19.2 二次根式的乘法与除法 知识点专项训练 2025-2026学年人教版八年级数学下册

人教版2025-2026学年下学期八年级数学 第19章 二次根式 19.2 二次根式的乘法与除法 知识点专项训练 一、单选题 1．下列各式是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．计算：（   ） A． B．10 C． D． 3．计算：（   ）. A． B． C． D． 4．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 5．下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 6．计算的结果为（    ） A．11 B． C．30 D． 7．下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 8．计算所得的结果是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 9．若，，则的值为（ ） A． B． C． D． 10．下列变形错误的有（ ） ． A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题 11．计算： ． 12． ． 13．计算 ． 14．计算： ． 15． ． 16．计算： ． 17．计算： . 18．若是正整数，是最简二次根式，则可以是 （写出一种情况即可）． 三、解答题 19．化简下列各式： (1) (2) 20．计算：． 21．计算： (1)； (2) 22．已知二次根式是最简二次根式． 可取的最小正整数是 ． 可取的最小整数是 ． 23．已知，满足等式，求： (1)，的值． (2)的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版2025-2026学年下学期八年级数学 第19章 二次根式 19.2 二次根式的乘法与除法 知识点专项训练答案解析 一、单选题 1．下列各式是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】最简二次根式需满足被开方数不含能开得尽方的因数、不含分母，且分母中不含根号． 【详解】解： A、，被开方数13为质数，无可开方因数，且无分母，是最简形式，符合题意； B、 = = ，可化简，不是最简，不符合题意； C、 = = ，可化简，不是最简，不符合题意； D、 = ，分母含根号，且被开方数含分母，不是最简，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了最简二次根式的概念，解决本题的关键是熟练掌握概念． 2．计算：（   ） A． B．10 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的乘法运算，解题的关键是掌握二次根式乘法运算法则． 需结合有理数乘法的符号法则与二次根式乘法法则求解． 【详解】解：， 故选：C． 3．计算：（   ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的除法计算．熟悉二次根式的除法计算法则是解题的关键． 根据二次根式的除法法则：，进行计算即可． 【详解】解：∵ ， ∴ 答案为． 故选：． 4．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查积的算术平方根，先计算被开方数的值，再根据算术平方根的性质判断各选项的正确性即可． 【详解】解：∵， ∴， 选项A：和在实数范围内无意义，原运算错误，不符合题意； 选项B：，原运算错误，不符合题意， 选项C：，原运算正确，符合题意； 选项D：，原运算错误，不符合题意， 故选：C． 5．下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的运算，通过算术平方根的性质和二次根式运算法则逐一验证各选项的正确性即可． 【详解】解：∵，∴A错误，不符合题意； ∵，∴B错误，不符合题意； ∵，∴C正确，符合题意； ∵，∴D错误，不符合题意． 故选：C． 6．计算的结果为（    ） A．11 B． C．30 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次根式的乘法，熟练掌握此知识点是解题的关键． 利用二次根式的乘法运算法则，将被开方数分别开方后相乘即可． 【详解】解： ， 故选：C． 7．下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了最简二次根式，最简二次根式需满足被开方数不含分母、不含能开得尽方的因数或因式，选项A被开方数含分母，选项C可化简，选项D可化为完全平方形式，均不是最简；选项B被开方数无平方因子且不含分母，故为最简． 【详解】解：A、，被开方数含分母，不是最简二次根式； B、，被开方数中21不是完全平方数，a为变量，无平方因子，故为最简二次根式； C、，可化简，不是最简二次根式； D、，可化简，不是最简二次根式． 故选：B． 8．计算所得的结果是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的乘方运算．应用指数运算规则，将平方分配到每个因子进行计算． 【详解】解：． 故选：D． 9．若，，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的乘法，（，）． 利用二次根式的乘法，将分解成，得到，进而根据，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴． 故选：C． 10．下列变形错误的有（ ） ． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的性质与运算法则，根据二次根式的相关性质逐一判断每个变形的正误，统计错误个数后确定答案． 【详解】解：①∵，原式错误将拆为，不符合二次根式运算法则，∴①变形错误； ②∵二次根式被开方数需为非负数，与无意义，正确做法为，∴②变形错误； ③∵，原式错误将拆为，不符合二次根式运算法则，∴③变形错误； ④∵，符合（a≥0,b≥0）的性质，∴④变形正确； 综上，错误的变形有3个， 故选：C． 二、填空题 11．计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的乘法，注意化简为最简二次根式是解题的关键． 利用二次根式的乘法法则，将合并为，再化简即可． 【详解】解：原式， 故答案为：． 12． ． 【答案】5 【分析】此题考查了二次根式的乘法和性质，平方差公式，根据平方差公式求解即可． 【详解】解： ． 故答案为：5． 13．计算 ． 【答案】 【分析】此题考查了二次根式的乘除运算，根据二次根式的乘除运算法则求解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 14．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，二次根式的乘方，先运用二次根式的性质进行化简以及运算乘方，再运算减法，即可作答． 【详解】解： 故答案为：． 15． ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的除法，掌握知识点是解题的关键． 根据二次根式的除法法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 16．计算： ． 【答案】6 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的乘法运算法则． 根据二次根式的乘法运算法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 17．计算： . 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的除法运算及二次根式的性质，熟练掌握二次根式的除法运算及二次根式的性质是解题的关键；将根式的除法运算转化为乘法，利用二次根式的性质进行简化即可． 【详解】解：； 故答案为：． 18．若是正整数，是最简二次根式，则可以是 （写出一种情况即可）． 【答案】1（答案不唯一） 【分析】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． 根据最简二次根式的概念解答即可． 【详解】解：当时，， 是最简二次根式，符合题意， 故答案为：（答案不唯一）． 三、解答题 19．化简下列各式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的乘除化简，关键是先确定根式有意义的条件(判断字母的符号)，再运用根式的乘除法则合并根号，最后化简并注意符号与有理化． 【详解】（1）解：由和有意义，得，． 原式 ； （2）由和有意义，得，， 原式 ． 20．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．先算二次根式的乘除法，然后化为最简二次根式即可． 【详解】解：原式 ． 21．计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了乘法公式，二次根式的乘法运算． （1）根据完全平方公式计算即可； （2）根据平方差公式计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 22．已知二次根式是最简二次根式． 可取的最小正整数是 ． 可取的最小整数是 ． 【答案】 2 【分析】（1）要找可取的最小正整数，需满足两个条件：一是被开方数，二是不含能开得尽方的因数。我们从最小的正整数开始代入验证； （2）要找可取的最小整数，只需保证被开方数 且不含能开得尽方的因数，我们从满足不等式的整数开始依次验证． 【详解】解：①正整数依次为 当时，，不是最简二次根式； 当时，，不含能开得尽方的因数，此时，是最简二次根式． ∴可取的最小正整数是． ②先解不等式，得 整数依次为 当时，，不是最简二次根式； 当时，，不含能开得尽方的因数，此时，是最简二次根式． ∴可取的最小整数是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，解题关键是牢记最简二次根式的两个条件：被开方数非负，且不含能开得尽方的因数． 23．已知，满足等式，求： (1)，的值． (2)的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据二次根式有意义的条件，列出关于m的不等式组，求解得到m的值，再代入等式求出n； （2）将（1）中得到的的值代入式子，利用二次根式的乘法法则化简计算． 【详解】（1）解：由题意，得： 解得． 将代入等式， 得． （2）解：由（1）可知，，， ． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件与二次根式的乘法运算，掌握二次根式的被开方数非负以确定字母取值，及二次根式的乘法法则是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $