第七单元 长方体和正方体（知识清单）数学青岛版五年级下册

第七单元 长方体和正方体单元知识清单讲义 知识点一：长方体和正方体的认识 1. 长方体的认识 （1） 长方体的特征 面 ：长方体有6个面，每个面都是长方形（特殊情况下有两个相对的面是正方形），相对的面完全相同。 棱 ：长方体有12条棱，相对的4条棱长度相等，可以分为长、宽、高三组。 顶点 ：长方体有8个顶点。 （2） 长方体的长、宽、高 相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高 。 应用场景 ：认识生活中的长方体物品，如书本、纸箱、教室等。 2. 正方体的认识 （1）正方体的特征 面 ：正方体有6个面，每个面都是正方形，6个面完全相同。 棱 ：正方体有12条棱，12条棱的长度都相等。 顶点 ：正方体有8个顶点。 （2）正方体与长方体的关系 正方体是特殊的长方体 ，是长、宽、高都相等的长方体。 关系图 ： 应用场景 ：认识生活中的正方体物品，如魔方、骰子、正方体盒子等。 3.长方体和正方体的关系 知识点二：长方体和正方体的表面积 1.长方体和正方体的展开图 （1）展开图的概念 将长方体或正方体沿着某些棱剪开，展开后得到的平面图形叫做它的展开图 。 （2）展开图的特点 长方体展开图 ：由6个长方形组成（特殊情况下有2个正方形） 正方体展开图 ：由6个相同的正方形组成，展开方式有11种 （3）常见正方体展开图类型 ： "1-4-1"型（上下各1个，中间4个） "2-3-1"型 "2-2-2"型 "3-3"型 2.长方体和正方体的表面积 （1）表面积的概念 长方体或正方体6个面的总面积 ，叫做它的表面积。 （2）长方体的表面积 公式 ：长方体的表面积 = 长×宽×2 + 长×高×2 + 宽×高×2 = (长×宽 + 长×高 + 宽×高) × 2 简写 ：S表 = 2(ab + ah + bh)（其中a表示长，b表示宽，h表示高） （3）正方体的表面积 公式 ：正方体的表面积 = 棱长×棱长×6 简写 ：S表 = 6a²（其中a表示棱长） 4. 特殊情况的表面积 ①无盖的长方体 （如鱼缸）：少算一个面（通常是上面） 表面积=长×宽+ (长×高 + 宽×高)×2 ②通风管 （只算侧面）：只算4个侧面 侧面积 = (长×高 + 宽×高) × 2 ③相邻两个面涂色 ：只算需要涂色的面 应用场景 ：计算粉刷墙壁面积、包装盒用纸、制作铁皮水桶等实际问题。 知识点三：体积和体积单位 1. 体积的概念 物体所占空间的大小 叫做物体的体积。 2. 常用的体积单位 立方米 （m³）：测量较大物体的体积 立方分米 （dm³）：测量中等物体的体积 立方厘米 （cm³）：测量较小物体的体积 3. 体积单位之间的进率 1立方米 = 1000立方分米 1立方分米 = 1000立方厘米 1立方米 = 1000000立方厘米 记忆方法 ：相邻两个体积单位之间的进率是1000 （长度单位进率10的3次方） 4. 体积单位换算方法 大单位→小单位 ：乘以进率 例：3.5 m³ = 3.5 × 1000 = 3500 dm³ 小单位→大单位 ：除以进率 例：4500 cm³ = 4500 ÷ 1000 = 4.5 dm³ 应用场景 ：测量和比较物体体积的大小。 知识点四 ：容积和容积单位 1. 容积的概念：容器所能容纳物体的体积 叫做容器的容积。 2. 体积与容积的区别 比较项 体积 容积 概念 物体所占空间的大小 容器能容纳物体的体积 测量方法 从外部测量 从内部测量 大小关系 同一容器，体积＞容积 3. 常用的容积单位 升 （L）：1升 = 1立方分米 毫升 （mL）：1毫升 = 1立方厘米 4. 容积单位之间的进率 1升 = 1000毫升 1升 = 1立方分米 1毫升 = 1立方厘米 5. 容积的计算方法 容器的容积计算方法与体积相同，但要从容器内部测量长、宽、高 。 应用场景 ：计算水箱、油桶、游泳池等容器的容积。 知识点五 ：长方体和正方体的体积 1. 长方体的体积 公式一 ：长方体的体积 = 长 × 宽 × 高 简写 ：V = abh 公式二 ：长方体的体积 = 底面积 × 高 简写 ：V = Sh（S表示底面积，h表示高） 2. 正方体的体积 公式 ：正方体的体积 = 棱长 × 棱长 × 棱长 简写 ：V = a³ 3. 体积计算的统一公式 长方体和正方体的体积 = 底面积 × 高 这个公式适用于所有的长方体和正方体。 应用场景 ：计算物体的体积、容器能装多少东西等。 知识点六 ：测量不规则物体的体积 1. 不规则物体的概念 形状不规则、无法直接用公式计算体积的物体，如石头、土豆、玩具等。 2. 测量方法——排水法（浸没法） 原理 ：物体浸没在水中，会排开一部分水，排开水的体积就等于物体的体积 。 方法一：上升水的体积法 步骤 ： 在容器中装入适量的水，测量并记录水面的高度h₁；将不规则物体完全浸没在水中；测量并记录此时水面的高度h₂；计算：物体体积 = 容器底面积 × (h₂ - h₁)。 公式 ：V物体 = S底 × (h₂ - h₁) = V上升的水 物体体积 = 底面积 × (h₂ - h₁) 方法二：溢出水的体积法 步骤 ： 在容器中装满水；将不规则物体完全浸没在水中；用另一个容器接住溢出的水；测量溢出水的体积，即为物体的体积。 公式 ：V物体 = V溢出的水 物体体积 = 溢出水的体积 3. 实际应用 测量石头、土豆等不规则物体的体积；测量形状复杂的零件体积；验证物体的密度。 应用场景 ：解决生活中无法直接测量的不规则物体体积问题。 题型一：长方体和正方体的认识 【例1】 填一填。 (1)图( )是正方体，它有( )个完全相同的面，每个面都是( )形，其中一个面的面积是( ) 。 (2)图( )是有且仅有4个面相同的( )体，这4个面的面积都是( ) 。 【答案】(1)②；6；正方； (2)①；长方； 【分析】（1）根据正方体的特征，图②的长、宽、高均为，所以图②是正方体。正方体有6个完全相同的面，每个面都是正方形。根据正方体面积公式（其中a为边长），即可求出一个面的面积； （2）图①的长、宽、高分别为、、，所以图①是有且仅有4个面相同的长方体。这4个相同的面是长为、宽为的长方形，根据长方形面积公式（其中a为长，b为宽），即可求出一个面的面积。 【详解】根据分析可知： （1）（） 图（②）是正方体，它有（6）个完全相同的面，每个面都是（正方）形，其中一个面的面积是（）。 （2）（） 图（①）是有且仅有4个面相同的（长方）体，这4 个面的面积都是（）。 【练1】同学们正在用一些小棒和橡皮泥拼搭长方体框架。 (1)如图所示的是小宇已经拼搭好的部分，他还需要( )个橡皮泥小球、( )根9cm长的小棒、( )根6cm长的小棒、( )根4cm长的小棒，就可以拼搭成一个长( )cm、宽( )cm、高( )cm的长方体框架。 (2)长方体框架上面是( )形，长是( )cm，宽是( )cm。 (3)长方体框架( )面和( )面的长方形的长是6cm，宽是4cm。 【答案】(1) 5 1 2 3 9 6 4 (2) 长方 9 6 (3) 左 右 【分析】（1）长方体有8个顶点，每个顶点处有1个橡皮泥小球，图中已有3个顶点处有橡皮泥小球，所以还需要5个橡皮泥小球；长方体有4条长、4条宽 、4条高，长为9cm的小棒已有3根，所以还需要1根；宽为6cm的小棒已有2根，所以还需要2根；高为4cm的小棒已有1根，所以还需要3根；从图中可知长方体的长是9cm、宽是6cm、高是4cm； （2）长方体的上面是长方形，其长是9cm，宽是6cm； （3）根据长方体的特征，长方体框架左面和右面的 长方形的长是6cm，宽是4cm。据此解答。 【详解】根据分析得： （1）如图所示的是小宇已经拼搭好的部分，他还需要5个橡皮泥小球、1根9cm长的小棒、2根6cm长的小棒、3根4cm长的小棒，就可以拼搭成一个长9cm、宽6cm、高4cm的长方体框架。 （2）长方体框架上面是长方形，长是9cm，宽是6cm。 （3）长方体框架左面和右面的长方形的长是6cm，宽是4cm。 题型二：长方体和正方体的展开图 【例2】有4个正方体，其展开图分别如下图所示。只有当动物和它喜欢的食物在正方体的相对面上时，它才能吃到喜欢的食物。想一想，正方体( )中的动物可以吃到它喜欢的食物。（填序号） 【答案】①②④ 【分析】根据正方体的平面展开图的特点，相对的两个面中间一定隔着一个小正方形，且没有公共的顶点，结合展开图很容易找到动物是否可以吃到它喜欢的食物。 【详解】①属于正方体展开图的“”型，折成正方体后，小猫和它喜欢的食物鱼在正方体的相对面上，所以①中的动物可以吃到它喜欢的食物。 ②属于正方体展开图的“”型，折成正方体后，小猴子和它喜欢的食物桃子在正方体的相对面上，所以②中的动物可以吃到它喜欢的食物。 ③属于正方体展开图的“”型，折成正方体后，小兔子和它喜欢的食物胡萝卜不在正方体的相对面上，小兔子相对的面是3，胡萝卜相对的面是1，所以③中的动物不可以吃到它喜欢的食物。 ④属于正方体展开图的“”型，折成正方体后，小狗和它喜欢的食物骨头在正方体的相对面上，所以④中的动物可以吃到它喜欢的食物。 由此可知，正方体①②④中的动物可以吃到它喜欢的食物。 【练2】下面图形沿虚线折叠后能围成长方体的画“√”。 （  ）             （    ）         （   ） （    ）             （   ）         （    ）             【答案】 【分析】“1－4－1”型 “2－3－1”型 “2－3－1”型 “3－3”型 【详解】 为“1－4－1”型，能还原为长方体； 不能还原为长方体； 为“1－4－1”型，能还原为长方体； 不能还原为长方体； 为“2－3－1”型，能还原为长方体； 不能还原为长方体； 即 题型三：长方体的表面积 【例3】一个无盖的长方体玻璃鱼缸，长5dm、宽4dm、高3dm。做这个鱼缸至少需要多少平方分米的玻璃？ 【答案】74平方分米 【分析】因为鱼缸无盖，所以求它的5个面的总面积，根据长方体的表面积公式：表面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2，代入数据，即可解答。 【详解】 （平方分米） 答：做这个鱼缸至少需要74平方分米的玻璃。 【练3】学校手工社团的同学们用废纸板做无盖的长方体包装盒，下面是盒子的展开图。 做这个包装盒至少要用多少平方厘米的废纸板？（接口处忽略不计） 【答案】368平方厘米 【分析】观察展开图，可知长方体的长是16厘米，宽是10厘米，高是4厘米。无盖长方体的表面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，因为无盖，所以少算一个长×宽的顶面面积。把数据代入公式计算即可。 【详解】16×10＋（16×4＋10×4）×2 ＝160＋（64＋40）×2 ＝160＋104×2 ＝160＋208 ＝368（平方厘米） 答：做这个包装盒至少要用368平方厘米的废纸板。 题型四：正方体的表面积 【例4】计算下面图形的表面积。 【答案】294平方厘米 【分析】已知阴影部分的两个面的面积之和是98平方厘米，正方体有6个面，都是正方形，用98除以2求出一个正方形的面积，再乘6，即可算出表面积，据此解答。 【详解】 （平方厘米） 所以图形的表面积是294平方厘米。 【练4】．计算正方体的表面积。 【答案】150cm2 【分析】已知正方体的棱长总和是60cm，根据正方体的棱长＝棱长总和÷12，求出它的棱长；再根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6，求出它的表面积。 【详解】正方体的棱长：60÷12＝5（cm） 正方体的表面积： 5×5×6 ＝25×6 ＝150（cm2） 正方体的表面积是150cm2。 题型五：体积和容积单位的选择 【例5】在（    ）里填上合适的单位。 一台立式空调的体积约是1( )。          一个牛奶盒的容积约是240( )。 一只成人医用口罩的面积约是1.6( )。    数学教科书的长约是26( )。 【答案】 立方米 毫升 平方分米 厘米 【分析】根据生活经验、对体积单位、容积单位、面积单位、长度单位和数据大小的认识，可知计量一台立式空调的体积用“立方米”作单位，计量一个牛奶盒的容积用“毫升“作单位，计量一只成人医用口罩的面积用“平方分米”作单位，计量数学教科书的长用“厘米“作单位。 【详解】一台立式空调的体积约是1立方米。 一个牛奶盒的容积约是240毫升。 一只成人医用口罩的面积约是1.6平方分米。 数学教科书的长约是26厘米。 【练5】在括号里填上适当的单位。 一瓶红药水 约是30（   ）。 微波炉的容积 约是23（   ）。 一桶饮用水的容积 约是18（   ）。 一个水杯的容积 约是350（   ）。 货车上的集装箱的体积 约是40（   ）。 文具盒的体积 约是320（   ）。 【答案】mL；L；L； mL；； 【分析】根据生活常识和对不同容积、体积单位大小的认识，选择合适的单位填空。 【详解】一瓶红药水的量相对较少，结合生活实际，通常用毫升（mL）作为单位，所以一瓶红药水约是30 mL。 微波炉的容积较大，用升（L）作为单位比较合适，所以微波炉的容积约是23L。 一 桶饮用水的量较多，一般用升（L）来计量，所以一桶饮用水的容积约是18L。 一个水杯的容积较小，用毫升（mL）合适，所以一个水杯的容积约是350mL。 