第8章 实数（提高卷）章节复习自测卷-2025-2026学年人教版数学七年级下册

2025-2026学年人教版数学七年级下册数学单元自测 第八章 实数•能力提升 建议用时：60分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 1．下列各数中：，﹣，0，，，，，无理数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【思路引导】此题考查了无理数的定义，正确掌握无理数的三种形式：开方开不尽的数，含有的数，有规律但不循环的小数，是解题的关键．根据无理数的定义（无限不循环小数），逐一判断每个数是否为无理数． 【完整解答】解：3.141是有限小数，是有理数； 是分数，是有理数； 0是整数，是有理数； 是无限不循环小数，是无理数； 是整数，是有理数； 是无限不循环小数，是无理数； 是整数，是有理数； 无理数有和，共2个． 故选：B． 2．（23-24七年级下·重庆·期末）估计的值为（    ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】D 【思路引导】本题考查估算无理数的大小，熟练掌握估算无理数大小的方法是解题的关键． 通过比较31与相邻平方数的大小，确定的范围，进而求出的范围． 【完整解答】解： ，即 在4和5之间． 故选：D． 3．若实数a，b，c在数轴上对应位置如图所示，则下列不等式成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了实数与数轴及不等式的性质，根据数轴判断出a、b的大小以及c是正数，再根据不等式的性质对各选项分析判断即可得解． 【完整解答】解：由图可知，， A、，原不等式不成立，故本选项不符合题意； B、，原不等式不成立，故本选项不符合题意； C、，原不等式成立，故本选项符合题意； D、，原不等式不成立，故本选项不符合题意； 故选：C． 4．（25-26八年级上·广西南宁·月考）下列说法正确的是（ ） A．4的平方根是2 B．8的立方根是 C．的算术平方根是 D．没有平方根 【答案】D 【思路引导】根据平方根、算术平方根、立方根的定义逐项进行判断即可． 本题考查平方根、算术平方根、立方根，理解平方根、算术平方根、立方根的定义是正确解答的前提． 【完整解答】解：A．的平方根是，因此选项A不符合题意； B．8的立方根是2，因此选项B不符合题意； C．的算术平方根是，因此选项C不符合题意； D．没有平方根，因此选项D符合题意； 故选：D． 5．如果，那么约等于（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查立方根的性质，一个数的小数点向左（或向右）每移动3位，其立方根也相应向左（或向右）移动1位．据此即可解答． 【完整解答】解：∵， ∴． 故选：A． 6．下列整数中，与最接近的是（  ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了无理数的估算，熟练掌握利用完全平方数估算无理数的范围是解题的关键．先找出与相邻的两个完全平方数，确定的范围，再比较与范围两端整数的距离，从而确定最接近的整数． 【完整解答】解：∵， ∴，即． 又∵，，， ∴更接近． 故选：C． 7．（24-25七年级下·河北邯郸·期末）对于的叙述，下列说法正确的是（    ） A．它不能用数轴上的点表示出来 B．它是一个无理数 C．它比大 D．它的相反数为 【答案】B 【思路引导】本题考查实数与数轴，实数的大小比较，无理数的定义，相反数的定义，数轴的意义，实数的计算，无理数的定义，相反数的定义判断即可，掌握相关概念是解题的关键． 【完整解答】解：、数轴上的点与实数一一对应，是实数，可以用数轴上的点表示，原选项说法错误； 、是有理数，是无理数，有理数与无理数的和为无理数，故是无理数，原选项说法正确； 、∵， ∴，原选项说法错误； 、 的相反数为，原选项说法错误； 故选：． 8．（24-25七年级下·广西钦州·月考）对于实数，，定义的含义为：当时，，当时，，例如：，已知，，且和为两个连续正整数，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题主要考查用新定义解决数学问题及实数的运算，正确理解新定义是求解本题的关键．根据和的范围，求出x和y的值，然后代入即可求解． 【完整解答】解：∵，， ∴， ∵和为两个连续正整数，， ∴，， ∴． 故选：A． 9．（24-25七年级下·全国·周测）已知a为，b为，c为，则这三个数的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】此题考查了进行实数大小比较的能力，关键是能准确运用作差法进行比较． 通过计算与的差以及与的差，利用平方根的性质比较大小，即可得到这三个数的大小关系． 【完整解答】解：∵ ∵ ∴，即 ∴ ∴ ∵ ∵ ∴，即 ∴ ∴ 综上，，即 . 故选：A． 10．（24-25七年级下·湖南湘西·月考）若用表示任意正实数的整数部分，例如：，，，则式子的值为（   ）式子中的“”，“”依次相间 A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了算术平方根的意义，本题是阅读型题，正确理解新定义的含义是解题的关键．利用题干中的新定义依次得到各数的整数部分，计算即可得出结论． 【完整解答】解：，， 与之间共有个数， ，， 与之间共有个数， ，， 与之间共有个数， ， ，， 与之间共有个数， ． 故选B． 二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 11．写出0和4之间的一个无理数： ．（写一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【思路引导】根据无理数的定义，无理数的估算解答即可． 本题考查了无理数的定义，无理数的估算，熟练掌握估算是解题的关键． 【完整解答】解：由，只要x是到之间的非完全平方数即可， 如， 故答案为：． 12．（24-25七年级下·甘肃武威·期末）计算： ． 【答案】 【思路引导】本题考查了求一个数的算术平方根，立方根，化简绝对值，先分别求出算术平方根，立方根，再化简绝对值，最后运算加减法，即可作答． 【完整解答】解： ， 故答案为：． 13．（24-25七年级下·广东肇庆·期中）如果一个正数的两个平方根分别是和，则 ． 【答案】3 【思路引导】本题考查平方根的性质，解一元一次方程，掌握相关知识是解决问题的关键．一个正数的两个平方根互为相反数，依题意，解方程即可． 【完整解答】解：∵一个正数的两个平方根分别是和， ∴， 解得：， 故答案为：3． 14．如图，数轴上表示1，的点分别为A，B，且，则点C所表示的数是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查数轴与实数；首先根据数轴上表示1，的对应点分别为A，B可以求出线段的长度，然后由利用两点间的距离公式便可解答．解题的关键是掌握数轴上两点间距离公式． 【完整解答】解：∵数轴上表示1，的对应点分别为A，B， ∴， ∵， ∴点C的坐标为：． 故答案为：． 15．（24-25七年级下·河北唐山·期末）已知，且为正整数，则的值可以是 （写出一个即可）． 【答案】1（答案不唯一） 【思路引导】本题主要考查了无理数的估算、不等式的解等知识点，掌握无理数的估算方法是解题的关键． 先估算得取值范围，再确定k的取值范围，然后根据不等式解的定义即可解答． 【完整解答】解：∵是整数； ∴是完全平方数； ∴， ∵为正整数， ∴或2或3． 故答案为：1（答案不唯一）． 16．（24-25七年级下·重庆渝北·期末）求59319的立方根，解答如下： ①，又，，∴能确定59319的立方根是个两位数． ②59319的个位数是9，又，∴能确定59319的立方根的个位数是9． ③划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得，由此能确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39．根据以上步骤求出314432的立方根是 ． 【答案】68 【思路引导】本题考查立方根，根据题意所给方法确定314432的立方根是个两位数，再确定个位、十位上的数，即可解答． 【完整解答】解：， 又， ， ∴能确定314432的立方根是个两位数． 314432的个位数是2， 又， ∴能确定314432的立方根的个位数是8． 划去314432后面的三位432得到数314，而，则， 可得，由此能确定314432的立方根的十位数是6， 因此314432的立方根是68， 故答案为68． 17．（24-25八年级下·全国·单元测试）已知、在数轴上的位置如图所示，化简的结果是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了利用数轴判断代数式的大小，绝对值、算术平方根的意义以及整式的加减，熟练掌握绝对值、算术平方根的意义是解答本题的关键． 由数轴可得，，然后利用绝对值、算术平方根的意义以及整式的加减进行化简即可． 【完整解答】解：由数轴可得，， ∴， 故答案为：． 18．（25-26七年级下·全国·周测）春节申遗成功，越来越多的人参与到各类体育年俗活动中，让喜庆的春节氛围多了一些“燃”的味道．如图①，捶丸是春节游园会上常见的民俗娱乐活动，小明沿直线将捶丸击出，将轨迹所在直线绘制成如图②所示的数轴．若捶丸恰好停在表示数“”的点处，则此时捶丸在数轴上对应点的位置应介于字母 之间． 【答案】B与C 【思路引导】本题考查了实数与数轴、无理数的估算，掌握无理数的估算方法是解题的关键． 根据无理数的估算、实数与数轴的关系即可解答． 【完整解答】解： ， ∴此时捶丸在数轴上对应点的位置应介于字母与之间． 故答案为：与． 三、解答题（共8小题，共64分） 19．（本题6分）（24-25七年级下·吉林白山·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了实数的混合运算，涉及了算术平方根与立方根等知识，解题关键是牢记运算法则． （1）依次计算乘方、算术平方根、立方根、平方运算，再加减； （2）依次计算算术平方根、立方根、绝对值，再计算加减． 【完整解答】（1）解： ； （2） ． 20．（本题6分）（23-24七年级下·云南迪庆·期末）已知的立方根是2，的算术平方根为3，，且． (1)分别求a、b、c的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查立方根，算术平方根，平方根．熟练掌握相关概念，是解题的关键． （1）根据立方根，平方根和算术平方根的定义进行求解即可； （2）先求出的值，再计算平方根即可． 【完整解答】（1）解：∵的立方根是，的算术平方根为， ∴，， 解得：，， ∵，且． ∴； （2）由（1）知，，，， ∴， ∴的平方根是． 21．（本题8分）（25-26七年级下·全国·课后作业）已知点，，在数轴上的位置如图所示，点表示的数是，是的中点，线段，求点表示的数． 【答案】点表示的数是 【思路引导】本题考查了实数与数轴，正确地求出点表示的数是解题的关键． 先表示出点表示的数，再根据点是的中点进行求解即可． 【完整解答】解：点表示的数是，线段， 点表示的数是． 是的中点， 线段， 点表示的数是． 22．（本题8分）（25-26七年级上·浙江金华·期中）阅读理解：我们知道是无理数，无理数是无限不循环小数，因此的小数部分不可能全部写出来，小乐同学用来表示的小数部分，并给出了理由：因为，所以，则的整数部分为1，小数部分为，事实上，小乐同学的方法是正确的，请解答： (1)的整数部分是_____，小数部分是______． (2)若的整数部分是，小数部分是，求的值． 【答案】(1)4； (2) 【思路引导】本题考查了无理数的估算，掌握估算的方法是解题的关键； （1）根据夹逼法可得，进而求解； （2）结合（1）题可得，进而可得x、y的值，进而求解． 【完整解答】（1）解：因为，即， 所以， 所以的整数部分是4，小数部分是； （2）解：因为， 所以， 所以的整数部分，小数部分， 所以． 23．（本题8分）（24-25七年级下·河北张家口·期末）已知正数m的平方根是和，的立方根为，c是的整数部分． (1)求a，m，b，c的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)，，， (2)4 【思路引导】本题考查平方根，立方根的性质，无理数的估算，算术平方根的计算． （1）根据正数的平方根互为相反数求出和的值，根据立方根的计算求的值，估算，找出其整数部分，得到的值； （2）将（1）中求得的值代入代数式中求值，再求算术平方根即可． 【完整解答】（1）解：由题意得， ， ， ∵的立方根为， ， ， ∵是的整数部分，且， ； （2）解：由（1）可知，，， ， 算术平方根为． 24．（本题8分）阅读理解： 同学们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分不能全部地写出来，于是小伟用来表示的小数部分，事实上，小伟的表示方法非常有道理，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是的小数部分，又如：，即，的整数部分是2，小数部分是． 请参考小伟思考问题的方法解答： (1)的整数部分是_____，小数部分是______． (2)如果的小数部分是a，的整数部分是b，求的值． (3)已知m是的整数部分，n是其小数部分，直接写出的值． 【答案】(1)， (2)5 (3) 【思路引导】本题考查了估算无理数的大小和求代数式的值，能估算出无理数的大小是解此题的关键． （1）先估算出的范围，再求解即可； （2）先估算出和的范围，再求出、的值，最后求出代数式的值即可； （3）先求出的范围，再求出、的值，最后代入求出即可． 【完整解答】（1）解： ， ， 的整数部分是3，小数部分是， 故答案为：3，； （2）解： ，， ，， ，， ； （3）解：， ， ，， ． 25．（本题10分）数学课上，老师出了一道题：比较与的大小． 小华的方法：因为，所以　　　　，所以　　　(填“”或“”)； 小英的方法：，因为，所以 0，所以　　　　0，所以 　　　　 (填“”或“”)． (1)将上述材料补充完整； (2)请从小华和小英的方法中选择一种比较与的大小． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题考查了实数的大小比较，算术平方根的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据算术平方根的定义以及实数的大小比较方法解答即可； （2）采取（1）中相同的方法解答即可． 【完整解答】（1）解：小华的方法：因为，所以，所以； 小英的方法：，因为，所以，所以，所以； （2）解：小华的方法：因为，所以，所以； 小英的方法：，因为，所以，所以，所以． 26．（本题10分）高斯记号[x]表示不超过x的最大整数，即若有整数n满足n≤x＜n+1，则[x]＝n． 如：[1.56]＝1，[﹣3.25]＝﹣4． （1）求[79]的值等于　 　； （2）若b是整数，求证：[a+b]＝[a]+b； （3）若[﹣8+n]+[+3﹣n]＝[]，且m，n都为整数，求m的最小值和最大值． 【答案】（1）79． （2）证明见解析． （3）m的最小值是64，m的最大值是80 【思路引导】（1）根据定义即可求解． （2）用n表示进行推理证明． （3）用k表示后，利用进行推理求解即可． 【完整解答】解：（1）根据定义，所以[79]=79． （2）设：，则 则， ∵是整数 ∴ ∴ （3）设:,则 ∵ ∴ 由 得 解得 ∵ ∴ ∵是整数 ∴的最小值为64，最大值为80． 【考点剖析】本题考查了新定义问题，解题的关键是对高斯记号实际是一个分段函数，对高斯记号进行充分理解证明即可解题． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年人教版数学七年级下册数学单元自测 第八章 实数•能力提升 建议用时：60分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 1．下列各数中：，﹣，0，，，，，无理数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（23-24七年级下·重庆·期末）估计的值为（    ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 3．若实数a，b，c在数轴上对应位置如图所示，则下列不等式成立的是（　　） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·广西南宁·月考）下列说法正确的是（ ） A．4的平方根是2 B．8的立方根是 C．的算术平方根是 D．没有平方根 5．如果，那么约等于（  ） A． B． C． D． 6．下列整数中，与最接近的是（  ） A．4 B．5 C．6 D．7 7．（24-25七年级下·河北邯郸·期末）对于的叙述，下列说法正确的是（    ） A．它不能用数轴上的点表示出来 B．它是一个无理数 C．它比大 D．它的相反数为 8．（24-25七年级下·广西钦州·月考）对于实数，，定义的含义为：当时，，当时，，例如：，已知，，且和为两个连续正整数，则的值为（    ） A． B． C． D． 9．