精品解析：浙江杭州市上城区2025-2026学年九年级上学期期末考试数学试卷

2025学年第一学期学业水平监测九年级数学 考生须知： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分，考试时间120分钟，满分120分； 2．答题前，请在答题卡的密封区内填写姓名和准考证号； 3．不能使用计算器；考试结束后，试题卷和答题卡一并上交； 4．所有答案都必须做在答题卡规定的位置上，注意试题序号和答题序号相对应． 一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列事件中，属于必然事件的是（ ） A. 篮球运动员投篮一定命中 B. 买了彩票一定中奖 C. 任意投掷一枚图钉，钉尖朝下 D. 任选三角形的两边，其和大于第三边 2. 若，则的值等于（ ） A. B. C. D. 3. 如图，直线，直线分别交，，于点，，；直线分别交，，于点，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 如图，中，为直径，弦，若的度数是，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 年世界羽联世界巡回赛总决赛于月日至日，在杭州奥体中心体育馆举行．赛事组对羽毛球进行抽检，统计合格羽毛球的个数，得到合格羽毛球的频数表如下： 抽取个数（个） 合格频数 合格频率 根据频率的稳定性，估计抽取个羽毛球合格的数量大约是（ ） A. B. C. D. 6. 若，，是二次函数图象上的点，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，将绕C点按顺时针方向旋转到，点E恰好落在上，若，则旋转的角度为（ ） A. B. C. D. 8. 二次函数的自变量与函数的部分对应值表如下，则关于的方程的一个根的取值范围为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，内接于，，，点是劣弧的中点，过点作交的延长线于点，若是锐角三角形，则线段的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 已知点、分别在抛物线（为常数）和上，当时，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分． 11. 已知线段，线段，则线段，的比例中项线段的长度为__________． 12. 抛掷一枚质地均匀的骰子一次，朝上一面的点数是3的倍数的概率是_____． 13. 如图，和是以点为位似中心的位似图形．若，的周长为1，则的周长是__________． 14. 鲁洛克斯三角形（）又称勒洛三角形、莱洛三角形、圆弧三角形，是一种特殊三角形，指分别以正三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形称为鲁洛克斯三角形．圆弧三角形是这样画的：先画正三角形，然后分别以点，，为圆心，长为半径画弧．若正三角形的边长为，则圆弧三角形的周长为__________（结果保留π）． 15. 已知，是抛物线（为常数）上的两点，若，则的值为______． 16. 如图，已知矩形内接于，，，点是上一点，连结，将沿着直线折叠，交线段于点． （1）半径__________； （2）连接，若，则__________． 三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知二次函数（，为常数）的图象经过点，且对称轴为直线． （1）求二次函数的表达式； （2）求抛物线与轴的交点坐标； （3）二次函数（，为常数）图象可由抛物线经过怎样的平移得到？ 18. 一个不透明的布袋里放有2个红球、1个黑球，它们除颜色外其余都相同． （1）从布袋里任意摸出1个球，求摸出的球是红球的概率； （2）若摸出一个球放回搅匀后，再摸出一个球．请列表或用树状图分析，两次摸出的球颜色不一样的概率． 19. 如图，，是的两条弦，平分． （1）求证：； （2）若的半径为10，，求圆心到的距离． 20. 2026年1月，某校举办了体育节活动．901班学生为了备赛班级篮球赛，利用生活材料制作出一种练习投篮动作的投篮设备． 如图1是投篮过程中的截面图，为了研究投篮过程中篮球的运动路线，以水平地面所在的直线为轴，过点作垂线为轴建立平面直角坐标系如图2所示．篮球的运动轨迹可以用二次函数刻画，篮球运动的水平距离（米）与篮球距离水平地面的竖直高度（米）的变化规律如下表： 水平距离/米 0 1 2 竖直高度/米 2 3 3 （1）根据上表，请确定篮球运动轨迹的函数表达式； （2）求篮球飞行的最大高度． 21. 如图，在中，点是上一点，作交于点，点是上的一点，连接，交于点． （1）求证：； （2）若点为的重心，求与的比． 22. 如图，在中，，以点为圆心，线段的长为半径画弧，交线段于点；以点为圆心，线段的长为半径画弧，恰好经过点． （1）如图，以点为圆心，线段的长为半径画弧恰好也经过点． ①的度数为__________； ②若，求阴影部分的面积． （2）如图，若，证明：． 23. 定义：直线（、是常数且）为抛物线的“伴随直线”． （1）当时，求证：抛物线与“伴随直线”只有一个交点． （2）探究当时，抛物线与“伴随直线”的交点． 水平层次 水平表现 直线与抛物线的交点 标准说明 层次1 取__________， __________． （__________），（__________） ，取具体数值求出交点得2分 层次2 直接用字母，求交点 （__________），（__________） 用，字母表示交点坐标得4分 请选择其中一个层次作答：两个层次全部作答者，按正确的给分，全部答对的也只得4分，不累加分． （3）当时，且，求自变量的取值范围． 24. 如图1，在中，，以线段为直径的交于点，连接，作，垂足为，线段的延长线交于点，连接． ， （1）探究的过程，小聪完成一部分证明，如右框图，请认真阅读小聪的证明，运用小聪的结论，继续完成的证明． （2）如图2，连接，当为中点，求证：． （3）如图3，当，求的值（用含的式子表示） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期学业水平监测九年级数学 考生须知： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分，考试时间120分钟，满分120分； 2．答题前，请在答题卡的密封区内填写姓名和准考证号； 3．不能使用计算器；考试结束后，试题卷和答题卡一并上交； 4．所有答案都必须做在答题卡规定的位置上，注意试题序号和答题序号相对应． 一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列事件中，属于必然事件的是（ ） A. 篮球运动员投篮一定命中 B. 买了彩票一定中奖 C. 任意投掷一枚图钉，钉尖朝下 D. 任选三角形的两边，其和大于第三边 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查事件的分类，明确各类事件的定义是解题关键． 结合各类事件特征及三角形三边关系定理对选项进行判断． 【详解】解：必然事件是在一定条件下必定发生的事件， 根据三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边，可知选项中的事件是必然事件， 选项、、中的事件均为可能发生也可能不发生的随机事件． 故选：． 2. 若，则的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题关键． 根据可设，再代入计算即可得． 【详解】解：由题意，可设， 则， 故选：B． 3. 如图，直线，直线分别交，，于点，，；直线分别交，，于点，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理的内容是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理，对每个选项中的比例式进行验证，判断其是否符合定理内容． 【详解】解：∵直线， ∴由平行线分线段成比例定理，得，故A项正确； ∵，故B项错误； ∵与、无成比例的直接关系，比例式不成立，故C项错误； ∵，故D项错误； 故选：A． 4. 如图，中，为直径，弦，若的度数是，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查弧的度数与圆心角的关系，平行线的性质，等腰三角形的性质，将弧的度数问题转化为圆心角的度数问题是解题关键． 先由的度数得到圆心角的度数，再利用平行线性质和等腰三角形性质求出圆心角的度数，从而得到的度数． 【详解】解：如图，连接、， 的度数是， ， ， ， ， ， ， 故的度数为． 故选：． 5. 年世界羽联世界巡回赛总决赛于月日至日，在杭州奥体中心体育馆举行．赛事组对羽毛球进行抽检，统计合格羽毛球的个数，得到合格羽毛球的频数表如下： 抽取个数（个） 合格频数 合格频率 根据频率的稳定性，估计抽取个羽毛球合格的数量大约是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查利用频率估计概率，理解频率的稳定性是解题关键． 据表可知随着抽取数量的增加，合格频率稳定在某个数值附近，该数值可作为合格概率，用总数量乘以合格概率可得到合格数量． 【详解】解：∵由表格可知，当抽取个数逐渐增大时，合格频率稳定在附近， ∴估计合格羽毛球的概率为， ∴抽取个羽毛球合格的数量大约是（个）． 故选：． 6. 若，，是二次函数图象上的点，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，利用函数增减性比较函数值大小是解题关键． 可先求出二次函数的对称轴，根据开口方向判断函数的增减规律，再通过比较各点到对称轴的距离大小来确定函数值的关系． 【详解】解：∵二次函数的解析式为， ∴，， ∴对称轴为， ∵， ∴抛物线开口向下，在对称轴处取得最大值，且点到对称轴的距离越近，函数值越大， ∵点在对称轴上， ∴最大， ∵点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为， ∴， ∴． 故选：． 7. 如图，将绕C点按顺时针方向旋转到，点E恰好落在上，若，则旋转的角度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形的内角和定理，旋转的性质以及等腰三角形的判定和性质．熟练掌握旋转的性质，是解题的关键． 先求出的度数，根据旋转的性质，得到，进而得到，利用三角形内角和定理，求出，即可得解． 【详解】解：在中，，， ∴， ∵将绕C点按顺时针方向旋转到， ∴， ∴， ∴， ∴旋转的角度为． 故选B． 8. 二次函数的自变量与函数的部分对应值表如下，则关于的方程的一个根的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，利用函数值的符号变化锁定根的位置是解题关键． 对于开口向上的连续二次函数，当函数值由负变正时，对应区间内必有方程的一个根，据此对选项进行判断． 【详解】解：据表可知，当时，， 当时，， ∵，二次函数图象是连续的抛物线且开口向上， ∴在这个区间内，函数值由负变正，即存在使得， ∴方程的一个根的取值范围为． 故选：． 9. 如图，内接于，，，点是劣弧的中点，过点作交的延长线于点，若是锐角三角形，则线段的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先连接辅助线 ，利用垂径定理得到 ，求出 的长度；再分别计算和这两个临界状态下 的值，结合为锐角三角形的条件，确定 的取值范围． 【详解】解：连接 ， 交 于点 ， ∵ 是劣弧 的中点，， ∴ ，， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ 为等腰直角三角形，， 在 中，， ∵ ， ∴ ， ∵ ，， ∴， ∴ ， 当 时，则, ∵， ∴ 四边形 为矩形 ∴ 当 时，则 为 的直径, ∵， ∴ ，， ∴ ， ∴ ， ∵ ，，， ∴ ， 解得 ， ∵ 是锐角三角形， ∴ 故选：B． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、垂径定理、相似三角形的判定与性质及矩形的判定，熟练掌握垂径定理和临界状态的分析是解题的关键． 10. 已知点、分别在抛物线（为常数）和上，当时，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，二次函数图像上点的坐标特征，由点、分别在抛物线（为常数）和上，所以，，则，然后逐一排除即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵点、分别在抛物线（为常数）和上， ∴，， ∴ ， 、∵， ∴， ∴ ，即，该选项正确，符合题意； 、∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴，该选项错误，不符合题意； 、∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴，该选项错误，不符合题意； 、∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴，该选项错误，不符合题意； 故选：． 二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分． 11. 已知线段，线段，则线段，的比例中项线段的长度为__________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了成比例的线段．熟练掌握比例中项是解题的关键． 根据比例中项的定义，线段c是线段a和b的比例中项，则满足，代入a和b的值计算即可． 【详解】解：∵ c是a和b的比例中项， ∴， ∴（负值舍去）． 故答案为：3． 12. 抛掷一枚质地均匀的骰子一次，朝上一面的点数是3的倍数的概率是_____． 【答案】 【解析】 【分析】由骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，点数为3的倍数的有2个，利用概率公式直接求解即可求得答案． 【详解】∵骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，点数为3的倍数的有2个， ∴掷得朝上一面的点数为3的倍数的概率为：. 故答案为． 【点睛】此题考查了概率公式的应用．注意掌握概率＝所求情况数与总情况数之比． 13. 如图，和是以点为位似中心的位似图形．若，的周长为1，则的周长是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了位似图形的性质与相似三角形的周长比，熟练掌握位似图形是相似图形、相似三角形周长比等于相似比是解题的关键． 先根据位似图形的性质，确定两个三角形的相似比，再利用相似三角形周长比等于相似比的性质，求出的周长． 【详解】解：∵和是以点为位似中心的位似图形， ∴， ∵， ∴与的相似比为， ∵的周长为，相似三角形周长比等于相似比， ∴的周长为， 故答案为：． 14. 鲁洛克斯三角形（）又称勒洛三角形、莱洛三角形、圆弧三角形，是一种特殊三角形，指分别以正三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形称为鲁洛克斯三角形．圆弧三角形是这样画的：先画正三角形，然后分别以点，，为圆心，长为半径画弧．若正三角形的边长为，则圆弧三角形的周长为__________（结果保留π）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了弧长公式的应用与正三角形的性质，熟练掌握弧长公式并明确圆弧三角形的构成是解题的关键． 先明确正三角形的内角为，每段圆弧的半径等于正三角形的边长．通过弧长公式计算单段弧长，再乘以即可得到圆弧三角形的周长． 【详解】解：∵正三角形的边长为， ∴正三角形各内角为，每段圆弧的半径， ∴单段弧长， ∵圆弧三角形由3段等长的弧组成， ∴周长， 故答案为：． 15. 已知，是抛物线（为常数）上的两点，若，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图像的性质，二次函数图像与轴交点问题，由点，在抛物线上，可知和是方程的实数根，根据根与系数的关系，得，，由，且，可知和异号，故利用，代入求值即可，熟练掌握二次函数的图像性质是解题的关键． 【详解】解：由题意，和是方程的实数根，根据根与系数的关系，得，， ∵，且， ∴和异号， ∴， ∵， ∴，解得，， 经检验，时，，符合题意， 故答案为：． 16. 如图，已知矩形内接于，，，点是上一点，连结，将沿着直线折叠，交线段于点． （1）半径__________； （2）连接，若，则__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）利用矩形内接于圆的性质，矩形的对角线为圆的直径，结合勾股定理求出对角线长度，进而得到半径． （2）先由折叠性质推出，再证明弧的对称性得到，结合圆心角与圆周角的关系得出，最后在等腰直角三角形中用勾股定理求出，从而得到 【详解】解：（1）连接， ∵矩形内接于，，， ∴，，， ∴对角线为的直径， ∵，， ∴， ∴半径， 故答案为：； （2）连接、、， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵弧沿折叠交于， ∴和关于直线对称，点的对称点为， ∴， ∵， ∴， ∵是圆周角， ∴， ∵， ∴在中，， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、圆的基本性质、折叠的性质及勾股定理的应用，熟练掌握圆内接矩形的对角线为圆的直径，以及折叠前后弧与角的对应关系是解题的关键． 三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知二次函数（，为常数）的图象经过点，且对称轴为直线． （1）求二次函数的表达式； （2）求抛物线与轴的交点坐标； （3）二次函数（，为常数）图象可由抛物线经过怎样的平移得到？ 【答案】（1） （2）和 （3）先将抛物线向右平移1个单位长度，再向下平移8个单位长度（或先向下平移8个单位长度，再向右平移1个单位长度） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数图象与几何变换，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答； （1）根据题意列出方程组，求得，即可求得二次函数的表达式； （2）将代入中，求得的值，即可得到抛物线与轴的交点坐标； （3）确定函数图象的平移方式，需先将函数化为顶点式，根据顶点的变化“上加下减，左加右减”来确定平移方向和单位． 【小问1详解】 解：∵二次函数（，为常数）的图象经过点，且对称轴为直线， ∴，解得， ∴二次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：由（1）知，， 当时，，化简得， 解得，， ∴抛物线与轴的交点坐标为和； 【小问3详解】 解：∵， ∴先将抛物线向右平移1个单位长度，再向下平移8个单位长度（或先向下平移8个单位长度，再向右平移1个单位长度）可得到抛物线． 18. 一个不透明的布袋里放有2个红球、1个黑球，它们除颜色外其余都相同． （1）从布袋里任意摸出1个球，求摸出的球是红球的概率； （2）若摸出一个球放回搅匀后，再摸出一个球．请列表或用树状图分析，两次摸出的球颜色不一样的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）直接由概率公式求解即可； （2）画树状图，共有9种等可能的结果，其中两次摸出的球颜色不一样的结果有4种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵一个不透明的布袋里放有2个红球、1个黑球， ∴从布袋里任意摸出1个球，摸出的球是红球的概率； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中两次摸出的球颜色不一样的结果有4种， ∴两次摸出的球颜色不一样的概率为． 19. 如图，，是的两条弦，平分． （1）求证：； （2）若的半径为10，，求圆心到的距离． 【答案】（1）见解析 （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、垂径定理和勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定方法以及垂径定理与勾股定理的结合是解题的关键． （1）连接、，利用角平分线得到角相等，结合圆的半径相等及等边对等角，用证明，从而推出． （2）作圆心到的垂线，构造直角三角形，利用垂径定理得到弦长的一半，再结合勾股定理计算圆心到弦的距离． 【小问1详解】 解：连接，， 平分， ， , ，即， ， ， ； 【小问2详解】 解：过点作于， ， ， ∵在中，， ． 20. 2026年1月，某校举办了体育节活动．901班学生为了备赛班级篮球赛，利用生活材料制作出一种练习投篮动作的投篮设备． 如图1是投篮过程中的截面图，为了研究投篮过程中篮球的运动路线，以水平地面所在的直线为轴，过点作垂线为轴建立平面直角坐标系如图2所示．篮球的运动轨迹可以用二次函数刻画，篮球运动的水平距离（米）与篮球距离水平地面的竖直高度（米）的变化规律如下表： 水平距离/米 0 1 2 竖直高度/米 2 3 3 （1）根据上表，请确定篮球运动轨迹的函数表达式； （2）求篮球飞行的最大高度． 【答案】（1）； （2）篮球飞行的最大高度为米 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的解析式求法与二次函数的最值问题，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式以及配方法将一般式化为顶点式是解题的关键． （1）已知二次函数表达式为，表格中给出了两组非原点的点和，将其代入函数表达式，得到关于和的二元一次方程组，解方程组即可确定函数表达式． （2）将第（1）问求出的二次函数表达式化为顶点式，利用二次函数顶点式的性质，直接得到顶点的纵坐标，即为篮球飞行的最大高度． 【小问1详解】 解：∵二次函数过点和 ∴， 解得，， ∴篮球运行轨迹的函数表达式为； 【小问2详解】 解：∵， ∴二次项系数，抛物线开口向下，当时，取得最大值， ∴篮球飞行的最大高度为米． 21. 如图，在中，点是上一点，作交于点，点是上的一点，连接，交于点． （1）求证：； （2）若点为的重心，求与的比． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，三角形重心的性质，平行线的性质，掌握重心的性质是解题关键． （1）利用平行线得到两组相似三角形，通过中间比建立比例关系，从而证明； （2）由重心性质得到线段比，再结合平行线得到的相似三角形，推出． 【小问1详解】 证明：， ，， ，， ，， ，， ． 【小问2详解】 解：点为的重心， ， ， ， ， ， ， ． 答：． 22. 如图，在中，，以点为圆心，线段的长为半径画弧，交线段于点；以点为圆心，线段的长为半径画弧，恰好经过点． （1）如图，以点为圆心，线段的长为半径画弧恰好也经过点． ①的度数为__________； ②若，求阴影部分的面积． （2）如图，若，证明：． 【答案】（1）① ② （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）①由尺规作图得到线段相等，推出为等边三角形，再利用平角性质求出；②先算出扇形的面积，再结合直径所对圆周角为直角求出的面积，然后根据同高三角形的面积比等于底边比得出，进而得到的面积，最后用扇形面积减去三角形面积得到阴影面积； （2）通过等腰三角形性质和三角形外角性质，找到两组对应相等的角，从而证明． 【小问1详解】 ①解：以点为圆心，线段的长为半径画弧，交线段于点， ， 以点为圆心，线段的长为半径画弧，恰好经过点、， ， 是等边三角形， ， ． 故答案为：． ②解：如图，过点作， ， ， 圆心角，半径， 扇形的面积为， ，， ， ， 点、、在以点为圆心的圆上， 为直径， ， ， ， ， ，，， ， ， ． 答：． 【小问2详解】 证明：，， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质，三角形内角和与外角性质，圆周角定理，扇形面积公式，相似三角形的判定，从尺规作图中提取线段相等关系是解题关键． 23. 定义：直线（、是常数且）为抛物线的“伴随直线”． （1）当时，求证：抛物线与“伴随直线”只有一个交点． （2）探究当时，抛物线与“伴随直线”的交点． 水平层次 水平表现 直线与抛物线的交点 标准说明 层次1 取__________， __________． （__________），（__________） ，取具体数值求出交点得2分 层次2 直接用字母，求交点 （__________），（__________） 用，字母表示交点坐标得4分 请选择其中一个层次作答：两个层次全部作答者，按正确的给分，全部答对的也只得4分，不累加分． （3）当时，且，求自变量的取值范围． 【答案】（1）见解析 （2）层次1示例：，；交点坐标为，（答案不唯一，满足即可）；层次2：交点坐标为， （3）当时，；当时，或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一次函数交点问题，一元二次方程根的情况和不等式的解法； （1）先联立抛物线与“伴随直线”，得，再代入得到，利用根的判别式即可证明； （2）层次1：联立抛物线与“伴随直线”，得，代入取值，，利用十字相乘法分解方程，求出的值，再求出对应的值，即可确定交点坐标； 层次2：联立抛物线与“伴随直线”，得，利用十字相乘法分解方程，求出的值，再求出对应的值，即可确定交点坐标； （3）根据题意得， ，将代入得，，因式分解将不等式整理得，再根据的正负性，改变不等号的方向，即可求解的取值范围． 【小问1详解】 证明：联立抛物线与“伴随直线”， 得，整理得， 当时，得（）， ∴， ∴方程有两个相等的实数根， ∴抛物线与“伴随直线”只有一个交点． 【小问2详解】 解： 层次1： 联立抛物线与“伴随直线”， 得，整理得， 取，，代入得， 因式分解得， 解得：，， ∴，， ∴交点坐标为：，； 层次2： 联立抛物线与“伴随直线”， 得，整理得， 因式分解得， 解得：，， ∴，， ∴交点坐标为：，． 【小问3详解】 解：由得，， 整理得， 将代入得，， ∴， 因式分解得， ① 当时，不等式变为，解得； ② 当时，不等式变为，解得或． 24. 如图1，在中，，以线段为直径的交于点，连接，作，垂足为，线段的延长线交于点，连接． ， （1）探究的过程，小聪完成一部分证明，如右框图，请认真阅读小聪的证明，运用小聪的结论，继续完成的证明． （2）如图2，连接，当为中点，求证：． （3）如图3，当，求的值（用含的式子表示） 【答案】（1）见详解 （2）见详解 （3） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，直径所对的圆周角是直角，线段垂直平分线的性质，借助相似三角形的判定和性质进行求解是解题的关键． （1）证即可得求解； （2）先证，然后由三角形外角的性质证，再根据等角对等边即可得证； （3）先证，得出，然后证，，根据相似三角形的性质得出，，得到，据此求出． 【小问1详解】 证明：， ， ， ， ； 【小问2详解】 证明：是的直径， ， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ， 在中，，即， ； 【小问3详解】 解：由（2）知，， ， ， ， ， ， ， ， ， 同理可证， ， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $