专题 8.1 平方根（知识梳理 + 题型精析 +中考真题）- 2025-2026学年人教版七年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 8.1 平方根（知识梳理 + 题型精析 +中考真题） 目录 一.知识梳理与题型精析 1 【知识点一】平方根与开平方 1 【题型 1】平方根概念的理解 2 【题型 2】求一个数的平方根 3 【题型 3】根据平方根定义解方程 5 【知识点二】平方根的性质 8 【题型 4】求一个数的平方根 8 【知识点三】算术平方根 10 【题型 5】平方根与算术平方根的辨析 10 【题型 6】算术平方根的非负性 12 【题型 7】平方根与算术平方根的实际应用 15 【题型 8】平方根与算术平方根的规律探究 18 二.中考真题 21 （一）选择题（6题） 21 （二）填空题（6题） 23 （三）解答题（1题） 24 一.知识梳理与题型精析 【题号】前带★表示基础题，带★★表示综合题，带★★★表示培优题 【知识点一】平方根与开平方 （1）平方根：一般地，如果一个数的平方等于，即，那么这个数叫作的平方根或二次方根. （2）开平方：求一个数的平方根的运算，叫作开平方. 【题型 1】平方根概念的理解 ★【例题1】（根据人教版七下第41页练习第1题改编）（25-26七年级上·山东烟台·期末）若实数x没有平方根，则x可以是（   ） A． B．0 C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查平方根的定义，掌握平方根的定义是解决本题的关键． 依据“负数没有平方根，0的平方根是0，正数有两个平方根”的性质，找出选项中的负数即可求解． 解：∵负数没有平方根，0的平方根是0，正数有两个平方根， ∴要找没有平方根的实数，需选择负数， 选项中只有是负数， 故选A． ★【变式1】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列说法错误的是（    ） A．4是16的一个平方根 B．81的平方根是 C．－7是49的一个平方根 D．49的平方根是7 【答案】D 【分析】本题考查平方根的概念，解题的关键是熟练掌握平方根的定义． 利用平方根的概念，正数的平方根有两个，互为相反数，逐一判断即可. A、∵ ，∴ 是的一个平方根，说法正确，不符合题意； B、∵ 且，∴ 的平方根是，说法正确，不符合题意； C、∵ ，∴ 是的一个平方根，说法正确，不符合题意； D、∵ ，，∴ 的平方根是，说法错误，符合题意． 故选：D． ★【变式2】（25-26八年级上·河北唐山·期中）下列说法正确的是（　　） A．的平方根是 B．的平方根是 C．1是1的平方根 D．1的平方根是1 【答案】C 【分析】本题考查了平方根的定义，解题的关键是明确负数没有平方根，一个正数的平方根有两个且互为相反数． 解：A、负数没有平方根，无平方根，此选项不符合题意； B、，的平方根是，此选项不符合题意； C、，故是的平方根，此选项符合题意； D、的平方根是，此选项不符合题意． 故选：C． ★【变式3】（24-25七年级下·全国·课后作业）判断题． (1)1的平方根是1； (2)的平方根是； (3)是的一个平方根； (4)0的平方根是0． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了平方根的概念．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．则，根据平方根定义逐项进行判断即可． （1）解：1的平方根是，故错误； （2）解：是负数，没有平方根，故错误。 （3）解：∵， ∴是的一个平方根，正确。 （4）解：0的平方根是0，正确． 【题型 2】求一个数的平方根 ★【例题2】（根据人教版七下第41页练习第2题改编）（24-25七年级下·湖南长沙·期中）新修订的教科书对于数与式的运算过程和格式进行了很好的示范，例如求64的平方根 解：， 的平方根是． 请你按照上述格式求出下列各数的平方根 (1)100； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了平方根． （1）根据计算即可； （2）根据计算即可；（3）根据计算即可． （1）解：∵， ∴100的平方根是； （2）解：∵， ∴的平方根是； （3）解：∵， ∴的平方根是． ★【变式1】（23-24八年级·全国·假期作业）求下列各数的平方根： (1)100； (2)64； (3)； (4)1.21． 【答案】(1)±10 (2)±8 (3) (4)±1.1 【分析】（1）根据计算即可．（2）根据计算即可． （3）根据计算即可．（4）根据计算即可． （1）∵， ∴100的平方根是±10． （2）∵， ∴64的平方根是±8． （3）∵ ∴的平方根是． （4）∵， ∴1．21的平方根是±1．1． 【点睛】本题考查了平方根即如果（a是非负数），则称x是a的平方根，正确理解平方根的意义是解题的关键． ★【变式2】（23-24八年级上·山东济南·月考）求下列各数的平方根 (1)49； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了平方根，负整数指数幂，熟练掌握平方根的意义是解题的关键． （1）（2）（3）根据平方根的定义求解即可． （1）解：∵，， ∴49的平方根是； （2）解：∵，， ∴的平方根是； （3）解：∵，， ∴的平方根是． ★【变式3】（24-25七年级下·全国·课后作业）求下列各数的平方根： (1)64； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了平方根．解题关键是掌握平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．根据平方根的定义计算即可． （1）由可得答案； （2）由可得答案； （3）由可得答案； （1）解：， ∴的平方根是； （2）解：∵， ∴的平方根是； （3）解：∵， ∴的平方根是； 【题型 3】根据平方根定义解方程 ★【例题3】（根据人教版七下第41页练习第3题改编）（24-25七年级下·内蒙古呼和浩特·月考）求下列各式中x的值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)或 (2)或 (3)或 【分析】本题主要考查了平方根解方程，掌握平方根的计算是关键． （1）（2）（3）根据平方根的计算求方程的解即可． （1）解：， ∵， ∴或； （2）解： 系数化为1得，， ∵， ∴或； （3）解：， ∵， ∴或， 解得，或． ★【变式1】（25-26八年级上·河北邢台·月考）若，则 ． 【答案】或 【分析】此题考查了利用平方根解方程，通过化简方程，利用平方根求解即可． 整理得， ∴ ∴ ∴ 解得或． 故答案为：或． ★【变式2】（23-24九年级上·江西新余·月考）若，则的值为（ ） A． B．或 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了非负数的性质和代数式求值，正确进行开方是解题的关键．先对进行开方，得到，再根据的非负性，即可得出结论． ， ， 或， 不论、为何值，， ， 故选． ★【变式3】（24-25八年级上·全国·课后作业）求下列各式中x的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)或 【分析】（1）根据平方根的定义求解即可；（2）（3）（4）变形后根据平方根的定义求解即可． （1）解： . （2）解： . （3）解： . （4）解： 或. 【点睛】本题考查平方根的定义解方程问题，掌握平方根定义进行开平方是解题的关键。 【知识点二】平方根的性质 （1） 平方根的性质：正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根为零；负数没有平方根. （2） 平方根的表示方法：正数的正的平方根记为：，读作“根号”，叫作被开方数；正数的负的平方根可以用表示，故正数的平方根可以用“”表示，读作“正、负根号”. 特别说明：只有当大于或等于0时，有意义；而当小于0时，没有意义. 【题型 4】求一个数的平方根 ★【例题4】（24-25七年级下·内蒙古乌兰察布·期末）已知一个正数的平方根是与， (1)求a的值和这个正数 (2)求的平方根 【答案】(1)，这个正数是100 (2) 【分析】本题考查了平方根的性质，解题的关键是利用正数的两个平方根互为相反数的性质列方程求解． （1）根据正数的两个平方根互为相反数，列方程求的值；再将代入平方根表达式，平方后得到这个正数； （2）先计算的值，再求其平方根． （1）解：∵正数的两个平方根互为相反数， ∴， 解得． 则这个正数的平方根为与， ∴这个正数为． 答：的值为，这个正数为． （2）解：当时，， ∵的平方根为， ∴的平方根为． 答：的平方根为． ★【变式1】（24-25七年级下·全国·课后作业）若，则的平方根是（    ） A． B． C．或 D．1或3 【答案】C 【分析】本题主要考查了平方根的概念，熟知如果一个数的平方等于，那么这个数就叫的平方根是解题的关键． 由 可得 x 的值，代入 求值，再求其平方根. 解：∵ ， ∴ . 当时，，的平方根为； 当时，，的平方根为. ∴的平方根是或. 故选：C． ★【变式2】（25-26八年级下·全国·单元测试）已知，则的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查算术平方根和绝对值的非负性．算术平方根和绝对值都大于等于零，它们的和为零则每个都为零，从而求出和的值，再计算的平方根． 解：∵，，且， ∴，， 解得，， 则， 其平方根为±． ★【变式3】（25-26八年级上·江西鹰潭·月考）已知和是实数的两个不同的平方根． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查的是平方根，正数的平方根有两个，且互为相反数．掌握正数的平方根互为相反数是解题的关键． （1）利用正数的平方根有两个，且互为相反数列出方程，求出方程的解，即可求解； （2）先求出的值，利用平方根的定义即可求解． （1）解：由题意得，， 解得， ． （2）解：， ． 的平方根为， 的平方根为． 【知识点三】算术平方根 正数有两个平方根，其中正的平方根叫作的算术平方根.正数的算术平方根用来表示 规定:0的算术平方根是0.0的算术平方根也记为. 【题型 5】平方根与算术平方根的辨析 ★★【例题5】（25-26八年级上·四川宜宾·月考）下列说法错误的是（    ）． A．是4的平方根 B．的算术平方根是 C．的算术平方根是 D．7是的算术平方根 【答案】C 【分析】本题考查平方根和算术平方根的定义，掌握好相关知识是解题关键． 根据平方根和算术平方根的定义，逐项判断正误． 解：对于A：， 因此是4的平方根，故A正确； 对于B： ， 因此的算术平方根是，故B正确； 对于C： ， 因此的算术平方根不是，故C错误； 对于D： ， 且，因此7是49的算术平方根，故D正确． 故选：C． ★★【变式1】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）下列说法： ①是5的一个平方根； ②的算术平方根是－3； ③的平方根是； ④0的平方根是0． 其中错误说法的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了求一个数的平方根和算术平方根，解题的关键是熟练掌握求一个数的平方根和算术平方根的定义． 逐一分析各说法是否正确，结合平方根和算术平方根的定义进行判断． 解：说法①：是5的一个平方根； 平方根的定义：若，则是的平方根，5的平方根为，其中是正的平方根（即算术平方根），因此，确实是5的一个平方根，①正确，不符合题意； 说法②：的算术平方根是； 计算，其算术平方根为（算术平方根非负），题目中结果为，显然错误，②错误，符合题意； 说法③：的平方根是； 先计算，再求2的平方根为，题目中结果为，与不符，③错误，符合题意； 说法④：0的平方根是0； 根据定义，0的平方根仅有0本身，④正确，不符合题意； 综上，错误的说法为②和③，共2个， 故选：B． ★★【变式2】（24-25七年级下·河南开封·期中）下列说法中，错误的是（   ） A．5是25的算术平方根 B．的平方根是 C．0的平方根与算术平方根都是0 D．的平方根是 【答案】D 【分析】本题主要考查平方根，算术平方根的性质及计算方法，掌握以上知识是解题的关键． 根据平方根和算术平方根的性质，逐一分析选项． 解：A. 25的算术平方根是5，正确． B. ，9的平方根是，正确． C. 0的平方根和算术平方根均为0，正确． D. ，16的平方根是，但选项仅指出，错误． 故选：D． ★★【变式3】（24-25七年级下·全国·期中）学完平方根后，老师布置了4道填空题，下面是嘉嘉的完成情况：①0的平方根是0；②16的平方根是；③9的算术平方根是3；④的平方根是．嘉嘉做对了几道题（   ） A．1道 B．2道 C．3道 D．4道 【答案】C 【分析】本题主要考查了算术平方根、平方根等知识点，熟练掌握其定义是解题的关键． 根据算术平方根及平方根的定义逐个判断，然后再统计即可． 解：①根据平方根的定义，0的平方根只有0，故①正确； ②平方根包括正负两个值，16的平方根是，故②正确； ③算术平方根为非负数，9的算术平方根为，故③正确； ④由，5的平方根应为，而非，故④错误； 综上，嘉嘉做对了①、②、③，共3道题． 故选：C． 【题型 6】算术平方根的非负性 ★★【例题6】（25-26七年级下·全国·课后作业）[核心素养]【实践与探究】 （1）计算： ， ， ， ， ； 【归纳与应用】 （2）观察（1）中的等式，发现其中的规律，并猜想与有怎样的关系，请用数学式子表示出来； （3）利用你得到的规律，计算： ①若，则 ； ② ． 【答案】（1）3，0.5，0，6，；（2）；（3）①；② 【分析】本题属于规律探究题，主要考查了算术平方根的定义、绝对值化简等知识，运用发现的规律是解决第（3）小问的关键． （1）根据算术平方根定义进行计算即可； （2）从（1）中可以得到规律：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值； （3）①②利用（2）中总结的规律化简即可． 解：（1）计算：，，，，． （2）观察（1）中的等式，可以发现，． （3）①．   ， ， ． ②． ， ． ★【变式1】（24-25七年级下·广西梧州·期中）若，则的算术平方根是（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了算术平方根和绝对值的非负性，方程的思想，算术平方根的应用，关键是求出、的值． 根据偶次方和绝对值的非负性得出方程，求出方程的解，再代入求出算术平方根即可． 解：， ，， ，， ， ∴， 的算术平方根为2， 故选A． ★【变式2】（25-26八年级上·湖南永州·月考）已知，都是实数，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质，绝对值和算术平方根都是非负数，掌握该性质是问题求解的关键． 根据绝对值和算术平方根的非负性，它们的和为零时，每个部分都必须为零，从而求出和 的值，进而完成求解． 解：∵， ∴且， ∴且， ∴，， ∴． 故答案为：． ★★【变式3】（25-26七年级上·黑龙江绥化·月考）已知． (1)分别求出x，y，z的值； (2)求出的算术平方根． 【答案】(1) (2)4 【分析】本题主要考查了绝对值的非负性、算术平方根的非负性、代数式求值、求一个数的算术平方根等知识点，根据非负数的性质求得x、y、z的值是解题的关键． （1）根据非负数的性质列方程组求解即可； （2）将x、y、z的值代入求值，然后再求其算术平方根即可． （1）解：∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵ ∴， ∴的算术平方根为． 【题型 7】平方根与算术平方根的实际应用 ★★【例题7】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）如图1，把方格（每个小正方形边长为）划分成四个直角三角形，然后拼成图． (1)图2中，中间小正方形的面积为多少？ (2)求图2中整个大正方形的边长． 【答案】(1)中间小正方形的面积为4 (2)图2中整个大正方形的边长为 【分析】本题考查了算术平方根的应用，正确理解题意、掌握求解的方法是关键； （1）由题意可得，四个直角三角形的每条长直角边长为4，短直角边长为2，故中间小正方形的边长为2，进而可得小正方形的面积； （2）图2中大正方形的面积=四个直角三角形的面积+小正方形的面积，再求出边长即可． （1）解：由题意可得，四个直角三角形的每条长直角边长为4，短直角边长为2， 所以中间小正方形的边长为， 所以中间小正方形的面积为； （2）解：图2中大正方形的面积， 所以图2中整个大正方形的边长． ★【变式1】（23-24七年级下·北京海淀·期末）如图，正方形的面积为3，顶点A在数轴上，且点A表示的数为1，数轴上有一点E在点A的左侧，若，则点E表示的数为（    ） A． B． C． D．0 【答案】A 【分析】本题主要考查算术平方根的应用，实数与数轴，解题的关键是根据正方形的面积求出．先根据正方形的面积求出正方形的边长，即可求出，根据点A表示的数为1，且点E在点A的左侧，即可求出E点所表示的数． 解： 正方形的面积为3， ， ， ， 点A表示的数为1，且点E在点A的左侧， 点所表示的数为 . 故选：A. ★【变式2】（25-26八年级上·湖南衡阳·期中）如图所示，由多个边长均为1的小正方形拼成一个大正方形，则图中阴影部分的正方形的边长为 ． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根的应用，涉及正方形面积计算和面积割补法．解题关键是通过面积割补法（大正方形面积减空白部分面积）求出阴影正方形的面积，再由面积推导边长；易错点是误判空白三角形的直角边长度，导致面积计算错误． 先确定大正方形边长为4，面积为；再计算空白部分（4个直角三角形）的总面积：每个三角形直角边为1和3，面积为，4个总面积为；最后用大正方形面积减空白面积得阴影正方形面积，由正方形面积公式得边长为． 解：大正方形面积为， 空白部分是4个直角边为1和3的三角形，总面积为． 阴影正方形面积为， 故其边长为． 故答案为：． ★★【变式3】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）如图，把图（1）中两个小正方形纸片分别沿对角线剪开，拼成一个面积为的大正方形纸片如图（2）． (1)原小正方形的边长为______； (2)如图3，把两个长为3，宽为1的长方形纸片分别沿对角线剪开，拼成一个大正方形纸片，发现大正方形内部是一个小正方形，求小正方形的面积与边长． 【答案】(1) (2)小正方形的面积为，边长为 【分析】本题考查了图形的剪拼、正方形的面积、算术平方根的实际应用 （1）根据小正方形的面积是大正方形面积的一半可得小正方形的面积，即可解决问题； （2）根据图形可得大正方形的边长为，用大正方形的面积减去2个长方形的面积，即可得出小正方形的面积，进而求得其边长． （1）小正方形的面积是大正方形面积的一半， 小正方形的面积为， 设小正方形的边长为a， 则， ∴（舍去负值）， ∴小正方形的边长为， 故答案为：． （2）解：根据图形可得大正方形的边长为， ∴小正方形的面积为 ∴小正方形的边长为． 【题型 8】平方根与算术平方根的规律探究 ★★【例题8】（25-26七年级下·全国·课后作业）（1）观察发现： （） … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 1 100 … 表格中________，________； （2）归纳总结：被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向________移动________位； （3）规律运用： ①已知，则________； ②已知，，则________． 【答案】（1）0.1  10   （2）右  1   （3）①22.4  ②25 【分析】本题主要考查算术平方根，找到规律是解题的关键． （1）根据算术平方根的定义即可求出答案； （2）找到规律即可得出答案； （3）根据（2）中的规律即可得出答案． 解：（1）由表格可知，，． （2）观察发现， 被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向右移动1位． （3）①从5到500，小数点向右移动了2位，所以算术平方根的小数点向右移动1位，即． ②由及（2）中的规律可知， 则 ∴ 即． ★【变式1】（23-24八年级上·河北石家庄·期中）如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律，第11行从左至右第4个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题是数的规律问题，考查了学生归纳能力，找出规律是本题的关键． 找到数的排列规律：行数与该行数的个数相同，且所有数是从1开始的自然数的算术平方根，根据此规律可求得结果． 解：第1行到第10行共有：个数，即第10行最后一个数为， ∴第11行从开始，则此行第4个数为； 故选：D． ★【变式2】（25-26八年级上·山东青岛·期中）观察下表，我们可以发现被开方数和它的算术平方根的变化规律： a 1 100 10000 1000000 1 10 100 1000 根据发现的规律，若，，那么的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查的是算术平方根的探索规律题． 通过观察表格，发现被开方数每扩大或缩小100倍，其算术平方根相应地扩大或缩小10倍．已知和，比较可知是的倍，因此是3的 倍． 解：由表格规律可知，被开方数与算术平方根满足： 被开方数每扩大或缩小100倍，其算术平方根相应地扩大或缩小10倍． 已知，， 因为，即， 所以． 故答案为：． ★★【变式3】（2025七年级上·全国·专题练习）先观察下列等式，再回答问题：第一个等式；第二个等式；第三个等式． (1)根据上述三个等式提供的信息，请你猜想第五个等式； (2)请按照上面各等式反映的规律，试写出第n个等式（n为正整数）； (3)对于任何实数a，表示不超过a的最大整数，如，，计算：的值． 【答案】(1) (2) (3)2023 【分析】本题考查了与算术平方根有关的规律探索，正确找到题中的规律是解题关键． （1）根据题中所给信息可判结果； （2）根据第一问的结果用字母代替数字即可； （3）根据规律将原式进行正确变形求解； （1）解：∵第一个等式； 第二个等式； 第三个等式； ∴根据规律可猜测第五个等式为； （2）解：根据（1）总结规律可得：第n个等式为； （3）解：依题意，根据规律可化简： 原式 ． 二.中考真题 （一）选择题（6题） 1．（2025·四川广元·中考真题）的相反数是（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根的计算及相反数的概念，解题的关键是先求出√4的具体值，再根据相反数的定义（只有符号不同的两个数互为相反数）确定其相反数． 计算的值：因为，所以；求2的相反数：根据相反数定义，2的相反数是，因此的相反数是． 解：∵表示4的算术平方根，且， ∴． 根据相反数的定义（只有符号不同的两个数互为相反数），可得2的相反数是，即的相反数是． 故选：B． 2．（2024·四川内江·中考真题）16的平方根是（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题考查平方根，根据平方根的性质，一个正数的平方根有两个，互为相反数， 16 的平方根是． 解：∵， ∴的平方根是， 故选：D． 3．（2024·四川攀枝花·中考真题）2的算术平方根是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，对于两个实数a、b，若满足，且a为非负数，那么a就叫做b的算术平方根，据此求解即可． 解：∵， ∴2的算术平方根是， 故选：C． 4．（2023·四川雅安·中考真题）在0，，，2四个数中，负数是（    ） A．0 B． C． D．2 【答案】C 【分析】根据负数的定义∶ 比0小的数叫做负数，即可得出答案． 解：0既不是正数也不是负数，是负数，和2是正数， 故选：C． 【点睛】本题考查了正数和负数，掌握在正数前面加负号是负数是解题的关键． 5．（2024·广东·中考真题）完全相同的4个正方形面积之和是100，则正方形的边长是（    ） A．2 B．5 C．10 D．20 【答案】B 【分析】本题主要考查了算术平方根的应用，先求出一个正方形的面积，再根据正方形的面积计算公式求出对应的边长即可． 解：∵完全相同的4个正方形面积之和是100， ∴一个正方形的面积为， ∴正方形的边长为， 故选：B． 6．（2023·云南·中考真题）按一定规律排列的单项式：，第个单项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据单项式的规律可得，系数为，字母为，指数为1开始的自然数，据此即可求解． 解：按一定规律排列的单项式：，第个单项式是， 故选：C． 【点睛】本题考查了单项式规律题，找到单项式的变化规律是解题的关键． （二）填空题（6题） 7．（2025·青海·中考真题）的算术平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根的定义，关键是理解算术平方根为非负的平方根，即若()，则是的算术平方根． 解：，且， 的算术平方根是． 故答案为：2． 8．（2025·山东济南·中考真题）已知一个正方形的面积为2，则其边长为 ． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根的应用，正方形的面积等于边长的平方，所以2的算术平方根即为所求． 解：已知一个正方形的面积为2，则其边长为． 故答案为： 9．（2023·湖北荆州·中考真题）若，则 ． 【答案】 【分析】根据绝对值的非负性，平方的非负性求得的值进而求得的算术平方根即可求解． 解：∵， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了求一个数的算术平方根，熟练掌握绝对值的非负性，平方的非负性求得的值是解题的关键． 10．（2023·青海·中考真题）写出一个比大且比小的整数 ． 【答案】答案不唯一，如：1 【分析】先对进行估值，在找出范围中的整数即可． 解：∵1<<2 ∴-2<x<2,(x为整数) 故答案为：-1,0,1（答案不唯一） 【点睛】本题考查算术平方根的估值．理解算术平方根的定义是关键． 11．（2023·山东滨州·中考真题）一块面积为的正方形桌布，其边长为 ． 【答案】/米 【分析】由正方形的边长是其面积的算术平方根可得答案． 解：一块面积为的正方形桌布，其边长为， 故答案为： 【点睛】本题考查的是算术平方根的含义，理解题意，利用算术平方根的含义表示正方形的边长是解本题的关键． 12．（2024·四川成都·中考真题）若，为实数，且，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查非负数的性质，根据平方式和算术平方数的非负数求得m、n值，进而代值求解即可． 解：∵， ∴，， 解得，， ∴， 故答案为：1． （三）解答题（1题） 13．（2025·浙江·中考真题）【阅读理解】 同学们，我们来学习利用完全平方公式： 近似计算算术平方根的方法． 例如求的近似值． 因为， 所以， 则可以设成以下两种形式： ①，其中； ②，其中． 小明以①的形式求的近似值的过程如图． 因为， 所以， 即． 因为比较小， 将忽略不计， 所以， 即， 得， 故． 【尝试探究】 （1）请用②的形式求的近似值（结果保留2位小数）． 【比较分析】 （2）你认为用哪一种形式得出的的近似值的精确度更高，请说明理由． 【答案】（1）；（2）用①的形式得出的的近似值的精确度更高，理由见解析 【分析】本题主要考查了算术平方根的估算，正确理解题意是解题的关键． （1）设，其中，则仿照题意可得，比较小，将忽略不计，则，据此可得，则； （2）可求出，据此可得结论． 解：（1）设，其中， ∴， ∴， ∵比较小，将忽略不计， ∴， ∴， ∴； （2）用①的形式得出的的近似值的精确度更高，理由如下； ∵，， ∴， ∴用①的形式得出的的近似值的精确度更高． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 8.1 平方根（知识梳理 + 题型精析 +中考真题） 目录 一.知识梳理与题型精析 1 【知识点一】平方根与开平方 1 【题型 1】平方根概念的理解 2 【题型 2】求一个数的平方根 2 【题型 3】根据平方根定义解方程 3 【知识点二】平方根的性质 3 【题型 4】求一个数的平方根 3 【知识点三】算术平方根 4 【题型 5】平方根与算术平方根的辨析 4 【题型 6】算术平方根的非负性 5 【题型 7】平方根与算术平方根的实际应用 5 【题型 8】平方根与算术平方根的规律探究 6 二.中考真题 7 （一）选择题（6题） 7 （二）填空题（6题） 8 （三）解答题（1题） 8 一.知识梳理与题型精析 【题号】前带★表示基础题，带★★表示综合题，带★★★表示培优题 【知识点一】平方根与开平方 （1）平方根：一般地，如果一个数的平方等于，即，那么这个数叫作的平方根或二次方根. （2）开平方：求一个数的平方根的运算，叫作开平方. 【题型 1】平方根概念的理解 ★【例题1】（根据人教版七下第41页练习第1题改编）（25-26七年级上·山东烟台·期末）若实数x没有平方根，则x可以是（   ） A． B．0 C． D．2 ★【变式1】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列说法错误的是（    ） A．4是16的一个平方根 B．81的平方根是 C．－7是49的一个平方根 D．49的平方根是7 ★【变式2】（25-26八年级上·河北唐山·期中）下列说法正确的是（　　） A．的平方根是 B．的平方根是 C．1是1的平方根 D．1的平方根是1 ★【变式3】（24-25七年级下·全国·课后作业）判断题． (1)1的平方根是1； (2)的平方根是； (3)是的一个平方根； (4)0的平方根是0． 【题型 2】求一个数的平方根 ★【例题2】（根据人教版七下第41页练习第2题改编）（24-25七年级下·湖南长沙·期中）新修订的教科书对于数与式的运算过程和格式进行了很好的示范，例如求64的平方根 解：， 的平方根是． 请你按照上述格式求出下列各数的平方根 (1)100； (2)； (3)． ★【变式1】（23-24八年级·全国·假期作业）求下列各数的平方根： (1)100； (2)64； (3)； (4)1.21． ★【变式2】（23-24八年级上·山东济南·月考）求下列各数的平方根 (1)49； (2)； (3)． ★【变式3】（24-25七年级下·全国·课后作业）求下列各数的平方根： (1)64； (2)； (3)． 【题型 3】根据平方根定义解方程 ★【例题3】（根据人教版七下第41页练习第3题改编）（24-25七年级下·内蒙古呼和浩特·月考）求下列各式中x的值： (1)； (2)； (3)． ★【变式1】（25-26八年级上·河北邢台·月考）若，则 ． ★【变式2】（23-24九年级上·江西新余·月考）若，则的值为（ ） A． B．或 C． D． ★【变式3】（24-25八年级上·全国·课后作业）求下列各式中x的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 【知识点二】平方根的性质 （1） 平方根的性质：正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根为零；负数没有平方根. （2） 平方根的表示方法：正数的正的平方根记为：，读作“根号”，叫作被开方数；正数的负的平方根可以用表示，故正数的平方根可以用“”表示，读作“正、负根号”. 特别说明：只有当大于或等于0时，有意义；而当小于0时，没有意义. 【题型 4】求一个数的平方根 ★【例题4】（24-25七年级下·内蒙古乌兰察布·期末）已知一个正数的平方根是与， (1)求a的值和这个正数 (2)求的平方根 ★【变式1】（24-25七年级下·全国·课后作业）若，则的平方根是（    ） A． B． C．或 D．1或3 ★【变式2】（25-26八年级下·全国·单元测试）已知，则的平方根是 ． ★【变式3】（25-26八年级上·江西鹰潭·月考）已知和是实数的两个不同的平方根． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【知识点三】算术平方根 正数有两个平方根，其中正的平方根叫作的算术平方根.正数的算术平方根用来表示 规定:0的算术平方根是0.0的算术平方根也记为. 【题型 5】平方根与算术平方根的辨析 ★★【例题5】（25-26八年级上·四川宜宾·月考）下列说法错误的是（    ）． A．是4的平方根 B．的算术平方根是 C．的算术平方根是 D．7是的算术平方根 ★★【变式1】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）下列说法： ①是5的一个平方根； ②的算术平方根是－3； ③的平方根是； ④0的平方根是0． 其中错误说法的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ★★【变式2】（24-25七年级下·河南开封·期中）下列说法中，错误的是（   ） A．5是25的算术平方根 B．的平方根是 C．0的平方根与算术平方根都是0 D．的平方根是 ★★【变式3】（24-25七年级下·全国·期中）学完平方根后，老师布置了4道填空题，下面是嘉嘉的完成情况：①0的平方根是0；②16的平方根是；③9的算术平方根是3；④的平方根是．嘉嘉做对了几道题（   ） A．1道 B．2道 C．3道 D．4道 【题型 6】算术平方根的非负性 ★★【例题6】（25-26七年级下·全国·课后作业）[核心素养]【实践与探究】 （1）计算： ， ， ， ， ； 【归纳与应用】 （2）观察（1）中的等式，发现其中的规律，并猜想与有怎样的关系，请用数学式子表示出来； （3）利用你得到的规律，计算： ①若，则 ； ② ． ★【变式1】（24-25七年级下·广西梧州·期中）若，则的算术平方根是（    ） A．2 B．4 C． D． ★【变式2】（25-26八年级上·湖南永州·月考）已知，都是实数，若，则 ． ★★【变式3】（25-26七年级上·黑龙江绥化·月考）已知． (1)分别求出x，y，z的值； (2)求出的算术平方根． 【题型 7】平方根与算术平方根的实际应用 ★★【例题7】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）如图1，把方格（每个小正方形边长为）划分成四个直角三角形，然后拼成图． (1)图2中，中间小正方形的面积为多少？ (2)求图2中整个大正方形的边长． ★【变式1】（23-24七年级下·北京海淀·期末）如图，正方形的面积为3，顶点A在数轴上，且点A表示的数为1，数轴上有一点E在点A的左侧，若，则点E表示的数为（    ） A． B． C． D．0 ★【变式2】（25-26八年级上·湖南衡阳·期中）如图所示，由多个边长均为1的小正方形拼成一个大正方形，则图中阴影部分的正方形的边长为 ． ★★【变式3】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）如图，把图（1）中两个小正方形纸片分别沿对角线剪开，拼成一个面积为的大正方形纸片如图（2）． (1)原小正方形的边长为______； (2)如图3，把两个长为3，宽为1的长方形纸片分别沿对角线剪开，拼成一个大正方形纸片，发现大正方形内部是一个小正方形，求小正方形的面积与边长． 【题型 8】平方根与算术平方根的规律探究 ★★【例题8】（25-26七年级下·全国·课后作业）（1）观察发现： （） … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 1 100 … 表格中________，________； （2）归纳总结：被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向________移动________位； （3）规律运用： ①已知，则________； ②已知，，则________． ★【变式1】（23-24八年级上·河北石家庄·期中）如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律，第11行从左至右第4个数是（   ） A． B． C． D． ★【变式2】（25-26八年级上·山东青岛·期中）观察下表，我们可以发现被开方数和它的算术平方根的变化规律： a 1 100 10000 1000000 1 10 100 1000 根据发现的规律，若，，那么的值为 ． ★★【变式3】（2025七年级上·全国·专题练习）先观察下列等式，再回答问题：第一个等式；第二个等式；第三个等式． (1)根据上述三个等式提供的信息，请你猜想第五个等式； (2)请按照上面各等式反映的规律，试写出第n个等式（n为正整数）； (3)对于任何实数a，表示不超过a的最大整数，如，，计算：的值． 二.中考真题 （一）选择题（6题） 1．（2025·四川广元·中考真题）的相反数是（   ） A． B． C．2 D．4 2．（2024·四川内江·中考真题）16的平方根是（   ） A．2 B． C．4 D． 3．（2024·四川攀枝花·中考真题）2的算术平方根是（   ） A．2 B． C． D． 4．（2023·四川雅安·中考真题）在0，，，2四个数中，负数是（    ） A．0 B． C． D．2 5．（2024·广东·中考真题）完全相同的4个正方形面积之和是100，则正方形的边长是（    ） A．2 B．5 C．10 D．20 6．（2023·云南·中考真题）按一定规律排列的单项式：，第个单项式是（    ） A． B． C． D． （二）填空题（6题） 7．（2025·青海·中考真题）的算术平方根是 ． 8．（2025·山东济南·中考真题）已知一个正方形的面积为2，则其边长为 ． 9．（2023·湖北荆州·中考真题）若，则 ． 10．（2023·青海·中考真题）写出一个比大且比小的整数 ． 11．（2023·山东滨州·中考真题）一块面积为的正方形桌布，其边长为 ． 12．（2024·四川成都·中考真题）若，为实数，且，则的值为 ． （三）解答题（1题） 13．（2025·浙江·中考真题）【阅读理解】 同学们，我们来学习利用完全平方公式： 近似计算算术平方根的方法． 例如求的近似值． 因为， 所以， 则可以设成以下两种形式： ①，其中； ②，其中． 小明以①的形式求的近似值的过程如图． 因为， 所以， 即． 因为比较小， 将忽略不计， 所以， 即， 得， 故． 【尝试探究】 （1）请用②的形式求的近似值（结果保留2位小数）． 【比较分析】 （2）你认为用哪一种形式得出的的近似值的精确度更高，请说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $