3.3 第1课时 二项式定理-【成才之路·学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步新课程学习指导(人教B版)

022 课堂检测 固双基 1.甲、乙、丙三位同学选修课程，从4门课程中， 部分别有400名和200名学生，则不同的抽样 甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修 结果共有 ( 方案共有 () A.Ci·C点种 B.Ca·C8种 A.36种 B.48种 C.C0·C0种 D.C·C20种 C.96种 D.192种 4.5名志愿者分到3所学校支教，每个学校至少 2.一个口袋中装有大小相同的6个白球和4个 去一名志愿者，则不同的分派方法共有( 黑球，从中取2个球，则这两个球同色的不同 A.150种 B.180种 取法有 () C.200种 D.280种 A.27种 B.24种 5.6本相同的书放到4个不同的盒子中，每个盒 C.21种 D.18种 子至少放一本书，有不同分配方法 种 3.(2023·新课标全国Ⅱ卷)某学校为了解学生 参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机 抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[5]- 层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中 33二项式定理与杨辉三角 第1课时二项式定理 素养目标定方向 课程标准 学法解读 1.能用计数原理证明二项式定理， 1.通过二项式定理的学习，培养逻辑推理的素养。 2.掌握二项式定理及二项展开式的通项 2.借助二项式定理及展开式的通项公式解题，提 公式 升数学运算的素养 3.能解决与二项式定理有关的简单问题， 必备知识 探新知 知识点一 二项式定理 二项式定理 (a+b)"= (n∈N) 思考1：二项式定理 二项展开式 公式右边的式子 中，项的系数与二项 式系数相同吗？ 二项式系数 C(k∈{0,1,2，…，n) 二项展开式 的通项公式 T+1= 知识点二 二项展开式的特点 思考2：二项式(a+ (1)展开式共有n+1项. b)”与(b+a)”展开 (2)各项的次数和都等于二项式的幂指数n. 式的第k+1项是否 (3)字母a的幂指数按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到 相同？ 为0，字母b的幂指数按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐项加1直到为 n. [思考1]P[思考2] ●023 关键能力攻重难 ●题型探究 题型一 二项式定理的正确运用 例1.1)化简：x-1)+5(x-1)+10(x-1)2+10(x-1)+5x-1): 2)写出2- 的展开式并化简. [分析](1)把x-1看作一个整体→逆用二项式定理 (2)直接利用二项式定理展开即可. 规律方法： 1.展开二项式可以按 照二项式定理进行 展开时注意二项式定 理的结构特征，准确 理解二项式的特点是 展开二项式的前提 条件. 2.对较复杂的二项 式，有时先化简再展 开会更简便 3.对于化简多个式子 的和时，可以考虑二 项式定理的逆用，对 于这类问题的求解 [规律方法] 要熟悉公式的特点、 》对点训练1 项数、各项幂指裁的 1)3+周 的展开式： 规律以及各项的系 裁 (2)化简：1+2C1+4C2+…+2"C” 024 题型二 二项式系数与项的系数问题 例2.(1)求二项式2- 的展开式中第6项的二项式系数和第6项 的系数； 2)求x- 的展开式中x的系数 [分析]利用二项式定理求展开式中的某一项，可以通过二项展开式的 通项公式进行求解 规律方法： 1.二项式系裁都是组 合数Cm(r∈{0,1， 2,…,n}),它与二 项展开式中某一项的 系数不一定相等，要 注意区分“二项式系 数”与二项式展开式 中“项的系数”这两 个概念 2.第r+1项的系裁是 此项宇母前的裁连同 符号，而此项的二项 式系数为C,例如， 在(1+2x)7的展开式 中，第四项是T4三 C17-3(2x)3，其二项 式系数是C=35,而 第四项的系数是C23 =280 ·[规律方法] )对点训练2 (1)已知(1+ax)(1+x)5的展开式中x2的系数为5，则a=() A.-4 B.-3 C.-2 D.-1 (2)(1-2x)3(2+x)的展开式中x项的系数是 ●025 题型三展开式中的特定项 例3.已知，：-展开式中第三项的系数比第二项的系数大162，求： (1)n的值； (2)展开式中含x的项. 规律方法： 1.求二项展开式的特 定项的常见题型 (1)求第r项，T= Ca-+lb-l. (2)求含x的项. (3)求常裁项. (4)求有理项. 2.求二项展开式的特 定项的常用方法 (1)对于常数项，隐 含条件是字母的指数 D[规律方法] 为0（即0次项） 》对点训练3 (2)对于有理项，一般 (1)(2024·北京卷)在(x-√)4的展开式中，x3的系数为 是先写出通项公式， A.6 B.-6 C.12 D.-12 其所有的字母的指数 (2)已知(x+2√x)"的展开式的各项系数和比二项式系数和大211. 恰好都是整数的项.解 这类问题女须合并通 ①求n的值； 项公式中同一字母的 ②求展开式中所有有理项， 指数，根据具体要 求，令其属于整数 再根据数的整除性来 求解 (3)对于二项展开式 中的整式项，其通项 公式中同一字母的指 裁应是非负整裁，求 解方式与求有理项 一致 026 ●易错警示 混淆项的系数与二项式系数 例4设(x-2)'(neN)的展开式中第二项与第四项的系数之比为1：2，求含父的项 [错解](x-√2)”的展开式中第二项与第四项的系数分别为C,C,则C:C=1:2,化简 得n2-3n-10=0.又n∈N*,所以n=5.因为(x-√2)3展开式的通项为T+1= (-2)Cx-,令5-k=2,则k=3,所以含x2的项为(-√2)3Cx2=-202x2. [辨析]①错解将“二项展开式的某项的系数”与“二项展开式的某项的二项式系数”混为一 谈，从而导致错误 ②(a+b)”的展开式中的第k+1项的二项式系数是C(k=0,1,2,…,n),仅与n,k有关；第 k+1项的系数不是二项式系数C,但有时这个系数与二项式系数相等.注意二项式系数C一定为 正，而对应项的系数可能为负. [正解] 课堂检测 固双基 5 1.(2023·北京卷) 的展开武中：的系3：-引 展开式中的常数项为 数为 ( A.6 B.8 C.12 D.24 A.-80 B.-40 4.(2024·天津卷11)在 3 x) +3 的展开式中， C.40 D.80 2.(1-i)1(i为虚数单位)的二项展开式中第七 常数项为 项为 ( )5.若x=a+a1(x-2)+a2(x-2)2+…+a,(x A.-210 B.210 -2)5,则a= C.-120i D.-210i 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[6] 第2课时 二项式系数的性质、杨辉三角 素养目标定方向 课程标准 学法解读 1.掌握二项式系数的性质及其应用： 1.通过学习二项式系数的性质，培养逻辑推理的 2.了解杨辉三角，并结合二项式系数的性质 素养 加以说明， 2.借助杨辉三角的学习，提升数学抽象的素养.加 3.掌握二项式定理的应用. 强文化自信.小球（共3个小球）分别放人4个盒子中，有A种放法，所以满足题 意的放法有CA=144(种).或CCA=144 课堂检测固双基 1.C甲选2门有C种选法，乙选3门有C种选法，丙选3门 有C种选法. 所以共有C·C·C=6(种)选法. 2.C分两类：一类是2个白球有C=15种取法，另一类是2个 黑球有C=6种取法，所以取法共有15+6=21（种）， 3.D利用分层抽样的原理和组合公式即可得到答案， 根据分层抽样的定义知初中部共抽取60×400 ×600=40人，高中 部共描取①×器20，根据组合公式和分步计数原理则不洞 的抽样结果共有C0·C0种.故选D. 4.A人数分配上有1,1,3与1,2,2两种方式，若是1,1,3，则有 CSCC×=60(种)，若是1,2,2，则有SCC×E=90 A A (种)，所以共有150种，选A. 5.10先把6本书并成一排，它们之间有5个空，在5个空中选 出3个空放上“隔板”.6本书被分成了4组，4组书的本数也 恰好对应一种放书的方法，共有C=10(种). 3.3二项式定理与杨辉三角 第1课时二项式定理 必备知识探新知 知识点一Ca”+Cna-1b+…+Ca"-b+…+Cb Cka"-b 思考1：二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念 二项式系数是指C,C,…,C%,而项的系数是指该项中除 了变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a,b 的值有关. 思考2：不同.(a+b)“展开式中第k+1项为Ca”-*b,而 (b+a)”展开式中第k+1项为Cb-*ad 关键能力攻重难 例1：(1)原式=C8(x-1)3+C5(x-1)4+C(x-1)3+C(x- 1)2+C(x-1)+C3-1=[(x-1)+1]5-1=x3-1. 2)方法-2r-是=2✉(- c(2x)(- G(2x)'(- 2+c2°=32-12a+0-5 xx +405_243 8x732x1 法二(2✉-(=这4-= (4x3)5(-3)°+C(43)4(-3)+C(4x3)3(-3)2+C3(4x3)2 （-3)3+C(4r)'(-3)+C(4r)(-3)5]=325-120x2+180 器 对点调练1：法一(3丘+方-3同 cs·左+·(+c3(a+c( =81r2+108x+54+12+1 x+ 15 法=(3+分-色业 =之(81+1082+54r2+12x+1) 2+®++是 (2)原式=1+2C+22C+…+2"C=(1+2)"=3”. 例2：由已知得二项展开式的通项为T,+ -e0(- =(-1)'C62-+·x3-2 T。=-12x2 .第6项的二项式系数为C=6, 第6项的系数为C·（-1)·2=-12 2z=G(-=(-1y心， .∴.9-2r=3. ∴r=3,即展开式中第四项含x,其系数为(-1)3·C=-84. 对点训练2：(1)D(1+x)°展开式的通项为T,1=C5x,令r= 1,2得，T2=Cx,T3=Cx2,因此题中表达式的展开式中含x2的项的 系数为C+aC5=5,解之得a=-1. (2)-120由多项式乘法的运算法则可知，(1-2x)泸(2+x)的 展开式中x3项的系数是(1-2x)5展开式中x项的系数的2倍与 (1-2x)5展开式中x2项的系数的和. :(1-2x)3展开式的通项为T,+1=(-2)C5x, 令r=3得到x3项的系数为-8C=-80 令r=2得到x2项的系数为4C=40, 所以(1-2x)(2+x)的展开式中x2项的系数是-80×2+40= -120. 故答案为-120， 例3：()因为=c(-子》 =4Cx岁 5=c-(引 =-20x号，依题意得4C:+2C=162, 所以2C2+C=81, 所以n2=81,n=9. (2)设第r+1项含x项，则 =G(-2)(-2G 所以2,3=3r=1, 所以第二项为含x的项： T2=-2Cgx2=-18x2. 对点训练3：(1)A(x-)4的二项展开式为T1=Cx4- （-=C(-1)-,(r=01,23,4),令4-7=3，解得r=2, 故所求即为C(-1)2=6.故选A. (2)①由题意，二项式(x+2√x)"的展开式的各项系数和比二 项式系数和大211，可得3-2”=211，解得n=5. ②展开式的通项为T,+1=C5x-‘(2) =C2x3-(r=0,1,…,5), 当r=0,2,4时5-2是整数 故展开式中所有有理项为：T1=x,T3=40x2,T=80x2. 例4：由题设，得T2=Cx-1（-2)=-2nx”-1,T4=C2x“-3, （一-2c心，于是有会方光筒得-4 5 0,解得n=4或n=-1(舍去) 所以(x-√2)4的展开式的通项为T41=(-2)Cx4-,令4- k=2,则k=2,所以含x2的项为(-2)2Cx2=12x2. 课堂检测固双基 1D(:-广的展开式的潘项为 c2y(--(-2c 令5-2r=1得r=2 所以2x-了的展开式中x的系数为 (-1)225-2C=80,故选D. 2.A由通项公式得T,=C。·(-i)=-C。=-210. 3D(s-)的展开式中通项公式工=C”,(-是盈) =(-2)C4x4-2,当4-2r=0时，展开式为常数，此时r=2,展 开式的常数项为：T3=4C=24. 420因为停+号的展开式的适项为=G(” (=30-C0-,7=01,…,6,令6(r-3)=0,可得r= 3,所以常数项为3°Cg=20. 5.32x3=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+…+a(x-2)3, 令x-2=0,即x=2,可得a0=2=32. 第2课时二项式系数的性质、杨辉三角 必备知识探新知 知识点一(1)1相等(2)和 思考1：①直观地看出或探究二项式系数的性质；②当二项 式系数不大时，可借助它直接写出各项的二项式系数. 知识点二(1)首末两端“等距离”(2)增大减小 C.C 知识点三(1)2”(2)2“-1 思考2：先判断n是奇数还是偶数，若是奇数则中间两项系 数是最大项，若是偶数则中间项系数是最大项。 关键能力攻重难 例1：由杨辉三角可知，数列中的首项是C2,第2项是C,第 3项是C:第4项是C…第17项是C。,第18项是C。,第19项 是C· 故Sg=(C2+C2)+(C+C)+(C4+C)+…+(Co+ Cio)+Ci =(C2+Cg+C4+…+C1o)+(C2+C3+…+C2) =(2+10）×9+C=274. 2 对点训练1：62若第n行中含有三个连续项之比为3：4：5， 则存在正整数k使得 3 Ck-1 k!(n-k)！ k 4=C(k-1)1(n-k+1)刀n-k+T 4 Ck 5C=k+D！m-k-1DL=k+D k!(n-k)！ n-k' 由此得3n-7k=-3, l4n-9k=5, 解之，得=27， n=62. 例2：令x=1,则二项式各项系数的和为f代1)=(1+3)"= 4“,又展开式中各项的二项式系数之和为2“，由题意知，4“-2” =992. (2")2-2”-992=0, 15 ∴.(2”+31)(2"-32)=0， ∴.2”=-31（舍去）或2”=32， ∴.n=5. (1)由于n=5为奇数，所以展开式中二项式系数最大的项 为中间两项，它们分别是 T3=C(x)3(3x2)2=90x6 T4=Cg(x号)2(3x2)3=270x号. (2)展开式的通项公式为T,1=C3'·x5+2) 假设T,+项系数最大， 则有C3≥C1·3, 1C53≥C5*1·3+1, 5！ 51 5-1x3≥(6-)1r-11 5！ 5 (5-)！产(4-r1(r+1)刀×3， 1 T6-r’ 1 3 5-产+ 7 .9 2≤r≤2，reN,r=4 .展开式中系数最大的项为 T,=C5x(3x2)4=405x3 对点训练25由题展开式通项公式为7=C(兮）)女， 0≤r≤10且r∈Z 设展开式中第r+1项系数最大 () 则 、11- 29 (r4 → 即学≤≤望又Z,故=3， 所以展开式中系数最大的项是第9项，且该项系数为 c()= 故答案为5. 例3：(1)由(2-√5x)1展开式中的常数项为C·20,即 a=20(或令x=0,则展开式可化为a=20). (2)令x=1,可得a+a1+a2+…+am=(2-5)w,① a+a+…+a1m=(2-3)1w-210. (3)令x=-1, 可得a0-a1+a2-a3+…+am=(2+5)1w,② 与①联立相减可得 a+a+…+am=(2-月)10-(2+m 2 (4)原式=[(a+a2+…+a1m)+(a1+a3+…+aw）]· [(a0+a2+…+a1m)-(a1+a3+…+ag)] =(a0+a1+a2+…+a1m)(ag-a1+a2-a3+…+ag-a9 +a10wm） =(2-5)10×(2+5)100=1. 对点训练3：令x=1,则 a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=-1 ① 令x=-1,则 a-a1+2-a+a4-a5+a6-a7=3 ② (1)a0=C9=1, 6