3.1.2 第1课时 排列与排列数-【成才之路·练案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步新课程学习指导(人教B版)

练案[2] 第三章排列、组合与二项式定理 3.1[3.1.2 第1课时排列与排列数] b组·素养自测 (5)6位同学互通一次电话； (6)6位同学互通一封信； 一、选择题 (7)以圆上的10个点为端点作弦； 1.（多选)下列问题属于排列问题的是( (8)以圆上的10个点中的某点为起点，作过另一 A.从10个人中选2人分别去种树和扫地； 点的射线 B.从10个人中选2人去扫地； C.从班上30名男生中选出5人组成一个篮 球队； D.从数字5,6,7,8中任取两个不同的数作幂 运算 2.从2,3,5,7四个数中任选两个分别相除，则得 到的结果有 ( A.6个 B.10个 C.12个 D.16个 3.乘积m(m+1)(m+2)…(m+19)(m+20) (m∈N*)可表示为 A.A2+20 B.A C.A2 D.A2 4.已知3Ag-1=4A,-2,则n等于 A.5 B.7 C.10 D.14 10.证明：A+kA-1=A+1 5.设x∈N*,且x>15,则(x-2)(x-3)(x-4) …(x-15)可化简为 ) A.A52 B.A42 C.As D.A45 二、填空题 6.某人射击8枪，命中4枪，则4枪命中恰好有3 枪连在一起的情形的不同种数为 工模式：然 8.一天有6节课，安排6门学科，一天的课程表 有种排法 三、解答题 9.下列问题中哪些是排列问题？ (1)5名学生中抽2名学生开会； (2)5名学生中选2名做正、副组长； (3)从2,3,5,7,11中任取两个数相乘； (4)从2,3,5,7,11中任取两个数相除； —103 乃组·素养提升 (3)8个人排成两排，前排3人，后排5人，共 有多少种不同的排法？ 一、选择题 1.2021×2020×2019×2018×…×1982× 1981等于 A.A10,g0 B.A980 C.A”a D.A !; 2.若S=A+A号+A+A+…+A00,则S的个 位数字是 A.8 B.5 C.3 D.0 3.（多选)下列四个等式中正确的有（ ) A.n！=（n+1)y n+1 B.A"=nA-i cA-a=贵 D.A+mA"-=Am 4.要从甲、乙、丙、丁、戊5个人中选出1名组长9.求证：A+mA+m(m-1)A=A1(n, 和1名副组长，但甲不能当副组长，则不同的 meN*,n≥m>2). 选法种数是 A.20 B.16 C.10 D.6 二、填空题 5.满足不等式 >12的n的最小值为 6已知44 =89,则n的值为 7.由数字2,0,1,9组成的没有重复数字的四位 偶数的个数为 三、解答题 8.8个人排成一排 (1)共有多少种不同的排法？ (2)8个人排成两排，前后两排各4人共有多 少种不同的排法？ 104第2步，因为B区域与A区域相邻，所以有4种颜色可选； 第3步，对于E区域，因为与A,B区域相邻，所以有3种颜色 可选； 第4步，对于D,C区城，若D与B颜色相同，则C区域有3种 颜色可选； 若D与B颜色不相同，D区城有2种颜色可选，C区域有2种 颜色可选，则区域D,C共有3+2×2=7种选择。 综上，不同的涂色方案有5×4×3×7=420种，其中，A,C区 域涂色不相同的情况有5×4×3×2×2=240种. 所以A,C区域涂色不相同的概率为P=207 240.4 4.BD由于生物在B层，只有第2,3节有，故分两类： 若生物选第2节，则地理可选第1节或第3节，有2种选法 其他两节政治、自习任意选即可，故有2×2=4种（此种情况 自习可安排在第1、3、4节中的某节)： 若生物选第3节，则地理只能选第1节，政治只能选第4节， 自习只能选第2节，故有1种 根据分类加法计数原理可得选课方式有4+1=5种， 综上，自习可安排在4节课中的任一节。 5.242取两本书中，一本数学、一本语文，根据分步乘法计数原 理有10×9=90（种）不同取法： 取两本书中，一本语文、一本英语，有9×8=72（种）不同 取法； 取两本书中，一本数学、一本英语，有10×8=80（种）不同 取法 综合以上三类，利用分类加法计数原理，共有90+72+80= 242(种)不同取法. 68 cos0=a·b m-n ab=2.m+n元 rm-n>0. 0e(0,受) ra·b>0. m-n Laxb. <1」 √2m2+2n .m>n,则m=2时，n=1:m=3时，n=1,2:m=4时，n=1,2 3;m=5时，n=1,2,3,4:m=6时，n=1,2,3,4,5. 则这样的向量a共有1+2+3+4+5=15（个）： 而第一次投掷骰子得到的，点数m有6种情形，同样n也有6 种情形，∴.不同的向量a=(m,n),共有6×6=36个，因此所 求藏幸P-名-高 7.16根据题意，6根算筹可以表示的数字组合为1,5；1,9；2， 4;2,8;6,4;6,8;3,3;3,7;7,7. 数字组合1,5；1,9；2,4；2,8；6,4；6,8；3,7中，每组可以表示2 个两位数，则可以表示2×7=14个两位数； 数字组合3,3：7,7中，每组可以表示1个两位数，则可以表示 2×1=2个两位数. 综上，共可以表示14+2=16个两位数， 8.将该问题转化为“用1,2,3,4四个数字组成无重复数字的四 17 位数，要求1不在个位、2不在十位、3不在百位4不在千位的 四位数有多少个”.因此，可分三步，第一步确定个位数，有3 种不同的方法：第二步确定把1放到十位、百位、千位中的任 一位上，也有3种不同的方法；第三步，余下的两个数字只有 一种方法，由分类计数原理可得不同的分配方法为3×3= 9种. 9.先对A部分种植，有4种不同的种植方法；再对B部分种植， 有3种不同的种植方法：对C部分种植进行分类： ①若与B相同，D有2种不同的种植方法，E有2种不同的种 植方法，共有4×3×1×2×2=48（种）： ②若与B不同，C有2种不同的种植方法，D有1种不同的种 植方法，E有2种不同的种植方法，共有4×3×2×1×2=48 (种)；综上所述，共有96种种植方法. 练案[2] A组·素养自测 1.AD根据排列的定义进行判断 2.C符合题意的商有A=4×3=12. 3.A因为最大数为m+20,所以共有21个自然数连续相乘，根 据排列公式可得m(m+1)(m+2)…(m+19)(m+20) =A0*20 8 9！ 4.B由92nx3=1-x4, 得(11-n)(10-n)=12,解得n=7,n=14(舍). 5.B先确定最大数，即n,再确定因式的个数，即m,易知n= x-2,m=(x-2)-(x-15)+1=14,所以原式=A42 6.20先把连在一起命中的三枪“捆绑”在一起，然后从4枪不 命中之间的三个空位及两端两个空位共5个空位中选出2个 进行排列，有A=20种 5A8+Ag8×7×6×5×4+8×7×6×5 5 7.278-元9x8x7×6x5x4-9×8X7×6x57 8.720这是6个元素的全排列问题，故一天的课程表排法有 A6=6×5×4×3×2×1=720(种). 9.(2)(4)(6)(8)都与顺序有关，属于排列：其他问题则不是 排列. 10证明：左边=n2+n-4 n！ =n![(n-k+1)+k] (n-k+1)! (n+1)n!(n+1)！ (n-k+1)1=(n-k+1)1' 右边=所以+= B组·素养提升 1.D根据题意，2021×2020×2019×2018×2017×·× 1981×1981=A221 2.C由排列数公式知，A,A,…,A10中均含有2和5的因子， 故个位数均为0，所以S的个位数字应是A+A2+A:+A的 4 个位数字，而A+A2+A?+A4=1+2×1+3×2×1+4×3× 2×1=33,故个位数字为3. 3.ABDn+L=n+I)×m!=nl,所以A正确： n+1 n+1 n×(n-1)！ n! nA=n”)气m-(an”m=A,所以B正确： Ao--”丽8-所uc不正确： (n-1)！ 由排列数公式可知+m=n”m十 n! n! mn-a-im×+-0-] n! n！ n+1 (n+1)！ -(n-m×n-(m-1)=[(n+m=A1,所以D 正确. 4.B不考虑限制条件有A种选法，若甲当副组长，有A种选 法，故甲不当副组长的选法有A-A4=16(种). 510由排列数公式得器>卫， 即(n-5)(n-6)>12, 解得n>9或n<2 又n≥7，所以n>9 又neN*,所以n的最小值为10. 615根据题意， A7-AS 2=89,则 =90，变形可得A=90A, 则有云=90X云 变形可得：(n-5)(n-6)=90, 解可得：n=15或n=-4(舍)； 故n=15. 7.10个位数字为0时，符合要求的四位偶数有A=6(个)；个 位数字为2时，符合要求的四位偶数有AA2=4(个) 故由数字2,0,1,9组成的没有重复数字的四位偶数的个数为 6+4=10. 8.(1)由排列的定义知共有A种不同的排法 (2)8人排成前后两排，相当于排成一排，从中间分成两部分， 其排列数等于8人排成一排的排列数A.也可以分步进行， 第一步：从8人中任选4人放在前排共有A种排法，第二步： 剩下的4人放在后排共有A种排法，由分步乘法计数原理知 共有Ag×A4=A8种排法. (3)同(2)的分析可知，共有A×A;=A(种) g因为东边=+n会品+mm- n！ (n-m+1)! =n!(n-m+1)+m(n-1)！(n-m+l)+m(m-1)(n-1)! （n-m+1)！ _（n-1)！[n(n-m+1)+m(n-m+1)+m(m-l)] (n-m+1)! =(n-1)！n(n+1)-(n+1)！ (n-m+1)! (n-m+1)1=A1. —17 练案[3] A组·素养自测 1.D由题意，可知个位可以从1,3,5中任选一个，有A种方 法，其他数位上的数可以从剩下的4个数字中任选，进行全排 列，有A4种方法，所以奇数的个数为AA4=3×4×3×2×1 =72. 2.D在8个数中任取2个不同的数可以组成A:=56(个)对数 值.但在这56个对数值中，log4=log9,log2=logg3,log23= 1og9,log2=1og4,即满足条件的对数值共有56-4=52 (个) 3.C若甲、乙都不参加排队，则不同的排法有A=120(种)：若 甲、乙都参加排队，则不同的排法有A。A2A=24(种)，所以不 同的排法共有120+24=144（种）.故造C. 4.AD将4个空车位视为一个元素，与8辆车共9个元素进行 全排列，共有A。=9A:种 5.C五门课程随意安排有A:种排法，数学课在历史课前和历 史课在数学课前各占总排法数的一半，所以数学课排在历史 课前的排法有弓A=60(种). 6.40可分为三步来完成这件事： 第一步：先将3,5进行排列，共有A种排法： 第二步：再将4,6插空排列，共有2A2种排法； 第三步：将1,2放入3,5,4,6形成的空中，共有A种排法： 由分步乘法计数原理得，共有2A2A2A;=40种不同的排法 7.96先分组后用分配法求解，5张参观券分为4组，其中2个 连号的有4种分法，每一种分法中的排列方法有A4种，因此 共有不同的分法4A4=4×24=96(种). 8.24将2件书法作品排列，方法数为2种，然后将其作为1件 作品与标志性建筑设计作品共同排列有2种排法，对于其每 一种排法，在其形成的3个空位中选2个插入2件绘画作品， 故共有不同展出方案：2×2×A号=24种. 9.(1)先从5个演唱节目中选两个排在首尾两个位置有A种排 法，再将剩余的3个演唱节目，3个舞蹈节目排在中间6个位 置上有A6种排法，故共有不同排法AA8=14400种， (2)先不考虑排列要求，有A。种排列，其中前四个节目没有舞 蹈节目的情况，可先从5个演唱节目中选4个节目排在前四 个位置，然后将剩余四个节目排列在后四个位置，有A;A种 排法，所以前四个节目要有舞蹈节目的排法有(A:-A5A4)= 37440种. 10.先考虑组成一元二次方程的问题。 首先确定a,只能从1,3,5,7中选一个，有A4种，然后从余下 的四个数中任选两个作b,c,有A种，又0,1,3,5,7并无公 因数，故由分步乘法计数原理知，组成的一元二次方程共 A4A4=48(个). 方程ax2+bx+c=0(a≠0)要有实根，必须满足4=b2-4ac 5