4.2.1 随机变量及其与事件的联系&4.2.2 离散型随机变量的分布列-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂同步Word教案（人教B版2019）

4．2　随机变量 　4.2.1　随机变量及其与事件的联系 4．2.2　离散型随机变量的分布列 课程标准 素养解读 1.理解随机变量及离散型随机变量的含义 2．掌握离散型随机变量的表示方法和性质 3．会求简单的离散型随机变量的分布列 1.借助随机变量间的关系解题，提升数学运算的素养 2．通过学习离散型随机变量及两点分布的概念、表示及性质，体会数学抽象的素养 3．借助离散型随机变量的分布列求法，培养数学运算的素养 [情境引入] 姚明每次罚球具有一定的随机性，那么他三次罚球的得分结果可能是什么？ (1)投进零个球——0分； (2)投进1个球——1分； (3)投进2个球——2分； (4)投进3个球——3分． [知识梳理] [知识点一]　随机变量　 1．定义：一般地，如果随机试验的样本空间为Ω，而且对于Ω中的每一个样本点，变量X都对应有　唯一确定　的实数值，就称X为一个随机变量． 2．表示：用大写英文字母X，Y，Z，…或小写希腊字母ξ，η，ξ，…表示． 3．取值范围：随机变量　所有可能　的取值组成的集合，称为这个随机变量的取值范围． 4．随机变量与事件的联系 一般地，如果X是一个随机变量，a，b都是任意实数，那么X＝a，X≤b，X>b等都表示事件，而且： (1)当a≠b时，事件X＝a与X＝b　互斥　； (2)事件X≤a与X>a相互　对立　，因此 P(X≤a)＋P(X>a)＝　1　. 5．随机变量的分类 (1)离散型随机变量：若随机变量的所有可能取值都是可以一一列举出来的，那么其是离散型随机变量． (2)连续型随机变量：与　离散型　随机变量对应的是连续型随机变量，连续型随机变量的取值范围包含一个　区间　. 6．随机变量之间的关系 如果X是一个随机变量，a，b都是实数且a≠0，则Y＝aX＋b也是一个　随机变量　， 且P(X＝t)＝　P(Y＝at＋b)　. 1.随机变量的取值由什么决定？ 提示：随机变量的取值由随机试验的结果决定． [知识点二]　离散型随机变量的分布列　 1．一般地，当离散型随机变量X的取值范围是 {x1，x2，…，xn}时，如果对任意k∈{1,2，…，n}， 概率P(X＝xk)＝pk都是已知的，则称X的概率分布是已知的． 离散型随机变量X的概率分布可以用如下形式的表格表示，这个表格称为X的概率分布或分布列． X x1 x2 … xk … xn P p1 p2 … pk … pn 2.离散型随机变量X的概率分布还可以用图(1)或图(2)来直观表示，其中图(1)中，xk上的矩形宽为1、高为pk，因此每个矩形的面积也恰为　pk　；图(2)中，xk上的线段长为　pk　. 3．离散型随机变量的分布列必须满足： ①pk≥　0　，k＝1,2，…，n； ②pk＝p1＋p2＋…＋pn＝　1　. 2.如何求离散型随机变量在某一范围内的概率？ 提示：离散型随机变量在某一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和． [知识点三]　两点分布　 1．一般地，如果随机变量X的分布列能写成如下表格的形式： X 1 0 P p 1－p 则称随机变量X服从参数为　p　的两点分布． 2．一个所有可能结果只有　两种　的随机试验，通常称为伯努利试验．不难看出，如果将伯努利试验的结果分别看成“成功”与“不成功”，并设“成功”出现的概率为p，一次伯努利试验中“成功”出现的次数为X，则X服从参数为p的　两点　分布，因此两点分布也常称为伯努利分布，两点分布中的　p　也常被称为成功概率． 3.分布列 X 2 5 P 0.3 0.7 是两点分布吗？ 提示：不是．因为X的取值不是0和1. [预习自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限个．(　　) (2)在抛掷一枚质地均匀的硬币试验中，“出现正面的次数”为随机变量．(　　) (3)随机变量是用来表示不同试验结果的量．(　　) (4)在掷一枚质地均匀的骰子试验中，“出现的点数”是一个随机变量，它有6个取值．(　　) 答案：(1)√　(2)√　(3)√　(4)√ 2．如果X是一个离散型随机变量，且Y＝aX＋b，其中a，b是常数且a≠0，那么Y(　　) A．不一定是随机变量 B．一定是随机变量，不一定是离散型随机变量 C．可能是定值 D．一定是离散型随机变量 解析：D　[由于X是离散型随机变量且Y＝aX＋b，故Y与X成线性关系，所以Y一定是离散型随机变量．] 3．下列表中可以作为离散型随机变量的分布列的是(　　) A. ξ 1 0 1 P B. ξ 0 1 2 P － C. ξ 0 1 2 P 　D. ξ －1 0 1 P 解析：D　[本题考查分布列的概念及性质，即ξ的取值应互不相同且P(ξi)≥0，i＝1,2…，n，P(ξi)＝1. A中，ξ的取值出现了重复性； B中，P(ξ＝0)＝－<0； C中，P(ξi)＝＋＋＝>1.] 4．若随机变量X服从两点分布，且P(X＝0)＝0.8，P(X＝1)＝0.2，令Y＝3X－2，则P(Y＝－2)＝________. 解析：由Y＝－2可知3X－2＝－2，即X＝0， ∴P(Y＝－2)＝P(X＝0)＝0.8. 答案：0.8 　　　随机变量的判断 [例1]　判断下列各个量，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由． (1)标准大气压下，水沸腾的温度； (2)王老师在某天内接电话的次数； (3)在一次绘画作品评比中，设一、二、三等奖，你的一件作品获得的奖次； (4)体积为64cm3的正方体的棱长． [思路点拨]　依据随机变量的概念判断． 解：(1)在标准大气压下，水沸腾的温度是100℃，是常量，故不是随机变量； (2)王老师在某天内接电话的次数是不确定的，因此是随机变量； (3)作品获奖奖次的可能性不确定，可能是一，二或三，因此是随机变量； (4)体积是64cm3的正方体的棱长是4cm，因此不是随机变量． 随机变量的辨析方法 1. 随机试验的结果具有可变性，即每次试验对应的结果不尽相同． 2．随机试验的结果具有确定性，即每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果． 如果一个随机试验的结果对应的变量具有以上两点，则该变量即为随机变量． [变式训练] 1．指出下列随机变量是不是离散型随机变量，并说明理由． (1)某座大桥一天经过的车辆数X； (2)某超市5月份每天的销售额； (3)某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差ξ； (4)江西九江市长江水位监测站所测水位在(0,29]这一范围内变化，该水位站所测水位ξ. 解：(1)车辆数X的取值可以一一列出，故X为离散型随机变量． (2)某超市5月份每天销售额可以一一列出，故为离散型随机变量． (3)实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出，不是离散型随机变量． (4)不是离散型随机变量，水位在(0,29]这一范围内变化，不能按次序一一列举． 　对离散型随机变量的理解 [例2] 写出下列随机变量的取值范围，并说明这些值所表示的随机试验的结果． (1)一个袋中装有质地、大小完全相同的2个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数X； (2)抛掷两枚质地均匀的骰子各一次，第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差的绝对值Y. [思路点拨]　先分析试验结果，确定随机变量的所有可能取值，然后写出随机变量取每一个值时所表示的事件． 解：(1)X的取值范围为{0,1,2}． {X＝0}表示所取的3个球都是黑球； {X＝1}表示所取的3个球中有1个白球，2个黑球； {X＝2}表示所取的3个球中有2个白球，1个黑球． (2)Y的取值范围为{0,1,2,3,4,5}． 用(a，b)表示两枚骰子掷出的点数，其中a为第一枚骰子掷出的点数，b为第二枚骰子掷出的点数． {Y＝0}表示掷出的两枚骰子的点数相同，其包含的所有可能结果有(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)． {Y＝1}表示掷出的两枚骰子的点数相差1，其包含的所有可能结果有(1,2)，(2,1)，(2,3)，(3,2)，(3,4)，(4,3)，(4,5)，(5,4)，(5,6)，(6,5)． {Y＝2}表示掷出的两枚骰子的点数相差2，其包含的所有可能结果有(1,3)，(3,1)，(2,4)，(4,2)，(3,5)，(5,3)，(4,6)，(6,4)． {Y＝3}表示掷出的两枚骰子的点数相差3，其包含的所有可能结果有(1,4)，(4,1)，(2,5)，(5,2)，(3,6)，(6,3)． {Y＝4}表示掷出的两枚骰子的点数相差4，其包含的所有可能结果有(1,5)，(5,1)，(2,6)，(6,2)． {Y＝5}表示掷出的两枚骰子的点数相差5，其包含的所有可能结果有(1,6)，(6,1)． 理解离散型随机变量的切入点 1．判断一个随机变量是不是离散型随机变量的关键是判断随机变量的所有可能取值是否可以一一列出，具体方法如下． (1)明确随机试验的所有可能结果． (2)将随机试验的结果数量化． (3)确定试验结果所对应的实数是否可以一一列出，若能一一列出，则该随机变量是离散型随机变量；若不能一一列出，则该随机变量不是离散型随机变量． 2．明确离散型随机变量的所有可能取值及取每一个值所对应的随机试验的结果，同时也要明确一个随机变量的取值可能对应一个或多个随机试验的结果，解答过程中不要漏掉某些试验结果． [变式训练] 2．指出下列随机变量是不是离散型随机变量，并说明理由． (1)从10张已编好号码的卡片(从1号到10号)中任取一张，被取出的卡片的号数； (2)一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数； (3)某林场树木最高达30m，则此林场中树木的高度； (4)某加工厂加工的某种铜管的外径与规定的外径尺寸之差． 解：(1)只要取出一张，便有一个号码，因此被取出的卡片号数可以一一列出，符合离散型随机变量的定义． (2)从10个球中取3个球，所得的结果有以下几种：3个白球；2个白球和1个黑球；1个白球和2个黑球；3个黑球，即其结果可以一一列出，符合离散型随机变量的定义． (3)林场树木的高度是一个随机变量，它可以取(0,30]内的一切值，无法一一列举，不是离散型随机变量． (4)实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出，不是离散型随机变量． 　　　分布列及其性质的应用 [例3]　设随机变量X的分布列为 P(X＝i)＝(i＝1,2,3,4)，求： (1)P(X＝1或X＝2)； (2)P. [思路点拨]　先由分布列的性质求a，再根据X＝1或X＝2，<X<的含义，利用分布列求概率． 解：(1)∵pi＝＋＋＋＝1，∴a＝10， 则P(X＝1或X＝2)＝P(X＝1)＋P(X＝2) ＝＋＝. (2)由a＝10，可得 P ＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3) ＝＋＋＝. 利用分布列的性质解题时要注意以下两个问题： (1)X的各个取值表示的事件是互斥的． (2)p1＋p2＋…＝1，且pi>0，i＝1,2，…. [变式训练] 3．已知随机变量X的分布列： X＝i 1 2 3 4 5 P(X＝i) a (1)求a； (2)求P(X≥4)，P(2≤X<5)． 解：(1)由＋＋a＋＋＝1，得a＝. (2)P(X≥4)＝P(X＝4)＋P(X＝5)＝ ＋＝， P(2≤X<5)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)＝＋＋＝. 　　　求离散型随机变量的分布列 [例4]　从集合{1,2,3,4,5}的所有非空子集中，等可能地取出一个．记所取出的非空子集的元素个数为ξ，求ξ的分布列． 解：依据题意，ξ的所有可能值为1,2,3,4,5. 又P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝，P(ξ＝4)＝＝，P(ξ＝5)＝＝. 故ξ的分布列为 ξ 1 2 3 4 5 P [变式训练] 4．某小组共10人，利用假期参加义工活动．已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会． (1)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率； (2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列． 解：(1)由题意得，P(A)＝＝. 所以事件A发生的概率为. (2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2. P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝. 所以随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P 　　　两点分布 [例5]　袋内有10个白球，5个红球，从中摸出2个球，记X＝求X的分布列． [思路点拨]　X只有两个可能取值，属于两点分布，应用概率知识求出X＝0的概率，最后列出表格的形式即可． 解：由题设可知X服从两点分布． P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝1－P(X＝0)＝. ∴X的分布列为 X 0 1 P 两步法判断一个分布是否为两点分布 1．看取值：随机变量只取两个值0和1. 2．验概率：检验P(X＝0)＋P(X＝1)＝1是否成立． 如果一个分布满足以上两点，则该分布是两点分布，否则不是两点分布． [变式训练] 5．一个袋中有形状大小完全相同的3个白球和4个红球，从中任意摸出2个球，用0表示2个球都是白球，用1表示2个球不全是白球，则满足条件X的分布列为(　　) A. X 0 1 P 　B. X 0 1 P C. X 0 1 P 　D. X 0 1 P 解析：A　[从7个球中任意摸出2个球，共有C＝21(种)取法，摸出的2个球都是白球，共有C＝3(种)取法，故P(X＝0)＝＝，故选A.] [当堂达标] 1．下列变量中，是离散型随机变量的是(　　) A．到2020年10月1日止，我国发射的卫星 B．一只刚出生的大熊猫，一年以后的身高 C．某人在车站等出租车的时间 D．某人投篮10次，可能投中的次数 解析：D　[离散型随机变量的取值是可以一一列举的，结合选项可知D正确．] 2．某人进行射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为ξ，则{ξ＝5}表示的试验结果是(　　) A．第5次击中目标　　 B．第5次未击中目标 C．前4次均未击中目标 D．第4次击中目标 解析：C　[{ξ＝5}表示前4次均未击中，而第5次可能击中，也可能未击中，故选C.] 3．设某项试验成功的概率是失败概率的2倍，记 Y＝则P(Y＝0)＝(　　) A．0　　　B.　　　C.　　　D. 解析：C　[由题意知，可设P(Y＝1)＝p， 则P(Y＝0)＝1－p，又p＝2(1－p)，解得p＝，故P(Y＝0)＝.] 4．一批产品的次品率为5%，从中任意抽取一个进行检验，用随机变量X来描述次品出现的情况，即X＝0表示抽取的一个产品为合格品，X＝1表示抽取的一个产品为次品，则X的分布列为 X 0 1 P a b 则a＝________，b＝________. 解析：X＝0表示抽取的一个产品为合格品，概率为95%，即a＝；X＝1表示抽取的一个产品为次品，概率为5%，即b＝. 答案：　 5．从装有6个白球，4个黑球和2个黄球的箱中随机地取出两个球，规定每取出一个黑球赢2元，而每取出一个白球输1元，取出黄球无输赢，以X表示赢得的钱数，随机变量X可以取哪些值呢？求X的分布列． 解：从箱中取两个球的情形有以下6种： {2白}，{1白1黄}，{1白1黑}，{2黄}，{1黑1黄}，{2黑}． 当取到2白时，结果输2元，随机变量X＝－2； 当取到1白1黄时，输1元，随机变量X＝－1； 当取到1白1黑时，随机变量X＝1； 当取到2黄时，X＝0； 当取到1黑1黄时，X＝2； 当取到2黑时，X＝4. 则X的可能取值为－2，－1,0,1,2,4. P(X＝－2)＝＝，P(X＝－1)＝＝， P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝，P(X＝4)＝＝. 从而得到X的分布列： X －2 －1 0 1 2 4 P 学科网（北京）股份有限公司 $$