概率公式 ●051 题型三随机事件的关系及其应用 例3，某商场的促销员是按照下述方式获取税前月工资的：底崭1500元。 每工作1天再获取100元.从该商场促销员中任意抽取一名，设其月工作 时间为X天，获取的税前月工资为Y元 (1)当X=25时，求Y的值 (2)写出X与Y之间的关系式； (3)若P(Y>3500)=0.7,求P(X≤20)的值 [分析]求解此类问题的关键是明确随机变量的取值所表示的含义.对 于变量间的关系问题，可类比函数关系求解 规律方法： 两个随机变量关系问 题的关注点 (1)衍生关系：若X 是随机变量，则Y= aX+b(a,b∈R a≠0)也是随机变量. （2)相等关系： P(X=i)=P (Y= at+b). P[规律方法] 》对点训练3 已知随机变量X的取值范围是{-1,0,1}，且Y=X-1,则Y的取值范围 是 课堂检测 固双基 1.给出下列四个命题： A.一枚是3点，一枚是1点 ①15秒内，通过某十字路口的汽车的数量是 B.两枚都是2点 随机变量； C.两枚都是4点 ②在一段时间内，某候车室内候车的旅客人数 D.一枚是3点，一枚是1点或两枚都是2点 是随机变量； 4.抛掷两枚骰子一次，专为第一枚骰子掷出的点 ③一条河流每年的最大流量是随机变量； 数与第二枚骰子掷出的点数之差，则ξ的所有 ④一个剧场共有三个出口，散场后某一出口退 可能的取值为 () 场的人数是随机变量 A.0≤ξ≤5,5∈N B.-5≤ξ≤0,5∈Z 其中正确的个数是 C.1≤ξ≤6,5∈N D.-5≤ξ≤5,5eZ A.1 B.2 C.3 D.4 5.一袋中装有6个同样大小的黑球，编号为1,2， 2.已知随机变量Y=2X,且P(X=1)=0.1,则 3,4,5,6.现从中随机取出2个球，以X表示取 P(Y=2)= 出的球的最大号码，则“X=6”表示的事件的 A.0.1 B.0.2 样本点是 C.0.4 D.无法确定 3.抛掷两枚骰子，所得点数之和记为专，那么专= 4表示的事件是 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[11]=。,事件丙发生的概率P(丙)6文66，事件丁发生的 61 概率P(丁)=6X66事件甲与事件丙同时发生的概率为 0,P(甲丙)≠P(甲)P(丙)，故A错误：事件甲与事件丁同时 发生的概率为66P(甲)=P(甲)P(T),放B正确： 事件乙与事件丙同时发生的概率为6文6名P(乙丙) P(乙)P(丙)，故C错误；事件丙与事件丁是互斥事件，不是相 互独立事件，故D错误.选B. 36 0 [解析】加工出来的零件的正品率为(1-0)× (1-动)×(1-点)-% 4.2随机变量 4.2.1随机变量及其与事件的联系 必备知识探新知 知识点一（1)唯一确定(3)所有可能 思考：随机变量每取一个确定的值对应着试验的不同结果， 试验的结果对应着随机变量的值，即随机变量的取值实质上是 试验结果所对应的数. 知识点二(1)互斥 (2)对立1 知识点三(2)离散型区间 知识点四随机变量P(Y=at+b) 关键能力攻重难 例1：C随机试验的结果可以一一列出的，就是离散型随 机变量.一天内的温度的取值不能一一列出，是连续型随机变 量.故选C. 对点训练1：(1)在标准大气压下，水沸腾的温度是100℃， 是常量，故不是随机变量 (2)王老师在某天内接电话的次数是不确定的，因此是随 机变量. (3)作品获奖奖次的可能性不确定，可能是一，二或三，因 此是随机变量. (4)体积是64cm㎡的正方体的棱长是4cm,因此不是随机 定量. 例2：(1)C击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为 X=5,则说明前4次均未击中目标 (2)这名同学可能回答全对，两对一错，两错一对，全错四 种结果，相应得分为300分，200分，100分，0分 ①所以X的取值范围是{300,200,100,0} ②因为事件X>0为“不得0分”，X<300为“不得满分” 所以X=0与X>0是对立事件，X=300与X<300是对立事件， 又P(X=0)=0.06,P(X=300)=0.43,所以P(X>0)= 1-P(X=0)=1-0.06=0.94: P(X<300)=1-P(X=300)=1-0.43=0.57 对点训练2：设所需的取球次数为X,则X=1,2,3,4,…, 10,11, X=i表示前i-1次取到红球，第i次取到白球，这里i=1, 2,…,11. 例3：(1)当X=25时，Y=25×100+1500=4000. (2)由题意可知Y=100X+1500. (3)由Y>3500可知100X+1500>3500,即X>20. .P(X>20)=P(Y>3500)=0.7 ∴.P(X≤20)=1-0.7=0.3. 对点训练3：-2，-1,0}因为随机变量X的取值范围是 -1,0,1},且Y=X-1, 16 所以-1-1=-2,0-1=-1,1-1=0，所以Y的取值范围 是{-2，-1,0}. 课堂检测固双基 1.D 2.A因为随机变量Y=2X,当X=1时，Y=2,所以P(Y=2)= P(X=1)=0.1. 3.D专=4可能出现的结果是一枚是3点，一枚是1点或两枚 都是2点. 4.D的所有可能取值为-5，-4，-3，-2，-1,0,1,2,3,4,5， 即-5≤E≤5，eZ. 5.(1,6),(2,6),(3,6),(4,6),(5,6) 4.2.2离散型随机变量的分布列 必备知识探新知 知识点一(2)P4p4(3)①0②1 思考1：(1)随机变量的所有可能取值；(2)取每一个值的概 率的大小 知识点二(1)p(2)两种两点p 思考2：是的 关键能力攻重难 例1：108=+2+3+1=1a=10, 则P(X=1或X=2)=P(X=1)+P(X=2) =0+品 .23 (2)由a=10,可得P分<X<) /1 =P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)》 1233 =10+10+10=5 对点训练1：(1)D由离散型随机变量分布列的性质得 2+(1-2g)+g2=1, 0≤1-2g≤1， 解得g=1-2 2 lg≤1， （2)(3,4因为PX=)=6i=1,23,4).所以P(X= 0=0X=2)=品-5P=)=0PX=4)-0 号义P1≤X<a)=号故3a4 3 例2：(1)由题意知P(X=0)=号，P(X=1)=号 。3 所以X的分布列为： X 0 1 P ； (2)由题意知P(X=0)=元=方， PX=I)=1-PX=0)=9 所以X的分布列为： X 0 1 P 6 7 对点训练2：抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，故X 的取值只有0和1两种惜况.P(X=1)二C0三则 P(X=0)=1-P(X=1)=1-2=3 5=5