3.3 第2课时 二项式系数的性质、杨辉三角-【成才之路·学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步新课程学习指导(人教B版)

0,解得n=4或n=-1(舍去) 所以(x-√2)4的展开式的通项为T41=(-2)Cx4-,令4- k=2,则k=2,所以含x2的项为(-2)2Cx2=12x2. 课堂检测固双基 1D(:-广的展开式的潘项为 c2y(--(-2c 令5-2r=1得r=2 所以2x-了的展开式中x的系数为 (-1)225-2C=80,故选D. 2.A由通项公式得T,=C。·(-i)=-C。=-210. 3D(s-)的展开式中通项公式工=C”,(-是盈) =(-2)C4x4-2,当4-2r=0时，展开式为常数，此时r=2,展 开式的常数项为：T3=4C=24. 420因为停+号的展开式的适项为=G(” (=30-C0-,7=01,…,6,令6(r-3)=0,可得r= 3,所以常数项为3°Cg=20. 5.32x3=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+…+a(x-2)3, 令x-2=0,即x=2,可得a0=2=32. 第2课时二项式系数的性质、杨辉三角 必备知识探新知 知识点一(1)1相等(2)和 思考1：①直观地看出或探究二项式系数的性质；②当二项 式系数不大时，可借助它直接写出各项的二项式系数. 知识点二(1)首末两端“等距离”(2)增大减小 C.C 知识点三(1)2”(2)2“-1 思考2：先判断n是奇数还是偶数，若是奇数则中间两项系 数是最大项，若是偶数则中间项系数是最大项。 关键能力攻重难 例1：由杨辉三角可知，数列中的首项是C2,第2项是C,第 3项是C:第4项是C…第17项是C。,第18项是C。,第19项 是C· 故Sg=(C2+C2)+(C+C)+(C4+C)+…+(Co+ Cio)+Ci =(C2+Cg+C4+…+C1o)+(C2+C3+…+C2) =(2+10）×9+C=274. 2 对点训练1：62若第n行中含有三个连续项之比为3：4：5， 则存在正整数k使得 3 Ck-1 k!(n-k)！ k 4=C(k-1)1(n-k+1)刀n-k+T 4 Ck 5C=k+D！m-k-1DL=k+D k!(n-k)！ n-k' 由此得3n-7k=-3, l4n-9k=5, 解之，得=27， n=62. 例2：令x=1,则二项式各项系数的和为f代1)=(1+3)"= 4“,又展开式中各项的二项式系数之和为2“，由题意知，4“-2” =992. (2")2-2”-992=0, 15 ∴.(2”+31)(2"-32)=0， ∴.2”=-31（舍去）或2”=32， ∴.n=5. (1)由于n=5为奇数，所以展开式中二项式系数最大的项 为中间两项，它们分别是 T3=C(x)3(3x2)2=90x6 T4=Cg(x号)2(3x2)3=270x号. (2)展开式的通项公式为T,1=C3'·x5+2) 假设T,+项系数最大， 则有C3≥C1·3, 1C53≥C5*1·3+1, 5！ 51 5-1x3≥(6-)1r-11 5！ 5 (5-)！产(4-r1(r+1)刀×3， 1 T6-r’ 1 3 5-产+ 7 .9 2≤r≤2，reN,r=4 .展开式中系数最大的项为 T,=C5x(3x2)4=405x3 对点训练25由题展开式通项公式为7=C(兮）)女， 0≤r≤10且r∈Z 设展开式中第r+1项系数最大 () 则 、11- 29 (r4 → 即学≤≤望又Z,故=3， 所以展开式中系数最大的项是第9项，且该项系数为 c()= 故答案为5. 例3：(1)由(2-√5x)1展开式中的常数项为C·20,即 a=20(或令x=0,则展开式可化为a=20). (2)令x=1,可得a+a1+a2+…+am=(2-5)w,① a+a+…+a1m=(2-3)1w-210. (3)令x=-1, 可得a0-a1+a2-a3+…+am=(2+5)1w,② 与①联立相减可得 a+a+…+am=(2-月)10-(2+m 2 (4)原式=[(a+a2+…+a1m)+(a1+a3+…+aw）]· [(a0+a2+…+a1m)-(a1+a3+…+ag)] =(a0+a1+a2+…+a1m)(ag-a1+a2-a3+…+ag-a9 +a10wm） =(2-5)10×(2+5)100=1. 对点训练3：令x=1,则 a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=-1 ① 令x=-1,则 a-a1+2-a+a4-a5+a6-a7=3 ② (1)a0=C9=1, 6 a1+a2+a3+…+a7=-2. (2)由（①-②）÷2，得 -1-3 a1+a3+a5+a7 -=-1094. 2 (3)由（①+②）÷2，得 +ta+13=103 (4)解法一：(1-2x)7的展开式中，a,a2,a4,a6大于零，而 4,a3,a5,a7小于零， ∴.laol+1a11+la21+…+la7l =（a0+a2+a4+a6)-（a1+a3+a5+a7)亦可令x= -1得， =1093+1094=2187 解法二：：IaI+la1+Ia21+…+la,1是(1+2x)7展开 式中各项的系数和. .lal+1a11+la21+…+la,l=37=2187. 例4：(32”-1)：(3”+1)设x的奇次项系数的和为A,x 的偶次项系数的和为B,则令x=1,得A+B=3”,令x=-1,得 B-A=1, 28=3418=4=3 2 奇次项系数的和为3，，偶次项系数的和为” .所求之比(32”-1)：(320+1). 课堂检测固双基 1.C二项式(a+b)”的展开式中， 奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和， .2"-1=64,n=7.故选C. 2.C该展开式共2n+2项，中间两项为第n+1项与第n+2 项，所以第n+1项与第n+2项为二项式系数最大的项. 3.B令x=1,得M=4,又N=2",故4“-2"=240.解得n=4.展开 式中的通项为工=C（5x)(左) =(（-1)'5-C4x4-子， 令4-=1得=2，当=2时.展开式中x的系数为 C52=150.故选B. 4.10由题意，展开式中各项系数的和是(1+1)"=32，所以n =5, 则该二项式的通项公式是T,+1=C;·x-‘·1', 令5-r=2,解得r=3,故x2项的系数为C=10. 5.364令x=1,则a0+a1+a2+…+a12=36, 令x=-1,则a0-a1+a2-…+a12=1,∴.a0+a2+a4+…+ 36+1 012= 2 令x=0,则a,=1,a+a4+…+a2=31-1=364 2 章末知识梳理 要点专项突破 例1：C从数字1,2,3,4,5中取出3个数字（允许重复）， 组成三位数，各位数字之和等于6， 可分为三类情况：(1)当三个数为1,1,4时，共有C;=3 (种)排法：(2)当三个数为1,2,3时，具有A=6(种)排法；(3) 当三个数为2,2,2时，只有1种排法.由分类加法计数原理可 得，共有3+6+1=10（种）不同排法，即这样的数共有10个. 例2：A设另外两人为戊、己.可以分步完成，①甲、丁捆绑 后排序有A2种方法，②捆绑后的甲、丁与戊己排序，有A种方 法，③将乙、丙插空，四个空位中与甲相邻的空位不能选择，故有 A种方法，根据分步乘法计数原理，共有2×6×6=72（种) 方法 15 例3：(1)第一步，先将4个舞蹈节目捆绑起来，看成1个节 目，与6个演唱节目一起排，有A7=5040(种)方法；第二步，再 松绑，给4个节目排序，有A=24种方法 根据分步乘法计算原理，一共有5040×24=120960（种） (2)第一步，将6个演唱节目排成一列（如下图中的“口”）， 一共有A=720(种)方法. ×口×▣×☐×▣×☐×口× 第二步，再将4个舞蹈节目排在一头一尾或两个节目中间 (即图中“×”的位置)，这样相当于7个“×”选4个来排，一共 有A1=840(种) 根据分步乘法计数原理，一共有720×840=604800（种）. (3)若所有节目没有顺序要求，全部排列，则有A种排法， 但原来的节目已定好顺序，需要消除，所以节目演出的方式有 A=A品=132（种）排法 A 例4：9 第7项：x=（房 倒数第7项：-C(万（肩 C(迈)-6 的 -6 *迈（ 6 ∴.n=9 故万=c房 =心2g-9 例5：(1)已知展开式中倒数第三项的系数为45，则C-2= 45,即C2=45,得n2-n=90,解得n=-9(不合题意，舍去)或n =10. 通项T1=C%(x)0-(x)=C6x-9学，学(0≤k≤10，k eN),令10：+=3，解得k=6 4 故含有x3的项是第七项，T,=Cox3=210x. 厂+的展开式中共有11项， “.系数最大的项是第六项， T6=Ci6(x)5(号)5=252 例6：C(x+2)(2x-1)5=a+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+ a5x3+asx6中， 取x=1,得a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6=3 取x=-1,得a0-a1+a,-a3+a4-a5+a6=-243, 所以2(a0+a2+a4+a6)=-240, 即a0+a2+a4+a6=-120, 又a6=32,则a+a2+a4=-152. 例7：328根据题意，分3种情况讨论： ①取出的3张卡片中有2张红色的，需要在其他三种颜色 的卡片中任选1张， 有C·C2=72(种)不同的取法； ②取出的3张卡片中有1张红色的，先在4张红色卡片中 选出1张，在其他三种颜色中任选2种，在选出的2种颜色的卡 片中任选1张， 有C4·C·C4·C4=192(种)取法； ③取出的3张卡片中没有红色的，需要在其他三种颜色的 卡片中各抽取1张 有C4·C4·C4=64(种)取法 故共有72+192+64=328（种）取法.026 ●易错警示 混淆项的系数与二项式系数 例4设(x-2)'(neN)的展开式中第二项与第四项的系数之比为1：2，求含父的项 [错解](x-√2)”的展开式中第二项与第四项的系数分别为C,C,则C:C=1:2,化简 得n2-3n-10=0.又n∈N*,所以n=5.因为(x-√2)3展开式的通项为T+1= (-2)Cx-,令5-k=2,则k=3,所以含x2的项为(-√2)3Cx2=-202x2. [辨析]①错解将“二项展开式的某项的系数”与“二项展开式的某项的二项式系数”混为一 谈，从而导致错误 ②(a+b)”的展开式中的第k+1项的二项式系数是C(k=0,1,2,…,n),仅与n,k有关；第 k+1项的系数不是二项式系数C,但有时这个系数与二项式系数相等.注意二项式系数C一定为 正，而对应项的系数可能为负. [正解] 课堂检测 固双基 5 1.(2023·北京卷) 的展开武中：的系3：-引 展开式中的常数项为 数为 ( A.6 B.8 C.12 D.24 A.-80 B.-40 4.(2024·天津卷11)在 3 x) +3 的展开式中， C.40 D.80 2.(1-i)1(i为虚数单位)的二项展开式中第七 常数项为 项为 ( )5.若x=a+a1(x-2)+a2(x-2)2+…+a,(x A.-210 B.210 -2)5,则a= C.-120i D.-210i 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[6] 第2课时 二项式系数的性质、杨辉三角 素养目标定方向 课程标准 学法解读 1.掌握二项式系数的性质及其应用： 1.通过学习二项式系数的性质，培养逻辑推理的 2.了解杨辉三角，并结合二项式系数的性质 素养 加以说明， 2.借助杨辉三角的学习，提升数学抽象的素养.加 3.掌握二项式定理的应用. 强文化自信. 027 必备知识 探新知 知识点一杨辉三角的特点 (1)在同一行中，每行两端都是 ,与这两个1等距离的项的系数 思考1：杨辉三角的作 (2)在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的 用是什么？ ,即C+1=C1+C [思考1] 知识点二二项式系数的性质 (1)对称性：在(a+b)"的展开式中，与 的两个二项 式系数相等，即C=C,C=C-1,…,C=C 思考2：如何求展开式 (2)增减性与最大值：当k<”时，二项式系数是逐渐 中二项式系数最 的，由对称 大项？ 性可知它的后半部分是逐渐 的，且在中间取到最大值.当n是偶数时， 中间一项的二项式系数C取得最大值；当是奇数时，中间两项的二项式系 数 相等，且同时取到最大值 知识点三各二项式系数的和 (1)C9+C+C2+…+C= (2)C+C2+C4+…=C+C2+C+…= [思考2] 关键能力 攻重难 ●题型探究 题型一与“杨辉三角”有关的问题 例1如图所示，在“杨辉三角“中斜线AB的上方，从1开始箭头 规律方法： 所示的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，….记 解决与杨辉三角有关的问题的一 般思路 其前n项和为Sn,求Sg的值， 观察 望婴界要整有度爱黎、隔行看、 1 1 A 规律 通过观察找出数和数之间的规律 12-1y 1 1 表达 →将发现的规律用数学式子表达 14 6 41 15i0/1051 结论 由数学表达式得出结论 [分析]由图知，数列中的首项是C,第2项是C,第3项是 C,第4项是C,…,第17项是C,第18项是C10,第19项是C. ·[规律方法] 028 》对点训练1 在“杨辉三角”中，从第2行开始，每一个数都是它“肩上”两个数的和， 它开头几行如图所示.则在“杨辉三角”中第 行会出现三个相邻的 数，其比为3：4：5. 第0行 1 第1行 11 第2行 121 第3行 1331 第4行 14641 第5行15101051 题型二二项式系数的性质及应用 例2已知(x)=(区+3x)”展开式中各项的系数和比各项的二项式系 数和大992. (1)求展开式中二项式系数最大的项： (2)求展开式中系数最大的项. [分析]求二项式系数最大的项，利用性质知展开式中中间项（或中间 两项)是二项式系数最大的项；求展开式中系数最大的项，必须将x,y的系数 均考虑进去，包括“+”“-”号 规律方法： 1.求二项式系数最大 的项，根据二项式系 裁的性质，当n为奇 裁时，中间两项的一二 项式系数最大；当n 为偶数时，中间一项 的二项式系数最大. 2.求展开式中系裁最 大项与求二项式系裁 最大项是不同的，需 ·[规律方法] 根据各项系数的正、 负变化情况，一般采 》对点训练2 用列不等式组，解不 10 (2024·全国甲卷理科)（兮+“的展开式中，各项系数中的最大值为 等式的方法求得」 ●029 题型三有关二项式系数和、展开式的系数和的问题 例3.设(2-5x)=4+a1x+a+…+aw,求下列各式的值 (1)a; (2)a1+a2+…+a100; (3)a1+a3+a5+…+ag9; (4)(a0+42+…+a1m)2-(a1+a3+…+ag)2. [分析]用赋值法求各系数的和. 规律方法： 1.各项的系戴和 一般地，二项展开式 f八x)中的各项系数和为 f(1),奇裁项系数和为 )+-D1. 偶数项系裁和为 3[1)--01. P[规律方法] 2.赋值法 》对点训练3 “赋值法”是求二项 已知(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a2x. 展开式系数问题的常 求：(1)a1+a2+…+a7; 用方法，赋值就是对 (2)a1+a3+a5+a; 展开式中的字母用具 (3)a+2+a4+a6; 体戴值代替，注意赋 (4)laol +lal+laI+...+la1. 的值要有利于问题的 解决，赋值时可以取 一个值或几个值，也 可以取几组值，解决 问题时要避免漏项等 情况 030 ●易错警示 错用二项式系数的性质致误 例4.(1+2x)的展开式中，x的奇次项系数的和与的偶次项系数的和之比为 [错解一]二项展开式中奇次项系数的和与偶次项系数的和相同，∴.奇次项系数的和与偶 次项系数的和均为29..所求比为1：1. [错解二]由二项展开式中知x的奇次项系数的和为C0·2+C)·2+C)·2+…+C 2°，x的偶次项系数的和为Cn+C30·22+C0·24+…+C0·220. .所求比为(C20·2+C3。·23+…+C8·29):(C2+C3。·22+…+C0·220). [辨析]错解一是将系数和与二项式系数和混淆了；错解二解法欠妥，很难求出数值，其原因 在于没有把握住求系数和的根本方法.对于求系数和的问题，要注意用赋值法解决.奇、偶次项是针 对x的指数而言，奇、偶数项是针对第几项而言 [正解] 课堂检测 固双基 1.二项式(x-1)”的奇数项二项式系数和是64， A.-150 B.150 则n等于 C.300 D.-300 A.5 B.6 C.7 D.8 4.在(x+1)”的二项展开式中，若各项系数和为 2.(1+x)2的展开式中，二项式系数最大的项 32,则x项的系数为 所在项数是 ）5.若(1+x+x2)6=a0+a1x+a2x2+…+a2x2, A.n,n+1 B.n-1,n 则a2+a4+…+a12= C.n+1,n+2 D.n+2,n+3 3设5r动 的展开式中各项系数之和为M, 夯基提能作业 二项式系数之和为N,若M-N=240,则展开 请同学们认真完成练案[7] 式中x的系数为 ()