专题02 整式乘法特殊题型专项训练（高效培优专项训练）数学新教材苏科版七年级下册

专题02 整式乘法特殊题型专项训练 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 题型一：整式乘法中的化简求值问题 题型二：整式乘法中的抄错、遗漏、遮挡等问题 题型三：整式乘法中的无关型问题 题型四：整式乘法中的规律性计算问题 题型五：整式乘法与图形面积 题型六：乘法公式中变形求值计算 题型七：乘法公式与图形结合问题 题型八：乘法公式中的整体性思维问题 题型九：利用乘法公式的性质求值 题型十：乘法公式的实际应用 题型十一：乘法公式的新定义运算 题型十二：利用配方法求最值 题型一：整式乘法中的化简求值问题 1．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）先化简，再求值：，其中． 【答案】，11 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，多项式乘多项式，解题的关键是熟练掌握多项式相乘的运算法则． 利用多项式乘多项式的法则先进行化简，然后代数求值即可． 【详解】解： 将代入上式得， 原式． 2．（24-25七年级下·江苏南京·期中）先化简，再求值，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先利用多项式乘多项式法则化简得到，将代入计算即可． 【详解】解：， ， 原式． 3．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据去括号法则和合并同类项法则进行化简，再根据，求出，，最后将，的值代入化简后的式子即可求解． 【详解】解： ， ∵， ∴，， ∴原式 ． 4．（24-25七年级下·江苏南通·期中）先化简再求值： (1)，其中． (2)，其中，． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了多项式乘多项式的化简求值： （1）先去括号，再合并可化简，再将代入原式即可求解； （2）先去括号，再合并可化简，再将，代入原式即可求解； 熟练掌握多项式乘多项式的混合运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ， 当时，原式． （2）原式 2， 当，时， 原式． 5．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）先化简，再求值：，其中x、y满足． 【答案】， 【分析】此题考查了整式的混合运算的化简求值，幂的乘方的逆运算法则，同底数幂的除法及负整数幂的逆运算法则，解题的关键是熟悉多项式的运算法则．根据完全平方公式，平方差公式及多项式的除法则运算化简，再利用幂的乘方的逆运算法则，同底数幂的除法及负整数幂的逆运算法则求出整体代入即可求解． 【详解】解：原式 ， ，即， ， 当时，原式． 题型二：整式乘法中的抄错、遗漏、遮挡等问题 6．（24-25七年级下·江苏常州·期末）甲、乙两人共同计算一道整式：，由于甲抄错了a的符号，得到的结果是，乙漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果是． (1)求的值； (2)若整式中的a的符号不抄错，且，请计算这道题的正确结果． 【答案】(1)-14． (2) 【分析】（1）根据题意，列出关于a和b的代数式的值，直接代入计算即可； （2）先求出b的值，再代入计算． 【详解】（1）解：甲抄错了a的符号的计算结果为：， 因为对应的系数相等，故， 乙漏抄了第二个多项式中x的系数，计算结果为：． 因为对应的系数相等，故，， ∴ （2）解：乙漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果得出： ， 故， ∴b=-1， 把a=3，b=-1代入， 得(x+3)(2x-1)=2x2+5x-3， 故答案为：2x2+5x-3． 【点睛】此题考查了多项式乘多项式；解题的关键是根据多项式乘多项式的运算法则分别进行计算，是常考题型，解题时要细心． 7．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）某同学在计算一个多项式乘以时，因抄错运算符号，算成了加上，得到的结果是． (1)求这个多项式； (2)该同学若按原题正确计算了，则结果为________． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）先根据题意列出抄错的式子计算，得到A即可； （2）把（1）中的结果代入原式计算得到正确答案即可； 【详解】（1）解：由题意得：， ∴， （2）解：由（1）知： ∴， 故答案为：； 【点睛】本题主要考查了整式的加减和整式的乘除，解决此题的关键是先根据题意算出A，再把A代入原式子得到正确答案，解决此题的关键是读懂题意，正确算出A的式子． 8．（24-25七年级下·江苏·专题练习）小红准备完成题目：计算时，她发现第一个因式的一次项系数被一滴墨水遮挡住了． (1)她把被遮住的一次项系数猜成2，请你帮她完成计算：； (2)老师说：“你猜错了，这个题目的正确答案是不含一次项的．”请通过计算说明原题中被遮住的一次项系数是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式的运算，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键． （1）根据多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加即可； （2）设被遮住的一次项系数为，根据多项式乘多项式的运算法则进行计算，再根据正确答案是不含一次项的，得到关于的方程，求出方程的解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：设被遮住的一次项系数为， 即 ， ∵这个题目的正确答案不含一次项的， ∴， 解得：， ∴被遮住的一次项系数为． 9．小红准备完成题目：计算，她发现第一个因式的一次项系数被墨水遮挡住了． (1)她把被遮住的一次项系数猜成3，请你完成计算：； (2)老师说：“你猜错了，这个题目的正确答案是不含一次项的，”请通过计算说明原题中被遮住的一次项系数是多少？ 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）根据多项式乘以多项式的计算法则求解即可； （2）设第一次因式的一次项系数为a，则原题目变为，根据多项式乘以多项式的计算法则计算出结果，再根据结果不含一次项即一次项系数为0进行求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：设第一次因式的一次项系数为a，则原题目变为， ， ∵的计算结果不含一次项， ∴， ∴， ∴被遮住的一次项系数是2． 【点睛】本题主要考查了多项式乘以多项式，熟知相关计算法则是解题的关键． 10．（24-25七年级下·江苏镇江·期末）甲、乙两人共同计算一道整式：，由于甲抄错了的符号，得到的结果是，乙漏抄了第二个多项式中的系数，得到的结果是． (1)求的值； (2)若整式中的的符号不抄错，第二个多项式中的系数没抄漏，请计算这道题的正确结果． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了多项式乘多项式；解题的关键是根据多项式乘多项式的运算法则分别进行计算，是常考题型，解题时要细心． （1）按甲乙错误的说法计算得出的系数的数值求出，的值； （2）将，的值代入原式求出整式乘法的正确结果． 【详解】（1）解：甲抄错了的符号的计算结果为：， 故：对应的系数相等，，； 乙漏抄了第二个多项式中的系数，计算结果为：． 故对应的系数相等，，， ， 解得：， ； （2）解：由（1）可知，， 正确的计算结果： ． 题型三：整式乘法中的无关型问题 11．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）已知的展开式中不含项，且常数项是．求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查多项式乘多项式，不含项的理解，解一元一次方程，求代数式的值等． （1）先将整式展开后得，再由常数项为得，继而求得，后得到本题答案； （2）先将整式乘法计算完成得，再代入（1）中的数值即可得到本题答案． 【详解】（1）解：∵， ∵的展开式中不含项， ∴， ∵常数项是， ∴，即：， ∴， ∴ （2）解：由（1）得，， ∴， ∴． 12．（24-25七年级下·江苏南京·月考）在学习多项式乘多项式时，我们知道的结果是一个多项式，并且最高次项为，常数项为，那么一次项是多少呢？要解决这个问题，就是要确定该一次项的系数．通过观察，我们发现一次项系数就是，即一次项为． 参考材料中用到的方法，解决下列问题： (1)所得多项式的一次项系数是______； (2)计算所得多项式的一次项系数； (3)如果计算所得多项式不含一次项，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查多项式乘以多项式运算，涉及解一元一次方程，读懂题意，理解材料中求多项式乘以多项式后一次项系数的方法是解决问题的关键． （1）读懂题意，按照题中解题方法从中选、从选相乘；再从选、从选相乘，两者求和即可得到一次项，即可得到答案； （2）读懂题意，按照题中解题方法从选、从选、从选相乘；从选、从选、从选相乘；从选、从选、从选相乘；三者求和即可得到一次项，即可得到答案； （3）读懂题意，类比（2）题中解题方法求解得到一次项系数为，进而列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：由材料中的解法，可知所得多项式的一次项系数是， 故答案为：； （2）解：由材料中的解法，可知所得多项式的一次项系数为； （3）解：由材料中的解法，可知所得多项式的一次项系数为， 多项式不含一次项， ，解得． 13．（24-25七年级下·江苏·期末）若关于x的多项式与的乘积展开式中没有二次项，且常数项为20，求a，b的值． 【答案】a，b的值分别为， 【分析】本题主要考查多项式乘多项式，要求熟练掌握多项式乘多项式的法则，理解展开式中不含二次项即二次项的系数为0是解题的关键．先计算与的乘积，根据常数项为20可求出a值，再根据展开式中没有二次项，则二次项系数为0可求出b值． 【详解】解：∵ ∴由题意得， ∴， 把代入得，， 解得， ∴a，b的值分别为，． 14．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）小马虎做一道数学题“两个多项式A，B，已知，试求的值”．小马虎将看成，结果答案（计算正确）为． (1)当时，求多项式A的值； (2)若多项式，且满足的结果不含项和x项，求m，n的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的加减，解题的关键是掌握整式的加减法则． （1）将错就错，把与错误结果代入确定即可； （2）化简，根据不含项和x项求出结果． 【详解】（1）解：根据题意得： ， 当时，原式； （2）解：，， ， 结果不含x2项和x项， ， ． 15．（24-25七年级下·江苏·期末）【阅读理解】 在计算机上可以设置程序，将二次多项式处理成一次多项式，设置程序为：将二次多项式A的二次项系数乘以2作为一次多项式B的一次项系数，将二次多项式A的一次项系数作为一次多项式B的常数项． 例如：，A经过程序设置得到． 【知识应用】 关于x的二次多项式A经过程序设置得到一次多项式B，已知，根据上方阅读材料，解决下列问题： (1)若，求m，n的值； (2)若的结果中不含一次项，求关于x的方程的解； (3)某同学在计算时，把看成了，得到的结果是，求出的正确值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查整式计算，解一元一次方程． （1）根据题意列式对应系数相等即可得到结果； （2）根据题意列式即可得到结果； （3）先求出的值，再求出即可． 【详解】（1）解：，． ， ，， ，； （2）解：， ∵的结果中不含一次项， ，解得：， 由得：， ； （3）解：， ， ， ∴． 题型四：整式乘法中的规律性计算问题 16．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）阅读下文，寻找规律： 已知，计算： … (1)观察上式猜想：______． (2)根据你的猜想计算：①；②． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查的是多项式乘以多项式中规律问题，从运算中发现总结出规律，以及应用规律是解题的关键． （1）根据观察得到的规律直接写出结果即可； （2）①先把要求值的代数式化为，进而根据规律，即可求解； ②根据①的结论得出，，两式相减，即可求解． 【详解】（1）解：观察上式可得：； 故答案为：； （2）① ②由①同理可得：， ∴ 17．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）杨辉三角 如果将（n为非负整数）的展开式的每一项按字母a的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式： ，它只有一项，系数为1； ，它有两项，系数分别为1，1； ，它有三项，系数分别为1，2，1； ，它有四项，系数分别为1，3，3，1； 将上述每个式子的各项系数排成该表（如图）． 观察该表，可以发现每一行的首末都是1，并且下一行的数比上一行多1个，中间各数都写在上一行两数的中间，且等于它们的和．按照这个规律可以将这个表继续往下写． 利用上面的规律，完成以下问题： (1)的展开式为________； (2)的展开式中共有________项，从左往右第三项的系数是________； (3)计算：； (4)代数推理：已知m为整数，求证：能被18整除． 【答案】(1) (2)九，28 (3)256 (4)见解析 【分析】本题考查了整式乘法和减法的应用、有理数的乘方，理解题意弄清展开式各项系数的规律是解题的关键． （1）先根据杨辉三角得出的展开式的系数，再根据展开式的每一项按字母a的次数由大到小排列，即可解答； （2）根据规律可知的展开式中共有九项，再逐步列举出展开式中的系数，即可得出答案； （3）通过观察可知，所求算式满足的展开式，则有，即可求解； （4）先根据展开式的规律得到，，作差得到，进而可得结论． 【详解】（1）解：根据题意，的展开式有五项，系数分别为1，4，6，4，1， 的展开式为． 故答案为：． （2）解：根据题意，的展开式有六项，系数分别为1，5，10，10，5，1， 的展开式有七项，系数分别为1，6，15，20，15，6，1， 的展开式有八项，系数分别为1，7，21，35，35，21，7，1， 的展开式有九项，系数分别为1，8，28，56，70，56，28，8，1， 的展开式中从左往右第三项的系数是28． 故答案为：九；28． （3）解： ； （4）解：， ， ∴ ， ∵能被18整除， ∴能被18整除． 18．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）杨辉三角形是形如（这里）的展开式的系数在三角形中的一种几何排列，记载于1261年他所著的《详解九章算术》中．下图是杨辉三角形与展开式的部分对照：              1             1  1           1  2  1         1  3  3  1        1  4  6  4  1 …… …… 请根据上述材料解决下列问题： (1)的展开式中第三项为___________； (2)的展开式中系数为10的项是___________； (3)求的展开式中含项的系数． 【答案】(1) (2)和 (3) 【分析】本题考查的是多项式的乘法运算中的某项的系数的规律探究，掌握探究的方法并总结运用规律是解本题的关键． （1）利用题干表的系数对应写出展开式，即可求解三项； （2）利用题干表的系数对应写出展开式，找出系数为10的项即可； （3）先计算，，，再观察得到的前面两项，再利用前面两项的系数规律可得答案． 【详解】（1）解：由题意得， ∴第三项为， 故答案为：； （2）解：由题意得，， ∴系数为10的项为和， 故答案为：和； （3）解：，，，…， 观察可知：展开式的前两项为， ∴当时，含项的系数为． 19．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）【阅读理解】 苏科版数学七年级下册课本第44页的“阅读”中介绍了“杨辉三角”．“杨辉三角”是我国古代数学的杰出研究成果之一，它揭示了二项式乘方展开式的规律，在欧洲，这个图表叫做“帕斯卡三角”．帕斯卡是在1654年发现这一规律的，比我国迟了近了600年．如图，是杨辉三角的一部分（两条斜边上的数都是1，其余每个数为它上方（左右）的两数之和），它把二项式乘方展开式系数图形化，它可以指导我们按规律写出形如（为正整数）展开式各项的系数，请你仔细观察下列等式中的规律，并利用杨辉三角解决下列问题． … 【初步感知】 （1）按以上规则，展开式共有____项，第三项（字母部分为）的系数是____； 【拓展推广】 （2）我们在对的推演过程中，是将中的“”代换成“”，可得；利用杨辉三角，写出的展开式___________；进而写出的展开式___________； 【迁移应用】 （3）根据以上规律计算 ． 【答案】（1）5 ，6 （2）； （3） 【分析】本题考查杨辉三角，找规律展开（为正整数），读懂题意，理解杨辉三角与（为正整数）展开式各项的系数关系规律是解决问题的关键． （1）由题中规律可知，结合杨辉三角形，将展开即可得到答案； （2）由题中规律可知，结合杨辉三角形，将展开即可得到答案；将等式中的“”代换成“”即可得到的展开式； （3）根据题中式子的结构特征，将其恒等变形为，再结合（2）中得到的的展开式，即可得到答案． 【详解】解：（1）由题中规律可知，结合杨辉三角形： ，展开式共有5项，第三项（字母部分为）的系数是6， 故答案为：5 ，6； （2）由题中规律可知，结合杨辉三角形： ； 将等式中的“”代换成“”，得到 ； 故答案为：；； （3）由（2）中可知， ． 20．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）我国古代数学的许多创新与发展都曾居世界前列，南宋时期有一位杰出的数学家杨辉，如图所示是他在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”，它的发现比欧洲早五百年左右． 此图揭示了（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，请根据上述规律，解决以下问题： (1)已知，则_____； (2)多项式展开式共有_____项，各项系数和为_____； (3)若，求的值. (4)如图，在“杨辉三角”中，选取部分数1，3，6，……，记，，，……．请完成下列问题： ①根据规律，的值是_____； ②计算：； ③请直接写出的值． 【答案】(1) (2)8，128 (3) (4)①；②；③ 【分析】本题考查数字变化类，多项式的乘法； （1）根据系数的变化规律进行解答即可； （2）根据“杨辉三角”中第三行中的数据，将展开后，各项的系数和所呈现的规律进行计算即可； （3）根据规律得到当时，，即可求出答案； （4）①根据规律得出，进而计算即可求解； ②根据题意得到，运用此公式进行展开计算即可求解； ③根据进行计算即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴ 故答案为： （2）根据“杨辉三角”可知， 第2行，展开后，各项的系数和为， 第3行，展开后，各项的系数和为， 第4行，展开后，各项的系数和为， 第5行，展开后，各项的系数和为， 第6行，展开后，各项的系数和为， 第7行，展开后，各项的系数依次为、、、、、、，各项的系数和为 第8行， 展开后，各项的系数依次为、、、、、、、 各项的系数和为 展开后，各项的系数和为， ∴多项式展开式共有项，各项系数和为128； 故答案为：8，128． （3）∵ ∴当时， 即 ∴ （4）①由题意得：， ， ， …… ∴ ∴ 故答案为： ②由①得到， ∴ ∴ ③ 题型五：整式乘法与图形面积 21．（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）如图①，在一张长方形纸片的四个角分别剪去一个边长相等的正方形，可折叠成如图②的一个无盖长方体纸盒． (1)若图①中长方形纸片的长为，宽为，设截去的小正方形的边长为，当所折成的图②中长方体盒子的底面积为时，可列方程： ； (2)若图②中长方体的长、宽、高分别为、、，那么图①中长方形纸片的面积是 ． (3)类似的，甲、乙两位同学分别用长方形纸片，通过裁剪与折叠，得到两个高都为的无盖长方体纸盒、；其中纸盒的长是纸盒的长的3倍，纸盒的宽是纸盒的宽的倍．试比较甲、乙两位同学所用长方形纸片面积的大小．（注：长方形的长大于宽） 【答案】(1) (2) (3)甲同学所用长方形纸片的面积大． 【分析】本题考查有理数运算的实际应用，整式的混合运算． （1）求出长方体的底面的长、宽，进而根据底面积为列方程即可； （2）根据题意，得到长方形的长等于长方体的长加上两个高，宽等于长方体的宽加上两个高，再根据长方形的面积公式进行计算即可； （3）设纸盒的长和宽分别为，得到纸盒的长和宽分别为，利用长方形的长等于长方体的长加上两个高，宽等于长方体的宽加上两个高，分别求出两个长方形的面积，比较大小即可． 【详解】（1）解：∵图①中长方形纸片的长为，宽为，设截去的小正方形的边长为， ∴图②中长方体的底面的长为、宽为， ∵图②中长方体盒子的底面积为， ∴ 故答案为：； （2）解：（）， 故答案为：； （3）解：设纸盒的长和宽分别为，则：纸盒的长和宽分别为， 则甲同学所用长方形纸片面积为：， 乙同学所用长方形的纸片面积为：， 甲同学所用长方形纸片面积-乙同学所用长方形的纸片面积为： ， ∵纸盒的长和宽分别为，长方形的长大于宽， ∴， ∴， 即， ∴甲同学所用长方形纸片的面积大． 22．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）教材中，在计算如图①所示的正方形的面积时，分别从两个不同的角度进行了操作： 角度一：把它看成是个大正方形，则它的面积为． 角度二：把它看成是由个小长方形和个小正方形组成的，则它的面积为． 因此可得到等式． (1)类比教材中的方法，由图②中的大正方形可得等式： ； (2)利用①中得到的结论，解决下面的问题：若，，则的值为 ； (3)试在虚线框内画出面积为的长方形的示意图标注好，，由图形可知，多项式可写成几个整式的积的形式：__________________； (4)若将代数式展开、合并同类项后得到多项式，则多项式共有_____项？ 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】此题考查了完全平方公式的几何背景及多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）根据图2，利用直接求与间接法分别表示出正方形面积，即可确定出所求等式； （2）由（1）中结论可得，将所给式子的值整体代入即可； （3）根据长方形的面积公式与长，宽之间的关系画出图形即可； （4）由，共有项． 共有项． 知展开后合并同类项共 【详解】（1）解：由题意可知， 故答案为： （2）解：由（1）知， ∵，， ∴ ； 故答案为：． （3）解：如图， 故答案为： （4）解：由，共有项． 共有项． 知展开后合并同类项共 故答案为：． 23．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）通过小学的学习，我们知道：周长一定的长方形中，正方形的面积最大．此结论可以利用图形的割补加以说明． (1)【方法理解】 已知长方形的周长是12，设长方形的一边长是x，则相邻一边长是． ①条件：当时，如图1，将此长方形进行如下割补．如图2，长方形B的一边长是x，相邻一边长是______．如图3，将长方形B割补到长方形A的右侧，阴影部分是一个边长为______的正方形（以上两空，均用含x的代数式表示）．通过上述割补，图1中长方形的面积可以看成图3中两个正方形的面积之差，所以代数式、9、满足的等量关系是______； 结论：可得． ②当时，同理可得； ③当时，该长方形即为正方形； 综上分析，周长是12的长方形的最大面积是______． (2)【方法迁移】 仿照上述方式，求出当时，代数式的最大值（无需描述割补过程，只需画出示意图）． 【答案】(1)；； 9 (2)25 【分析】本题考查了多项式乘多项式与图形面积、列代数式等知识点，理解材料的用意及数形结合是解题的关键． （1）根据图形面积的求法列代数式并整理即可解答； （2）根据题中图形面积的求法画出相应的图形，求出 的最大值，据此求解即可． 【详解】（1）解：①当时，如图2，长方形B的一边长是x，相邻一边长为；如图3，阴影部分是一个边长为的正方形，长方形A、B和阴影部分组成一个边长为3的正方形， ∴， ②当时，同理可得； ③当时，该长方形即为正方形； 综上分析，周长是12的长方形的最大面积是9． 故答案为：；； 9． （2）解：当时，如图，阴影部分是边长为的正方形， ∴； 当时，如图，阴影部分是边长为的正方形， ∴， 当时，该长方形为边长是5的正方形，即 ∴边长是 和的长方形的最大面积是25， ∴ 的最大值为25． 24．（24-25七年级下·江苏·期末）“小菜园”是淮阴中学开明分校设立的特色劳动课课程之一． 如图，初一（8）班的同学们在一块长为米，宽为米的长方形菜园里种植当季蔬菜，在阴影部分的区域内种植青椒，在中间边长为米的正方形区域内种植茄子． (1)求种植青椒区域的面积是多少平方米（用含a，b的代数式表示）； (2)当，时，种植青椒区域的面积为 平方米． 【答案】(1) (2)11 【分析】本题考查整式的乘法的实际应用，代数式求值． （1）种植青椒区域的面积等于长方形菜园面积减去正方形区域的面积，运用整式的乘法进行计算即可； （2）把a，b的值代入求值即可． 【详解】（1）解：种植青椒区域的面积为 （平方米） 故答案为： （2）解：当，时， ， ∴种植青椒区域的面积为11平方米． 故答案为：11． 25．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）已知甲、乙两个长方形纸片，其边长如图所示（），面积分别为和． (1)①用含m的代数式表示： ， ；（结果请化简） ②用“”“ ”或“”填空： ； (2)若一个正方形纸片的周长与长方形纸片乙的周长相等，其面积设为． ①该正方形纸片的边长是 （用含m的代数式表示，并化简）； ②小方同学发现与的差是定值，请计算出这个定值． 【答案】(1)①；② (2)①；②1 【分析】本题主要考查了整式乘法的应用，比较基础，能够根据题意列出解题所需的代数式是解题关键． （1）①根据长方形面积公式列式计算即可；②用作差法比较大小即可； （2）①求出乙长方形的周长，即可求出该正方形的边长；②列式计算与的差，可知与m无关． 【详解】（1）解：①根据题意得： ； ； 故答案为：； ② ， ∵， ∴， ∴，即； 故答案为： （2）解：①根据题意得：该正方形纸片的边长是 ， 故答案为： ②， 所以与的差是定值，即小方同学的发现是正确的． 题型六：乘法公式中变形求值计算 26．（25-26八年级上·江苏南通·期中）已知． (1)_________，_________（用含的式子表示）； (2)求的值． 【答案】(1)， (2)4 【分析】本题考查了多项式乘法法则和完全平方公式的变形应用． （1）左边多项式展开后，根据等式两边同类项系数相等，直接比较x的一次项系数和常数项，得到和的表达式； （2）利用完全平方公式，将（1）中得到的和代入计算，化简后得出结果． 【详解】（1）解：由题意知，， ∴， ∴，． 故答案为：，． （2）解：由（1）知，，， ∴， 则， 即的值为4． 27．已知：，．求： (1)的值； (2)的值； (3)的值． 【答案】(1)17 (2)21 (3)5或 【分析】本题主要考查了运用完全平方公式进行运算， （1）将整理为，然后将，代入求值即可； （2）将整理为，然后将，代入求值即可； （3）首先将整理为，将，代入求得的值，即可获得答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）∵，， ∴； （3）∵，， ∴， ∴或． 28．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）已知，． (1)当时，求的值； (2)求的值． 【答案】(1)4 (2)3 【分析】此题考查整式乘法公式，同底数幂乘法公式，幂的乘方，完全平方公式． （1）根据同底数幂乘法公式，幂的乘方化简再代入计算即可； （2）根据完全平方公式变形计算即可． 【详解】（1）解：∵，． ∴当时， ； （2）∵，． ∴ ． 29．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）已知，．求 (1)的值； (2)的值 【答案】(1)157 (2) 【分析】本题考查多项式的乘法及完全平方公式的变形，熟练掌握完全平方公式的各种变形是关键． （1）根据多项式乘多项式求出，然后利用完全平方公式进行求解即可； （2）先求出的值，再开平方进行求解即可． 【详解】（1）解： 将代入上式得，， ∴， 将和代入上式得， 原式； （2）解：∵， ∴将和代入上式得， 原式， ∴． 30．（24-25七年级下·江苏徐州·月考）阅读理解： 已知，，求的值． 解：∵， ∴，即， ∵， ∴， 参考上述过程解答： (1)若，．求和的值； (2)已知，，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查完全平方公式的变形计算，掌握完全平方公式的计算是关键． （1）根据材料提示，结合完全平方公式的变形计算即可； （2）运用完全平方公式的变形计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，即， ∵， ∴， ； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴． 题型七：乘法公式与图形结合问题 31．（25-26八年级上·吉林长春·期中）数形结合是解决数学问题的重要思想方法，通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式．如图①是一个大正方形被分割成了边长分别为a和b的两个小正方形和长宽分别为a和b的两个长方形，利用这个图形可以验证公式． 利用上述公式解决问题： (1)①若，，则______， ②若，求的值； (2)如图②，在线段上取一点D，分别以，为边作正方形、，连接、、．若的长为10，的面积为11，求阴影部分的面积和． 【答案】(1) ① ② (2)阴影部分的面积和为 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征并运用整体思想和数形结合思想是解题关键． （1）①根据，代入求值即可； ②类比①可得，，代入求值即可； （2）设正方形边长为m，正方形的边长为n，由题意可知，，．两个正方形的面积之和为，空白面积为，求出值后相减即可． 【详解】（1）解：①； ② 类比①可得， ； （2）解：设正方形边长为m，正方形的边长为n， 由题意可知，，，即， 两个正方形的面积之和为， 空白面积为， ∴阴影部分的面积和为． 32．（25-26八年级上·江苏南通·期中）小颖在学习完乘法公式后，发现完全平方公式通过代数变形，可以解决很多数学问题，例如：已知，，求的值． 解：∵；∴；∴ 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)已知 ，，求的值； (2)某校开垦了如图所示的一块梯形空地作为劳动实践基地，并分成四块．其中，于点O，，．计划在和区域内组织同学们种茄子和黄瓜，在和的区域内种豇豆和辣椒，经测量，种豇豆和辣椒区域的面积和为平方米，米，求种茄子和黄瓜区域的面积和是多少平方米． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了通过对完全平方公式变形求值，运用完全平方公式进行运算，完全平方公式在几何图形中的应用，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）通过对完全平方公式变形求值； （2）先根据种豇豆和辣椒区域的面积和为平方米，，，，得出，于是有，再根据米，得出，两边平方可得，从而可得出，再求得种茄子和黄瓜区域的面积和． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵种豇豆和辣椒区域的面积和为平方米，，，， ∴， ∴， ∵米， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴种茄子和黄瓜区域的面积和是(平方米)． 33．（25-26八年级上·江苏南通·期中）将完全平方公式：适当的变形，解决下列问题： (1)若，，求的值； (2)已知，则的值为_____． (3)如图，点是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）利用完全平方公式计算即可； （）设，则，，可得，再利用完全平方公式求出的值即可求解； （）设，，则，，可得，，再利用完全平方公式求出的值即可求解； 本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴； （2）解：设，则，， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：设，，则，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴图中阴影部分面积． 34．（24-25七年级下·江苏徐州·月考）问题呈现：借助几何图形探究数量关系，是一种重要的解题策略，图1，图2是用边长分别为，的两个正方形和边长为，的两个长方形拼成的一个大正方形，利用图形可以推导出的乘法公式分别是图1________，图2________；（用字母，表示）    数学思考：利用图形推导的数学公式解决问题． （1）已知，，求的值； （2）已知，求的值． 拓展运用：如图3，点是线段上一点，以，为边向两边作正方形和正方形，面积分别是和．若，，则直接写出的面积，（用，表示） 【答案】问题呈现：；；数学思考：（1）25；（2）4054；拓展运用： 【分析】本题考查了整式的混合运算化简求值，完全平方公式的几何背景，准确熟练地进行计算是解题的关键． 问题呈现：利用面积法进行计算，即可解答； 数学思考：（1）利用完全平方公式进行计算，即可解答； （2）设，，则，，然后利用完全平方公式进行计算，即可解答； 拓展运用：设，，则，，然后利用完全平方公式进行计算，即可解答． 【详解】解：问题呈现：利用图形可以推导出的乘法公式分别是图1：；图2：； 故答案为：；； 数学思考： （1），， ， 的值为25； （2）设，， ， ， ， ， 的值为4054； 拓展运用：的面积， 理由：设，， ， ， ， ， 的面积 ． 35．（24-25七年级下·江苏扬州·月考）完全平方公式：适当的变形，可以解决很多的数学问题． 例如：若，，求的值． 解：因为， 所以， 所以， 得 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)若，，求的值； (2)请直接写出下列问题答案： ①若，，则　　； ②若，则　　． (3)如图，点C是线段上的一点，以，为边向两边作正方形的，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 【答案】(1) (2)①；② (3) 【分析】本题考查了已知式子的值求代数式的值，通过对完全平方公式变形求值，完全平方公式的几何背景，解题关键是掌握完全平方公式的结构特征． （1）根据完全平方公式得出，整体代入求值即可； （2）①将利用完全平方公式转化为，再整体代入求出，最后求出的值； ②根据完全平方公式将转化为，再整体代入求值即可； （3）设， ，可得，，求出即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴； （2）∵，，， ∴， ∴， 故答案为：； ②根据可得， ， ∵， ∴， 故答案为：； （3）设，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ． 题型八：乘法公式中的整体性思维问题 36．（22-23七年级上·江苏宿迁·期中）思想是中学数学解题中的一种重要的思想方法，例如，我们可以将看成一个整体，则，请根据上面的提示和范例，解决下面问题： (1)把看成一个整体，求将合并的结果； (2)已知，求的值； 【答案】(1)； (2)1． 【分析】（1）仿照文中所给的例子解答即可； （2）根据，求出，即可求出． 【详解】（1）解： ． （2）解：∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查整体代入的思想，整式的混合运算法则，已知式子的值，求代数式的值，解题的关键是理解整体代入的思想． 37．在数学学习中，运用整体思想能将运算变得简单． 例如，在计算时就可以将看成一个整体，式子转化为：．请借助整体思想完成： (1)，求； (2)已知，求． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了完全平方公式，平方差公式，熟悉掌握运算法则是解题的关键． （1）利用整体思想结合平方差公式运算求解即可； （2）利用整体思想结合完全平方公式运算求解即可； 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴； （2）， ， ， ， ， ． 38．（24-25八年级下·江西鹰潭·期末）先阅读材料，再解答下列问题：材料：因式分解：． 解：将看成整体，令，则原式 再将还原，得到原式 上述解题用到的是整体思想，整体思想是数学中常用的方法，请根据上面的方法解答下面的问题： (1)因式分解：； (2)证明：若为正整数，则式子的值一定是某一个整数的平方． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）将看成整体，令，进行分解因式即可； （2）将看成整体，令，解答即可． 本题考查了整体代换法分解因式，熟练掌握整体代换法是解题的关键． 【详解】（1）解：将看成整体，令， 则原式， 再将还原，得到原式 （2）证明：， 将看成整体，令， 则原式， 再将还原，得到原式， 为正整数，为整数， 故式子的值一定是某一个整数的平方． 39．（23-24七年级上·江西上饶·期中）阅读材料： 我们知道，，类似地，我们把看成一个整体，则． “整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： (1)把看成一个整体，合并______； (2)已知，求的值； (3)探索：已知，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查整式的混合运算，完全平方公式的变形运用，整体代入计算的运用，掌握整式的混合运算法则，完全平方公式的运用是解题的关键． （1）根据材料提示的“整体思想”的运算方法即可求解； （2）将代数式变形为，再运用整体代数计算即可； （3）运用完全平方公式变形，再整体代入计算即可． 【详解】（1）解： ， 故答案为：． （2）解：， ∵， ∴原式． （3）解：已知，， ∴，， ∵ ， ∴ ． 40．（24-25七年级下·福建漳州·期末）“整体思想”在数学中应用极为广泛． 例如：已知，求的值． 解：， ． ． 请尝试应用“整体思想”解决以下问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值； (3)若（m，n都是整数）能被6整除，试说明也能被6整除． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）从已知条件变形得到的值，再将所求式子变形为含的形式，整体代入计算． （2）通过设元，把和用新的字母表示，利用完全平方公式的变形，结合已知条件求出两式乘积；或利用完全平方差公式与已知条件建立联系求解． （3）根据能被整除设出表达式，将变形为含的形式，再结合设出的表达式判断能否被整除． 本题主要考查了整体思想在代数式求值、整除问题中的应用，涉及完全平方公式、代数式变形等知识，熟练掌握整体代换的技巧是解题的关键． 【详解】（1）解：， ． ． （2）解：方法一： 设，． 则． ． ． ． ， ． ． 则． 方法二： 设，． 则． ． ． ． ． 则． （3）解：能被6整除， ∴设（为正整数） ∴ ． ∴也能被6整除. 题型九：利用乘法公式的性质求值 41．（2025七年级上·江苏南京·专题练习）利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决方程或代数式的一些问题，请阅读下列材料；阅读材料：若，求m、n的值． 解：，， ，，，，． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)已知，则______，______； (2)已知，求a，b的值； (3)若，，试比较A与B的大小关系，并说明理由． 【答案】(1)， (2)， (3)，详见解析 【分析】本题考查完全平方公式的应用，解题的关键是合理配凑完全平方公式． （1）将多项式拆分为完全平方展开式的形式，最后配凑为完全平方，再根据平方的性质求解． （2）先配凑完全平方公式求出a，b值即可． （3）利用作差法比较大小，配凑完全平方公式并根据平方的性质判断． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，． （2）解：∵， ∴ ∴， ∴，， 解得，； （3）解：，理由如下： ∵，， ∴ ， ∵， ∴， ∴． 42．（25-26九年级上·江苏无锡·月考）定义：若一个整数能表示成（a，b为整数）的形式，则称这个数为“完美数”． 例如：5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”． (1)尝试：已知25是“完美数”，请将它写成（a，b为正整数）的形式_______； (2)探究：请将表示成“完美数”的形式，并求出其最小值； (3)应用：已知（x，y为整数，k是常数），要使S为“完美数”，求k的值，并说明理由． 【答案】(1) (2)，的最小值为1； (3)当时，S为“完美数”． 【分析】本题考查完全平方公式的运用，阅读理解题目表述的意思是本题的关键． （1）利用“完美数”的定义可得； （2）利用配方法，将其配成完美数，可求出最小值； （3）根据完全平方公式，将其配成完美数，可求的值． 【详解】（1）解：25是“完美数”，将它写成（，是正整数）的形式为：， 故答案为：； （2）解：， ， ， ∴的最小值为1； （3）解：， ，是整数， ，也是整数， 要使S为“完美数”， ∴， 解得：， ∴当时，S为“完美数”． 43．（24-25七年级下·江苏淮安·月考）阅读理解：“”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式．例如：， ． ， ． 试利用上述阅读材料解决下列问题： (1)填空：____________________； (2)已知，则的值为__________； (3)若，，请比较A与B的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】本题考查完全平方公式，熟练掌握配方法是解题的关键： （1）仿照题干的方法，将代数式配成完全平方式即可； （2）将等式转化为，利用非负性进行求解即可； （3）求出的符号，进行判断即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：； （2） ， ， ∴， ∴， ∴； （3） ， ∵， ∴， ∴． 44．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）求下列代数式的值： (1)已知：．求：代数式的值． (2)已知，求的值． (3)若，，求的值 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了完全平方公式，整式的化简和求值的应用，用了整体代入得思想，熟练掌握运算法则是关键． （1）先根据已知进行计算得出，再把所求的代数式化简得，最后代入求出即可； （2）运用两次完全平方公式进行计算即可求解． （3）根据题意得出，，根据，代入即可求解． 【详解】（1）解：∵， ， ， ； （2）解：∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ （3）解：∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴，则 ∴ 45．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）如果一个正整数能表示为两个连续正偶数的平方差，那么称这个正整数为“幸福数”．例如：，，，因此12，20，28都是“幸福数”． (1)请再写出一个“幸福数” ； (2)猜想：“幸福数”是4的 （奇数倍或偶数倍），判断你的猜想是否正确，并说明理由； (3)已知a、b为正整数，且，若是“幸福数”． ①求的值； ②的最小值为 ； ③若是“幸福数”，试说明也是“幸福数”． 【答案】(1)36（答案不唯一） (2)奇数倍，理由见解析 (3)①10②11③见解析 【分析】本题考查平方差公式，完全平方公式，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）根据幸福数的定义，进行作答即可； （2）根据幸福数的定义，结合平方差公式进行判断即可； （3）①将转化为，根据幸福数的定义，即可求出；②根据， a、b为正整数，且，得到当时，的值最小，进行求解即可；③根据是“幸福数”，得到为4的奇数倍，将转化为，得到为4的奇数倍，即可得证． 【详解】（1）解：； 故再写出一个“幸福数”可以是； （2）“幸福数”是4的奇数倍，理由如下： ∵， ∵为奇数， ∴“幸福数”是4的奇数倍； （3）① ； ∵是“幸福数”， ∴； ②∵，a、b为正整数，且， ∴当时，的值最小为，此时最小，； ③∵， ∴， ∴， ∵为幸福数， ∴为4的奇数倍， ∴ ； ∵为4的奇数倍，为4的偶数倍， ∴也为4的奇数倍， 故为幸福数． 题型十：乘法公式的实际应用 46．（25-26八年级上·江苏南通·期中）【探索发现】 数学活动课上，老师准备了如图1的一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按如图2所示的形状拼成一个大正方形． （1）观察图1，图2，请写出，，之间的等量关系是：___________； 【解决问题】 （2）若，且，则___________； 【实际应用】 （3）学校计划用一块梯形区域开展科技节活动，如图3所示．已知于点，．计划在和区域内展示无人机和机器人表演，在和区域内分别是主舞台和观众，经测无人机和机器人表演区域的面积和为84平方米，米，求主舞台和观众区的面积和． 【拓展提升】 （4）已知，求的值． 【答案】（）；（）；（）；（）． 【分析】本题考查了完全平方公式与几何图形，完全平方公式的变形运算，熟练掌握完全平方公式的运用是解题的关键． （1）根据大正方形的面积减去个长方形的面积等于小正方形的面积，列出等量关系即可； （2）利用（1）所得的等量关系解得即可； （3）设，，可得，，再利用完全平方公式计算即可求解； （4）根据完全平方公式得到，根据求出，即，进入求出，根据求出，即可求出的值． 【详解】（1）解：大正方形的面积为，小正方形的面积为，长方形的面积为， 由图可知，大正方形的面积减去个长方形的面积等于小正方形的面积， ∴， 故答案为：； （2）解：由（1）可得，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：设，， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∵无人机和机器人表演区域的面积和为平方米， ∴， ∴， ∴， ∴主舞台和观众区的面积和为； （4）解： ， ∵， ∴， （负值舍去） ∵， ∴， 即， ∴ ∵ ， ∴． 