货车上集装箱体积很大，立方米（）是计量较大体积的单位，所以货车上集装箱的体积约是40。 文具盒体积相对较小，立方厘米（）是较小体积的常用单位，所以文具盒的体积约是320。 题型六：体积和容积单位的换算 【例6】单位换算。 6L＝( )mL            5200mL＝( )L            ＝( )mL 700mL＝( )L        ＝( )mL            3.4L＝( )mL ＝( )L＝( )mL            896mL＝( )＝( ) 【答案】 6000 5.2 89 0.7 37000 3400 9.06 9060 896 0.896 【分析】立方厘米与毫升是同一级单位，二者互化数值不变；低级单位立方厘米化高级单位立方分米除以进率1000，高级单位立方分米化低级单位立方厘米乘进率1000。 立方分米与升是同一级单位，二者互化数值不变；高级单位升化低级单位毫升乘进率1000，低级单位毫升化高级单位升除以进率1000。 【详解】，所以 ，所以 ，所以 ，，所以 ，所以 ，，所以 ，所以 【练6】单位换算 2.8L=( )mL             900mL=( )L              4.38L=( )mL 760mL=( )L               3.5L=( )            760mL=( )cm3 4.9dm3=( )mL             1200 cm3=( )L            0.5m3=( )L 0.8L=( )mL=( )cm3         0.08m3=( )L=( )dm3 6.2 dm3=( )dm3( )cm3        2.5 dm3=( )L( )mL 【答案】 2800 0.9 4380 0.76 3.5 760 4900 1.2 500 800 800 80 80 6 200 2 500 【分析】立方厘米与毫升是同一级单位，二者互化数值不变；低级单位立方厘米化高级单位立方分米除以进率1000。 立方分米与升是同一级单位，二者互化数值不变；高级单位升化低级单位毫升乘进率1000，低级单位毫升化高级单位升除以进率1000。 高级单位立方米化低级单位立方分米乘进率1000。 【详解】，所以2.8L＝2800mL ， 所以 900mL＝0.9L ，所以4.38L＝4380mL ，所以760mL＝0.76L 3.5L＝3.5 760mL＝760 4.9＝4.9L，，所以4.9＝4900mL 1200＝1200mL ，，所以1200＝1.2L ，0.5＝500，500＝500L，所以0.5＝500L ，所以0.8L＝800mL＝800 ，所以0.08＝80L＝80 ，所以6.2 ＝6200 ，所以 2.5 ＝2L500mL 题型七：长方体的体积 【例7】一个长方体的高增加3厘米，就变成一个正方体，表面积增加96平方厘米，原来长方体的体积是多少立方厘米？ 【答案】 320立方厘米 【分析】一个长方体的高增加3厘米，就变成一个正方体，那么原来长方体的上、下面是正方形即长方体的长和宽相同。高增加3厘米，增加的表面积是一个小长方体的前、后、左、右四个面的面积之和，且增加的4个面每个面的面积相同。先用96除以4计算出增加的每一个面的面积；然后用每一个面的面积除以3就可以计算出原来长方体的长和宽（即后来正方体的棱长）；再用后来正方体棱长减去3即可计算原来长方体的高；最后根据“长方体的体积＝长×宽×高”代入数值计算即可。 【详解】96÷4÷3 ＝24÷3 ＝8（厘米） 8×8×（8－3） ＝8×8×5 ＝64×5 ＝320（立方厘米） 答：原来长方体的体积是320立方厘米。 【点睛】本题关键是确定增加的4个面的面积相同，据此求出后来正方体的棱长，然后通过棱长求原来长方体的高。 【练7】手工课上，海海用橡皮泥捏成了一个长18cm、宽1dm、高12cm的长方体。这个长方体的体积是多少立方厘米？ 【答案】2160立方厘米 【分析】已知海海用橡皮泥捏成了一个长18cm、宽1dm、高12cm的长方体，先把1dm换算成㎝作单位，即，再根据长方体的体积＝长×宽×高，算出这个长方体的体积，据此解答。 【详解】 （立方厘米） 答：这个长方体的体积是2160立方厘米。 题型八：正方体的体积 【例8】计算下面正方体的体积。 【答案】216立方分米 【分析】根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，把数据代入公式即可解答。 【详解】（立方分米） 所以正方体的体积是216立方分米。 【练8】计算正方体的体积。     【答案】729dm3 【分析】正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据解答即可。 【详解】9×9×9 ＝81×9 ＝729（dm3） 正方体的体积是729dm3。 题型九：不规则物体的体积 【例9】要测量一块不规则的岩石标本的体积，实验小组的同学先将2升水倒进一个长方体水箱，然后将岩石标本完全浸没在水中（如下图）。请你仔细观察，计算出岩石标本的体积。 【答案】1250立方厘米 【分析】因为1升＝1000立方厘米，所以2L为2×1000＝2000立方厘米。在倒入2000立方厘米水时，水深8厘米，根据长方体体积公式V＝S×h（S是底面积，h是高），可得水箱底面积为2000÷8＝250平方厘米。放入岩石标本后，水深变为13厘米，水面上升的高度为13－8＝5厘米。上升的这部分水的体积就是岩石标本的体积，根据V＝S×h，把数据代入计算即可得出岩石标本的体积。 【详解】1升＝1000立方厘米 2×1000＝2000（立方厘米） 2000÷8＝250（平方厘米） 13－8＝5（厘米） 250×5＝1250（立方厘米） 答：岩石标本的体积是1250立方厘米。 【练9】求石块的体积。 【答案】240cm3 【分析】由图可知，容器是一个长方体，石块的体积就是水面上升部分的体积。容器的长a＝10cm，宽b＝6cm。水面上升的高度为12－8＝4cm。根据长方体体积公式V＝a×b×h，把数据代入公式即可解答。 【详解】12－8＝4（cm） 10×6×4＝240（cm3） 石块的体积是240cm3。 一、选择题 1．如图是一个正方体的平面展开图，与“1”相对的面的数字是（    ）。 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】正方体的展开图找相对面时，先找同行，同行中间隔1个正方形的是相对面，再找异行，异行中间隔2个正方形的是相对面，据此找出“1”的相对面即可。 【详解】由分析可知： 与“1”相对的面的数字是4。 故答案为：B 2．做一个长方体硬纸箱，求至少需要多少硬纸是求它的（    ），求硬纸箱所占空间有多大是求它的（    ）。 A．体积；底面积 B．表面积；体积 C．底面积；表面积 【答案】B 【分析】表面积是指物体所有面的总面积，体积是指物体所占空间的大小。做一个长方体硬纸箱，需要的硬纸要覆盖长方体的各个面，所以求至少需要多少硬纸，就是求这个长方体所有面的总面积，也就是长方体的表面积。硬纸箱所占空间的大小，就是这个长方体在空间中所占据的量，这就是长方体的体积。 【详解】由分析得：做一个长方体硬纸箱，求至少需要多少硬纸是求它的表面积，求硬纸箱所占空间有多大是求它的体积。 故答案为：B 3．将一个长是9厘米、宽是6厘米、高是3厘米的长方体切成3个体积相等的小长方体，表面积最多可以增加（    ）平方厘米。 A．72 B．324 C．216 D．420 【答案】C 【分析】要使表面积增加得最多，就要平行于长方体最大的面进行切割。长方体的三个面的面积分别为，长×宽：9×6＝54（平方厘米）；长×高：9×3＝27（平方厘米）；宽×高：6×3＝18（平方厘米）。所以最大的面是长×宽的面，面积为54平方厘米。将长方体切成3个体积相等的小长方体，需要切2次，每切一次增加2个面，所以一共增加2×2＝4个面。每个面的面积都是54平方厘米，所以增加的表面积为54×4＝216（平方厘米）。 【详解】9×6＝54（平方厘米） 9×3＝27（平方厘米） 6×3＝18（平方厘米） 54＞27＞18 长方体切成3个体积相等的小长方体，需要切2次，每切一次增加2个面。 2×2＝4（个） 54×4＝216（平方厘米） 表面积最多可以增加216平方厘米。 故答案为：C 4．现有四个长8cm、宽7cm、高2cm的礼盒，用彩纸包在一起，最省包装纸的方法是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】包装物体时，重叠的面越大，表面积减少得越多，就越省包装纸。 已知礼盒长8cm、宽7cm、高2cm，8×7＞8×2＞7×2，所以最大的面的面积是8×7＝56cm2。分别分析每个选项中重叠面的大小，进而确定符合题意答案。 【详解】A．将礼盒沿高堆叠，减少了6个长8cm、宽7cm的面，即减少的面积为8×7×6＝336（cm2）。 B．重叠的面是4个长8cm、宽7cm的面和4个长8cm、高2cm的面，减少的面积为8×7×4＋8×2×4＝224＋64＝288（cm2）。 C．重叠的面是4个宽7cm、高2cm的面和4个长8cm、高2cm的面，减少的面积为7×2×4＋8×2×4＝56＋64＝120（cm2）。 D．重叠的面是6个长8cm、高2cm的面，减少的面积为8×2×6＝96（cm2）。 336＞288＞120＞96 所以选项A中的最省包装纸。 故答案为：A 5．在透明的长方体盒子内放置棱长为1厘米的小正方体，如下图。这个透明的长方体盒子的表面积是（    ）平方厘米。 A．60 B．62 C．11 D．无法确定 【答案】B 【分析】观察题意可知，长是5厘米，宽是3厘米，高是2厘米，根据长方体表面积公式：长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，用（5×3＋5×2＋3×2）×2即可求出长方体盒子的表面积。 【详解】（5×3＋5×2＋3×2）×2 ＝（15＋10＋6）×2 ＝31×2 ＝62（平方厘米） 这个透明的长方体盒子的表面积是62平方厘米。 故答案为：B 【点睛】本题主要考查了长方体的表面积公式的灵活应用，要熟练掌握公式。 6．小刚在实验室做实验时，发现有一个长方体铁块长10cm、宽8cm，高不清楚。旁边刚好有一个长40cm、宽20cm的长方体水槽。于是把铁块放入了水槽中，长方体铁块完全浸没且水没有溢出，水面上升了2cm，则铁块的高是（    ）dm。 A．2 B．1600 C．20 【答案】A 【分析】水面上升的体积就是铁块的体积，长方体水槽的长×宽×水面上升的高度＝铁块的体积，铁块体积÷长÷宽＝高，据此列式计算。注意统一单位。 【详解】40×20×2÷10÷8 ＝1600÷10÷8 ＝20（cm） 20cm＝2dm 铁块的高是2dm。 故答案为：A 7．转化思想是数学中一种重要思想，下面（    ）没有体现转化思想。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】A．图中是对分数的直观表示，只是将拆分为两个的和，属于分数的简单拆分。 B．用排水法求不规则物体（如石块）的体积是把“不规则物体的体积”转化为“排出水的体积”。 C．先通分（将异分母分数转化为同分母分数），再相加，把“异分母分数相加”转化为了“同分母分数相加”。 D．求平行四边形的面积是通过割补法，把求平行四边形的面积转化为求长方形的面积。 【详解】A．图中是对分数的直观表示，只是将拆分为两个的和，没有体现转化思想。 B．用排水法求不规则物体（如石块）的体积是把“不规则物体的体积”转化为“排出水的体积”，体现了转化的思想。 C．是把异分母分数转化为同分母分数了，体现了转化的思想。 D．把求平行四边形的面积转化为求长方形的面积了。体现了转化的思想。 所以没有体现转化思想的是。 故答案为：A 二、填空题 8．长方体的每个面通常是( )形，特殊情况有( )个相对的面是( )形。 【答案】 长方 2 正方 【分析】长方体长长的方方的，有6个面，有三组相对的面完全相同。一般情况下六个面都是长方形，特殊情况时有两个面是正方形，其它四个面都是长方形，并且这四个面完全相同。据此解答。 【详解】长方体的每个面通常是长方形，特殊情况有2个相对的面是正方形。 9．将一个长方体牛奶包装盒展开，再铺平，如下图。 (1)如果A面在下面，那么( )面在上面。 (2)根据上图中的数据，可算出这个包装盒最多能装( )毫升牛奶。 【答案】(1)E (2)240 【分析】（1）在长方体的展开图中，相对的面不相邻，A面与E面相对，所以当A面在下面时，E面在上面。 （2）根据图中的数据可知长方体长为10厘米、宽为6厘米、高为4厘米、利用长方体体积公式＝长×宽×高，计算体积，再根据1立方厘米＝1毫升，将体积换算成毫升为单位即可。 【详解】（1）如果A面在下面，那么E面在上面。 （2）10×6×4 ＝60×4 ＝240（立方厘米） 240立方厘米＝240毫升 根据上图中的数据，可算出这个包装盒最多能装240毫升牛奶。 10．在下面的括号里填上合适的单位。 一个苹果的体积约是120( ) 一个集装箱的体积约为40( ) 一个保温杯的容积约为500( ) 一本新华字典的体积大约是600( ) 【答案】 立方厘米/cm3 立方米/m3 毫升/mL 立方厘米/cm3 【分析】常见的体积单位有立方厘米、立方分米、立方米，1立方厘米相当于一个手指尖的体积，一个粉笔盒的体积接近1立方分米，装29英寸电视机的纸箱的体积大约是1立方米；常见的容积单位有升和毫升，计量液体的体积常用容积单位，一盒牛奶大约是250毫升，一瓶矿泉水大约是500毫升，一桶食用油大约是5升，据此解答。 【详解】联系生活实际可知，一个苹果的体积约是120立方厘米，一个集装箱的体积约为40立方米，一个保温杯的容积约为500毫升，一本新华字典的体积大约是600立方厘米。 11．为迎接“春节”，工人叔叔要在礼堂的四周装上彩灯如图（地面的四边不装）。已知礼堂长40m、宽25m、高10m，则工人叔叔至少需要 m长的彩灯线。 【答案】170 【分析】根据题意可知，地面的四条棱（两条长、两条宽）不计算，那么彩灯线的长度为剩余长方体的棱的组合，需计算四条高（连接上下底面的垂直棱）和天花板的四条边（两条长、两条宽），即总长度＝4×高＋2×长＋2×宽。 【详解】4×10＋2×40＋2×25 ＝40＋80＋50 ＝120＋50 ＝170（m） 因此，工人叔叔至少需要170m长的彩灯线。 12．在（    ）里填上合适的数。 ＝( )                 4040mL＝( )L 1.65L＝( )                       ＝( ) 5600mL＝( )L( )mL              4.08L＝( )L( )mL 【答案】 0.00508 4.04 1650 2.05 5 600 4 80 【分析】1立方分米＝1000立方厘米，1升＝1000毫升，1升＝1000立方厘米，1立方米＝1000立方分米，单位之间的换算，大单位换算成小单位要乘它们之间的进率；小单位换算成大单位要除以它们之间的进率。 【详解】因为，所以； 因为，所以； 因为，所以； 因为，，所以； 因为，，所以； 因为，，所以。 13．一个正方体的棱长总和是60dm，这个正方体的表面积是( )，体积是( )。 【答案】 150 125 【分析】已知一个正方体的棱长总和是60dm，根据正方体棱长＝棱长总和÷12，求出正方体的棱长； 再根据正方体表面积＝棱长×棱长×6，正方体体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据计算求出它的表面积和体积。 【详解】60÷12＝5（dm） 5×5×6＝150（） 5×5×5＝125（） 这个正方体的表面积是150，体积是125。 14．一个无盖的长方体铁皮水箱长2米，宽0.5米，高1.6米。做这个水箱需要( )个面，至少需要( )平方米的铁皮，这个水箱的体积是( )立方米。 【答案】 5 9 1.6 【分析】无盖的长方体，也就是少了一个上面，所以一共5个面；无盖长方体的表面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，长方体的体积＝长×宽×高；据此解答。 【详解】2×0.5＋（2×1.6＋0.5×1.6）×2 ＝1＋（3.2＋0.8）×2 ＝1＋4×2 ＝1＋8 ＝9（平方米） 2×0.5×1.6 ＝1×1.6 ＝1.6（立方米） 做这个水箱需要5个面，至少需要9平方米的铁皮，这个水箱的体积是1.6立方米。 15．乐乐用一张正方形纸剪成一个“十”字形图案，它可折叠成一个无盖的正方体纸盒，如图所示。 ①“十”字形图案的面积是原正方形面积的。 ②原正方形纸的边长是15cm，则折成的无盖纸盒的体积是（    ）cm3。 【答案】① ②125 【分析】①观察图形可知，把原正方形平均分成了9份，“十”字形图案占5份，求一个数是另一个数的几分之几，用这个数除以另一个数解答，列式为5÷9； ②原正方形纸的边长是15cm，因为“十”字形图案可折看成无盖正方体纸盒，从图形可知原正方形边长是无盖正方体纸盒棱长的3倍。所以无盖纸盒的棱长为15÷3＝5（cm），根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长列式计算即可求出折成的无盖纸盒的体积。 【详解】①5÷9＝ 所以“十”字形图案的面积是原正方形面积的。 ②15÷3＝5（cm） 5×5×5 ＝25×5 ＝125（） 所以折成的无盖纸盒的体积是125。 16．用8个完全相同的小正方体拼成一个大正方体，表面积减少了96，这种小正方体一个面的面积是( )；这个大正方体的表面积是( )，体积是( )。 【答案】 4 96 64 【分析】用8个小正方体摆成一个大正方体，那就是上下各4个小正方体，拼成之后会减少24个小正方形的面积，根据题意这24个小方形的面积即是96，据此可求出一个小正方形的面积。根据小正方形面积，可求出小正方体的棱长。根据小正方体的棱长可求出大正方体的棱长。根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6，求出这个大正方体的表面积。根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，可求这个大正方体的体积。 【详解】小正方体一个面的面积为：96÷24＝4（） 因为4＝ 所以每个小正方形的边长为2厘米，即每个小正方体的棱长为2cm 上下各4个小正方体，则大正方体的棱长为：2×2＝4（cm） 大正方体的表面积为： 4×4×6 ＝16×6 ＝96（） 大正方体的体积为： 4×4×4 ＝16×4 ＝64（） 这种小正方体一个面的面积是4；这个大正方体的表面积是96，体积是64。 17．下图中1个苹果的体积为( )。 【答案】300 【分析】由图可知，先算8个柿子的体积＝长×宽×（），再求一个柿子的体积＝8个柿子的体积÷8，最后用1个苹果和1个柿子的总体积减去1个柿子的体积可求得1个苹果的体积。 【详解】 （立方厘米） （立方厘米） （立方厘米） 所以1个苹果的体积是300立方厘米。 三、判断题 18．小明感冒了，需要输150毫升的药水。( ) 【答案】√ 【分析】根据题干，小明需要输150毫升的药水。1升＝1000毫升。药水的剂量通常较小，150毫升符合实际用药量的范围，因此单位使用正确。 【详解】药水的剂量一般较小，常用毫升作为单位。150毫升属于合理范围，因此题干描述正确。 故答案为：√ 19．一个水瓶最多可装水500mL，我们就说这个水瓶的容积是500mL。( ) 【答案】 √ 【分析】根据容积的定义，容器所能容纳物体的最大体积称为容积。题目中水瓶最多装水500mL，即容纳液体的最大体积，因此属于容积的范畴。 【详解】容积是指容器内部所能容纳物体的最大体积，题目中水瓶最多可装500mL的水，说明其内部空间的最大容量为500mL，因此该水瓶的容积是500mL。 故答案为：√ 四、计算题 20．计算下面图形的体积。 【答案】27；1280 【分析】正方体的棱长为3cm，运用公式“正方体的体积＝棱长×棱长×棱长”进行计算即可；长方体的体积＝长×宽×高，此题中已知长方体的底面积为64，高为20cm，使用公式“长方体的体积＝底面积×高”进行计算即可。 【详解】正方体体积： 长方体体积： 21．计算下面图形的表面积和体积。 表面积： 体积： 【答案】表面积150dm2；体积125dm3 【分析】已知正方体的棱长是5dm，根据正方体的表面积公式S＝6a2，正方体的体积公式V＝a3，代入数据计算，求出它的表面积和体积。 【详解】表面积： 5×5×6 ＝25×6 ＝150（dm2） 5×5×5 ＝25×5 ＝125（dm3） 正方体的表面积是150dm2，体积是125dm3。 五、解答题 22．张大爷家修建一个长2.5米，宽1.8米，高1.6米的长方体蓄水池。 （1）在蓄水池里面的内壁和底部贴上瓷砖，需要多少平方米的瓷砖？（贴瓷砖的厚度不计） （2）这个蓄水池能够蓄水多少立方米？ 【答案】（1）18.26平方米 （2）7.2立方米 【分析】（1）要计算蓄水池内壁和底部贴瓷砖的面积，需分别算出底部面积与四周内壁面积，再求和。底部是长2.5米、宽1.8米的长方形，面积用长×宽计算；四周内壁包括两个长为2.5米、高为1.6米的面，以及两个宽为1.8米、高为1.6米的面，面积分别用长×高、宽×高计算，最后把底部和四周内壁面积相加。 （2）求蓄水池的蓄水量，就是求这个长方体蓄水池的容积，根据长方体体积公式，用长×宽×高来计算，长2.5米、宽1.8米、高1.6米，三者相乘可得容积，即蓄水量。 【详解】（1）2.5×1.8＋2.5×1.6×2＋1.8×1.6×2 ＝4.5＋4×2＋2.88×2 ＝4.5＋8＋5.76 ＝12.5＋5.76 ＝18.26（平方米） 答：需要18.26平方米的瓷砖。 （2）2.5×1.8×1.6 ＝4.5×1.6 ＝7.2（立方米） 答：这个蓄水池能够蓄水7.2立方米。 23．王叔叔用一张长20分米、宽18分米的长方形铁皮制作一个长方体收纳盒，他先在铁皮的四周各剪去一个边长为4分米的正方形，然后把四周折起，焊接成一个无盖的长方体，这个收纳盒的容积是多少升？（铁皮厚度忽略不计） 【答案】480升 【分析】已知长方形铁皮长20分米、宽18分米，在四周各剪去一个边长为4分米的正方形，折成无盖长方体后，长方体收纳盒的高＝剪去的正方形的边长； 长方体收纳盒的长＝长方形铁皮的长－两个正方形的边长； 长方体收纳盒的宽＝长方形铁皮的宽－两个正方形的边长； 再根据长方体容积公式：容积＝长×宽×高，代入数据计算出这个收纳盒的容积，注意结果根据1升＝1立方分米进行换算。 【详解】收纳盒的长为：20－4×2＝20－8＝12（分米） 收纳盒的宽为：18－4×2＝18－8＝10（分米） 收纳盒的高为4分米。 收纳盒的容积为：12×10×4＝120×4＝480（立方分米） 480立方分米＝480升 答：这个收纳盒的容积是480升。 24．如下图（单位：cm），某广场上有20根这样的柱子，给每根柱子的四周和最上面贴上瓷砖。若每平方米瓷砖100元，则给这些柱子贴瓷砖一共要花多少钱？ 【答案】4380元 【分析】根据题意可知，要给每根柱子的四周和最上面贴上瓷砖，即一根柱子贴瓷砖的面积＝下面长方体侧面积＋上面长方体侧面积＋最上面的面积，再用贴瓷砖的面积乘20求出20根柱子的贴瓷砖的面积，最后乘100即可，注意单位的换算。 【详解】 （平方厘米） （元） 答：这些柱子贴瓷砖一共要花4380元。 25．为了测量一个土豆的体积，乐乐设计了下面的试验步骤，但顺序被打乱了。 ①列式计算土豆的体积。②拿一个长方体无盖塑料罐，底面积为48平方厘米，高为30厘米。③将土豆浸没，量出水面高度为22厘米。④倒入适量的水，量出水面高度为15厘米。 （1）试验步骤的先后顺序应该是（    ）→（    ）→（    ）→（    ）。（填序号） （2）这个土豆的体积是多少立方厘米？ 【答案】 （1）②→④→③→①； （2）336立方厘米 【分析】（1）试验步骤应为：准备容器→倒入水→放入土豆→计算体积。据此解答。 （2）土豆的体积等于上升的水的体积，即长方体的底面积乘上升的水的高度。 【详解】（1）试验步骤的先后顺序应该是②→④→③→①。 （2） （立方厘米） 答：这个土豆的体积是336立方厘米。 26．如图①，一个棱长为6cm的正方体，从前面的中心向后面挖去一个长方体（向后面全部挖空），前面的孔是一个边长为2cm的正方形，图①剩余部分的体积是多少？如果像图②这样从前面和上面的中心各向对面挖一个这样的孔道，那么图②剩余部分的体积是多少？ 【答案】192立方厘米；176立方厘米 【分析】题图①中挖掉的是一个宽和高为2cm、长为6cm的长方体，用正方体的体积减去挖掉的长方体的体积即可。求题图②中剩余部分的体积，可以先计算两条孔道的体积，每条孔道的体积都是（cm³），两条孔道的体积之和是（cm³）。但两条孔道相交的地方是一个体积为（cm³）的正方体，且这个正方体总共被计算了2次，实际只计算1次就可以，因此两条孔道的实际总体积为（cm³）。最后用正方体的体积减去两条孔道的实际总体积即可。 【详解】 （立方厘米） （立方厘米） （立方厘米） 答：图①剩余部分的体积是192立方厘米；图②剩余部分的体积是176立方厘米。 【点睛】本题需利用正方体和长方体的体积公式，通过正方体体积减去挖去部分的体积来求解剩余部分体积。 27．小恒想做一个封套，把《中华上下五千年》的三册书（尺寸完全相同）都装进去。做这个封套需要多少平方厘米的纸板？（纸板厚度及接缝忽略不计） 【答案】 848平方厘米 【分析】根据题意可知：要求封套的面积即求三册书形成的长方体的表面积（除去前面，5个面的面积之和），先求出长方体的高为厘米，长为20厘米，宽为14厘米，代入计算公式计算即可，据此解答。 【详解】（厘米） （平方厘米） 答：做这个封套需要848平方厘米的纸板。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七单元 长方体和正方体单元知识清单讲义 知识点一：长方体和正方体的认识 1. 长方体的认识 （1） 长方体的特征 面 ：长方体有6个面，每个面都是长方形（特殊情况下有两个相对的面是正方形），相对的面完全相同。 棱 ：长方体有12条棱，相对的4条棱长度相等，可以分为长、宽、高三组。 顶点 ：长方体有8个顶点。 （2） 长方体的长、宽、高 相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高 。 应用场景 ：认识生活中的长方体物品，如书本、纸箱、教室等。 2. 正方体的认识 （1）正方体的特征 面 ：正方体有6个面，每个面都是正方形，6个面完全相同。 棱 ：正方体有12条棱，12条棱的长度都相等。 顶点 ：正方体有8个顶点。 （2）正方体与长方体的关系 正方体是特殊的长方体 ，是长、宽、高都相等的长方体。 关系图 ： 应用场景 ：认识生活中的正方体物品，如魔方、骰子、正方体盒子等。 3.长方体和正方体的关系 知识点二：长方体和正方体的表面积 1.长方体和正方体的展开图 （1）展开图的概念 将长方体或正方体沿着某些棱剪开，展开后得到的平面图形叫做它的展开图 。 （2）展开图的特点 长方体展开图 ：由6个长方形组成（特殊情况下有2个正方形） 正方体展开图 ：由6个相同的正方形组成，展开方式有11种 （3）常见正方体展开图类型 ： "1-4-1"型（上下各1个，中间4个） "2-3-1"型 "2-2-2"型 "3-3"型 2.长方体和正方体的表面积 （1）表面积的概念 长方体或正方体6个面的总面积 ，叫做它的表面积。 （2）长方体的表面积 公式 ：长方体的表面积 = 长×宽×2 + 长×高×2 + 宽×高×2 = (长×宽 + 长×高 + 宽×高) × 2 简写 ：S表 = 2(ab + ah + bh)（其中a表示长，b表示宽，h表示高） （3）正方体的表面积 公式 ：正方体的表面积 = 棱长×棱长×6 简写 ：S表 = 6a²（其中a表示棱长） 4. 特殊情况的表面积 ①无盖的长方体 （如鱼缸）：少算一个面（通常是上面） 表面积=长×宽+ (长×高 + 宽×高)×2 ②通风管 （只算侧面）：只算4个侧面 侧面积 = (长×高 + 宽×高) × 2 ③相邻两个面涂色 ：只算需要涂色的面 应用场景 ：计算粉刷墙壁面积、包装盒用纸、制作铁皮水桶等实际问题。 知识点三：体积和体积单位 1. 体积的概念 物体所占空间的大小 叫做物体的体积。 2. 常用的体积单位 立方米 （m³）：测量较大物体的体积 立方分米 （dm³）：测量中等物体的体积 立方厘米 （cm³）：测量较小物体的体积 3. 体积单位之间的进率 1立方米 = 1000立方分米 1立方分米 = 1000立方厘米 1立方米 = 1000000立方厘米 记忆方法 ：相邻两个体积单位之间的进率是1000 （长度单位进率10的3次方） 4. 体积单位换算方法 大单位→小单位 ：乘以进率 例：3.5 m³ = 3.5 × 1000 = 3500 dm³ 小单位→大单位 ：除以进率 例：4500 cm³ = 4500 ÷ 1000 = 4.5 dm³ 应用场景 ：测量和比较物体体积的大小。 知识点四 ：容积和容积单位 1. 容积的概念：容器所能容纳物体的体积 叫做容器的容积。 2. 体积与容积的区别 比较项 体积 容积 概念 物体所占空间的大小 容器能容纳物体的体积 测量方法 从外部测量 从内部测量 大小关系 同一容器，体积＞容积 3. 常用的容积单位 升 （L）：1升 = 1立方分米 毫升 （mL）：1毫升 = 1立方厘米 4. 容积单位之间的进率 1升 = 1000毫升 1升 = 1立方分米 1毫升 = 1立方厘米 5. 容积的计算方法 容器的容积计算方法与体积相同，但要从容器内部测量长、宽、高 。 应用场景 ：计算水箱、油桶、游泳池等容器的容积。 知识点五 ：长方体和正方体的体积 1. 长方体的体积 公式一 ：长方体的体积 = 长 × 宽 × 高 简写 ：V = abh 公式二 ：长方体的体积 = 底面积 × 高 简写 ：V = Sh（S表示底面积，h表示高） 2. 正方体的体积 公式 ：正方体的体积 = 棱长 × 棱长 × 棱长 简写 ：V = a³ 3. 体积计算的统一公式 长方体和正方体的体积 = 底面积 × 高 这个公式适用于所有的长方体和正方体。 应用场景 ：计算物体的体积、容器能装多少东西等。 知识点六 ：测量不规则物体的体积 1. 不规则物体的概念 形状不规则、无法直接用公式计算体积的物体，如石头、土豆、玩具等。 2. 测量方法——排水法（浸没法） 原理 ：物体浸没在水中，会排开一部分水，排开水的体积就等于物体的体积 。 方法一：上升水的体积法 步骤 ： 在容器中装入适量的水，测量并记录水面的高度h₁；将不规则物体完全浸没在水中；测量并记录此时水面的高度h₂；计算：物体体积 = 容器底面积 × (h₂ - h₁)。 公式 ：V物体 = S底 × (h₂ - h₁) = V上升的水 物体体积 = 底面积 × (h₂ - h₁) 方法二：溢出水的体积法 步骤 ： 在容器中装满水；将不规则物体完全浸没在水中；用另一个容器接住溢出的水；测量溢出水的体积，即为物体的体积。 公式 ：V物体 = V溢出的水 物体体积 = 溢出水的体积 3. 实际应用 测量石头、土豆等不规则物体的体积；测量形状复杂的零件体积；验证物体的密度。 应用场景 ：解决生活中无法直接测量的不规则物体体积问题。 题型一：长方体和正方体的认识 【例1】 填一填。 (1)图( )是正方体，它有( )个完全相同的面，每个面都是( )形，其中一个面的面积是( ) 。 (2)图( )是有且仅有4个面相同的( )体，这4个面的面积都是( ) 。 【练1】同学们正在用一些小棒和橡皮泥拼搭长方体框架。 (1)如图所示的是小宇已经拼搭好的部分，他还需要( )个橡皮泥小球、( )根9cm长的小棒、( )根6cm长的小棒、( )根4cm长的小棒，就可以拼搭成一个长( )cm、宽( )cm、高( )cm的长方体框架。 (2)长方体框架上面是( )形，长是( )cm，宽是( )cm。 (3)长方体框架( )面和( )面的长方形的长是6cm，宽是4cm。 题型二：长方体和正方体的展开图 【例2】有4个正方体，其展开图分别如下图所示。只有当动物和它喜欢的食物在正方体的相对面上时，它才能吃到喜欢的食物。想一想，正方体( )中的动物可以吃到它喜欢的食物。（填序号） 【练2】下面图形沿虚线折叠后能围成长方体的画“√”。 （  ）             （    ）         （   ） （    ）             （   ）         （    ）             题型三：长方体的表面积 【例3】一个无盖的长方体玻璃鱼缸，长5dm、宽4dm、高3dm。做这个鱼缸至少需要多少平方分米的玻璃？ 【练3】学校手工社团的同学们用废纸板做无盖的长方体包装盒，下面是盒子的展开图。 做这个包装盒至少要用多少平方厘米的废纸板？（接口处忽略不计） 题型四：正方体的表面积 【例4】计算下面图形的表面积。 【练4】．计算正方体的表面积。 题型五：体积和容积单位的选择 【例5】在（    ）里填上合适的单位。 一台立式空调的体积约是1( )。          一个牛奶盒的容积约是240( )。 一只成人医用口罩的面积约是1.6( )。    数学教科书的长约是26( )。 【练5】在括号里填上适当的单位。 一瓶红药水 约是30（   ）。 微波炉的容积 约是23（   ）。 一桶饮用水的容积 约是18（   ）。 一个水杯的容积 约是350（   ）。 货车上的集装箱的体积 约是40（   ）。 文具盒的体积 约是320（   ）。 题型六：体积和容积单位的换算 【例6】单位换算。 6L＝( )mL            5200mL＝( )L            ＝( )mL 700mL＝( )L        ＝( )mL            3.4L＝( )mL ＝( )L＝( )mL            896mL＝( )＝( ) 【练6】单位换算 2.8L=( )mL             900mL=( )L              4.38L=( )mL 760mL=( )L               3.5L=( )            760mL=( )cm3 4.9dm3=( )mL             1200 cm3=( )L            0.5m3=( )L 0.8L=( )mL=( )cm3         0.08m3=( )L=( )dm3 6.2 dm3=( )dm3( )cm3        2.5 dm3=( )L( )mL 题型七：长方体的体积 【例7】一个长方体的高增加3厘米，就变成一个正方体，表面积增加96平方厘米，原来长方体的体积是多少立方厘米？ 【练7】手工课上，海海用橡皮泥捏成了一个长18cm、宽1dm、高12cm的长方体。这个长方体的体积是多少立方厘米？ 题型八：正方体的体积 【例8】计算下面正方体的体积。 【练8】计算正方体的体积。     题型九：不规则物体的体积 【例9】要测量一块不规则的岩石标本的体积，实验小组的同学先将2升水倒进一个长方体水箱，然后将岩石标本完全浸没在水中（如下图）。请你仔细观察，计算出岩石标本的体积。 【练9】求石块的体积。 一、选择题 1．如图是一个正方体的平面展开图，与“1”相对的面的数字是（    ）。 A．3 B．4 C．5 D．6 2．做一个长方体硬纸箱，求至少需要多少硬纸是求它的（    ），求硬纸箱所占空间有多大是求它的（    ）。 A．体积；底面积 B．表面积；体积 C．底面积；表面积 3．将一个长是9厘米、宽是6厘米、高是3厘米的长方体切成3个体积相等的小长方体，表面积最多可以增加（    ）平方厘米。 A．72 B．324 C．216 D．420 4．现有四个长8cm、宽7cm、高2cm的礼盒，用彩纸包在一起，最省包装纸的方法是（    ）。 A． B． C． D． 5．在透明的长方体盒子内放置棱长为1厘米的小正方体，如下图。这个透明的长方体盒子的表面积是（    ）平方厘米。 A．60 B．62 C．11 D．无法确定 6．小刚在实验室做实验时，发现有一个长方体铁块长10cm、宽8cm，高不清楚。旁边刚好有一个长40cm、宽20cm的长方体水槽。于是把铁块放入了水槽中，长方体铁块完全浸没且水没有溢出，水面上升了2cm，则铁块的高是（    ）dm。 A．2 B．1600 C．20 7．转化思想是数学中一种重要思想，下面（    ）没有体现转化思想。 A． B． C． D． 二、填空题 8．长方体的每个面通常是( )形，特殊情况有( )个相对的面是( )形。 9．将一个长方体牛奶包装盒展开，再铺平，如下图。 (1)如果A面在下面，那么( )面在上面。 (2)根据上图中的数据，可算出这个包装盒最多能装( )毫升牛奶。 10．在下面的括号里填上合适的单位。 一个苹果的体积约是120( ) 一个集装箱的体积约为40( ) 一个保温杯的容积约为500( ) 一本新华字典的体积大约是600( ) 11．为迎接“春节”，工人叔叔要在礼堂的四周装上彩灯如图（地面的四边不装）。已知礼堂长40m、宽25m、高10m，则工人叔叔至少需要 m长的彩灯线。 12．在（    ）里填上合适的数。 ＝( )                 4040mL＝( )L 1.65L＝( )                       ＝( ) 5600mL＝( )L( )mL              4.08L＝( )L( )mL 13．一个正方体的棱长总和是60dm，这个正方体的表面积是( )，体积是( )。 14．一个无盖的长方体铁皮水箱长2米，宽0.5米，高1.6米。做这个水箱需要( )个面，至少需要( )平方米的铁皮，这个水箱的体积是( )立方米。 15．乐乐用一张正方形纸剪成一个“十”字形图案，它可折叠成一个无盖的正方体纸盒，如图所示。 ①“十”字形图案的面积是原正方形面积的。 ②原正方形纸的边长是15cm，则折成的无盖纸盒的体积是（    ）cm3。 16．用8个完全相同的小正方体拼成一个大正方体，表面积减少了96，这种小正方体一个面的面积是( )；这个大正方体的表面积是( )，体积是( )。 17．下图中1个苹果的体积为( )。 三、判断题 18．小明感冒了，需要输150毫升的药水。( ) 19．一个水瓶最多可装水500mL，我们就说这个水瓶的容积是500mL。( ) 四、计算题 20．计算下面图形的体积。 21．计算下面图形的表面积和体积。 表面积： 体积： 五、解答题 22．张大爷家修建一个长2.5米，宽1.8米，高1.6米的长方体蓄水池。 （1）在蓄水池里面的内壁和底部贴上瓷砖，需要多少平方米的瓷砖？（贴瓷砖的厚度不计） （2）这个蓄水池能够蓄水多少立方米？ 23．王叔叔用一张长20分米、宽18分米的长方形铁皮制作一个长方体收纳盒，他先在铁皮的四周各剪去一个边长为4分米的正方形，然后把四周折起，焊接成一个无盖的长方体，这个收纳盒的容积是多少升？（铁皮厚度忽略不计） 24．如下图（单位：cm），某广场上有20根这样的柱子，给每根柱子的四周和最上面贴上瓷砖。若每平方米瓷砖100元，则给这些柱子贴瓷砖一共要花多少钱？ 25．为了测量一个土豆的体积，乐乐设计了下面的试验步骤，但顺序被打乱了。 ①列式计算土豆的体积。②拿一个长方体无盖塑料罐，底面积为48平方厘米，高为30厘米。③将土豆浸没，量出水面高度为22厘米。④倒入适量的水，量出水面高度为15厘米。 （1）试验步骤的先后顺序应该是（    ）→（    ）→（    ）→（    ）。（填序号） （2）这个土豆的体积是多少立方厘米？ 26．如图①，一个棱长为6cm的正方体，从前面的中心向后面挖去一个长方体（向后面全部挖空），前面的孔是一个边长为2cm的正方形，图①剩余部分的体积是多少？如果像图②这样从前面和上面的中心各向对面挖一个这样的孔道，那么图②剩余部分的体积是多少？ 27．小恒想做一个封套，把《中华上下五千年》的三册书（尺寸完全相同）都装进去。做这个封套需要多少平方厘米的纸板？（纸板厚度及接缝忽略不计） 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $