3.1.1 基本计数原理-【成才之路·学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步新课程学习指导(人教B版)

001 第三章排列、组合与二项式定理 了1排列与组合 3.1.1基本计数原理 素养目标定方向 课程标准 学法解读 1.能够结合具体实例，识别和理解分类加法计算 1.了解分类加法计数原理、分步乘法计算原 原理和分步乘法计数原理及其作用.（数学抽 理及其意义 象)》 2.能利用计数原理解决简单的实际问题， 2.能够运用分类加法计数原理和分步乘法计数原 理解决简单的实际问题.（数学运算） 必备知识 探新知 知识点一分类加法计数原理 完成一件事，如果有n类办法，且：第一类办法中有m种不同 思考1：(1)定义中每一类中的每 的方法，第二类办法中有m2种不同的方法…第n类办法中有 种方法能否独立完成这件事？ (2)各类办法之间有何关系？每一 m,种不同的方法.那么完成这件事共有N= 类办法中各种方法之间有何关系？ 种不同的方法。 P[思考1] 知识点二分步乘法计数原理 完成一件事，如果需要分成n个步骤，且：做第一步有m,种不思考2：(1)定义中每一步中的每 同的方法，做第二步有m2种不同的方法…做第n步有m。种不 种方法能否独立完成这件事？ (2)定义中的“完成一件事”指的是 同的方法.那么完成这件事共有N= 种不同的方法. 什么？ (3)根据定义完成一件事的方法数 [思考2] 怎样计算？ 知识点三两个计数原理的区别 分类加法计数原理和分步乘法计数原理，回答的都是有关完 成一件事的不同方法的种数问题.它们的区别在于： 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 思考3：分类加法计数原理每一类 针对的是“分类”问题 针对的是“分步”问题 中的方法和分步乘法计数原理每 每类办法中的每种方法都能独 每一步完成的只是这件事的一个环节， 步中的方法有何区别？ 立地完成这件事 只有各步骤都完成了才算完成这件事 各类办法之间是互斥的、并列 各步之间是相互依存的，并且既不能重复， 的、独立的 也不能遗漏 [思考3] 002 关键能力攻重难 ●题型探究 题型一分类加法计数原理 例1.在所有的两位数中，个位数字比十位数字大的有多少？ [分析]根据情况安排个位、十位上的数字.先确定分类标准，再求 规律方法： 应用分类加法计裁原 出每一类的个数，最后得出结论. 理解题时要注意以下 三点： (1)明确题目中所指 的“完成一件事”指 的是什么事，怎样才 ·[规律方法] 算是完成这件事， (2)完成这件事的n 》对点训练1 类办法中的各种方法 (1)某教师有相同的语文参考书3本，相同的数学参考书4本，从中取出 是互不相同的，无论 4本赠送给4位学生，每位学生1本，则不同的赠送方法共有 哪类办法中的娜种方 A.20种 B.15种 C.10种 D.4种 法都可以单独完成这 (2)为调查今年的北京雾霾治理情况，现从高二(1)班的男生38人和女 件事 生18人中选取1名学生做代表，参加学校组织的调查团，则选取代表的方法 (3)确立恰当的分类 标准，这个“标准“ 有种. 女须满足：①完成这 题型二分步乘法计数原理 件事情的任何一种方 例2由数字01,2,3这四个数字，可组成多少个： 法必须属于其中的一 (1)无重复数字的三位数？ 类；②不同类中的方 (2)可以有重复数字的三位数？ 法不能相同，即不重 [分析](1)数字各不相同，且百位上的数字不可为0；(2)数字可以重 复，无遗漏. 复，但百位上的数字不可为0 规律方法： 利用分步乘法计裁原 ·[规律方法] 理解题的一般思路 》对点训练2 (1)分步：将完成这件 事的过程分成若 (1)现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每名同学可自由 千步 选择其中的一个讲座，不同选法的种数是 () (2)计数：逐一求出每 A.56 B.6 C.30 D.11 一步中的方法数。 (2)回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数.如2,121，(3)结论：将每一步中 3443,94249等.显然2位回文数有9个：11,22,33，…，99；3位回文数有90个的方法数相乘得最终 101,111,121,…,191,202,…,999.则5位回文数有个. 结果 ●003 题型三两个计数原理的综合应用 例3，现有商学生50人，高二学生42人，高三学生30人，组成冬令营 (1)若从中选1人作总负责人，共有多少种不同的选法？ (2)若每年级各选1名负责人，共有多少种不同的选法？ (3)若从中推选两人作为中心发言人，要求这两人要来自不同的年 级，则有多少种选法？ [分析]要分清是“分类”还是“分步” (1)是分类；(2)是分步：(3)是先分类后分步 [规律方法] 规律方法： 》对点训练3 利用两个计数原理的 解题策略 将3种农作物全部种植在如图所示的5块试验田里，每块试验田种植一 用两个计数原理解决 种农作物，且相邻的试验田不能种植同一种农作物，不同的种植方法共有 具体问题时，首先， 种 要分清是“分类”还 是“分步”，区分分 类还是分步的关健是 ●易错警示 看这种方法能否完成 分步标准不清致错 例4.甲，乙丙，丁4名同学争夺数学，物理、化学3门学科知识竞赛的冠 这件事情.其次，要清 楚“分美”或“分 军，且每门学科只有1名冠军产生，则不同的冠军获得情况共有步”的具体标准，在 种 “分类”时要遵循 [错解]分四步完成这件事. “不重不漏”的原 第一步，第1名同学去夺3门学科的冠军，有可能1个也没获得，也可能则，在“分步“时要 获得1个或2个或3个，因此，共有4种不同情况.同理，第二、三、四步分别由 正确设计“分步”的 其他3名同学去夺这3门学科的冠军，却各自有4种不同情况. 程序，注意步与步之 由分步乘法计数原理知，不同的冠军获得情况共有4×4×4×4=256（种）. 间的连续性；有些题 目中“分类”与“分 [辨析]用分步乘法计数原理求解对象可重复选取的问题时，哪类对象 步”同时进行，即 必须“用完”就以哪类对象作为分步的依据.本题中要完成的“一件事”是“争 “先分类后分步”或 夺3门学科知识竞赛的冠军，且每门学科只有1名冠军产生”，而错解中可能 “先分步后分类” 出现某一学科冠军被2人，3人甚至4人获得的情形，另外还可能出现某一学 科没有冠军产生的情况， [正解] 004 课堂检测 固双基 1.自2020年起，山东夏季高考成绩由“3+3”组3.把3封信投到4个信箱，所有可能的投法共有 成，其中第一个“3”指语文、数学、外语3科，第 二个“3”指学生从物理、化学、生物、政治、历 A.24种B.4种 C.43种D.34种 史、地理6科中任选3科作为选考科目.某同4.（四川高考题)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复 学计划从物理、化学、生物3科中任选2科，从 数字的五位数，其中比40000大的偶数共有 政治、历史、地理3科中任选1科作为选考科 目，则该同学3科选考科目的不同选法的种数 A.144个B.120个C.96个D.72个 为 )5.一个科技小组中有4名女同学和5名男同学 A.6 B.7 C.8 D.9 从中任选1人参加学科竞赛，不同的选派方法 2.集合P={x,1},Q={y,1,2},其中x,y∈{1， 共有 种；若从中任选1名女同学和1 2,3,…,9},且P二Q.把满足上述条件的一对 名男同学参加学科竞赛，不同的选派方法共有 有序整数对(x,y)作为一个点的坐标，则这样 种 的点的个数是 A.9 B.14 C.15 D.21 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[1]- 3.1.2 排列与排列数 第1课时排列与排列数 素养目标定方向 课程标准 学法解读 1.理解排列的概念，能正确写出一些简单问1.通过学习排列的概念，培养数学抽象的素养 题的所有排列.（重点） 2.借助排列数公式进行计算，培养数学运算的 2.会用排列数公式进行求值和证明.（难点) 素养 必备知识 探新知 知识点一 排列的概念 (1)一般地，从n个不同对象中，任取m(m≤n)个对象，按照 排成一列，称为从n个不同对象中取出m个对象的一个排列. (2)特别地 时的排列（即 的排列)称为全排列， [思考1] 思考1：两个排列相同 的条件是什么？ 知识点二排列数及排列数公式 排列数的定义 从n个不同对象中取出m个对象的 的个数，称为从n个不同对象 中取出m个对象的排列数 排列数的表示 (n,n∈N*,m≤n) 排列 乘积式 A"= 式 阶乘式 A%= n！ (n-m)！ 思考2：排列与排列数 的区别是什么？ 阶乘 A= 规定 0! ,A9= 性质 A+mA"-1= [思考2]学案及练案部分 参考答案 [学案部分] 第三章 排列、组合与二项式定理 第一步：排百位，1,2,3三个数字都可以，有3种不同的 :方法； 第二步：排十位，除百位上已用的，其余三个数字都可以，有 3.1 排列与组合 3种不同的方法； 第三步：排个位，除百位、十位上已用的，其余两个数字都可 3.1.1基本计数原理 以，有2种不同的方法 必备知识探新知 故可组成无重复数字的三位数共3×3×2=18（个） 知识点一m1+m2+…+m (2)分三步完成 思考1：(1)能，每一类中的每一种方法都能独立完成这 第一步：排百位，1,2,3这三个数字都可以，有3种不同的 件事. !方法； (2)各类办法之间相互独立，并且任何一类办法中任何一 第二步：排十位，0,1,2,3这四个数字都可以，有4种不同的 种方法也相互独立. 方法 知识点二mm2…m 第三步：排个位，0,1,2,3这四个数字都可以，有4种不同的 思考2：(1)不能.每一步中的每一种方法不能独立完成这方法. 件事 故可组成有重复数字的三位数共3×4×4=48（个） (2)完成一件事指的是将完成这件事划分成几个步骤，各 对点训练2：(1)A第一名同学有5种选择方法，第二名也 步骤之间有一定的连续性，只有当所有步骤都完成了，整个事件 有5种选择方法，…，依次，第六名同学有5种选择方法，综上，6 才算完成 名同学共有5°种不同的选法. (3)从计数上看，各步的方法数的积就是完成这一件事的： (2)900第一步，选左边第一个数字和右边第一个数字相 方法总数， 同，有9种选法；第二步，选左边第二个数字和右边第二个数字 知识点三 相同，有10种选法；第三步，选左边第三个数字就是右边第三个 思考3.分类加法计数原理每一类中的方法可以完成一件数字，有10种选法，故5位回文数有9×10×10=900，故答案 事情，而分步乘法计数原理每一步中的方法不能独立完成一件为90 事情 例3：(1)从高一选1人作总负责人有50种选法；从高二选 关键能力攻重难 :1人作总负责人有42种选法；从高三选1人作总负责人有30种 例1：方法一：按十位上的数字分别是1,2,3,4,5,6,7,8分选法.由分类加法计数原理，可知共有50+42+30=122（种） 成八类，在每一类中满足条件的两位数分别有8个，7个，6个，5选法 个，4个，3个，2个，1个. 2)从高一选1名负责人有50种选法；从高二选1名负责 由分类加法计数原理知，满足条件的两位数的个数是8+7人有42种选法；从高三选1名负责人有30种选法.由分步乘法 +6+5+4+3+2+1=36. 计数原理，可知共有50×42×30=63000（种）选法 方法二：按个位上的数字分别是2,3,4,5,6,7,8,9分成八 (3)①高一和高二各选1人作为中心发言人，有50×42= 类，在每一类中满足条件的两位数分别有1个，2个，3个，4个，52100（种）选法； 个，6个，7个，8个 ②高二和高三各选1人作为中心发言人，有42×30=1260 由分类加法计数原理知，满足条件的两位数的个数是1+2（种）选法； +3+4+5+6+7+8=36. ③高一和高三各选1人作为中心发言人，有50×30=1500 方法三：考虑两位数的个位数字与十位数字的大小关系，利（种）选法.故共有2100+1260+1500=4860（种）选法. 用对应思想解决. 对点训练3：42分别用a,b,c代表3种农作物，将试验田 所有的两位数共有90个，其中个位数字等于十位数字的两从左到右依次编号为①②③④⑤. 位数为11,22,33，…，99，共9个.个位数字与十位数字不能调换 先种①号田，有3种种植方法，不妨设种植a. 位置的两位数为10,20,30，…，90，共9个.剩余的72个两位数 再种②号田，可种植b或c,有2种种植方法，不妨设种植b. 中，将每一个“个位数字(a)小于十位数字(b)的两位数”的个位 若③号田种植c,则④⑤号田分别有2种种植方法，则不同 数字与十位数字调换位置后，都有一个“个位数字(b)大于十位的种植方法共有2×2=4（种） 数字(a)的两位数”与其对应，故满足条件的两位数的个数是 若③号田种植a,则④号田可种植上b或c. 72÷2=36 (1)若④号田种植c,则⑤号田有2种种植方法： 对点训练1：(1)B若4本中有3本语文参考书和1本数 (2)若④号田种植b,则⑤号田只能种植c,有1种种植 学参考书，则有4种方法，若4本中有1本语文参考书和3本数：方法. 学参考书，则有4种方法，若4本中有2本语文参考书和2本数 综上所述，不同的种植方法共有3×2×(4+2+1)=42（种）. 学参考书，则有6种方法，若4本都是数学参考书，则有一种方 例4：64由题知，研究的对象是“3门学科”，只有3门学科 法，所以不同的赠选方法共有4+4+6+1=15（种）. 各产生1名冠军，才算完成了这件事，而4名同学不一定每人都 (2)56完成这件事需要分两类完成：第一类：选1名男生，能获得冠军，故完成这件事分三步. 有38种选法：第二类：选1名女生，有18种选法，根据分类加法！ 第一步，产生第1个学科冠军，它一定被其中1名同学获 计数原理，共有N=38+18=56(种)不同的选法 :得，有4种不同的获得情况： 例2：(1)分三步完成 第二步，产生第2个学科冠军，因为夺得第1个学科冠军的 -149 同学还可以去争夺第2个学科的冠军，所以第2个学科冠军也 (3)因为从一门进，从另一门出是有顺序的，所以是排列 是由4名同学去争夺，有4种不同的获得情况： 问题 第三步，同理，产生第3个学科冠军也有4种不同的获得 综上，(1)(3)是排列问题，(2)不是排列问题 情况. 例2：As=15×14×13=2730, 由分步乘法计数原理知，不同的冠军获得情况共有4×4×4： A8=6×5×4×3×2×1=720 =64(种). (2)因为55-n,56-n,…,69-n中的最大数为69-n,且 课堂检测固双基 共有(69-n)-(55-n)+1=15(个)数， 1.D分两步，第一步，从物理、化学、生物3科中任选2科，有3种选 所以(55-n)(56-n)·…·(69-n)=A5- 法，第二步，从政治、历史、地理3科中任选1科，有3种选法根据 (3)由排列数公式可知n(n+1)(n+2)(n+3)·…·(n+ 分步乘法计数原理可得不同选法共有3×3=9（种）. m)=A 2.B因为P二Q,所以分两类.当x=2时，y∈{3,4,5,6,7,8， 对点训练2：(1)18因为Am=11×10×9×8×…×5,所以 9,所以点的个数为7；当x≠2时，x=y∈3,4,5,6,7,8,9}，n=11,m=(11-5)+1=7,m+n=18. 所以点的个数为7.则满足题意的点共有14个。 (2)36A9=7×6×5×4×3×2,A=6×5×4×3×2,A= 3.C第1封信投到信箱中有4种投法； i5×4×3×2, 第2封信投到信箱中也有4种投法； 第3封信投到信箱中也有4种投法。 : 所以49A=7x6-6=36 A 只要把这3封信投完，就做完了这件事，由分步乘法计数原理 例3：(1)从7本不同的书中选3本送给3名同学，相当于从 可得共有4种投法. 7个元素中任取3个元素的一个排列，所以具有A?=7×6×5= 4.B根据题意，需分两类解决： 210(种)不同的送法. 第一类，万位填4时，此40000大的偶数有2×4×3×2=48： (2)从7种不同的书中买3本书，这3本书并不要求都不相同 (个)： 根据分步乘法计数原理，共有7×7×7=343（种）不同的送法. 第二类，万位填5时，比40000大的偶数有3×4×3×2=72 对点训练3：(1)用一颗骰子连掷三次，投掷出的互不相同 (个). 的数字顺次排成一个三位数，属于求排列数问题，相当于从6个 根据分类加法计数原理，可知比40000大的偶数共有48+72元素中任取3个元素的一个排列，所以共有A=6×5×4=120 =120(个). !(个)不同的数 5.920根据分类加法计数原理知，从中任选1人参加学科竞 (2)每掷一次，出现的数字均有6种可能性，根据分步乘法 赛，不同的选派方法共有4+5=9种；由分步乘法计数原理计数原理，共有6×6×6=216（个）不同的数， 知，从中任选1名女同学和1名男同学参加学科竞赛，不同的 : (3)两个数字相同有三种可能性，即百位和十位，十位和个 选派方法共有4×5=20种 位，个位和百位相同，而每种情况有6×5=30（个）三位数，故共 3.1.2排列与排列数 有3×6×5=90（个）三位数 8！ 8! 第1课时排列与排列数 例4：由A<6A2,得8一<6×(10- 化简得x2-19x+84<0,解之得7<x<12, ① 必备知识探新知 又8≥x, x-2>0,2<x≤8 ② 知识点一(1)一定的顺序(2)m=n取出所有对象 思考1：两个排列相同则应具备排列的对象及排列的顺序 - 由①②及x∈N*得x=8. 均相同 课堂检测固双基 知识点二所有排列A:n(n-1)(n-2)…(n-m+1):1.B由排列数公式可知m=4,故选B. n·(n-1）·(n-2)·…·2·1n！11A 2.C这是一个排列问题，与顺序有关，任意两人对应的是两种 思考2：“排列”与“排列数”是两个不同的概念，“排列”是 站法，故C正确. 指“从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象，按照一定的顺序3.B因为加法和乘法满足交换律，所以选出两数做加法和乘法 排成一列”，它不是数，而是具体的一件事；而“排列数”是上述 时，结果与两个数字位置无关，故不是排列问题，而减法、除法 完成这件事所有不同的排列个数，它是一个数. 与两个数字的位置有关，故是排列问题 关键能力攻重难 4.C 由A2-1-n<7,得(n-1)(n-2)-n<7,即-1<n<5,又 例1：(1)不是；(2)是：(3)第一问不是，第二问是；(4)是； 因为neN*且n-1≥2，所以n=3,4.故选C. (5)是. 5.12 bac,bad,bae,bca,bed,bce,bda,bdc,bde,bea,bec,bed 理由是：(1)(2)中由于加法运算满足交换律，所以选出的 树状图如下： 两个元素做加法时，与两元素的顺序无关，但做除法时，两元素 谁作除数，谁作被除数不一样，此时与顺序有关，故做加法不是 排列问题，做除法是排列问题.(3)中选座位与顺序无关，“入 座”问题，与顺序有关，故选3个座位安排三位客人是排列问题 (4)中每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同 的，存在顺序问题，属于排列问题.(5)A给B写信与B给A写信 是不同的，所以存在着顺序问题，属于排列问题. 可知共12个，它们分别为bac,bad,bae,bca,bcd,bce,bda,bdc, 对点训练1：(1)由于取出的两数组成点的坐标与哪一个数 bde,bea,bec,bed. 作横坐标，哪一个数作纵坐标的顺序有关，所以这是一个排到 问题 第2课时 排列数的应用 (2)因为从10名同学中抽取两人去学校开座谈会的方式不 关键能力攻重难 用考虑两人的顺序，所以这不是排列问题 例1：(1)第一步排个位上的数，因为组成的四位数必须是 -150