（24-25七年级下·全国·周测）已知a为，b为，c为，则这三个数的大小关系是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25七年级下·湖南湘西·月考）若用表示任意正实数的整数部分，例如：，，，则式子的值为（   ）式子中的“”，“”依次相间 A． B． C． D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 11．写出0和4之间的一个无理数： ．（写一个即可） 12．（24-25七年级下·甘肃武威·期末）计算： ． 13．（24-25七年级下·广东肇庆·期中）如果一个正数的两个平方根分别是和，则 ． 14．（2012·江苏盐城·一模）如图，数轴上表示1，的点分别为A，B，且，则点C所表示的数是 ． 15．（24-25七年级下·河北唐山·期末）已知，且为正整数，则的值可以是 （写出一个即可）． 16．（24-25七年级下·重庆渝北·期末）求59319的立方根，解答如下： ①，又，，∴能确定59319的立方根是个两位数． ②59319的个位数是9，又，∴能确定59319的立方根的个位数是9． ③划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得，由此能确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39．根据以上步骤求出314432的立方根是 ． 17．（24-25八年级下·全国·单元测试）已知、在数轴上的位置如图所示，化简的结果是 ． 18．（25-26七年级下·全国·周测）春节申遗成功，越来越多的人参与到各类体育年俗活动中，让喜庆的春节氛围多了一些“燃”的味道．如图①，捶丸是春节游园会上常见的民俗娱乐活动，小明沿直线将捶丸击出，将轨迹所在直线绘制成如图②所示的数轴．若捶丸恰好停在表示数“”的点处，则此时捶丸在数轴上对应点的位置应介于字母 之间． 三、解答题（共8小题，共64分） 19．（本题6分）（24-25七年级下·吉林白山·期末）计算： (1) (2) 20．（本题6分）（23-24七年级下·云南迪庆·期末）已知的立方根是2，的算术平方根为3，，且． (1)分别求a、b、c的值； (2)求的平方根． 21．（本题8分）（25-26七年级下·全国·课后作业）已知点，，在数轴上的位置如图所示，点表示的数是，是的中点，线段，求点表示的数． 22．（本题8分）（25-26七年级上·浙江金华·期中）阅读理解：我们知道是无理数，无理数是无限不循环小数，因此的小数部分不可能全部写出来，小乐同学用来表示的小数部分，并给出了理由：因为，所以，则的整数部分为1，小数部分为，事实上，小乐同学的方法是正确的，请解答： (1)的整数部分是_____，小数部分是______． (2)若的整数部分是，小数部分是，求的值． 23．（本题8分）（24-25七年级下·河北张家口·期末）已知正数m的平方根是和，的立方根为，c是的整数部分． (1)求a，m，b，c的值； (2)求的算术平方根． 24．（本题8分）阅读理解： 同学们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分不能全部地写出来，于是小伟用来表示的小数部分，事实上，小伟的表示方法非常有道理，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是的小数部分，又如：，即，的整数部分是2，小数部分是． 请参考小伟思考问题的方法解答： (1)的整数部分是_____，小数部分是______． (2)如果的小数部分是a，的整数部分是b，求的值． (3)已知m是的整数部分，n是其小数部分，直接写出的值． 25．（本题10分）数学课上，老师出了一道题：比较与的大小． 小华的方法：因为，所以　　　　，所以　　　(填“”或“”)； 小英的方法：，因为，所以 0，所以　　　　0，所以 　　　　 (填“”或“”)． (1)将上述材料补充完整； (2)请从小华和小英的方法中选择一种比较与的大小． 26．（本题10分）高斯记号[x]表示不超过x的最大整数，即若有整数n满足n≤x＜n+1，则[x]＝n． 如：[1.56]＝1，[﹣3.25]＝﹣4． （1）求[79]的值等于　 　； （2）若b是整数，求证：[a+b]＝[a]+b； （3）若[﹣8+n]+[+3﹣n]＝[]，且m，n都为整数，求m的最小值和最大值． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $