3.1.3 第2课时 组合数的应用-【成才之路·练案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步新课程学习指导(人教B版)

练案[5] 第三章排列、组合与二项式定理 3.1[3.1.3 第2课时组合数的应用] 化组·素养自测 A B 一、选择题 C 1.从10种不同的作物种子中选出6种分别放入6 D 个不同的瓶子中展出，每瓶不空，如果甲、乙两 种种子都不许放入1号瓶子内，那么不同的放 A.72种 B.48种 C.24种 D.12种 法共有 ( 二、填空题 A.CA种 B.CA种 6.一排7个座位分给3人坐，要求任何两人都不 C.CgA种 D.CgC种 得相邻，所有不同排法的总数有 种. 2(多选)现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加7.从甲、乙等5名志愿者中选出4名，分别从事 2022年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译、 A,B,C,D四项不同的工作，每人承担一项.若 导游、礼仪、司机四项工作可以安排，则以下说 甲、乙二人均不能从事A工作，则不同的工作 法错误的是 () 分配方案共有 种， A.若每人都安排一项工作，则不同的方法数8.用1,2,3,4,5组成不含重复数字的五位数，数 为5 字2不出现在首位和末位，数字1,3,5中有且 B.若每项工作至少有1人参加，则不同的方法 仅有两个数字相邻，则满足条件的不同五位数 数为AC4 的个数是 (注：用数字作答). C.如果司机工作不安排，其余三项工作至少安三、解答题 排1人，则这5名同学全部被安排的不同方9.7名身高互不相等的学生，分别按下列要求排 法数为(CC2+CC)A 列，各有多少种不同的排法？ D.每项工作至少有1人参加，甲、乙不会开车 (1)7人站成一排，要求最高的站在中间，并向 但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜 左、右两边看，身高逐个递减； 任四项工作，则不同安排方案的种数是 (2)任取6名学生，排成二排三列，使每一列的 CCA+C3A 前排学生比后排学生矮 3.平面上有12个点，其中没有3个点在一条直 线上，也没有4个点共圆，过这12个点中的每 三个作圆，共可作圆 A.220个 B.210个 C.200个 D.1320个 4.从0、1、2、3、4、5这六个数，每次取三个不同的 数字，把其中最大的数放在百位上排成三位 数，这样的三位数有 A.40个 B.120个 C.360个 D.720个 5.如图，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A、 B、C、D中，（四种颜色可以不全用也可以全 用)要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法 有 () —109 10.有5名男生和3名女生，从中选出5人担任5 乃组·素养提升 门不同学科（包含语文、数学）的课代表，分 一 选择题 别求出符合下列条件的选法种数 (1)有女生担任课代表但人数必须少于男生； 1.小孔家有爷爷、奶奶、姥爷、姥姥、爸爸、妈妈， 包括他共7人，一天爸爸从果园里摘了7个大 (2)某女生一定要担任语文课代表； (3)某男生必须担任课代表，但不担任数学课 小不同的梨，给家里每人一个，小孔拿了最小 的一个，爷爷、奶奶、姥爷、姥姥4位老人之一 代表； (4)某女生一定要担任语文课代表，某男生必 拿最大的一个，则梨子的不同分法共有() 须担任课代表，但不担任数学课代表。 A.96种 B.120种 C.480种 D.720种 2.将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短 道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名 志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配 1名志愿者，则不同的分配方案共有() A.60种 B.120种 C.240种 D.480种 3.已知集合M={3},N={2,4},Q={1,2,5}, 从这三个集合中各取一个元素构成空间直角 坐标系Oxyz中向量a的坐标，则可确定不同 向量a的个数为 () A.33 B.34 C.35 D.36 4.(多选)将四个不同的小球放入三个分别标有 1、23号的盒子中，不允许有空盒子的放法， 下列结论正确的有 A.CC2CIC B.C2A C.CC2A D.18 二、填空题 5.在如图的4×4方格表中选4个方格，要求每 行和每列均恰有一个方格被选中，则共有 种选法，在所有符合上述要求的选 法中，选中方格的4个数之和的最大值是 11 21 31 0 22 33 名 13 22 33 15 24 34 44 110 6.某学习小组共有5位同学，毕业之前举行了互9.四个不同的小球，全部放入编号为1,2,3,4的 赠纪念品的活动，任意两位同学之间最多交换四个盒子中 一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品. (1)随便放（可以有空盒，但球必须都放入盒 已知这5位同学之间共进行了8次交换，其中 中)有多少种放法？ 1位同学收到2份纪念品，另外4位同学收到 (2)四个盒都不空的放法有多少种？ 的纪念品的数量最少是m个，最多是n个，则： (3)恰有两个空盒的放法有多少种？ m+n (4)甲球所放盒的编号总小于乙球所放盒的 7.某运输公司有7个车队，每个车队的车辆均多 编号的放法有多少种？ 于4辆.现从这个公司抽调10辆车，并且每个 车队至少抽调1辆，那么共有 种不同 的抽调方法。 三、解答题 8.有五张卡片，它们的正、反面分别写着0与1,2 与3,4与5,6与7,8与9.将其中任意三张并 排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同 的三位数？ 111-(n+4)(n+3)m+2)n+I)n+15(n+3)(n+2), 6 所以(n+5)(n+4)(n+1)-(n+4)(n+1)n=90, 即5(n+4)(n+1)=90, 所以n2+5n-14=0,即n=2或n=-7. 注意到n≥1且neN*,所以n=2. 9.(1)m+lC1=m+1.,(n+1) n! n+1 n+1 n+1(m+1)！(n-m)！m!(n-m)l (n-1)! n! n-m m!(n-1-m)!-m!(n-m)!=C, 故C20 n -m (2)左边 =m![1+m+++2+…+m+m)出 1！m!2！m! n！m！」 =m!(1+Cm1+Ca+2+…+Catn） =m！(Cn1+Cmt1+Cn+2+…+Cn+n） ① =m!(Cm2+C2+2+…+Cmtn)） ② =… =m!Cmtn+1 =右边， 故等式成立， 练案[5] A组·素养自测 1.C分两步：第1步，可在其他8种种子中选取1种放人1号 瓶，有C⑧种选法；第2步，剩下的9种种子中选5种全排列， 有A种.故共有CgA种不同的放法 2.ABC每人有四项工作可以安排，所以5人都安排一项工作 的不同方法数为4，故选项A中说法错误：每项工作至少有1 人参加，则有一项工作安排2人，其他三项工作各1人，所以 共有C4CA种不同方法数，选项B中AC4是每项工作先安 排1人，还剩下1人在四项工作中选择，这样会有重复，比如： “甲、乙、丙、丁分别安排翻译、导游、礼仪、司机，戊安排翻译” 与“戊、乙、丙、丁分别安排翻译、导游、礼仪、司机，甲安排翻 译”重复计算了，故选项B中说法错误；选项C中是先分组后 分配，CC2代表的是5人分成3人、1人、1人三组，CC代表 的是5人分成2人2人、1人三组，然后三组人分配三项工 作，乘A,然而在分组的过程中都有重复，比如：3人、1人、1 人分组中，先选择了甲、乙、丙三人一组，剩下丁、戊分两组只 有一种分法，而不是C种分法，故选项C中说法错误；选项D 分两类考虑，第一类：司机安排1人，方法数为C,另外4人分 3组，方法数为C(4人选2人为1组，另外2人分2组只有 种分法)，然后3组人安排除司机外的三项工作，方法数为 A,则不同安排方案的种数是CCA,第二类：司机安排2 17 人，方法数为C,剩下3人安排另外三项工作，方法数为A, 则不同安排方案的种数是CA,由分类加法计数原理得，共 有CCA+CA种不同的安排方案，故选项D中说法正确。 故选ABC. 3.AC2=220,故选A. 4.A先选取3个不同的数有C6种方法，然后把其中最大的数 放在百位上，另两个不同的数放在十位和个位上，有A种排 法，故共有CA号=40个三位数. 5.A解法一：(1)4种颜色全用时，有A4=24种不同涂色方法. (2)4种颜色不全用时，因为相邻矩形不同色，故必须用三种 颜色，先从4种颜色中选3种，涂入A、B、C中，有A种涂法， 然后涂D,D可以与A(或B)同色，有2种涂法，∴共有2A= 48种，∴.共有不同涂色方法24+48=72种 解法二：涂A有4种方法，涂B有3种方法，涂C有2种方法， 涂D有3种方法，故共有4×3×2×3=72种涂法， 6.60对于任一种坐法，可视4个空位为0,3个人为1,2,3则 所有不同坐法的种数可看作4个0和1,2,3的一种编码，要 求1,2,3不得相邻故从4个0形成的5个空档中选3个插入 1,2,3即可. ∴.不同排法有A5=60种。 7.72解法一：根据题意，分两种情形讨论： ①甲、乙中只有1人被选中，需要从甲、乙中选出1人，担任后 三项工作中的1种，由其他三人担任剩余的三项工作，有 C2CCA=36种选派方案 ②甲、乙两人都被选中，则在后三项工作中选出2项，由甲、乙 担任，从其他三人中选出2人，担任剩余的两项工作，有C· A?·A2=36种选派方案， 综上可得，共有36+36=72种不同的选派方案， 故选B 解法二：从甲、乙以外的三人中选一人从事A工作，再从剩余 四人中选三人从事其余三项工作共有CA=72种选法. 8.48按2的位置分三类：①当2出现在第2位时，即02000，则 第1位必为1、3、5中的一个数字，所以满足条件的五位数有 CA2A=12个：②当2出现在第3位时，即00200，则第1位、第 2位为1、3、5中的两个数字或第4位、第5位为1、3、5中的两个 数字，所以满足条件的五位数有2AA号=24个；③当2出现在 第4位时，即00020，则第5位必为13、5中的一个数字，所以满 足条件的五位数有CAA=12个.综上，共有12+24+12= 48个. 9.(1)第一步，将最高的安排在中间只有1种方法：第二步，从剩 下的6人中选取3人安排在一侧有C6种选法，对于每一种选 法只有一种安排方法，第三步，将剩下3人安排在另一侧，只 有一种安排方法，·.共有不同安排方案C6=20种. (2)第一步从7人中选取6人，有C9种选法；第二步从6人中 8 选2人排一列有C2种排法，第三步，从剩下的4人中选2人 排第二列有C种排法，最后将剩下2人排在第三列，只有一 种排法，故共有不同排法C·C%·C=630种. 10.(1)(先选后排)符合条件的课代表人员的选法有(CC?+ CC)种，排列方法有A种，所以满足题意的选法有(CC +CC3)·A=5400(种). (2)除去该女生后，相当于从剩余的7名学生中挑选4名任 除语文外其余四科的课代表，不同的选法种数为A号=840. (3)(先选后排)从剩余的7名学生中选出4名有C种选法： 该男生的安排方法有C种，其余4人全排列，有A4种，所以 选法共有CC4A=3360(种). (4)先从除去该男生和该女生的6人中选出3人，有C6种选 法；该男生的安排方法有C种，其余3人全排列，有A种， 因此满足题意的选法共有CCA=360(种). B组·素养提升 1.C由题意知，小孔拿了最小的一个，爷爷、奶奶、姥爷、姥姥4 位老人之一拿最大的一个的拿法有C4=4(种)，其余人的拿 法有A=120(种)，则梨子的不同分法共有4×120=480 (种). 2.C根据题设中的要求，每名志愿者只分配到1个项目，每个 项目至少分配1名志愿者，可分两步进行安排：第一步，将5 名志愿者分成4组，其中1组2人，其余每组1人，共有C种 分法；第二步，将分好的4组安排到4个项目中，有A4种安排 方法.故满足题意的分配方案共有C:·A4=240(种). 3.A不考虑限定条件，确定的不同点的个数为CCA=36,但 集合N,Q中有相同元素2，由3,2,2三个数确定的不同点的 个数只有3个，故所求的个数为36-3=33 4.BC根据题意，四个不同的小球放入三个分别标有1,2,3号 的盒子中，且没有空盒，则三个盒子中有1个中放2个球，剩 下的2个盒子中各放1个，有2种解法： 法一：分2步进行分析： ①先将四个不同的小球分成3组，有C种分组方法： ②将分好的3组全排列，对应放到3个盒子中，有A:种放法： 则没有空盒的放法有CA种；故选B. 法二：分2步进行分析： ①在4个小球中任选2本，在3个盒子中任选1个，将选出的 2个小球放人选出的小盒中，有CC种情况： ②将剩下的2个小球全排列，放入剩下的2个小盒中，有A2种 放法； 则没有空盒的放法有CC4A种：故选C 综上，BC正确 5.24112在如图的4×4方格表中选4个方格，要求每行和 每列均恰有一个方格被选中， 17 40 12 22 33 42 22 33 43 15 24 3 44 则共有A1=24种选法， 每种选法可标记为a,b,c,d,a,b,c,d分别表示第一、二、三、 四列的数字， 则所有可能的结果为： (11,22,33,44),(11,22,34,43),(11,22,33,44),(11,22,34, 42),(11,24,33,43), (11,24,33,42), (12,21,33,44),(12,21,34,43),(12,22,31,44),(12,22,34, 40),(12,24,31,43), (12,34,33,40), (13,21,33,44),(13,21,34,42),(13,22,31,44),(13,22,34, 40),(13,24,31,42), (13,24,33,40), (15,21,33,43),(15,21,33,42),(15,22,31,43),(15,22,33, 40),(15,22,31,42), (15,22,33.40). 在所有符合上述要求的选法中，选中方格的4个数之和最大 的是(15,21,33,43)，最大值是 15+21+33+43=112. 6.7这5位同学每两人之间都进行一次交换，则进行交换的次 数为C=10,而现在进行了8次交换，且其中1位同学收到2 份纪念品，则另外4位同学收到的纪念品的数量最少是3个， 最多是4个，所以m+n=7. 7.84方法一（分类法）：在每个车队抽调1辆车的基础上，还需 抽调3辆车.可分成三类：第一类是从某1小车队抽调3辆， 有C种抽调方法：第二类是从2个车队中抽调，其中1个车 队抽调1辆，另1个车队抽调2辆，有A?种抽调方法；第三类 是从3个车队中各抽调1辆，有C种抽调方法.故不同的拍 调方法共有C7+A2+C2=84(种) 方法二（隔板法）：由于每个车队内车辆均多于4辆，只需将 10辆车分成7份.问题相当于将10个小球排成一排，求将这 10个小球分成7份的分法种数，在10个小球之间的9个空隙 中插入6个隔板，即可将小球分成7份，故不同的抽调方法共 有C。=84(种) 8.在解本题时应考虑两方面的问题：(1)0不能作百位，但0与1 在同一卡片上，因此必须同时考虑0与1的分类；(2)每张卡 片都有正面与反面两种可能.解法上既可用直接法，也可用排 除法。 解法一：（直接法）从0与1两个特殊值着眼，可分三类： (1)取0不取1，可先从另四张卡片中选一张作百位，有C4种 方法，0可在后两位，有C种方法，最后需从剩下的三张中任 9 取一张，有C种方法，又除含0的那张外，其他两张都有正面 和反面两种可能，故此时可得不同的三位数有C4·C?·C;· 22个. (2)取1不取0，同上分析可得不同的三位数有C·22·A个 (3)0和1都不取，不同的三位数有C·2·A个. 综上所述，共有不同的三位数C4·C·C·2+C·22·A +C·23·A3=432个 解法二：（间接法）任取三张卡片可以组成不同的三位数C· 2·A个，其中0在百位的有C好·2·A个，这是不合题意 的，故共有不同的三位数C·23·A-C·22·A=432个. 9.(1)由于可以随便放，故每个小球都有4种放法，所以放法总 数是：4×4×4×4=44=256种. (2)将四个小球全排列后放人四个盒子即可，所以放法总数 是：A4=24种 (3)由题意，必然是四个小球放人2个盒子中分三步完成：选出两 个盒子；将四个小球分成两堆；将两堆小球全排列放入两个盒子所 以法总数是心(+c)居=种 (4)分三类放法 第一类：甲球放人1号盒子，即审3兰，则乙球有3种放法 (可放入2,3,4号盒子)，其余两球可随便放入四个盒子，有42 种放法.故此类放法的种数是3×42； 第二类：甲球收入2号盒子，吧台则乙球有2种收法 (可放入3,4号盒子)，其余两球随便放，有42种放法.故此类 放法的种数是2×42； 第三类：甲球放人3号盒子，出晶子，则乙球只有1种放 法（放人4号盒子），其余两球随便放，有42种放法，故此类放 法的种数是1×42 综上，所有放法的总数是：(3+2+1)×42=96种. 练案[6] A组·素养自测 1LC展开式的通项为7=。·…(=(-1)y: C16·x16-2,所以第4项为T4=(-1)3×Ci6x0=-C36x0.故 选C. 2.-20(x-1)6展开式的通项公式为T,+1=C6x6-+·(-1)', 当r=3时，T4=C6x3·(-1)3=-20x3, 即(x-1)6展开式中x3的系数为-20 3D由二项展开式的通项公式可得(3：+清】 展开式的通项 为1=C(3x)-（ =3“-C%x3n-,展开式中含有常数 7 项，则3n-2=0有正整数解，满足题意的最小的正整数为 r=6,n=7,故选D. 18 4.C(1+x)展开式的通项为T,+1=C6x,则T3=C6x2=15x2, 工=C=15,因此(2x+）1+)展开式中含2项的 系数是2×15+3×15=75.故选C 5.AB二项式x+ m ）展开式的通项T,+1=C6·x- Cox-m. 3 令6-之=0，得r=4,常数项Cm=15,则m=1,得m= ±1.故选AB. 6240(+) 展开式的通项T+1=C626-”x”·2=2· Cx2-.令12-3r=0,得r=4.故展开式中的常数项为Cg·2 =240. 7.5由二项式的通项公式得1,1=C3”-‘”-,若展开式中 含有常数项，则n-子-0，即m=子，所以n最小值为5 8.24由(2x-1)4=[(2x-2)+1]4知，其展开式通项为T+ =C4·24·(x-1)4-,所以a2为当k=2时项的系数.又 1T2+1=C·22·(x-1)2=24(x-1)2,所以a2=24. 11 9%=c2)·(=C2, 第5项的二项式系数是C=70,第5项的系数是Cg·24 =1120 (2)展开式中的倒数第3项即为第7项， ,=2)（ 116 =112x2 10.(1)912=(100-9)2=C92·1002-C2·1001·9+C2· 1000·92-…+C92,展开式中前92项均能被100整除， 只需求最后一项除以100的余数. :92=(10-1)2=C92·102-Cg2·101+…+C9·102- C2·10+1,前91项均能被100整除，后两项和为-919，又 余数为正，.可从前面的数中分离出1000，结果为1000- 919=81, .912被100除所得的余数为81. (2)证明：110-1=(10+1)0-1 =(1010+C10·10°+C。·108+…+C。·10+1)-1 =100+C0·10°+C。·103+…+102 =100(103+C10·107+C10·10+…+1), .110-1能被100整除. B组·素养提升 1.B二项式(1+3x)"的展开式的通项是T,+1=C1"-·(3x)' =C4·3·x.依题意得 C·35=C·36, 即n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4) 51 =3×n-)n-2)n:3)(n-4m-52(n≥6)， 6! 30