47．（25-26七年级上·江苏扬州·期中）如图，将边长为的正方形剪出两个边长分别为a，b的正方形（阴影部分）．观察图形，解答下列问题：    (1)根据题意，用两种不同的方法表示阴影部分的面积（即用两个不同的代数式表示阴影部分的面积）． 方法1：________； 方法2：________； (2)从中你得到等式：________； (3)运用你发现的结论，解决下列问题： ①已知，，求的值； ②已知，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，灵活将公式进行变形是解题的关键． （1）方法1采用两个正方形的面积和，方法2用大正方形的面积减去两个长方形的面积； （2）利用面积相等得出结论； （3）①由（2）的结论，代入计算即可； ②设，，则，，，再整体代入计算即可． 【详解】（1）解：方法1，阴影部分的面积等于两个正方形的面积和，即， 方法2，从边长为的大正方形面积减去两个长为a，宽为b的长方形面积，即， 故答案为：，； （2）解：∵（1）中的两种方法都表示阴影部分面积， ∴， 故答案为：； （3）解：①∵， ∴， 又∵， ∴； ②设，，则，， ∴， ∴． 48．（25-26七年级上·上海松江·期中）“数缺形时少直观，形缺数时难入微．数形结合百般好，隔裂分家万事休．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式． （1）如图①是一个大正方形被分割成了边长分别为a和b的两个正方形，长宽分别为a和b的两个长方形，利用这个图形可以验证公式__________． 利用上述公式解决问题： 【直接应用】 （2）若，，则__________； 【类比应用】 （3）若，求的值． 【知识迁移】 （4）如图②，点在线段上，四边形、都是正方形，连接、、．若阴影部分的面积和为10，的面积为3，求的长度． 【答案】（1）；（2）32；（3）80；（4） 【分析】本题主要考查完全平方公式的应用，算术平方根等知识，熟练掌握完全平方公式时解题的关键． （1）从“整体”与“部分”分别用代数式表示图形的面积，再根据各个部分面积之间的和差关系即可得出答案； （2）根据整体代入计算即可； （3）利用完全平方公式的变形进行解答即可； （4）设正方形的边长为m，正方形的边长为n，由题意可得，，进一步求出，，根据求出的值，最后根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：（1）图①从“整体上”看是边长为的正方形，因此面积为，拼成图①的四个部分的面积和为， 所以利用这个图形可以验证公式． 故答案为：． （2）， ， 当，时， ． 故答案为：32． （3），， ； （4）设正方形的边长为m，正方形的边长为n， 则，，， ，， ，， ， ， ， ，， ，即． 49．（24-25八年级上·广西南宁·期中）【知识生成】 通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1，在边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形（），把余下的部分剪开并拼成一个长方形（如图2），图1中阴影部分的面积可表示为：，图2中阴影部分的面积可表示为：，因为两个图中的阴影部分的面积是相同的，所以可得到等式：． 【结论探究】 图3是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个大正方形． （1）如图4，用两种不同方法表示图中阴影部分面积，可得到一个关于，，的等式是______． （2）若，，求的值． 【类比迁移】 （3）如图5，点是线段上的一点，以为边向上下两侧作正方形，正方形，两正方形的面积分别记为和，若，两正方形的面积和，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）；（2）29；（3）17 【分析】（1）根据题意，阴影部分的面积大正方形的面积4个小长方形的面积，列出代数式即可；阴影部分的面积正方形的面积长方形的面积小长方形的面积，代入字母求出代数式即可； （2）根据（1）代入数据计算即可； （3）根据题意，延长交于点H，设正方形的边长为x，正方形的边长为，两个正方形的面积和是47，得出方程，根据 ，列出代数式，求出阴影部分面积即可． 本题考查了平方差公式、完全平方公式，代数式，解决本题的关键是熟练运用正方形的面积公式、三角形的面积公式、梯形的面积公式． 【详解】解：（1）阴影部分的面积： 阴影部分的面积： 故答案为： （2）若，， （3）如图：延长交于点H 设正方形的边长为x，正方形的边长为， 得， ， ， 即， ， 即 答：图中阴影部分的面积是17． 50．（23-24七年级下·重庆·月考）已知8张长为，宽为的小长方形纸片，按下图方式不重叠地放在矩形内，未被覆盖的部分分别用两个阴影表示．其中右下角阴影为六边形，左上角阴影为长方形．设六边形与长方形面积的差为，设． (1)用的代数式表示； (2)当的长度变化时，如果始终保持不变，则应满足的关系是什么？ (3)在（2）的结论成立的情况下，用10张长为，宽为的矩形纸片，再加上张边长为的正方形纸片，张边长为的正方形纸片（是正整数），拼成一个大的正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接），则当大正方形面积最小时，求拼成的大的正方形的边长为多少（用含的代数式表示）？并求出此时的的值． 【答案】(1) (2) (3)时，大正方形面积最小，此时边长为 【分析】本题考查列代数式、整式的混合运算以及几何应用、算术平方根，理解题意，正确列出代数式，以及能得出是完全平方数是解答的关键． （1）先用、、分别表示出阴影部分的长和宽，进而分别表示出阴影的面积，然后作差求解即可； （2）根据差与无关可知代数式的值与无关，即可求出、的关系； （3）根据题意可得出拼得的正方形的面积为，根据正方形的面积可知，是完全平方数，结合为正整数即可得出答案． 【详解】（1）解：记长方形的面积为，六边形的面积为， 则，，，， ，， ∴， ， ∴ ， 即：； （2）由（1）可知，， 当的长度变化时，要使得始终保持不变，即上面代数式的值与无关， ∴，即、满足的关系是：． （3）拼成的大正方形的面积为：10张边长为，宽为的矩形的面积张边长为的正方形的面积张边长为的正方形的面积， ∴拼成的大正方形的面积为：， ∵， ∴， ∵是边长的平方， ∴是完全平方数，而为正整数， 当时，， 当取更大的完全平方数时，正方形的面积也变大， 故时，大正方形面积最小，此时面积为，则边长为． 题型十一：乘法公式的新定义运算 51．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）定义：对于任意四个有理数a、b、c、d，定义一种新运算：． (1) ； (2) ；若是完全平方式，则 ； (3)若有理数m、n满足，且． ① 求的值； ② 如图，四边形是长方形，点E、F、G、H分别在边上，连接交于点P，且将长方形分割成四个小长方形，若，，，，在①的条件下，求图中阴影部分的面积．    【答案】(1)11 (2)； (3)①2；② 【分析】本题考查了新定义，完全平方公式的变形求解，熟练掌握新定义和完全平方公式是解答本题的关键． （1）根据计算即可； （2）根据计算，再根据完全平方式的特征求解即可； （3）①根据得出，再结合即可求出； ②根据图象可得，化简后代入，即可求解； 【详解】（1）解：； （2）解：； 若是完全平方式，则； （3）解：①∵ ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ②由题意可知： ， 将，代入可得，原式． 52．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）新定义：如果，那么我们称是关于的“圆满数”． (1)是______关于的“圆满数”；是______关于的“圆满数”(用含的代数式表示)； (2)若，，判断是否是关于的“圆满数”，并说明理由． 【答案】(1)， (2)是，理由见解析 【分析】本题考查了整式的乘法，整式的加减；解决本题的关键是根据“圆满数”的定义解决问题． （1）因为，那么我们称是关于的“圆满数”，所以是关于的“圆满数”，，是关于的“圆满数”，据此解答； （2）因为，，所以，如果结果是，我们称是关于的“圆满数”，如果不是，不是关于的“圆满数”． 【详解】（1）解：因为，那么我们称是关于的“圆满数”， 所以， 即是关于的“圆满数”， ， 所以是关于10的“圆满数”． 故答案为：，． （2）因为，, 所以 ， 即， 所以是关于的“圆满数”． 53．（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）我们定义：如果两个多项式M与N的和为常数，则称M与N互为对消多项式， 这个常数称为它们的对消值，如与互为对消多项式， 它们的对消值为5 (1)下列各组多项式互为“对消多项式”的是 （填序号）； ①与；②与 ；③与. (2)多项式与多项式（a， b为常数）互为对消多项式， 求它们的对消值 【答案】(1)③ (2)2 【分析】此题考查了整式的加减运算，解一元一次方程，完全平方公式，解题的关键是掌握以上运算法则． ()运用题目中的定义进行逐一计算、辨别； ()先运用题目中的定义求得，的值，再代入求解． 【详解】（1）解：①，不是常数，故不是“对消多项式”； ②，不是常数，故不是“对消多项式”； ③，是常数，故是“对消多项式”， 故答案为：③； （2）解：，， ∵与互为“对消多项式”， ，， ，， ∴它们的“对消值”为； 54．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）我们定义：如果两个多项式的差为常数，则称与互为恒定差多项式，这个常数称为它们的恒定差值，如与互为恒定差多项式，它们的恒定差值为-4． (1)下列各组多项式互为“恒定差多项式”的是__________（填序号）； ①与②与③与． (2)多项式与多项式（，为常数）互为恒定差多项式，求，的值，并写出恒定差值． 【答案】(1)③ (2)，，恒定差值为． 【分析】本题考查了完全平方公式，平方差公式，整式的加减运算，解题的关键是正确理解题意． （1）两个多项式相减，判断差是否为常数即可； （2）两个多项式作差，令二次项系数和一次项系数为零，求出和的值，代入常数项，计算即可． 【详解】（1）解：∵，不是常数， ∴与不互为“恒定差多项式”， ∴①不符合题意， ∵，不是常数， ∴与不互为“恒定差多项式”， ∴②不符合题意， ∵，是常数， ∴与互为“恒定差多项式”， ∴③符合题意， 故答案为：③． （2）解：∵多项式与多项式（，，为常数）互为恒定差多项式， ， ∴为常数， ∴， 解得，，， ∴， ∴恒定差值为． 答：，，恒定差值为． 55．（23-24七年级下·江苏连云港·期中）定义：一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，因为，所以5是“完美数”． 【解决问题】 （1）已知29是“完美数”，请将它写成（a，b是整数的形式）______； （2）若可配方成（m，n为常数），则的值为______； 【探究问题】 （3）已知（x，y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由． 【拓展结论】 （4）已知x，y满足，求的最小值． 【答案】（1）；（2）2；（3）当时，为“完美数”，理由见解析；（4）4 【分析】本题考查的是新定义运算的理解，完全平方公式的应用，熟练的掌握完全平方公式的特点与性质是解本题的关键． （1）根据“完美数”可得答案； （2）利用完全平方公式可得，从而可得答案； （3）利用完全平方公式可得，再利用新定义可得答案； （4）由条件可得，再结合非负数的性质可得最小值． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）； ∴，， ∴； （3）当时，为“完美数”，理由如下： ， 当时，，则，为完美数； （4）∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当时， 有最小值，最小值为4． 题型十二：利用配方法求最值 56．（22-23七年级下·江苏扬州·期中）阅读理解并解答： 为了求代数式的值，我们必须先知道x的值，若，则这个代数式的值为5；若，则这个代数式的值为10，……可见，这个代数式的值因x的取值不同而变化，尽管如此，我们还是有办法来考虑这个代数式的值的范围． （1）把一个多项式进行部分因式分解可以来解决代数式值的最大（或最小）值问题，例如：，因为是非负数，所以，这个代数式的最小值为______，这时相应的x的值是_______． 尝试探究并解答： （2）求代数式的最大（或最小）值，并写出相应x的值． （3）求代数式的最大（或最小）值，并写出相应x的值． （4）已知代数式，当x的值在（包含和4）之间变化时，直接写出代数式的值的变化范围． 【答案】（1）1，；（2）的最小值，；（3）的最大值13，；（4）（包含和2） 【分析】（1）根据非负数的性质即可解决问题； （2）根据题干提供的方法，即可解决问题； （3）根据题干提供的方法，即可解决问题； （4）首先判断的最小值，求出或4时的值，即可判断的取值范围． 【详解】解：（1）∵， 又∵， ∴， ∴最小值为1，此时， 即； （2）∵， 又∵， ∴， ∴有最小值，此时，即； （3）∵， 又∵， ∴， ∴有最大值13，此时； （4）∵， ∴有最小值，此时， 令，则， 令，则， ∴当x的值在（包含和4）之间变化时，． 【点睛】本题考查非负数的性质、完全平方公式的应用，解题的关键是熟练掌握完全平方公式，利用非负数可以确定最值问题． 57．（24-25八年级下·江苏苏州·月考）探究代数式的最小值时，我们可以这样处理： 因为， 所以当时，的值最小，最小值是0． 所以． 所以当时，的值最小，最小值是1． 所以的最小值是1． 依据上述方法，解决下列问题： (1)当________时，有最小值是________； (2)多项式有最________（填“大”或“小”）值，该值为________； (3)已知，求的最小值； 【答案】(1)， (2)大， (3)的最小值是． 【分析】本题考查了完全平方公式的实际应用，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键． （1）化成完全平方公式和的形式计算即可； （2）化成完全平方公式和的形式计算即可； （3）把原式化成再利用完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解： ∵ ∴当时，的值最小，最小值是0． ∴． ∴当时，的值最小，最小值是． ∴的最小值是． 故答案为：，； （2）解： ∵， ∴当时，的值最大，最大值是0． ∴． ∴当时，的值最大，最大值是． 故答案为：大，； （3）解：∵， ， ∴， ∵， ∴当时，的值最小，最小值是0． ∴． ∴当时，的值最小，最小值是． ∴的最小值是． 58．（24-25七年级下·江苏连云港·月考）张老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识求代数式的最小值．同学们经过交流讨论，最后总结出如下解答方法： 因为， 所以当时，的值最小，最小值是0． 所以．所以当时，的值最小，最小值是1． 所以的最小值是1． 依据上述方法，解决下列问题 (1)当______时，有最小值是_______． (2)已知，求的最值为_______． (3)已知实数、满足，求的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查了完全平方公式的实际应用，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键． （1）化成完全平方公式和的形式计算即可； （2）把原式化成再利用完全平方公式计算即可； （3）化成完全平方公式和的形式计算出、的值，再代入代数式进行计算即可． 【详解】（1）解： ∵ ∴当时，的值最小，最小值是0． ∴． ∴当时，的值最小，最小值是． ∴的最小值是． 故答案为，； （2）∵， ， ∴ ∵ ∴当时，的值最小，最小值是0． ∴． ∴当时，的值最小，最小值是． ∴的最小值是． （3）， ， ． 59．（24-25八年级上·福建漳州·期中）在学习乘法公式的运用时，我们常利用完全平方公式求最大值或最小值．例如：求代数式的最小值？总结出如下解答方法： 解：， ∵， ∴当时，的值最小，最小值是0， ∴， ∴当时，的值最小，最小值是1， ∴的最小值是1． 根据阅读材料利用完全平方公式解决下列问题： (1)求代数式的最小值； (2)求代数式的最大值； (3)当为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值． 【答案】(1)1 (2)5 (3)当时，最小值是17 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，正确掌握公式的结构特点是解题的关键． （1）先整理，因为，则，即可作答． （2）先整理，因为，所以，即可作答． （3）先整理，因为，所以，即可作答． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， ∴当时的最小值是1； （2）解： ， ∵， ∴， ∴， ∴当时，的最大值是5； （3）解： ∵， ∴， ∴当时，的最小值是17． 60．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）材料一：定义：一个正整数能表示成（a、b是正整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”． 材料二：配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．比因为，所以当时，的值最小，最小值是0．所以．所以当时，即时的值最小，最小值是1．即的最小值是1． (1)已知13是“完美数”，请将它写成（a、b是正整数）的形式______； (2)①已知，则______； ②已知（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试写出符合条件的一个k值，并说明理由． (3)已知实数x、y满足，求的最小值． 【答案】(1) (2)①②20 (3)1 【分析】本题考查新定义，完全平方公式，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）根据新定义，将13写成两个数的平方的和的形式即可； （2）①将等式转化为两个完全平方式的和为0的形式，利用非负性，进行求解即可； ②根据新定义，将转化为两个完全平方式的和的形式，进行求解即可； （3）将转化为完全平方式和数的和的形式，根据非负性求出最小值即可． 【详解】（1）解：根据题意得：； 故答案为：； （2）①∵， ∴， ∴， ，， ，， 解得：，， ∴； 故答案为：； ②当时，为“完美数”， 理由如下： ， ，是整数， ，也是整数， 是一个“完美数”； （3）∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴当时，有最小值，最小值为1． $ 专题02 整式乘法特殊题型专项训练 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 题型一：整式乘法中的化简求值问题 题型二：整式乘法中的抄错、遗漏、遮挡等问题 题型三：整式乘法中的无关型问题 题型四：整式乘法中的规律性计算问题 题型五：整式乘法与图形面积 题型六：乘法公式中变形求值计算 题型七：乘法公式与图形结合问题 题型八：乘法公式中的整体性思维问题 题型九：利用乘法公式的性质求值 题型十：乘法公式的实际应用 题型十一：乘法公式的新定义运算 题型十二：利用配方法求最值 题型一：整式乘法中的化简求值问题 1．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）先化简，再求值：，其中． 2．（24-25七年级下·江苏南京·期中）先化简，再求值，其中． 3．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）先化简，再求值：，其中． 4．（24-25七年级下·江苏南通·期中）先化简再求值： (1)，其中． (2)，其中，． 5．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）先化简，再求值：，其中x、y满足． 题型二：整式乘法中的抄错、遗漏、遮挡等问题 6．（24-25七年级下·江苏常州·期末）甲、乙两人共同计算一道整式：，由于甲抄错了a的符号，得到的结果是，乙漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果是． (1)求的值； (2)若整式中的a的符号不抄错，且，请计算这道题的正确结果． 7．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）某同学在计算一个多项式乘以时，因抄错运算符号，算成了加上，得到的结果是． (1)求这个多项式； (2)该同学若按原题正确计算了，则结果为________． 8．（24-25七年级下·江苏·专题练习）小红准备完成题目：计算时，她发现第一个因式的一次项系数被一滴墨水遮挡住了． (1)她把被遮住的一次项系数猜成2，请你帮她完成计算：； (2)老师说：“你猜错了，这个题目的正确答案是不含一次项的．”请通过计算说明原题中被遮住的一次项系数是多少？ 9．小红准备完成题目：计算，她发现第一个因式的一次项系数被墨水遮挡住了． (1)她把被遮住的一次项系数猜成3，请你完成计算：； (2)老师说：“你猜错了，这个题目的正确答案是不含一次项的，”请通过计算说明原题中被遮住的一次项系数是多少？ 10．（24-25七年级下·江苏镇江·期末）甲、乙两人共同计算一道整式：，由于甲抄错了的符号，得到的结果是，乙漏抄了第二个多项式中的系数，得到的结果是． (1)求的值； (2)若整式中的的符号不抄错，第二个多项式中的系数没抄漏，请计算这道题的正确结果． 题型三：整式乘法中的无关型问题 11．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）已知的展开式中不含项，且常数项是．求下列各式的值： (1)； (2)． 12．（24-25七年级下·江苏南京·月考）在学习多项式乘多项式时，我们知道的结果是一个多项式，并且最高次项为，常数项为，那么一次项是多少呢？要解决这个问题，就是要确定该一次项的系数．通过观察，我们发现一次项系数就是，即一次项为． 参考材料中用到的方法，解决下列问题： (1)所得多项式的一次项系数是______； (2)计算所得多项式的一次项系数； (3)如果计算所得多项式不含一次项，求的值． 13．（24-25七年级下·江苏·期末）若关于x的多项式与的乘积展开式中没有二次项，且常数项为20，求a，b的值． 14．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）小马虎做一道数学题“两个多项式A，B，已知，试求的值”．小马虎将看成，结果答案（计算正确）为． (1)当时，求多项式A的值； (2)若多项式，且满足的结果不含项和x项，求m，n的值． 15．（24-25七年级下·江苏·期末）【阅读理解】 在计算机上可以设置程序，将二次多项式处理成一次多项式，设置程序为：将二次多项式A的二次项系数乘以2作为一次多项式B的一次项系数，将二次多项式A的一次项系数作为一次多项式B的常数项． 例如：，A经过程序设置得到． 【知识应用】 关于x的二次多项式A经过程序设置得到一次多项式B，已知，根据上方阅读材料，解决下列问题： (1)若，求m，n的值； (2)若的结果中不含一次项，求关于x的方程的解； (3)某同学在计算时，把看成了，得到的结果是，求出的正确值． 题型四：整式乘法中的规律性计算问题 16．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）阅读下文，寻找规律： 已知，计算： … (1)观察上式猜想：______． (2)根据你的猜想计算：①；②． 17．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）杨辉三角 如果将（n为非负整数）的展开式的每一项按字母a的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式： ，它只有一项，系数为1； ，它有两项，系数分别为1，1； ，它有三项，系数分别为1，2，1； ，它有四项，系数分别为1，3，3，1； 将上述每个式子的各项系数排成该表（如图）． 观察该表，可以发现每一行的首末都是1，并且下一行的数比上一行多1个，中间各数都写在上一行两数的中间，且等于它们的和．按照这个规律可以将这个表继续往下写． 利用上面的规律，完成以下问题： (1)的展开式为________； (2)的展开式中共有________项，从左往右第三项的系数是________； (3)计算：； (4)代数推理：已知m为整数，求证：能被18整除． 18．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）杨辉三角形是形如（这里）的展开式的系数在三角形中的一种几何排列，记载于1261年他所著的《详解九章算术》中．下图是杨辉三角形与展开式的部分对照：              1             1  1           1  2  1         1  3  3  1        1  4  6  4  1 …… …… 请根据上述材料解决下列问题： (1)的展开式中第三项为___________； (2)的展开式中系数为10的项是___________； (3)求的展开式中含项的系数． 19．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）【阅读理解】 苏科版数学七年级下册课本第44页的“阅读”中介绍了“杨辉三角”．“杨辉三角”是我国古代数学的杰出研究成果之一，它揭示了二项式乘方展开式的规律，在欧洲，这个图表叫做“帕斯卡三角”．帕斯卡是在1654年发现这一规律的，比我国迟了近了600年．如图，是杨辉三角的一部分（两条斜边上的数都是1，其余每个数为它上方（左右）的两数之和），它把二项式乘方展开式系数图形化，它可以指导我们按规律写出形如（为正整数）展开式各项的系数，请你仔细观察下列等式中的规律，并利用杨辉三角解决下列问题． … 【初步感知】 （1）按以上规则，展开式共有____项，第三项（字母部分为）的系数是____； 【拓展推广】 （2）我们在对的推演过程中，是将中的“”代换成“”，可得；利用杨辉三角，写出的展开式___________；进而写出的展开式___________； 【迁移应用】 （3）根据以上规律计算 ． 20．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）我国古代数学的许多创新与发展都曾居世界前列，南宋时期有一位杰出的数学家杨辉，如图所示是他在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”，它的发现比欧洲早五百年左右． 此图揭示了（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，请根据上述规律，解决以下问题： (1)已知，则_____； (2)多项式展开式共有_____项，各项系数和为_____； (3)若，求的值. (4)如图，在“杨辉三角”中，选取部分数1，3，6，……，记，，，……．请完成下列问题： ①根据规律，的值是_____； ②计算：； ③请直接写出的值． 题型五：整式乘法与图形面积 21．（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）如图①，在一张长方形纸片的四个角分别剪去一个边长相等的正方形，可折叠成如图②的一个无盖长方体纸盒． (1)若图①中长方形纸片的长为，宽为，设截去的小正方形的边长为，当所折成的图②中长方体盒子的底面积为时，可列方程： ； (2)若图②中长方体的长、宽、高分别为、、，那么图①中长方形纸片的面积是 ． (3)类似的，甲、乙两位同学分别用长方形纸片，通过裁剪与折叠，得到两个高都为的无盖长方体纸盒、；其中纸盒的长是纸盒的长的3倍，纸盒的宽是纸盒的宽的倍．试比较甲、乙两位同学所用长方形纸片面积的大小．（注：长方形的长大于宽） 22．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）教材中，在计算如图①所示的正方形的面积时，分别从两个不同的角度进行了操作： 角度一：把它看成是个大正方形，则它的面积为． 角度二：把它看成是由个小长方形和个小正方形组成的，则它的面积为． 因此可得到等式． (1)类比教材中的方法，由图②中的大正方形可得等式： ； (2)利用①中得到的结论，解决下面的问题：若，，则的值为 ； (3)试在虚线框内画出面积为的长方形的示意图标注好，，由图形可知，多项式可写成几个整式的积的形式：__________________； (4)若将代数式展开、合并同类项后得到多项式，则多项式共有_____项？ 23．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）通过小学的学习，我们知道：周长一定的长方形中，正方形的面积最大．此结论可以利用图形的割补加以说明． (1)【方法理解】 已知长方形的周长是12，设长方形的一边长是x，则相邻一边长是． ①条件：当时，如图1，将此长方形进行如下割补．如图2，长方形B的一边长是x，相邻一边长是______．如图3，将长方形B割补到长方形A的右侧，阴影部分是一个边长为______的正方形（以上两空，均用含x的代数式表示）．通过上述割补，图1中长方形的面积可以看成图3中两个正方形的面积之差，所以代数式、9、满足的等量关系是______； 结论：可得． ②当时，同理可得； ③当时，该长方形即为正方形； 综上分析，周长是12的长方形的最大面积是______． (2)【方法迁移】 仿照上述方式，求出当时，代数式的最大值（无需描述割补过程，只需画出示意图）． 24．（24-25七年级下·江苏·期末）“小菜园”是淮阴中学开明分校设立的特色劳动课课程之一． 如图，初一（8）班的同学们在一块长为米，宽为米的长方形菜园里种植当季蔬菜，在阴影部分的区域内种植青椒，在中间边长为米的正方形区域内种植茄子． (1)求种植青椒区域的面积是多少平方米（用含a，b的代数式表示）； (2)当，时，种植青椒区域的面积为 平方米． 25．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）已知甲、乙两个长方形纸片，其边长如图所示（），面积分别为和． (1)①用含m的代数式表示： ， ；（结果请化简） ②用“”“ ”或“”填空： ； (2)若一个正方形纸片的周长与长方形纸片乙的周长相等，其面积设为． ①该正方形纸片的边长是 （用含m的代数式表示，并化简）； ②小方同学发现与的差是定值，请计算出这个定值． 题型六：乘法公式中变形求值计算 26．（25-26八年级上·江苏南通·期中）已知． (1)_________，_________（用含的式子表示）； (2)求的值． 27．已知：，．求： (1)的值； (2)的值； (3)的值． 28．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）已知，． (1)当时，求的值； (2)求的值． 29．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）已知，．求 (1)的值； (2)的值 30．（24-25七年级下·江苏徐州·月考）阅读理解： 已知，，求的值． 解：∵， ∴，即， ∵， ∴， 参考上述过程解答： (1)若，．求和的值； (2)已知，，求的值． 题型七：乘法公式与图形结合问题 31．（25-26八年级上·吉林长春·期中）数形结合是解决数学问题的重要思想方法，通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式．如图①是一个大正方形被分割成了边长分别为a和b的两个小正方形和长宽分别为a和b的两个长方形，利用这个图形可以验证公式． 利用上述公式解决问题： (1)①若，，则______， ②若，求的值； (2)如图②，在线段上取一点D，分别以，为边作正方形、，连接、、．若的长为10，的面积为11，求阴影部分的面积和． 32．（25-26八年级上·江苏南通·期中）小颖在学习完乘法公式后，发现完全平方公式通过代数变形，可以解决很多数学问题，例如：已知，，求的值． 解：∵；∴；∴ 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)已知 ，，求的值； (2)某校开垦了如图所示的一块梯形空地作为劳动实践基地，并分成四块．其中，于点O，，．计划在和区域内组织同学们种茄子和黄瓜，在和的区域内种豇豆和辣椒，经测量，种豇豆和辣椒区域的面积和为平方米，米，求种茄子和黄瓜区域的面积和是多少平方米． 33．（25-26八年级上·江苏南通·期中）将完全平方公式：适当的变形，解决下列问题： (1)若，，求的值； (2)已知，则的值为_____． (3)如图，点是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 34．（24-25七年级下·江苏徐州·月考）问题呈现：借助几何图形探究数量关系，是一种重要的解题策略，图1，图2是用边长分别为，的两个正方形和边长为，的两个长方形拼成的一个大正方形，利用图形可以推导出的乘法公式分别是图1________，图2________；（用字母，表示）    数学思考：利用图形推导的数学公式解决问题． （1）已知，，求的值； （2）已知，求的值． 拓展运用：如图3，点是线段上一点，以，为边向两边作正方形和正方形，面积分别是和．若，，则直接写出的面积，（用，表示） 35．（24-25七年级下·江苏扬州·月考）完全平方公式：适当的变形，可以解决很多的数学问题． 例如：若，，求的值． 解：因为， 所以， 所以， 得 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)若，，求的值； (2)请直接写出下列问题答案： ①若，，则　　； ②若，则　　． (3)如图，点C是线段上的一点，以，为边向两边作正方形的，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 题型八：乘法公式中的整体性思维问题 36．（22-23七年级上·江苏宿迁·期中）思想是中学数学解题中的一种重要的思想方法，例如，我们可以将看成一个整体，则，请根据上面的提示和范例，解决下面问题： (1)把看成一个整体，求将合并的结果； (2)已知，求的值； 37．在数学学习中，运用整体思想能将运算变得简单． 例如，在计算时就可以将看成一个整体，式子转化为：．请借助整体思想完成： (1)，求； (2)已知，求． 38．（24-25八年级下·江西鹰潭·期末）先阅读材料，再解答下列问题：材料：因式分解：． 解：将看成整体，令，则原式 再将还原，得到原式 上述解题用到的是整体思想，整体思想是数学中常用的方法，请根据上面的方法解答下面的问题： (1)因式分解：； (2)证明：若为正整数，则式子的值一定是某一个整数的平方． 39．（23-24七年级上·江西上饶·期中）阅读材料： 我们知道，，类似地，我们把看成一个整体，则． “整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： (1)把看成一个整体，合并______； (2)已知，求的值； (3)探索：已知，，求的值． 40．（24-25七年级下·福建漳州·期末）“整体思想”在数学中应用极为广泛． 例如：已知，求的值． 解：， ． ． 请尝试应用“整体思想”解决以下问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值； (3)若（m，n都是整数）能被6整除，试说明也能被6整除． 题型九：利用乘法公式的性质求值 41．（2025七年级上·江苏南京·专题练习）利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决方程或代数式的一些问题，请阅读下列材料；阅读材料：若，求m、n的值． 解：，， ，，，，． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)已知，则______，______； (2)已知，求a，b的值； (3)若，，试比较A与B的大小关系，并说明理由． 42．（25-26九年级上·江苏无锡·月考）定义：若一个整数能表示成（a，b为整数）的形式，则称这个数为“完美数”． 例如：5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”． (1)尝试：已知25是“完美数”，请将它写成（a，b为正整数）的形式_______； (2)探究：请将表示成“完美数”的形式，并求出其最小值； (3)应用：已知（x，y为整数，k是常数），要使S为“完美数”，求k的值，并说明理由． 43．（24-25七年级下·江苏淮安·月考）阅读理解：“”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式．例如：， ． ， ． 试利用上述阅读材料解决下列问题： (1)填空：____________________； (2)已知，则的值为__________； (3)若，，请比较A与B的大小，并说明理由． 44．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）求下列代数式的值： (1)已知：．求：代数式的值． (2)已知，求的值． (3)若，，求的值 45．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）如果一个正整数能表示为两个连续正偶数的平方差，那么称这个正整数为“幸福数”．例如：，，，因此12，20，28都是“幸福数”． (1)请再写出一个“幸福数” ； (2)猜想：“幸福数”是4的 （奇数倍或偶数倍），判断你的猜想是否正确，并说明理由； (3)已知a、b为正整数，且，若是“幸福数”． ①求的值； ②的最小值为 ； ③若是“幸福数”，试说明也是“幸福数”． 题型十：乘法公式的实际应用 46．（25-26八年级上·江苏南通·期中）【探索发现】 数学活动课上，老师准备了如图1的一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按如图2所示的形状拼成一个大正方形． （1）观察图1，图2，请写出，，之间的等量关系是：___________； 【解决问题】 （2）若，且，则___________； 【实际应用】 （3）学校计划用一块梯形区域开展科技节活动，如图3所示．已知于点，．计划在和区域内展示无人机和机器人表演，在和区域内分别是主舞台和观众，经测无人机和机器人表演区域的面积和为84平方米，米，求主舞台和观众区的面积和． 【拓展提升】 （4）已知，求的值． 47．（25-26七年级上·江苏扬州·期中）如图，将边长为的正方形剪出两个边长分别为a，b的正方形（阴影部分）．观察图形，解答下列问题：    (1)根据题意，用两种不同的方法表示阴影部分的面积（即用两个不同的代数式表示阴影部分的面积）． 方法1：________； 方法2：________； (2)从中你得到等式：________； (3)运用你发现的结论，解决下列问题： ①已知，，求的值； ②已知，求的值． 48．（25-26七年级上·上海松江·期中）“数缺形时少直观，形缺数时难入微．数形结合百般好，隔裂分家万事休．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式． （1）如图①是一个大正方形被分割成了边长分别为a和b的两个正方形，长宽分别为a和b的两个长方形，利用这个图形可以验证公式__________． 利用上述公式解决问题： 【直接应用】 （2）若，，则__________； 【类比应用】 （3）若，求的值． 【知识迁移】 （4）如图②，点在线段上，四边形、都是正方形，连接、、．若阴影部分的面积和为10，的面积为3，求的长度． 49．（24-25八年级上·广西南宁·期中）【知识生成】 通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1，在边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形（），把余下的部分剪开并拼成一个长方形（如图2），图1中阴影部分的面积可表示为：，图2中阴影部分的面积可表示为：，因为两个图中的阴影部分的面积是相同的，所以可得到等式：． 【结论探究】 图3是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个大正方形． （1）如图4，用两种不同方法表示图中阴影部分面积，可得到一个关于，，的等式是______． （2）若，，求的值． 【类比迁移】 （3）如图5，点是线段上的一点，以为边向上下两侧作正方形，正方形，两正方形的面积分别记为和，若，两正方形的面积和，求图中阴影部分的面积． 50．（23-24七年级下·重庆·月考）已知8张长为，宽为的小长方形纸片，按下图方式不重叠地放在矩形内，未被覆盖的部分分别用两个阴影表示．其中右下角阴影为六边形，左上角阴影为长方形．设六边形与长方形面积的差为，设． (1)用的代数式表示； (2)当的长度变化时，如果始终保持不变，则应满足的关系是什么？ (3)在（2）的结论成立的情况下，用10张长为，宽为的矩形纸片，再加上张边长为的正方形纸片，张边长为的正方形纸片（是正整数），拼成一个大的正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接），则当大正方形面积最小时，求拼成的大的正方形的边长为多少（用含的代数式表示）？并求出此时的的值． 题型十一：乘法公式的新定义运算 51．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）定义：对于任意四个有理数a、b、c、d，定义一种新运算：． (1) ； (2) ；若是完全平方式，则 ； (3)若有理数m、n满足，且． ① 求的值； ② 如图，四边形是长方形，点E、F、G、H分别在边上，连接交于点P，且将长方形分割成四个小长方形，若，，，，在①的条件下，求图中阴影部分的面积．    52．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）新定义：如果，那么我们称是关于的“圆满数”． (1)是______关于的“圆满数”；是______关于的“圆满数”(用含的代数式表示)； (2)若，，判断是否是关于的“圆满数”，并说明理由． 53．（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）我们定义：如果两个多项式M与N的和为常数，则称M与N互为对消多项式， 这个常数称为它们的对消值，如与互为对消多项式， 它们的对消值为5 (1)下列各组多项式互为“对消多项式”的是 （填序号）； ①与；②与 ；③与. (2)多项式与多项式（a， b为常数）互为对消多项式， 求它们的对消值 54．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）我们定义：如果两个多项式的差为常数，则称与互为恒定差多项式，这个常数称为它们的恒定差值，如与互为恒定差多项式，它们的恒定差值为-4． (1)下列各组多项式互为“恒定差多项式”的是__________（填序号）； ①与②与③与． (2)多项式与多项式（，为常数）互为恒定差多项式，求，的值，并写出恒定差值． 55．（23-24七年级下·江苏连云港·期中）定义：一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，因为，所以5是“完美数”． 【解决问题】 （1）已知29是“完美数”，请将它写成（a，b是整数的形式）______； （2）若可配方成（m，n为常数），则的值为______； 【探究问题】 （3）已知（x，y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由． 【拓展结论】 （4）已知x，y满足，求的最小值． 题型十二：利用配方法求最值 56．（22-23七年级下·江苏扬州·期中）阅读理解并解答： 为了求代数式的值，我们必须先知道x的值，若，则这个代数式的值为5；若，则这个代数式的值为10，……可见，这个代数式的值因x的取值不同而变化，尽管如此，我们还是有办法来考虑这个代数式的值的范围． （1）把一个多项式进行部分因式分解可以来解决代数式值的最大（或最小）值问题，例如：，因为是非负数，所以，这个代数式的最小值为______，这时相应的x的值是_______． 尝试探究并解答： （2）求代数式的最大（或最小）值，并写出相应x的值． （3）求代数式的最大（或最小）值，并写出相应x的值． （4）已知代数式，当x的值在（包含和4）之间变化时，直接写出代数式的值的变化范围． 57．（24-25八年级下·江苏苏州·月考）探究代数式的最小值时，我们可以这样处理： 因为， 所以当时，的值最小，最小值是0． 所以． 所以当时，的值最小，最小值是1． 所以的最小值是1． 依据上述方法，解决下列问题： (1)当________时，有最小值是________； (2)多项式有最________（填“大”或“小”）值，该值为________； (3)已知，求的最小值； 58．（24-25七年级下·江苏连云港·月考）张老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识求代数式的最小值．同学们经过交流讨论，最后总结出如下解答方法： 因为， 所以当时，的值最小，最小值是0． 所以．所以当时，的值最小，最小值是1． 所以的最小值是1． 依据上述方法，解决下列问题 (1)当______时，有最小值是_______． (2)已知，求的最值为_______． (3)已知实数、满足，求的值． 59．（24-25八年级上·福建漳州·期中）在学习乘法公式的运用时，我们常利用完全平方公式求最大值或最小值．例如：求代数式的最小值？总结出如下解答方法： 解：， ∵， ∴当时，的值最小，最小值是0， ∴， ∴当时，的值最小，最小值是1， ∴的最小值是1． 根据阅读材料利用完全平方公式解决下列问题： (1)求代数式的最小值； (2)求代数式的最大值； (3)当为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值． 60．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）材料一：定义：一个正整数能表示成（a、b是正整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”． 材料二：配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．比因为，所以当时，的值最小，最小值是0．所以．所以当时，即时的值最小，最小值是1．即的最小值是1． (1)已知13是“完美数”，请将它写成（a、b是正整数）的形式______； (2)①已知，则______； ②已知（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试写出符合条件的一个k值，并说明理由． (3)已知实数x、y满足，求的最小值． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $